4.4 三角函数的图象和性质-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

第四章 三角函数、解三角形 讲 4.4三角函数的图象和性质 考试要求 1.能画出三角函数的图象. 2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值. 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 回教材拓展 1.关于周期性的常用结论 1.“五点法”作图 (1)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈ (1)在确定正弦函数y=sinx在[0,2π]上的图 Z且n≠0)也是f(x)的周期. 象形状时，起关键作用的五个点是 (2)周期函数的定义域是无限集， (3)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质， (2)在确定余弦函数y=cosx在[一元，元]上的 因此要研究某周期函数的性质，一般只需要研究它在 一个周期内的性质. 图象形状时，起关键作用的五个点是 2.关于奇偶性的常用结论 (1)若f(x)=Asin(w.x十p)(A,w≠0)，则f(x) 2.三角函数的图象和性质 089 为偶函数白9=受十x(使∈)， 函数 y sin x y=cos x y tan x (2)若f(x)=Asin(wx十9)(A,w≠0)，则f(x) 性质 为奇函数台g=kπ(k∈Z). 3.正、余弦函数在其图象的对称轴处取得最大值 图象( 或最小值，且相邻的最大值点与最小值点间的距离为 个周期) 其半周期；图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两 定义域 个对称中心间的距离也是半周期；函数取最值的点与 值域 其相部的零点问的距离为}周期。 当x= 十2k 2 当x=2kπ时， 基础检测。 最值 时，ynx=1; ymax =1; (k∈Z) 当x=2kπ+x时 1.判断（正确的画“/”，错误的画“×”） 当x=一 2 ynin =-1 (1)余弦曲线y=cosx的对称轴是y轴.（) 2kx时yam= (2)正切函数y=tanx在定义域内是增函数. 对称性对称轴： 对称轴： 无对称轴：对称中 () (k∈Z)对称中心： 对称中心： 心： (3)已知y=ksin x十1，x∈R,则y的最大值 最小正 为k十1. () 周期 (4)y=sin|x|是偶函数. () 单调递增区间： 单调递增区间： 无单调递减区间： 2.(人教A版必修第一册P214T12改编)函数 单调性 单调递增区间： (k∈Z)单调递减区间： 单调递减区间： f(.x)=-sin2x在 ,上 66 () A.单调递增 B.单调递减 奇偶性 C.先增后减 D.先减后增 红圈勾·讲与练·高三数学 3.(人教A版必修第一册P207T2改编)函数4.（人教A版必修第一册P214T19改编）函数y= fe)=sim(2x+）xe0, 的最大值和 co2x+ 图象的一个对称中心是() 最小值分别为 ( A.1- B.1,3 A.() B.( 2 1 c.() C.2-1 D.() D.1,-1 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1三角函数的定义域和值域 规律总结 1.三角函数定义域的求法 【例1】(1)在[0,2π]内函数f(x)= 求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三 √/1-2cosx+Insin x 的定义域是 角不等式（组），常借助三角函数的图象来求解。 2 2.三角函数值域的不同求法 ( (1)把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx十 a贤引 R誓 p)的形式求值域. (2)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二 c居 n管 次函数求值域 (3)利用sinx士cosx和sin zcos z的关系转 090 (2)(2024·天津卷)已知函数f(x)= 换成二次函数求值域， sn3如r+）的最小正周期为x,则f)在 【对点训练】(1)函数fx)=6as2x十6co(牙 的最小值是 )e o.) 最大值为 A.- 3 B.- A.4 B.5 C.6 D.7 (2)(2024·全国甲卷文)函数f(x)=sinx- C.0 √5cosx在[0，元]上的最大值是 (3)已知函数f(x)=sinx十cosx十2sinx· 考点2三角函数的周期性、奇偶性、对称性 cosx十2，则f(.x)的最大值为 【例2】（多选）(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数 听课记录 f(x)=sin2x和g(c)=sim(2x-买)，下列说 法中正确的有 A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 听课记录 第四章 三角函数、解三角形 A.f()-sin() B.f()-cos(-) 规律总结、 有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题 Cf)=sinl2x-》 的解题思路 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般 D.fx)=cos2x-F》 可化为y=Asin wx或y=Atan w.x的形式，而偶函 数一般可化为y=Acos wx的形式. (2)函数f(x)=sin(2z+)在[0，]上的 (2)周期的计算方法：利用函数y=Asin(ωx十 单调递减区间为 ),y三Ac0s(wx十9w>0)的周期为红，函数 听课记绿 y=Atan(oz十g)(aw>0)的周期为工求解。 (3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数 图象的对称轴、对称中心. 【对点训练2】(1)(2024·山东烟台三模)若函数 fc)=sin(r+)的图象在0，）上有且 只有一条对称轴和一个对称中心，则正整数 命题角度2 三角函数单调性的应用 的值为 【例4】(1)(2024·山东日照三模)已知a 091 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2 (sin 14+cos 14),6=sin 61c 2,则a, (2)(多选)(2024·山东淄博二模)已知函数 b,c的大小关系为 f(x)=2cos(wx+)0<<6,0E N", A.a<c<b B.c<a<b 9∈o,)满足Vx∈k,f)-f(得）≤ C.a<b<c D.b<a<c (2)(2024·安徽马鞍山三模)已知函数 0恒成立，且f(x)在0，)上有且仅有2个零 f(.x)=sin2w.x+cos2wx(w>1)的一个零 点，则下列说法正确的是 点是受且x)在（石，）上单调则w A.函数f(x)的最小正周期为π ( B.函数x)在区间（停，》）上单调递减 5 A. c C.函数f(x)图象的一个对称中心为（一 心听课记录 D.函数f女-) )是奇函数 考点3三角函数的单调性 命题角度1求三角函数的单调区间 【例3】(1)(2024·福建泉州一模)已知函数 f(x)的周期为x,且在区间（答，）内单调递 增，则f(x)可能是 ( 2勾·讲与练·高三数学 规律总结 1.已知三角函数解析式求单调区间 c-受+引e 求形如y=Asin(ωx十9)或y=Acos(awx十 9)(其中w>0)的函数的单调区间时，要视“w.x十” D修+晋弩+)e2 为一个整体，通过解不等式求解，但如果ω<0，可先 (2)(2024·河北唐山二模)函数f(x)= 借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错. sin (2x- 2.己知三角函数的单调区间求参数 9)191≤)在(0，）上为单调递 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关 增函数，则9的取值范围为 系求解 A. 2 6 灭，0 6 【对点训练】《D函数y=子a2:-君}+ 1 元元 C.62 D.06 的单调递增区间为 A元-吾π十）∈D 温馨提示) 学习至此，请完成课时作业28 4.5函数y=Asin(wx+p)的图象及应用 考试要求 092 1.了解函数y=Asin(ωx+p)的实际意义，能借助图象理解参数w,g,A的意义，了解参数的变化对函数图 象的影响. 2.会用三角函数解决简单的实际问题，可以利用三角函数构建事物周期变化的数学模型. 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 元 列表先由wx士9=0,2元，3买2x分别求出 1.函数y=Asin(wx+p) 的值，再由ωx十9的值求出y的值，列出下表. (1)匀速圆周运动的数学模型 ωx+9 如图，点P从P。(t=0)开始，逆时针绕圆周匀速 运动（角速度为w),则点P距离水面的高度H y= 与时间t的函数关系式为 0 Asin(ω.z+p 描点.在平面直角坐标系中描出各点. 连线.用光滑的曲线连接这些点，得到一个周期 水面 内的图象。 成图.利用函数的周期性，通过左、右平移得到 (2)函数y=Asin(wx十p)的图象 定义域内的简图 ①用五点法画y=Asin(wx十P)(A>0,w> ②由y=sinx的图象通过图象变换得到y= 0,x∈R)的简图： Asin(wx+p)(A>0,w>0)图象的方法：10 5 10 号所以a十8=华数选D 对点训练3(1)A由sina十siny= sinB,cosB十cosY=cosa,得sina- sin B =-sin Y,cos a-cos B= cos y,..(sin a-sin B)2+(cos a- cos B)2=(-sin y)2 +cos'r=1, 2-2sin a sin B-2cos a cos B= 1,.2-2cos(a-B)=1,解得cos(a )=又eay∈(o,受）ma sinB=-siny<0,∴.sina<sinB,∴.0< a<g<音-受<8-g<0 a一日=一号故选A (2)A ''sin 2a 2sin a cos a>0, s血a,ose特号相同，又a∈[至 ]ee[)a∈[受 由sin2a= 5可得o2a= 25 5 ae[]-ae(受] 'sin(B-a)= F≥09-a (经)osg-a)=-3Y 10 .cos(a十B)=cos[2a十(8-a)]= cos 2acos(B-a)-sin 2asin(B-a)= 竖∈[层)8e] 得a中Be[受2)0中g华故 选A 【高考创新方向多想少算】 例C20s2z(cos2x-os2014r)） x cos 4x -1 2cos2 2x-2,a cos 2x,b cos 2014元，则2a(a x b)=2a2-2,即ab=1,因为a= c0s2x,所以a∈[-1,1]，同理b∈ [-1,1],所以a=1,b=1或a=-1, b=-1,当a=1,b=1时，c0s2x= 2014元=1，所以x=k元k∈ x Z,x=1007m,k1∈Z,图为1007= k1 1×19×53,所以x=元，19π，53π， 1007π，当a=一1，b=-1时， 2014π2 cos 2x =-1,cos= =一1，则 (2k:1: 2014π 2 k:∈Z,令2610-9014红， 2 2k3十1 k3∈Z,得(2k2十1)(2k3+1)=4028, k2,k∈Z,方程无解，所以方程所有 正根的和为元十19π十53π十1007π= 1080π.故选C. 4.4三角函数的图象和性质 必备知识回顾… 教材回扣 1.(1)(0,0) (经 (π，0) (- (2π，0) 2-,-1)（ ）(0,1) (受，0）(m,-1D 2.RR{女正≠x+受：k∈Z乙 [-1,1][-1,1]Rx=k元+ kx,0》王=x(元十子，0) (经o）2r2x元[2kx-号 2x+ 3π 2. [2kx+，2+] [2kπ-π，2kπ][2kπ，2kπ十π] 奇函数偶函 数奇函数 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2Be[]2e[ 引为=血在[】 上单调递减，故f(x)=-sin2x在 上单调递减.故选B 3.A 由z∈‖ 舌时fm=12x+号-号 即E=受时)咖=子，所以所 求最大值，最小值分别为1。一子故 选A 4B由2x十音=x十受k∈7.得 +”k∈7，所以函数y= x二12 +2 0s(2x十晋)图象的对称中心是 -465- (告十经0)小k∈Z当=0时，画数 y=c0s(2:十晋)因象的对称中心是 (侣散选R 关键能力提升 例1(1)C 由函数f(x)= m+h(m-9）可得 .1 /1-2c0sx≥0， {cosx≤2' 即 又 sin 0 sin 2 3r,即函 x∈[02]，解得号≤x< 数1)的定义城为[后).故 选C. (2)A由f(x)的最小正周期为π，可 得x=器所以。=号所以f) sm2x+)=-sn2z.当x∈[危 ]财，2∈【后]sm2x [1B 厂22 所以f=故 选A. (3)3+√2 解析：设t=sinx十cosx,则sinx· cos x (sin a cos z)11 2 2 t=血十=区（停 gs)-im(e中）e[i 2],则g(t)=t十2-1十2= +)广+=E时e √2+2+1=3+2，即f(x)x=3十2. 对点训练1(1)B函数f(x)= cas2x+6oms(受-x）=1-2sinx中 6sin x = 1=-2(snx- 2)‘+由于x∈ [0,]故mx∈[o.,令1=smz 6∈[0.1，则g)=-2(-2)中 7,当t三1时，g()=5,即sinx号 1,亦即x=受时fx)=5.故 选B. 参考答案‘☑。 (2)2 解析：f(x)=sinx一√3cosx 2sin(-哥），当x∈[0，x]时z 5π 时，f(x)取得最大值， fx)=f(）=2 例2BC对于A,令f(x)=sin2x=0, 解得x=7,k∈Z令g(x) 是π n(包：一）-0，解得x经+子 k∈Z,故f(x),g(x)零点不同，故A 错误；对于B,f(x)∈[-1,1]， g(x)∈[-1,1]，两函数有相同的最 大值，故B正确；对于C,显然两函数最 小正周期都为π，故C正确；对于D,由 2江=x+受，k∈五得函教fx)的 对称轴是工-经晋止∈五由2红 至=kx十受∈乙，得高数8x)的 图象的对称轴是x= 3元+kπ，k∈Z, 8+2 故D错误.故选BC 对点训练2(1)C 由题意得w>0且 是整数，若x∈(0，晋），则wr十 ∈ (行，子十），国为画数f) sin(ox十)的图象在(o,）上有 且只有一条对称轴和一个对称中心， 所以π< 3w+ F<经EN,解 3π <a<号o∈N,即w=8故 15 选C. (2)BCD 因为Hx∈R,f(x) f(于)≤0恒成立，所以f(x)的最大 值为/（写，所以子。十9=2x k∈Z,即9=-行0十2kr,k∈Z.当 x∈(0，号)时rx十9∈(9，号0中 9),又g∈(0，)f(x)在(o,） 上有且仅有2个零，点，所以< 3 3 ≤ 5π 所以 3π < π 3 2kπ≤ 2,k∈Z,即3 5 <2kπ≤ 2 2对勾·讲与练·高三数学 k∈Z,得灰=1，所以9=-子0十2x, 因为0<w<6,w∈N”,p∈ (0,受），所以a=59=号所以 f(x)=2c0s(5x十号）.对于A,函数 f(x)的最小正周期T= 故A 误：对于B,当x∈（受）时x中 子e(2,1）,又y=cosx在 (2,1）上单调递减，所以画数 fx)在区间（行，受）上单调递减，故 B正确：对于C,因为f(君) 2o(-g+号）=2s(）=0. 所以函数∫(x)图象的一个对称中心 为（百，0），故C正确：对于D,因为 f(-）=2[5(x-吾）中 】=ao(6x-号）=25，为 奇函数，故D正确.故选BCD. 例3(1)C因为函数f(x)的周期为π， 所以当仙>0时，对正、余弦函数来说， 。一会-受-2，此稀珍A,B声上∈ (后)时2红-吾∈(0，）因为 y=sinx在(0，）上单调递增y 0sx在(0，骨）上单调递减，故C正 确，D错误.故选C 解析：f(x)=sin(-2x+牙） -sm(x-吾）令2kx-受≤2a 号≤2十受6∈五.得x-危 x≤kπ十 受：∈五，则Kx)的单羽莲 减区同为[k一+阅 ,令A=[x-x+ π 5π7 Z,B=[0,π]，∴A∩B= [12元f(x)在[0，x]上的单调 「11π -466- 例4(1)A由题意得a= (sin 14+ 2 c0s14°)= 2 X√2Xsin(14°+45°)= sin59°，b=sin61°，c= 2 sin 60", 由正孩画教y=smx在(0，受）上单 调递增知，a<c<b.故选A, (2)B f(x)=sin 2wx+cos 2wx Ean(ox+）xe(吾)： 当>1时，2ax+∈（-子0 子+)且-子+<0< 名0+至，若fx)在（百需）上举 解得1< +≤受 .π w≤2，又因为)的一个零点是受， =kr,k∈Z,解得ω=k 则πw十4 k∈Z.所以k=2o 子故造取 对点训练3(1C令及x-至<2江 x<经+子k∈Z》,所以画数y 寸m(包x一）+名的单调通培区 1 网为（经-合经+晋）∈.故 选C. (2)C由x∈ (0,3）可得2x-g∈ 经-9≤后因为)在(0，号)上 2 3-9≤2 为单调递增函数，所以〈 -9≥2 解得晋≤9≤受，即g的取值范周为 6 [晋]故选C 4.5函数y=Asin(x+9）的 图象及应用 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)H=rsin(wt十p)+h (2)①0 2