课时作业4 基本不等式-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

课时作业4 (总分 目基础巩固 16分2021：时东定商-粮2+子+疗的最小 值为 A.27 B.37 C.47 D.5√7 2.(5分)已知a>0,b>0,且2a+6=4,则的最 ab 小值为 A日 B.4 c D.2 3.(5分)(2024·黑龙江哈尔滨二模)已知正数x,y 满足1十1，则2xy-3x的最小值为( A.8 B.9 C.10 D.11 4.(5分)(2024·广东湛江二模)当x>0,y>0时， 工十y≥√y.这个基本不等式可以推广为当， 2 y>0时，λx+y≥xy,其中入+4=1且入> 0,以>0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y 时，入x十y≈xy“.用这个式子估计√0可以这 样操作：10×9≈×10+×92，则v而≈ 19 ≈3.167.用这样的方法，可得28的近似值为 6 A.3.033 B.3.035 C.3.037 D.3.039 5.(5分)(2024·黑龙江哈尔滨一模)已知某商品近 期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品 的单价分别为m元和n元(m≠n),甲、乙两人购 买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商 品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平 均单价分别为a1元和a2元，则 () (横线下方不可作答)2 班级： 姓名： 基本不等式 100分) A.a=a2 B.a<a2 C.a>a2 D.a1,a2的大小无法确定 6.(5分)(2024·江西新余二模)已知x,y为正数，且 x+y=2,则+6y+6 的最小值为 () xy A.12 B.3+2√2 c号 D.6v2-3 2 7.(6分)（多选）已知a>0,b>0,且a+b=4,则下 列结论一定正确的有 A.(a+2b)2≥8ab B.+2≥2a 1 √a'√b C.ab有最大值4 D是+名有最小值9 a 8.(6分)（多选）(2024·湖北武汉二模)下列说法正 确的是 A.若ac2>bc2,则a>b B会+号的最小值为2 a ca>6m>0<8+ b D.√sinx+1+ 的最小值为2 √sin2x+1 9.(5分)若对任意r>0+3r+1 ≤a恒成立， 则a的取值范围是 得分 10.(5分)某校生物兴趣小组 为开展课题研究，分得一块 面积为32m的矩形空地， 并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区 (如图所示).要求试验区四周各空0.5m,各试验 区之间也空0.5m.则每块试验区的面积的最大 值为 m2. 得分 73 第一章集合、常用逻辑用语与不等式 11.(16分) 得分 1)求商数y=1+28>》的最小流 (2)求函数y=√x(4-2x)(0<x<2)的最 大值. 12.(16分)设计中的经济原则是指以最低的费用取 得最大的效益，即在实现产品功能的同时控制各 方面的成本.白塔制药厂意图设计一条新的生产 线，以满足市场需求.已知生产线每年需要投入 的固定成本为160万元，且年产量达到x吨时，需 要另外投入的成本为Cu)=+20x(单位： 万元)，已知每吨药品的售价为60万元，每年所生 产药品均可售出，由于环境因素限制，该生产线 允许的最大年产量不超过280吨.得分 (1)要使每年度的总利润最大，求生产线的规模 及对应的年利润； (2)要使每年度的药品平均利润（总利润与药品 产量的比值)最大，求生产线的规模及对应的年 利润 红对勾·讲与练2 素养提升 13.(5分)对任意正数a,b,不等式a十 λ十 2 2ab(1-入》≥√ab恒成立，则 () a+b A.实数入有最小值1 B.实数入有最大值1 C实数及有最小值号 D.实数入有最大值号 14.(5分)数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固 定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸 长)的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状， 它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形 状、描述星系的形态、研究植物的生长等等.在合 适的坐标系中，这类曲线可用函数f(x)=ae”+ ber(其中a,b为非零常数，e=2.71828…)来表 示，当f(x)取到最小值2时，下列说法正确的是 () A.x =In a B.a十b的最小值为2 C.2+2的最小值为2 D.In aln b的最小值为0 15.(6分)（多选）已知x>0,y>0,且x+y+xy- 3=0,则 () A.xy的取值范围是[1,9] B.x+y的取值范围是[2,3) C.x+4y的最小值是3 D.x十2y的最小值是4√2一3 74 高三数学 ■0.5<0.2,即2<0.2.∴2< 2<0.2.故选C 6.C由-1<t<0,得1∈(-0， 1 -1),故a=t-立 >0,由对勾函数性 质可得b=t十 1 <-(1十1)=-2， t c=t(2+t)<0,且c=t(2+t)=t2+ 2t=(t十1)2-1≥-1.综上所述，b< ca.故选C. 7.ACD因为1<x<6,2<y<3,所 以3<x十y<9,2<xy<18,故A, C正确；由题得一3<-y<-2,故 -2<x-y<4,故B错误；1<y 1<,则<<1.故< y<6,故D正确.故选ACD. 8.ABD对于A,由a>b及不等式的性 质可知a一c>b一c,故A正确；对于 B,由a>b,c卡0及不等式的性质可 知号>兰c≠0).B正确：对于C 若a=0,可得a=a2b,故C错误：对 于D,由a>b及a2十b2>0,可得 (a2十b2)(a-b)>0,故D正确.故选 ABD. 9.> 解析：因为x2+4y2-4xy十1=(x 2y)2+1>0,所以x2+4y2>4xy-1. 10.③④ 解析：对于①，当a=一1，b=一2时， ab=2>0,a十b=-3<0,不充分； 对于②，若a>0,当a=1,b=-2 时，a十b=一1<0，不充分：对于③， a十b>2>0,充分，反之，当a十b> 0时，若a=1,b=0,此时a十b= 1<2,不必要；对于④，若a=0且 b>0,则a十b=b>0,充分，反之， 若a=1,b=0,满足a十b>0,不 必要. 11.解：(1)(x2十1)2-(x1十x2十1)= x1十2x2十1-(x1十x2十1)=x2≥ 0,(x2+1)2≥x1十x2+1. (2)证明：作商得 a“b5 (ab)习 :a>≥b>0分>1，且a-b>0 a66 ()宁 因此ab>(ab)」 12.解：(1)因为12<a<60,15<b< 36,所以27<a十b<96,24<2a< 120,-36<-6<-1536<方 1 1 1 5所以-12<2a-b<105,3< 号<4 (2)设3.x-y=m(x-y)十n(x十 y)=(m+n)x+(n-m)y,m,n E R,则m十n二3，解得m=2, n-m=-1, {n=1, 所以3x-y=2(x-y)+(x十y), 又-2<x-y<20<x+y< 1,所以-1<2(x-y)<1,则-1 3x-y<2, 所以3x一y的取值范围是(-1,2). x1十x2十x3=c1, 13.D 由2：十x十1=c2, x十x1十x1=c3, x1十x1十x2=c1, 得到3(x1十x,十x十x1)=c1十 c2十c8十C1,即x1十x2十十x1= c1十c2十c8十C1 令A=1十c++c」 3 x1=A-c2, 则=A-6'又c,<6<,< x3=A-c1, x1=A-c1· C1,所以x<x2<x1<x1.故选D. 14.D因为a=log.12<0, b=log√2>0，所以ab<0,又因为 、Q十b=1og12+log√2=g0.号十 Igv2 Ig 5 -s2+品器 1g2(1-1g252<0,所以a十b<0, 1g25 又因为a+b=11 ab =。+6 =1og20.1十 log5=log2 0.1+log2 25 log,2.5> 1,所以0十b、 ab>1,又ab<0,所以a十 b<ab,所以a十b<ab<0.故选D. 15.A方法-ax十by十c之-(a2十 by+cx)=a(x-)十c(之-x)= (a-c)(x-x）.x>y>a< b<c,a-c<0,x-之>0，ax十 by十cx<a之+by十cx,同理，ay十 bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z- x)十c(x-≈)=(b-c)(-x)> 0,∴ay十bx十cx>ay十bx十cz,故 只需再比较a.x十by十c2与ay十bx十 cz的大小即可，ax十by十c之-(ay十 bx+cz)=a(x-y)+b(y-x)= (a-b)(x-y),:a-b<0,x-y> -537- 0,.(a-b)(x-y)<0,.ax+by+ c2<ay十bx十c2,∴.在不同的方案 中，最低的总费用是(ax+by十cz) 元.故选A 方法二用粉刷费用最低的涂料粉 刷面积最大的房间，且用粉刷费用最 高的涂料粉刷面积最小的房间，这样 所需总费用最低，最低总费用为(a.x十 by十cz)元.故选A. 课时作业4基本不等式 1.B由题意知x≠0，所以x2>0, >0，所以+子 7 十7≥ ·子+万=3.当且仅当 7 =子即1=万时，等号成立故 选B. 2.C:a>0,b>0,由基本不等式得 4=2a十b≥2√2ab,则ab2(当且 收当2a=b=2时等号成立)：6习 中品的最小维为子数达心 1 3.B易知1+2=1→2x十y=xy, x y 则2xy-3x=2(2x+y)-3x=(x+ (+)=5+2+号≥5 x y 2凰·臣-9者具仅当之-兰 y 即x=y=3时取等号.故选B. 4.C像题言，28×27≈子×28中 ×27-号则酒 3 82≈3.037. 2 故选C. 200 5.B由题意得a1=100100 m n 2mn ,a2= 20(m+见)=m十n,因 m+n 40 2 为m>0,n>0,m≠n,故m十0> 2 .2mn 2mn √mn'm十n =√n,即 2√/mn a1<a2.故选B. 6.C由x+y=2,得+6y十6_ xy 2x+12y+12= 2xy (x+y)z+6(x+y)y+3(x+y) 2xy 4x'+9y2+13xy=2+9y+13≥ 2xy y 2x 2 侣·器+号=空当且收当 2 参考答案“☑。 兴即红=号y=青时等号 y 成立.故选C. 7.AC对于A,(a+2b)2=a2+4b2+ 4ab≥2·a·2b+4ab=8ab,当且仅当 Q=2b时取“=”，A正确；对于B,当 a=b=2时， 1+1=厄，2√历= a√6 <2面，B不正确：对于 4后+店 C,a+b=4≥2√ab,.ab≤4，当 且仅当a=b=2时取“=”，C正确；对 于n+=日+)a 。)=+4+名+号)≥（+ b=号时取“-”，D不正确：故选AC 8.AD对于A,若ac2>bc2,则a>b, 故A三确：对于B兰+号≥2或白 分≤-2，故B错误：对于C,若a>6, m>0,则。-a十m bb+m b(a十m)-a(b十m）= m(b-a) a(a+m) a(a十m)' 而m(b-a)<0,但是a(a十m)与0的 大小关系不能确定，故C错误；对于D, √/sinx+1+ 1三≥2，当且 √/sinx+1 仅当√sinx十1= 1 ，即 sin+1 sinx=0取等号，故D正确.故选AD. 9[片+) 解析：x>0, 1 ·2+3x+1 一 x+1+ x 1 一=方，当且仅当x 1,即x=1时等号成立…心a≥5 1 10.6 解析：设矩形空地中仅与一块试验区相 邻的一边的长为xm,则其邻边的长为 32 m,依题意可得，试验区的总面 x 积S=(x-0.5×4)(2-0.5×2）= 34-x-6 ,64 ≤34-2√x· =18, 当且仅当x=64,即x=8时等号成 x 红对勾·讲与练·高三数学 立，所以每块试验区的面积的最大值 为18 =6(m2). 3 3 3」 11.解：1)因为x>之，所以x一2 3 0,所以y=x一2+ 4 x 2 2 24 x 3 += x一2 3 当且仅当x一2 4 子时，等号成立，故函数y=x 2写>)的最小值为号. (2)因为0<x<2,所以4-2x>0, 所以y=√x(4-2x)= √合242≤ 2.2红+4-2红=2， 2 当且仅当2x=4-2x,即x=1时， 等号成立，故函数y=√x(4一2x) (0<x<2)的最大值为2. 12.解：(1)设年利润为f(x)万元，则 f(x)=60x-C(x)-160= 1022十40x-160= F0x200)2+3840 所以当x=200时，f(x)取最大值 3840,即年产量为200吨时，年利润 为3840万元. (2)药品平均利润为x) 10x+40- 160=40-（0x+ 160 1 ）≤40-2√6x· 160 x =32, 当且仅当品-”即：=0时版 等号，此时f(40)=32×40=1280, 即年产量为40吨时，药品平均利润最 大，年利润为1280万元. 13.ca寸b1+2b1-入)≥Va而，故 2 a十b (h≥历-地。 a十b a+b 2ab (a-b)2 2 a+b 2(a+b)≥0，当 a=b时，不等式恒成立；当a卡b时， √ab 2ab λ≥ a十b 2√ab a十b_2ab (a+6)2 2 a+b -538- 德=宁且数 2√ab 当a=b时等号成立，又a≠b,故 2√ab <2画=1 (a+√b)24ab =2,故入≥ 子t楼C 14.B函数f(x)=ae十be,a,b为 非零常数，e>0,e>0,由f(x) 取到最小值2，得a>0,b>0,对于 A,ae+be≥2√ae·ber= 2√ab=2,则ab=1,当且仅当 ae=be,即e=么=马时取等 号，此时e”= 1 ax=-lna,A错 误；对于B,a十b≥2√ab=2,当且 仅当a=b=1时取等号，B正确：对 于C,2+2≥2√2·2=2√2≥ 4,当且仅当a=b=1时取等号，C错 误，对于D,In alb≤（血a+nb° 2 [a] 72 =0,当且仅当a=b= 1时取等号，D错误.故选B. 5.BD对于A,x>0,y>0,由xy= 3-（x十y)3一2√xy可得 (√xy十3)（√xy一1）≤0，因为 √xy>0,所以0<√xy≤1，则 0<xy≤1，当且仅当x=y=1时， 等号成立，故A错误；对于B,由x十 y=3-xy≥3- 任）‘可得 (x+y+6)(x+y-2)≥0，因为x+ y>0,所以x十y≥2，当且仅当x= y=1时，等号成立，又x十y=3- xy<3,所以x十y的取值范围是[2， 3),故B正确；对于C,由x十y十xy一 3=0得x=二，所以工十4y 1+y 3一义+4y=1十y 1+y ,4+4(1十y)-52 4×41+y)-5=3,当且 21+y ,4=41十y),即y=0时，等 权当1千y 号成立，所以x十4y>3,故C错误； 对于D,由x十y十xy-3=0得x= 3-y,所以x十2w=8义+2y= 1十y 1+y ,4+21+y)-3≥ 1+y ,4×21+y)-3=4E-3: 2N1十y 当且仅当 4=21十y),即y= 1十y √2-1时，等号成立，故D正确.故 选BD. 课时作业5一元二次方程、 不等式与二次函数 1.A不等式x(x十2)<x(3-x)+1, 化为2x2-x-1<0,即(2x+1)(x )<0,解得二，<x<1,所以不 式x(x十2)<x(3-x)十1的解集为 (21)故选A 2心不学天2>1等价于< 3 0,等价于(x一1)(x十2)<0，解集为 {x-2<x<1}.故选C. 3.D因为不等式ax2十bx一3<0的解 集是(-∞，1)U(3,十∞)，所以a< 0,x=1和x=3是方程ax2十bx- 1十3=- b 3=0的根，所以 1×3--3. a a=-1,b=4,则b-a=5.故选D. 4.D当m=0时，原不等式化为1≥0， 恒成立，当m≠0时，需满足 m0, 所以0<m≤4. (4=m2-4m≤0， 综上，0≤m≤4.故选D. 5.C由Hx∈(0，+oo),x2-mx十 1 1>0,得m<x十一，而当x>0时， x x十 x 工=1，即x=1时取等号，则m<2, x 所以m的取值范围是（一∞，2）.故 选C. 6.D对任意m∈[1,3]，不等式m.x’ mx一1<-m十5恒成立，即对任意 m∈[1,3]，m(x2-x+1)<6恒成 立，所以对任意m∈[1,3]，x2-x十 1<6恒成立，所以对任意m∈[1， -+1<(） =2,所以 x-x十1<2，解得1一5 x 2 1+√5 ,故实数工的取值范国是 2 (5,).志n 2 7.ABD对于A,:关于x的不等式 a.x2十bx十c>0的解集为(-o∞， -2)U(3,十∞)，a>0,A正确；对 于B,已知一2和3是关于x的方程 a.x2十bz十c=0的两根，由根与系数 -2+3=-6. a 的关系得 则b= 2X3= -a,c=-6a,不等式bx十c>0,即 -ax-6a>0,即x十6<0，解得 x<一6，B正确：对于C,a十b十c= 一6a<0,C错误；对于D,不等式 cx2-bx十a<0,即-6a.x2十ax十 a<0,即6x2-x-1>0,解得x< 号或x>D正确：故选AD, 8.ACD当a=0时，(ax-2)(x十 2)=-2(x十2)>0→x<-2;当a> 0时，(ax-2)(x十2)=ax 2)u+2)>03>台或<2 a 故A正确；当a<0时，(ax-2)(x十 2=a(-名）x+2)>0,若是= a 一2→a=-1,则解集为空集，若 <-2→-1<a<0,则不等式的解 a {女名<<-2，若兰> 集为za -2→a<-1,则不等式的解集为 {口？<x<名}，故CD正骑.故 a 选ACD 9.(0,1)U(1,2) 解析：由2<x2一2x十3<3，得 2<x2-2x+3由2<x2-2x+ lx2-2x+3<3, 3,得x2-2x十1>0，(x-1)2>0,解 得x≠1，由x2-2x+3<3,得x2 2x0,解得0<x2,所以0x< 1或1<x<2,所以原不等式组的解 集为(0,1)U(1,2). 10.(-o∞，2) 解析：因为Hx∈（一∞，一2]，x2十 2x-a十2>0为真命题，则a<x2十 2x十2在x∈(-∞，一2]上恒成立， 令g(x)=x2十2x十2=(x+1)2+ 1,x∈（-oo,-2],则g(x）m= g（-2)=2,所以a<g(x)mn=2,所 以实数a的取值范围是（一∞，2）. 11.解：(1)若f(x)>0在x∈R上恒成 立，则△=(-3)2-4a<0,得a> 号，所以实数。的取值范围是 (,+∞) (2)由题意知，a<-x2十3x在x∈ (一1,2]上恒成立， 则a<(-x2十3x)mm, -2+3x=-(-)+，当 -539- x∈(-1,2]时，-x2十3.x的取值范 国是(4]· 所以a≤一4，则实数a的取值范围是 (-∞，-4]. 2.解：(1)f(x)>x2+ax-1-a对- 切实数x恒成立， 则ax2十x-a>x2十ax-1-a,所 以不等式(a-1)x2+(1-a)x+1> 0的解集为R, 所以当a=1时，不等式为1>0，解 集为R,符合题意； 当a≠1时， 则4=(1-a)2-4(a-1)<0, 解得1<a<5. 综上所述，实数a的取值范围是 [1,5). (2)原不等式可化为ax2+x-a- 1>0,即(x-1)(ax十a十1)>0， 若a=0,则x-1>0,解集为{x x>1}: 若a>0,则1>-a十1，解集为 a {k<或x>1； a 若a<0,则x-1)(e+)< 0.因为1-（)=0。+， a 所以当-子<<0时1<店 解集为{x1<x<-a+1) a/, 当a=- 之时，z-1P<0,解集 为☑， 当a<- 合时，1>，解集为 a << 综上，当a>0时，f(x)>1的解集为 {<或x>· a 当a=0时，f(x)>1的解集为{x x>1}; 1 当-2<a<0时fx)>1的解集 为小<<告 当a=-}时，(x)>1的解集 2 为⑦： 当a<- 时，：)>1的解集为 a 参考答案‘☑。