3.4 导数与函数的极值、最值-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

第三章 一元函数的导数及其应用 讲 【对点训练2】(2024·陕西安康模拟)若0< x1<x2<1,则 A.e:+In x>e+In x2 B.e:+In z<e +In x2 规律总结 C.2e>e 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔 D.2e<e 细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数， 考点3通过数值构造具体函数 使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数 的单调性比较大小. 【例5】(2024·湖南益阳三模)若a=21n1.1,b 0.21,c=tan0.21,则 ( 【对点训练3】 6 已知aln5h了 A.b<c<a B.a<c<b () C.c<a<b D.a<b<c A.a>b>c B.a>c>b 听课记录 C.c>b>a D.c>a>b 温馨提示0 学习至此，请完成课时作业19 063 3.4导数与函数的极值、最值 考试要求 1.理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值。 3.掌握利用导数研究函数最值的方法，会求闭区间上函数的最大值和最小值. 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。一 0,右侧f'(x)<0.我们把a叫做函数y=f(x) 的 ,f(a)叫做函数y=f(x)的 1.函数的极值 ;b叫做函数y=f(x)的 ,f(b)叫 (1)函数极值的定义：如图，函数y=f(x)在点 做函数y=f(x)的 极小值点、极大 x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其 值点统称为 ,极小值和极大值统称 他点处的函数值都小，f'(a)=0;而且在点x= 为 a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.类似 地，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b) 比它在点x=b附近其他点处的函数值都大， f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)> 2勾·讲与练·高三数学 (2)函数在某点取得极值的必要条件和充分 (1)a>0 条件 项目 △>0 A≤0 一般地，函数y=f(x)在某一点处的导数 值为0是函数y=f(x)在这点取得极值的 图象 可导函数y=f(x)在x=x。处取极大（小） 值的充分条件：① ;②在x=x。附近的 O x1 左侧'(x)>0(<0),右侧f'(x)<0(>0). (3)导数求极值的方法：解方程f'(x)=0,当 在（一∞，x1), (x2 f(x)=0时，如果在x。附近的左侧f'(x)> 单调性+∞)上单调递增；在在R上单调递增 0,右侧f'(x)<0,那么f(x)是 ;如 (x1,x2)上单调递减 果在x。附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)> 极值点 0,那么f(xo)是 个数 注意对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函 数f(x)在x=x。处有极值”的必要不充分条件 (2)a0 2.函数的最大（小）值 项目 A>0 A≤0 (1)函数最大（小）值的再认识 ①一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x) 064 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最 图象 大值和最小值； 0 ②若函数y=f(x)在[a,b]上单调递增，则 f(a)为函数在[a,b]上的 ,f(b)为函 在(x1,x2)上单调递 数在[a,b]上的 ;若函数y=f(x)在 单调性增；在（一∞，1），(2， 在R上单调递减 [a,b]上 ,则f(a)为函数在[a,b]上 +∞)上单调递减 的最大值，f(b)为函数在[a,b]上的最小值. (2)导数求最值的一般步骤 极值点 设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可 个数 导，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值和最 基础检测 小值的步骤如下： ①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值； 1.判断（正确的画“√”，错误的画“×”） ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数 (1)对于可导函数f(x),若f'(x。)=0,则x。为 值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值， 极值点. () 最小的一个是最小值 (2)函数的极大值不一定是最大值，最小值也不 3.三次函数的图象、单调性、极值 一定是极小值. () 设三次函数f(x)=a.x3十bx2十cx十d(a≠ (3)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值. 0),则f'(x)=3ax2+2bx+c,记△=4b2 12ac=4(b2-3ac),并设x1,x2是方程f'(x) (4)连续函数f(x)在区间[a,b]上一定存在 0的根，且x1<x2: 最值. () 第三章一元函数的导数及其应用 进 2.(人教A版选择性必修第二册P98T4改编)如图3.（人教A版选择性必修第二册P98T6改编）已知 是f(x)的导函数'(x)的图象，则f(x)的极 小值点的个数为 ( fx)=x3-12x+1x∈-31，则fx） 的最大值为 ,最小值为 4.(人教A版选择性必修第二册P104T9改编)函 -3-2∠10 数f(x)=x(x-c)有极值，则实数c的取值范 围是 A.1 B.2 C.3 D.4 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1利用导数求函数的极值 听课记录 命题角度1根据导函数的图象判断函数的极值 【例1】（多选）函数y=f(x)的导函数的图象如 图所示，则下列说法正确的是 21O A.函数y=f(x)在(-1,3)上单调递增 065 B.函数y=f(x)在(3,5)上单调递减 C.函数y=∫(x)在x=0处取得极大值 D.函数y=f(x)在x=5处取得极小值 听课记录 规律总结 由导函数图象判断函数y=f(x)的极值，要抓 规律总结 住两点：①由y=f'(x)的图象与x轴的交点，可得 求函数f(x)极值的步骤 函数y=f(x)的可能极值点；②由导函数y 第一步，确定函数f(x)的定义域。 f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负，从而 第二步，求导函数f'(x). 可得函数y=f(x)的单调性，两者结合可得极值点. 第三步，解方程f'(x)=0,求出在函数定义域 内的所有根 命题角度2求已知函数的极值 第四步，列表检验f'(x)在f(x)=0的根x。 【例2】(2024·宁夏银川二模)已知函数f(x)= 附近左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x) 2x2一ax+a,其中a∈R,讨论f(x)的 在x=x。处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在 e x=x。处取极小值. 极值. 红圈内·讲与练·高三数学 命题角度3已知函数的极值（点）求参数 (2)己知函数f(x)=2lnx十ax2-3x在x= 【例3】(2024·新课标Ⅱ卷T16节选)已知函数 2处取得极小值，则∫(x)的极大值为() f(x)=e-a.x-a3.若f(x)有极小值，且极 A.2 小值小于0，求a的取值范围. &-号 吧听课记录 C.3+In 2 D.-2+2ln2 (3)(2025·八省联考改编)已知函数f(x)= aln x+ b 一x,若x=1是f(x)的极小值点， 则b的取值范围为 考点2函数的最值 命题角度1 求已知函数的最值 【例4】 已知函数f)=+ax+1,当-号< a<0时，求f(x)在区间[0,1]上的最大值. 听课记录 066 4规律总结、 根据函数的极值（点）求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个 条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)验证：求解后验证根的合理性， 【对点训练1】(1)（多选）设函数f(x)在R上可 导，其导函数为f'(x),且函数g(x)=xf'(x) 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 y=g(x) A.f(x)有两个极值点 B.f(一2)为函数f(x)的极小值 C.∫(x有两个极小值 D.f(一1)为函数f(x)的极小值 第三章一元函数的导数及其应用 讲 命题角度2由函数的最值求参数 3.已知函数在开区间上有最值，可转化为有极 【例5】(2024·河南南阳一模)已知函数f(x) 值问题求解，若在闭区间上有最值，则需要比较区间 3x2-21nx十(a-1)x+3在区间(1,2)上有 端点值与极值的大小 最小值，则整数a的一个取值可以是 心听课记录 【对点训练2】(1)函数f(x)=x2sinx十2 c cos x 在区向 2,π上的最大值与最小值分别为 A 4’2x B 元2 4一 4 元2 C.2r,- D.2元，-2π (2)(2024·广西南宁一模)已知函数f(x)= 4规律总结 (x一1)er十a.x2的最小值为一1，则实数a的 1.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时，在 得到极值的基础上，将区间端点的函数值f(a), 取值范围为 f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值. 温馨提示) 2.若所给函数f(x)含参数，则需通过对参数 学习至此，请完成课时作业20 分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x) 的最值 067 微专题 不等式的证明 考试要求 能利用导数证明不等式，掌握证明不等式的常用方法，如构造法、双函数最值法、放缩法等，了解一些基本 的构造方法和常用的放缩公式。 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1 移项构造函数或直接利用函数的最值 证明不等式 【例1】 (2024·河北保定三模)已知函数f(x) x2-ax十lnx,x=1为f(x)的极值点. (1)求a的值； (2)求证：f(x)≤2x2-4x. 听课记录f(x),y=sinx均是奇函数，函数 g（x)是偶函数，函数g(x)在(-π， 0)上单调递增.当x∈(0，π)时，sinx> 0,则不等式f(x)<2f(石）sinx可 化为x)< () sin x ,即g(x)< π sin6 (）8<x<:当x∈(-， 6 0)时，sinx<0,则不等式f(x)< 2f()snx可化为f sin x sin 6 () sim(←） 即gx)>g(-) 一否<x<0.踪上，可得不等我的 解集为（吾0U(后小 例4C南h中ny=子-，将 ag+=hy+}-h}-号 构造函数f(x)=lnx十x,x>0,则 fx)=+1>0:可知f)=lnx+ x在(0，十∞)上递增.结合lnx十x= x>0,y>0,由基本不等式可知x十 y≥2√y=2,当且仅当x=y=1 时等号成立，所以x十y>1,故选C. 对点训练2C设f(x)=e一lnx, x>0,则f'(x)=e-1 ，令() x>0,则W(x)=e+ 1 > 0恒成立，即'(x)=c-1在定义 x 线0，+∞)上单调递增，且了（日）- 。-e<0了)=e-1>0,因在 区间（日，上必然存在唯一x使得 f'(x0)=0,,当x∈(0，x。)时f(x) 单调递减，当x∈(x。,1)时f(x)单 调递增，故A,B均错误；令g(x)= ，则g)=D,当0< e x x<1时，g'(x)<0,∴g(x)在区间 (0,1)上为减函数，：0<x1<x2< 1、 -,即x2e1>x1e2,故 C正确，D错误.故选C. 红对勾·讲与练·高三数学 例5Da=2ln1.1=ln1.12=ln(1+ 0.21).设h(x)=tanx-x,0<x< 受，则A(x) cosx·cosx-（-sinx)sinx-1= cosx 1 -1>0,所以h(x)=tanx-x cos'x 在(0，受)上单调递增，所以A() tan x-xh(0)=0,E tan x >x, 0<x<交，令f(x)=x-lh(1十力 0<x<受，则f)=1-1十王 1 2” >0,所以f(x)=x-ln(1十x) 1+x 在(0，受)上单调递增，所以f(x) x-ln(1十x)>f(0)=0,即x> 1(1十z)x∈(0，受)，所以1anx> x>ln(1+x),x (0,)从而当 x=0.21时，tan0.21>0.21>ln1.21, 即a<b<c.故选D. 对点训练3A设f(x)=lnx-x十1， x∈(0,1)，则f'(x)=1二工>0，所 以f(x)单调递增，又f(1)=0,所以 f(x)<0,即lnx<x-1,所以 n<一所以-h>合 5 5 n号>名，所以a>h.设hx） 1 (1-x)e,x∈(0,1)，则h'(x)= 一xe<0,所以h(x)单调递减，所以 1一，故 h(x)<h(0)=1,即e<1-x e<1 =<日所 7 .1 1 1- 7 以b>c,所以a>b>c.故选A. 3.4 导数与函数的极值、最值 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)极小值点极小值极大值点 极大值极值点极值 (2)必要条件f'(xo)=0 (3)极大值极小值 2.(1)②最小值最大值单调递减 3.(1)20(2)20 基础检测 1.(1)×(2)/(3)×(4)/ 2.A由题中导函数f'(x)的图象知，在 x=一2处，f(-2)=0,且其两侧导 数符号为左正右负，所以x=一2是 f(x)的极大值点；在x=一1处， (一1)=0，且其两侧导数符号为左 -454- 负右正，所以x=一1是∫(x)的极小 值点；在x=2处，了(2)=0，且其两侧 导数符号为左正右负，所以x=2是 f(x)的极大值，点.综上，f(x)的极小 值点的个数为1.故选A 134 3.21 -10 解析：f′(x)=3x2-12=3(x 31,所以 厂1 2)(x十2)，因为xE f'(x)0,故f(x)在 31上单调 1 递减，所以)的最大值为f(号） 号或小值为f0)=-10 4.(-∞，0)U(0,+∞) 解析：f'(x)=(x一c)2十2x(x一 c)=3x2-4cx十c2.由题意知f'(x) 有变号零点，∴△=16c2-12c2= 4c2>0,解得c≠0，即c∈(-∞，0)U (0,十∞). 关键能力提升… 例1ABD对于A,由题中图象知，当 x∈(-1,3)时，f'(x)>0,此时y= f(x)单调递增，故A正确；对于B,当 x∈(3,5)时，f(x)<0,此时y= f(x)单调递减，故B正确；对于C, x=0的附近左右两侧导函数符号不 变，故C错误；对于D,当x∈(3,5)时， f'(x)<0,当x∈(5，十o∞)时， f'(x)>0,则函数y=f(x)在x=5 处取得极小值，故D正确.故选ABD. 例2解：：f'(x)= -2x2+(a+4)x-2a e -2x十a)(x-2),令f'(x)=0,解 得x1=2,x:=2 ①若a<4,可得当x<号或x>2 时，(x)<0,当 a <x<2时， f(x)>0, 所以fx)在(0，)，2，+∞)上 单调递减，在(22）上单调递增。 所以fx)的极小值为f(号)= f(x)的极大值为f(2)= 8-a e21 ②若a=4,则f'(x)≤0，所以函数 f(x)在R上单调递减，无极值. 国若a>4,当x<2或x>号时， fx)<0,当2<x<号时， f(x)>0, 所以fx)在(-0,2).(g+∞）上 单调递减，在(2，号)上单调递增， 所以f(x)的极小值为f(2)= 8-a e f(x)的极大值为（号）= 综上，当a<4时，f(x)的极小值为 fr(?)=兰fa)的极大值为f2 0= 8-a e 当a=4时，函数f(x)无极值； 当a>4时，f(x)的极小值为f(2)= 8-a ,f(x)的极大值为 e (2)= 例3解：方法一 f(x)的定义域为R, 且f'(x)=e-a. 若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R 恒成立， 可知f(x)在R上单调递增，无极值， 不合题意； 若a>0,则令f'(x)>0,解得x≥ lna,令f'(x)<0,解得x<lna, 可知f(x)在(-o,lna)上单调递减， 在(lna,十∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(lna)= alna一a3,无极大值. 由题意，可得f(lna)=a-alna一 a3<0,即a2+lna-1>0. 构建g(a)=a2十lna-1,a>0,则 g'(a)=2a+1>0, 可知g(a)在(0，十o∞)上单调递增，且 g(1)=0, 不等式a2+lna-1>0等价于 g(a)>g(1),解得a>1, 所以a的取值范围为(1，十o∞). 方法二f(x)的定义域为R,且 f'(x)=e-a. 若f(x)有极小值，则f'(x)=e一a 有零点， 令f'(x)=e-a=0,可得e=a, 可知y=e与y=a的图象有交点，则 a>0. 当a>0时，令f'(x)>0,解得x> lna,令f'(x)<0,解得x<lna, 可知f(x)在(-o∞，lna)上单调递减 在(lna,十o∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(lna)=a-alna a3,无极大值，符合题意。 由题意，可得f(lna)=a-alna a3<0,即a2+lna-1>0. 设g(a)=a2十lna-1,a>0, 因为y=a',y=lna-1在(0，十∞) 上单调递增， 可知g(a)在(0，十∞)上单调递增，且 g(1)=0, 不等式a2+lna-1>0等价于 g(a)>g(1),所以a>1, 所以a的取值范围为(1，十∞). 对点训练1(1)BC由题图知，当x∈ (-∞，一2)时，g(x)>0,所以 f(x)<0;当x∈(-2,0)时， g(x)<0,所以f'(x)>0;当x∈(0， 1)时，g(x)<0,所以f'(x)<0;当 x∈(1，十∞)时，g(x)>0,所以 f(x)>0,所以函数f(x)在(-o∞， 一2)，(0,1)上单调递减，在(-2,0)， (1,十∞)上单调递增.故(x)有三个 极值，点，极小值为f(一2)和f(1),极 大值为f(0).故选BC. (2)B由题意，得f()=2+2ax 3,x>0,∴.f(2)=4a-2=0,解得a= )=2hx+-3, 1 fx)=兰+x-3=-1-2 .f(x)在(0,1)，(2，+o∞)上单调递 增，在(1,2)上单调递减，∴.f(x)的极 大准为0)=号-3=号故选B (3)(1,十∞) 解析：由题可得∫(x)的定义域为 (0,十∞)，f'(x)= b -1= x -x2十ax-b,因为x=1是f(x)的 x? 极小值，点，所以f'(1)=-1十a一b= 0→a=b十1，所以f'(x)= 二x2+6+1x-b==(x-1)x-b, 若b0,令f'(x)>0→x∈(0,1)，令 f'(x)<0→x∈(1，十∞)，则f(x) 在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单 调递减，得x=1是f(x)的极大值点， 不满足题意；若0<b<1,令f'(x)≥ 0→x∈(b,1),令f'(x)<0→x∈ (0,b)U(1,十∞)，则f(x)在(b,1) 上单调递增，在(0，b),(1,十∞)上单 调递减，得x=1是f(x)的极大值点， 不满足题意；若b=1,则f'(x)= 工-1)≤0（当且仅当x=1时等 x 号成立)，f(x)在(0，十∞)上单调递 减，无极值，点，不满足题意；若b>1,令 f'(x)>0→x∈(1，b),令f'(x)< 0→x∈(0,1)U(b,十∞)，则f(x)在 (1,b)上单调递增，在(0,1)，(b,十∞) 上单调递减，得x=1是f(x)的极小 值点，满足题意.综上，若x=1是 f(x)的极小值点，则b>1. 例4解：：f(x)=x3十ax2十1， .f'(x)=3x2十2a.x. -455- 令f'(x)=0,可得x=0或x= <a<00<-3a<1. 2 当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情 况如下表所示. o-÷) f(r) 0 f(x)1单调递减 高+ 单调递增4十 f(x)在(0- )上单别递减，在 (子)上单调遥增。 :-<a<0… 1 <a十2<2. 当a十2<1，即-名<a<-1时， f(x)max=f(0)=1; 当a+2≥1，即一1≤a<0时， f(x)x=f(1)=a十2. 综上当多之a<1时，f(x)的最 大值为1；当-1≤a<0时，f(x)的最 大值为a十2 例5一4（答案不唯一，满足一10<a< 一3的任意整数均可) 解析：由f(x)=3x2-2lnx十(a 1Dx+3可知，f'(x)=6x-2+a 1=6x+(a-1)x-2,又fx) 3x2-21nx+(a-1)x+3在(1,2)上 有最小值，所以f'(x)在(1,2)上有变 号零点且在零点附近两侧的函数值左 负右正.令h(x)=6x2十(a-1)x 2,则h(x)在(1,2)上有变号零，点且在 零，点附近两侧的函数值左负右正，所以 △=(a-1)+4×6×2>0, {h(1)=6+a-1-2<0, h(2)=6×4+2(a-1)-2>0, 解得-10<a<-3.又因为a∈Z,所 以a∈{a∈Z-10<a<-3,则a 的一个取值可能是一4.（答案不唯一） 对点训练2(1)A由题意，得'(x)= 2 rsin x十x2cosx十2cosx-2 xsin x= x+2eosx.当xe[受]时， f(x)≥0，f(x)单调递增；当x∈ (受]时，fx)<0fx)单调递 减.又因为()=于f() 4,f(π)=-2x,所以f(x)的最 大值与最小值分别为不与一2，故 选A 参考答案“☑。 (2)[0,十∞) 解析：因为f(x)=(x一1)e十ax2 所以f'(x)=xe十2ax=x(e十 2a),若a≥0，则x∈(-o∞，0)时， f'(x)<0,故f(x)在(-∞，0)上单 调递减，x∈(0，十∞)时，'(x)>0, 故f(x)在(0，十∞)上单调递增，所以 当x=0时，f(x)有最小值f(0)= 一1，满足题意：若a<0,则当x无限 趋近于负无穷时，f(x)无限趋近于负 无穷，∫(x)没有最小值，不符合题意. 综上，实数a的取值范围为[0，十∞) 微专题一 不等式的证明 关键能力提升 例1解：(1)f'(x)=2x-a+1, 依题意，f'(1)=2×1-a十1=0， 解得a=3, 经检验符合题意，所以α=3. (2)证明：由(1)可知，f(x)=x2 3x十lnx, 要证f(x)=x2-3x十lnx≤2x2 4x,即证x2-x-lnx≥0. 设g(x)=x2-x-nxx>0,则 g(x)=2-1-1=z-10(2x+1D 所以当x∈(0,1)时，g'(x)<0, g(x)单调递减， 当x∈(1，十o∞)时，g'(x)>0,g(x) 单调递增， 当x=1时，g(x)取得极小值，也是最 小值 因为g(1)=0,所以g(x)≥g(1)= 0,所以f(x)≤2x2一4x. 对点训练1证明：因为x>0,所以 √>0，要证明f(x)<x,只需要证 明lnx<√元，即证lnx-√x<0. 令h(x)=lnx一√x,则h'(x)= 1 -1=2-@ x 2√x 2x 当0<x<4时，h'(x)>0,此时h(x) 在(0,4)上单调递增， 当x>4时，h'(x)<0,此时h(x)在 (4,十∞)上单调递减， 故h(x)在x=4处取得极大值也是最 大值，故h(x)h(4)=ln4-20, 所以lnx一√x<0恒成立，即原不等 式成立， 所以函数y=f(x)的图象位于直线 y=x的下方. 例2解：(1)f'(x)=￡-a(x>0). ①若a≤0，则f'(x)>0,f(x)在 (0,十∞)上单调递增： ②若a>0,则当0<x< 时， f'(x)>0,当x>e时，f'(x)<0, 2对勾·讲与练·高三数学 故f(x)在(0，）上单调递增，在 (,十）上单调递减。 (2)证明：因为x>0,所以只需证 f)-2 当a=e时，由(1)知，f(x)在(0,1)上 单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 所以f(x)mx=f(1)=-e. 记g(x)=g-2e(x>0). 则g'(x)=x-1)e T? 所以当0<x<1时，g(x)<0,g(x) 单调递减， 当x>1时，g'(x)>0,g(x)单调递 增，所以g(x)i=g(1)=一e. 综上，当x>0时，f(x)≤g(x),即 f(x)≤g-2e, 即xf(x)-e十2ex≤0得证. 对点训练2证明：当x>0时，要证 x)<xe+是，只需证ex-lnx< e即ezFe<nx十e 令h(x)=lnx十 (x>0,则 ex h'(x)=ex-1 易知h(x)在(0，）上单调递减，在 (日，十…)上单调递增， 则A(x)a=h(日）=0，所以1nx+ 再令p(x)=ex-e,则p'(x)=e e,易知(x)在(0,1)上单调递增，在 (1,+∞)上单调递减， 则9(x)ms=9(1)=0,所以ex e≤0. 因为h(x)与9(x)不同时为0，所以 cr-。<hx+故原不等式成立. 例3解：(1)x>sinx,x∈(0,2). 证明如下： 令g(x)=x-sinx,x∈(0,2)，则 g(x)=1-cos x >0, g(x)在(0,2)上单调递增，g(x)> g(0)=0,即x∈(0,2)时，x>sinx, (2)证明：由(1)得x∈(0,2)时， <e, 2十工，只 因此要证x∈(0,2)，e<2-左 需证e<2-x 2+工，即证e(2-x） (2十x)<0. -456- 令f(x)=e(2-x)-(2十x),x∈ (0,2),则f'(x)=e(1-x)-1. 令g(x)=e(1-x)-1, 则g'(x)=-xe. x∈(0,2)，g(x)<0, ·g(x)在(0,2)上单调递减， g(x)<g(0)=0,即(x)<0, ·f(x)在(0,2)上单调递减， .f(x)<f(0)=0, .e(2-x)-(2十x)<0, 当x∈(0,2)时，em<2十2 2-x1 【考教衔接】不等式“e≥x+1> x-1≥lnx”的推广及应用 典例解：(1)因为f(x)=a(e十a)一 x,定义域为R,所以(x)=ae-1. 当a≤0时，由于e>0,则ae≤0， 故f'(x)=ae-1<0恒成立， 所以f(x)在R上单调递减. 当a>0时，令f(x)=ae-1=0, 解得x=-lna, 当x<-lna时，f'(x)<0,则f(x) 在(-∞，一lna)上单调递减： 当x>-lna时，f'(x)>0,则f(x) 在(-lna,十o∞)上单调递增. 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递 减；当a>0时，f(x)在(-o,-lna) 上单调递减，在（一lna,十∞）上单调 递增. (2)证明：证法一由(1)得， f(x)min =f(-In a)=a(e+a)+ In a 1+a2+In a. 要证fx)>2ha+号，即证1+。2+ 3 1 lna>2na+之，即证a2-2 lna>0恒成立. 令g(a)=lna-a十1(a>0),则 ga)=日-1=1。所以当0< a a<1时，g'(a)>0,当a>1时， g'(a)<0,所以g(a)在(0,1)上单调 递增，在(1，+∞)上单调递减，所以 g(a)≤g(1)=0,则lna≤a-1,故 -lna≥1-a, 所以a-号-lha≥a2-a+号 从而原不等式得证. 证法二令h(x)=e-x-1,则 h'(x)=e-1,由于y=e在R上单 调递增，所以h'(x)=e一1在R上单 调递增.又h'(0)=e°-1=0，所以当 x<0时，h(x)<0,当x>0时， h'(x)>0,所以h(x)在(-∞，0)上单 调递减，在(0，十∞)上单调递增，故 h(x)≥h(0)=0,则e≥x十1，当且