2.2 函数的单调性与最值-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

2硒内·讲与练·高三数学 A.f:AB,y=f(x) 创新解读 B.f:B→A,y=f(x) 本题考查函数的定义，需要学生对函数定义 C.f:A→B,x=f(y) 中的几个关键点深刻理解，才能将正确选项全部 D.f:B→A,x=f(y) 选出，如C选项考查A中的每一个元素在B中都 听课记录 有唯一确定元素与之对应，体现新高考对基础概 念深入考查的特点和趋势」 温馨提示) 学习至此，请完成课时作业6 2.2 函数的单调性与最值 考试要求 1.会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 020 教材回扣。 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上 或 1.函数的单调性 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间 (1)单调函数的定义 具有（严格的）单调性， 叫做y=f(x) 项 的单调区间. 增函数 减函数 目 2.函数的最值 一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果对于 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实 前提 定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的 数M满足 值x1,x2 (1)Hx∈D,都有 (1)Vx∈D,都有 当x1<x2时，都有 当x1<x2时，都有 条件 定 ,那么就称函数f(x) ,那么就称函数f(x) (2)3x。∈D,使得 (2)3x。∈D,使得 义 在区间I上 在区间I上 特别地，当函数f(x) 特别地，当函数f(x 结论 M为最大值 M为最小值 在它的定义域上 在它的定义域上 时，我们就称它是 时，我们就称它是 回教材拓展 增函数 减函数 1.函数单调性的等价定义 设任意x1,x2∈D(x1≠x2),则 y=f(x) y (1)fx)-f(x2) f(x2) y=f(x) x1一x2 >0(或(x1-x2)[f(x) 象 :f) fx )fx2) f(x2)门>0)台f(x)在D上单调递增】 描 X2 述 (2)fx)-f) x1-x2 <0(或(x1-x)[f(x) 自左向右看图象是 自左向右看图象是 f(x2)门<0)台f(x)在D上单调递减. 第二章函数的概念与基本初等函数 进 2.有关单调性的常用结论 (4)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈ 在公共定义域内，增函数十增函数=增函数；减函 D,且x1≠x2有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]> 数十减函数=减函数；增函数一减函数=增函数；减函 0,则函数f(x)在区间D上是增函数.( 数一增函数=减函数. 2.(人教A版必修第一册P86T7(1)改编)函数 基础检测。一 f(x)=√x2一2x的单调递增区间是 1.判断（正确的画“√”，错误的画“×”） (1)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则 3.(人教A版必修第一册P81例5改编)函数 f(x)为增函数. ( f(x)= x二x∈[2,6])，则f(x)的最小值 2 (2)函数y=f(x)在[1，+∞)上是增函数，则 为 ,最大值为 函数的单调递增区间是[1，十∞). 4.(苏教必修第一册P122T4改编)若f(x)是定 (3)函数y=1的单调递减区间是（一∞，0）U 义在(-3,6)上的减函数，且f(2x+1)> (0,+∞). f(5),则x的取值范围为 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1确定函数的单调性 命题角度1求函数的单调区间 【例1】(1)(2024·广东深圳三模)函数y= 一x2+4x+5|的单调递增区间是 021 (2)函数y=(-x2十4.x)的单调递增区间是 、 听课记录 规律总结 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域 内求单调区间 2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图 象法：③利用已知函数的单调性：④导数法， (2)函数y=f(g(x)的单调性应根据外层函 命题角度2利用定义证明函数的单调性 数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵 循“同增异减”的原则. x-7a≠0)在 ax 【例2】试讨论函数f(x)= 易错警示：不连续且单调性相同的单调区间要 (-1,1)上的单调性. 分开写，且用“，”或“和”连接，不能用“U”连接. 听课记录 【对点训练1】(1)设函数f(x)在R上为增函 数，则下列结论正确的是 () 1 A.y=子)在R上为减函数 B.y=f(x)|在R上为增函数 T在R上为增函数 1 C.y=- D.y=一f(x)在R上为减函数 2勾·讲与练·高三数学 (2)函数f(x)=- x二2的单调递增区间是 考点3函数单调性的应用 ( 命题角度1 比较函数值的大小 A.(2,+∞) B.(-∞，2) 1 【例4】已知f(x)=2- x-7a=f(2),b= C.(-2,2) D.(-∞，2)，(2，+∞) f(5),c=f(5),则 考点2求函数的最值（值域） A.a>b>c B.a>c>b 【例3】(1)已知函数f(x)=x2-2x+3,则 C.cab D.c>b>a f(x)在区间[0,4]上的值域为 听课记录 (2)函数f(x)=√6-x-3.x在区间[2,4]上 的最大值为 ,最小值为 听课记录 命题角度2解不等式 【例5】若函数f(x)的定义域为R,且对Hx1, x2∈R,x1<x2,有f(x1)-f(x2)<x2 规律总结· 022 x1,则不等式f(x)一f(2一x)十2x>2的解 1.求函数最值（值域）的三种基本方法 集为 () (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调 A.(-1,+∞) B.(0,十∞) 性求最值（值域） C.(1,+∞) D.(2,+∞) (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高 听课记录 点、最低点，求出最值（值域） (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备 “一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 (值域). 2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区 间上的单调性或极值，然后结合端点函数值求出最 值（值域）. 【对点训练2】(1)函数f(x)= 2 2x+1十x2的 命题角度3求参数的取值范围 定义域是[0,2]，则其值域为 【例6】(2024·陕西渭南二模)已知函数f(x)= (2)已知函数y=x一2√元，则函数的值域为 x2-2a.x,x≥1， 2x-1,x<1 是R上的增函数，则实数a (3)对于任意实数a,b,定义max{a,b}= a0≥设函数fx)=x1,g(x)=月 的取值范围是 b,a<6. (x≠0)，则函数h(x)=max{f(x),g(x)} Ao》 (x>0)的最小值为 C.(0,1) D.(0,1] 第二章函数的概念与基本初等函数 听课记录 (2)(2024·新课标I卷)已知函数f(x)= -x2-2ax-a,x<0, 在R上单调递增，则 e+ln(x+1),x≥0 a的取值范围是 () A.(-∞，0] B.[-1,0] 规律总结 C.[-1,1] D.[0,+∞) 1.比较函数值的大小时，先转化到同一个单调 (3)(2024·陕西西安模拟)已知函数f(x)= 区间内，然后利用函数的单调性解决 1 2.求解函数不等式时，由条件脱去“f”,转化为 2r1x<0, 自变量间的大小关系，应注意函数的定义域。 则不等式f(a2-1)>f(3)的 3.求参数的值（范围）时，根据单调性直接构建 x+2x≥0， 参数满足的方程（组）（不等式（组）)或结合图象求 解集为 解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. A.(-2,2) B.(0,十∞) 【对点训练3】(1)已知函数f(x)=lgx一 C.(-∞，0) f(m)=1,且0<p<m<n,则 D.(-∞，-2)U(2,+∞) A.f(n)<1且f(p)>1 B.f(n)>1且f(p)>1 温馨提示) C.f(n)>1且f(p)<1 学习至此，请完成课时作业7 D.f(n)<1且f(p)<1 023 2.3 函数的奇偶性、周期性 考试要求 1.了解函数的奇偶性、周期性的概念和几何意义. 2.掌握函数的奇偶性、周期性的简单应用. 必备知识回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数∫(x)的定义域 1.函数的奇偶性 为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个 奇偶性 定义 图象特点 x∈D都有x+T∈D,且 ,那么 般地，设函数f(x)的定义域 函数y=∫(x)就叫做周期函数，非零常数T叫 关于 为D,如果Vx∈D,都有 做这个函数的周期。 偶函数 x∈D,且 ,那么函 (2)最小正周期：如果在周期函数∫(x)的所有 对称 数f(x)就叫做偶函数 周期中存在一个 的正数，那么这个 一般地，设函数f(x)的定义域 就叫做∫(x)的最小正周期. 关于 为D,如果Hx∈D,都有 奇函数 回教材拓展 x∈D,且 ,那么函 对称 1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调 数f(x)就叫做奇函数 性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.:e(1,]u [合)时，可得1<2x,解释> 是成x<所以x∈(-1 -)U(分)：当x≥1，即x≥ 1或x-1时，则2x=2x≥ 2>1,可得x2<(2x)2=4x2,符合题 意.综上所述，不等式f(x)<f(2x)的 解象是(0，-)U(合，+)： 【高考创新方向深刻理解】 例ABD对于A,y=f(x)=2, Hx∈A,均有唯一确定的f(x),且 f(x)∈(0，十∞)=B与之对应，符合 函数定义，故A符合题意；对于B,y= f(x)=2,Hx∈B,均有唯一确定 的f(x),且f(x)∈(1，十∞)三A, 符合函数定义，故B符合题意；对于C, x=f(y)=log2y,取y=1∈A,但 x=0任B,不符合函数定义，故C不 符合题意；对于D,x=f(y)=log2y, Hy∈B,均有唯一确定的f(y),且 f(y)∈R=A,符合函数定义，故D符 合题意.故选ABD. 2.2函数的单调性与最值 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)f(x1)<f(x2)单调递增单 调递增f(x1)>f(x2)单调递减 单调递减上升的下降的(2)单 调递增单调递减区间 2.f(x)≤Mf(xo)=Mf(x)≥ M f(x)=M 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.[2,十o∞) 解析：由题意可知x2一2x≥0，解得 x≤0或x≥2，所以函数f(x)的定义 域为(-∞，0]U[2,十o∞)，设y=√m, u=x2-2x,二次函数u=x2-2x的 单调递增区间是(1，十∞)，单调递减 区间是（一∞，1），所以f(x)的单调递 增区间是[2，十©∞). 3号2 解桥：由于x)=2在[26]上 单调递减，故(x)的最大值为 2)=2,最小值为6)=号 4.{x-2<x<2} 解析：由题意2x十1>-3， f2x十1<5， 解得-2<x<2. 关键能力提升 例1(1)(-1,2)，(5，十0∞) 解析：函数y=-x2+4x+5= -x2+4x+5,x∈[-1,5]， x2-4x-5,x∈(-0∞，-1)U(5,+∞)， 由-x2十4x十5|=0，解得x=-1 或x=5, 函数y=一x2十4x十5的图象如图 所示， -1025x 由图可知，函数y=-x2+4x十5的 单调递增区间为(-1,2)，(5，十∞). (2)[0,2] 解析：y=(-x2十4x)= √一x十4x,由-x2十4x≥0，解得 0≤x≤4，令u=-x2+4x=-(x 2)2十4，当x∈[0,2]时单调递增，当 x∈[2,4]时单调递减，又y=u三在 u∈[0，十o∞)时单调递增，所以函数 y=(-x2十4x)2的单调递增区间是 [0,2]. 例2解：方法一（定义法) 设-1<x1<x2<1,因为f(x)= a-0+） x-1 所以f(x1)-f(x2)= a(x2-x1) (x1-1)(x2-1) 由于-1<x1<x2<1,所以x2 x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时，f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1) 上单调递减； 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1) 上单调递增」 方法二（导数法） f(r)=(az)'(t-D)-ax(z-ly= (x-1)2 a(x-1)-ax= a (x-1)2 (x-1)2 故当a>0时，f'(x)<0,函数f(x) 在（一1,1）上单调递减； 当a<0时，f'(x)>0,函数f(x)在 (一1,1)上单调递增. 对点训练1(1)D对于A,若f(x)= 工，则y=fx)=z,在R上不 -439- 是减函数，故A错误；对于B,若 f(x)=x,则y=f(x)=x,在 R上不是增函数，故B错误；对于C,若 1 f(x)=x,则y=一f(x) =在 R上不是增函数，故C错误；对于D,函 数∫(x)在R上为增函数，则对于任意 的x1,x2∈R,设x1<x2,必有 f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2) 0,对于y=-f(x),则有y1-y2= [-f(x1)]-[-f(x2)]=-[f(x1)- f(x2)]>0,则y=-f(x)在R上为 减函数，故D正确.故选D. (2)D函数f(x)=-1 x-2 的定义 域为{xx≠2}，又f(x)= x-2 的周象是由y=一上的因象向右平移 2个单位长度而来的，y=一 的单调 x 递增区间为（一∞，0），(0，十∞)，所以 f(x)=一 1的单调递增区间为 x-2 (-o∞，2)，(2，十∞).故选D. 例3(1)[2,11] 解析：因为f(x)=x一2x十3= (x一1)十2图象的对称轴为直线x= 1,所以f(x)在区间[0,1]上单调递 减，在[1,4]上单调递增，当x=1时， f(x)m=f(1)=2,当x=4, f(x）x=f(4)=11,所以f(x)在区 间[0,4幻上的值域为[2,11]. (2)-4√2-12 解析：易知函数y=√6一x在区间 [2,4]上单调递减，y=一3.x在区间 「2,4]上单调递减，所以函数f(x)= √6一x一3x在该区间上单调递减，所 以f(x)m=√6-2-3X2=-4, f(x)m=√6-4-3X4=√2-12. 对点训练21)一2,5] 187 解析：由题意知函数y=一2x十1' y=x2均在[0,2]上单调递增，故 f(x)在定义域[0,2]上为增函数，所 以f(x)m=f(0)=-2十0=-2， 2 18 fx)m=f(2》=4千行十4= 51 即fx)的值战为[2,5」 187 (2)[-1,+∞) 解析：令√E=t(t≥0)，则函数变为 y=t2-2t=(t-1)-1,t≥0， 该函数在[1，十∞)上单调递增，在[0， 1)上单调递减，故当t=1时，y取最小 值一1，所以值域为[-1，十∞). 参考答案“☑。 (3)1 解析：令f(x)=g(x),x>0,即 x=子z>0,得x=1,当x 0,1]时，1x=x<1,当x∈ 1 1,十0)时，x=x>正，所以 1 x∈(0,1]， h(x)=x x,x∈(1，十o∞). 当x∈(0,1]时，h(x)单调递减，当 x∈(1，十∞)时，函数h(x)单调递 增，所以当x=1时，h(x）min=1. 1 例4D易知fx）=2一气在 (1,十∞)上单调递增，又5>5> √2，故f(5)>f(3)>f(2),即 c>b>a.故选D. 例5C函数f(x)的定义域为R,且对 Hx1x2∈R,x1<x2,有f(x1) f(x2)<x2-x1,即f(x1)十x1< f(x2)十x2.h(x)=f(x)十x为单 调递增函数，f(x)一f(2一x)十2x> 2,整理得f(x)十x>f(2-x)十2 x,:h(x)=f(x)十x为单调递增函 数，.x>2一x,解得x>1.故选C 1x2-2a.x,x≥1， 例6B由f(x)=a x-1x<1 a≤1， 是R上的增品数，得2>0， -1≤1-2a, 2 4 解得0<a≤行，所以实数a的取值范 图元，】黄运B 对点训练3(1)C:y=gx在(0， 十∞)上单调递增，y= (-o∞，十∞)上单调递减，f(x)在 (0,十o∞)上单调递增.又：f(m)= 1,且0<p<m<n,∴.f(n)>1且 f(p)<1.故选C. (2)B因为函数f(x)在R上单调递 增，且当x<0时，f(x)=一x2 2a.x-a,所以f(x)=-x2-2a.x-a 在(-0∞，0)上单调递增，所以-a≥0， 即a0;当x≥0时，f(x)=e十 ln(x十1)，所以函数f(x)在[0，十o∞) 上单调递增.若函数∫(x)在R上单调 递增，则-a≤f(0)=1,即a≥-1. 综上，实数a的取值范围是[一1,0].故 选B. 2对勾·讲与练·高三数学 1 2+x<0, (3)Af(x) 易知 1 (x+2x≥0， 2中在（一∞，0）上单调递减，y= 1 y= 十2在(0，十©)上单调递减，且 1 f(x)在x=0处连续，故f(x)在R上 单调递减，由f(a2-1)>f(3),则 a2-1<3,解得-2<a<2,故不等 式f(a2-1)>f(3)的解集为(-2， 2).故选A. 2.3函数的奇偶性、周期性 …必备知识回顾 教材回扣 1.f(-x)=f(x)y轴f(一x)= -f(x)原点 2.(1)f(x十T)=f(x)(2)最小最 小正数 基础检测 1.(1)×(2)×(3)/(4)X 2.BC对于f(x)=x1,f(x)的定义域 为R,由f(一x)=(一x)1=x1= f(x),可知f(x)=x1是偶函数，同 是 理可知f(x)=x5,f(x)=x十工 1 奇画数，fx)=是偶画数.故 选BC. 3.-1+x 解析：当x<0时，一x>0, ∴f(-x)=1-Fx,又f(x)为奇 函数，f(x)=-f(-x)=-1十 √E,.当x<0时，f(x)=-1十 √z. 4.04 解析：f(5)=f(1)=(1-1)2=0, r()=+2)=(分) (分-)=子 关键能力提升 8-x2≥0得x2=3, 例1解：1)由x2-3≥0， 解得x=土√3， 即函数f(x)的定义域为{一√5，√5， 从而f(x)=√3-x2+√-3=0. 因此f(-x)=-f(x)且f(-x)= f(x),所以函数f(x)既是奇函数又 是偶函数. (2)显然函数f(x)的定义域为(-∞， 0)U(0,十∞)，关于原点对称. 因为当x<0时，一x>0, -440- 则f(一x)=一（一x)2-x=一x2 x=-f(x); 当x>0时，-x<0,则f(-x)= (-x)2-x=x2-x=-f(x). 综上可知，对于定义域内的任意x,总 有f(-x)=一f(x)成立，所以函数 f(x)为奇函数. (3)显然函数f(x)的定义域为R, f(-x)=log[-x+√(-x)+1]= log2(√x十1-x)= log（√+1+x)1= -log(√x十1十x)=-f(x),故 f(x)为奇函数. 对点训练1(1)B方法一对于A, fx)=e工，定义城为R, x2+1 1一1 f(1)= 安2-)=2，利 f(一1)≠f(1),不符合题意；对于B, fr)=osx+x,定义摄为R. 1+x2 f(-x)=cos-x）+(-x） 1十(-x)2 osx十工=f(x),即f(x)为偶函 1十x2 数，符合题意；对于C,由题意得，f(x) 的定义域为{xx≠一1}，不关于原点 对称，函数f(x)既不是奇函数也不是 偶函数，不符合题意；对于D,f(x)= sim十4红，画数定义城为R, f(-x)=sin(-x）+4(-x)_ e -sinx-4虹=一f(x),即f(x）为 奇函数，不符合题意.故选B. 方法二由题易知y=x2十1和y= e均为偶函数，且恒为正，对于A,由 于y=e一x2既不是奇函数也不是偶 函教，所以f()=e一工既不是奇 x2+1 函数也不是偶函数；对于B,y=cosx十 x是偶函数，所以f(x)=c0sr十 x2+1 是偶函数；对于C,易知∫(x)= 。一工的定义城不关于原点对称，所 x+1 以)=-既不是守西数也不 是偶函数；对于D,y=sinx十4x是奇 函数，所以f(x)=n工十4虹是奇画 e 数.故选B. (2)D因为f(x)为R上的奇函数， g(x)为R上的偶函数，所以f(-x)= -f(x)g(-x)=g(x).对于A,x∈ R,设F(x)=f(x)十g(x),则