3.2 导数与函数的单调性-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

则切点为(-分lh十a),切线方程 为y=2(:+2)+1n2+a=2x+ 1十a-ln2.根据两切线重合，得a ln2=0,解得a=ln2. 对点训练3(1)Cy'= g(x+1)-e,1= xe" (x+1)2 （x+1),当 =1时-宁则南我y一 在点，）处的切线斜率=导，所 以南线y=品在点)是的切 线方程为y-号=宁（红-1D,即y= 十故选C e (2)C因为y=ae2十x,所以y'= ae+1,由题意可得8b=2十。 解得日二32所以a+b=0.故选C b=-3, (3)C对于函数y=e,y=e,则当 x=0时，y=e°=1，又当x=0时， y=e°=1，所以曲线y=e在x=0 处的切线方程为y一1=x,即y=x十 1.设直线y=x十1与曲线y=lnx十 b相切于点(t,lnt十b),对于函数y= 血x十6，共导数为y=士由号教的 几何意又可得}=1，得1=1，所以切 点坐标为(1，b),代入切线方程得b= 1+1=2.故选C. 【高考创新方向多想少算】 例C由题意知f'(x)=cosx,则曲线 在点(x;,sinx;)处的切线斜率k;= c0sx,=n(注意切线过原点)，即 x,=加4=anx,所以n之 1,故A,B错误.同时x;可看作直线 y=x与曲线y=tanx在(0,4π)内 的3个交点的横坐标.作函数y= anx与y=x的图象，如图，设 A(x,tan ),B(x2,tan 2),C(x3, tanx),易知D(x2-r,tanx2), E(x2十π，tanx2).由正切函数图象性 质知kaD<k,得an二anx< x2一π一x1 anr3tan,即2二 x3一x2π 3一9，又x2-元-x1>01 3一x2一π 红对勾·讲与练·高三数学 x2一π>0，所以(x2-x1)(x3-x2- π)<(x一x2)(x2-元-x1),即 x1π十x3π<2πx2,即x1十x3<2x2, 故C正确，D错误.故选C y 1'=X C D B y=tanx E A》 3π/ 0/斤2m/10/4x 3.2导数与函数的单调性 必备知识回顾 教材回扣 1.f(x)>0f(x)<0 基础检测 1.(1)×(2)/(3)×(4)/ 2.C当x∈(-3,0)时，f'(x)<0,故 f(x)在（一3,0）上单调递减，当x∈ (0,2)时，f'(x)>0,故f(x)在(0,2) 上单调递增，当x∈（2,4)时， f'(x)<0,故f(x)在(2,4)上单调递 减，当x∈(4，十∞)时，f'(x)>0,故 f(x)在(4，十∞)上单调递增，显然C 正确，其他选项错误.故选C 3,-2.(号+） 解析：由f(x)=3x2十4x-4= (3x-2)(x十2)>0，得x<-2或 x>2 ,故f(x)的单调递增区间为 ←，-2.（号+） 4.[-3,0] 解析：由题知f'(x)=3x2十2ax a≥0在R上恒成立，所以4a2+12a≤ 0,解得-3≤a0. 关键能力提升 例1(1，十∞) 解析：函数f(x)=2x2-3.x-lnx的 定义域为(0，十∞)，求导得f'(x)= 4x-3-1=4x+1)x-D,由 7” f(x)>0,得x>1,所以f(x)的单 调递增区间为(1，十o∞)， 对点训练1(1)D由f(x)=xsin x十 cosx,可得f'(x)=sinx十E cos x sin z xcosx.f (x)=x cos< 0,当x∈（一π，0）时，由xc0sx<0可 得e0sx>0,解得x∈(，0)：当 x∈(0，π)时，由x cos x<0可得 c0sx<0,解得x∈（行x).因光可 得f(x)在（一π，π）上的单调递减区间 是（受0）和（合）.故选D -452- (2)BC若f(x)=x2一2x,则 f'(x)=2x-2,因为f'(1)=0,所以 A错误.若f(x)=x3一2x,则 f(x)=3x2-2,当x∈[1,2]时， f(x)>0恒成立，所以B正确.若 f(x)=sinx一2x,则f'(x) c0sx一2<0，所以C正确.若f(x)= e一3x,则'(x)=e-3<0在[0， 2]上不恒成立，所以D错误.故选BC 例2解：函数f(x)=ax2-(a十4)x十 2lnx的定义域为(0，十o), f'(x)=2a.x-(a+4)+ 2 x 2a.x2-(a十4)z+2_ (a.x-2)(2x-1) 当a>0时，由f'(x)=0,可得x1= 2 1 :=2 当0<a<4时子>当号<< 2时，f'(x)<0,此时函数f(x)单调 递减， 当0<x<2或x>2时fx)> 0,此时函数(x)单调递增： 当a=4时， 2=2对任意的x>0, 1 f'(x)≥0，此时函数f(x)在(0， 十∞)上单调递增； 当a>4时0<吕<日当名<x< 1 a 时，f'(x)<0,此时函数f(x)单调 1 递减， 当0<x<2或x>2时，f(x)> a 0,此时函数f(x)单调递增 综上所述，当0<a<4时，函数f(x) 在(0)，（后，+）上单调递增， 在（号，）上单润递减： 当a=4时，函数f(x)在(0，十∞)上 单调递增； 当a>4时，函数fx)在(0,2)， (分，+)上单调遥增，在（会·） 上单调递减. 对点训练2解：(1)函数f(x)=ae x十b,求导得'(x)=ae-1,则 f'(0)=a-1,而f(0)=a+b, 因此曲线y=f(x)在x=0处的切线 方程为y-a-b=(a-1)x,即y= (a-1)x+a+b. 依题意，a2十2a-1=a-1十a十b,所 以b-a2=0. (2)由题意知函数f(x)=ae一x十 a,其定义域为R,求导得f'(x)= ae-1. 当a0时，f'(x)<0,f(x)在R上 单调递减； 当a>0时，由f'(x)=ae-1=0, 得x=-lna, 当x<-lna时，f(x)<0,f(x)在 (-o∞，一lna)上单调递减， 当x>-lna时，f(x)>0,f(x)在 (-lna,十∞)上单调递增. 所以当a0时，f(x)在R上单调递 减；当a>0时，f(x)在(-o∞，-lna) 上单调递减，在（一lna,+∞）上单调 递增 1 例3D 因为函数f(x)=2sin2x acos x在(0，π)上单调递增，所以 f'(x)=cos2x十asin x≥0在(0，π) 上恒成立，即1-2sinx十asin x≥0 在(0，π)上恒成立，令t=sinx,x∈ (0,π)，则t∈(0,1]，所以a≥2t- 1 在(0,1]上恒成立.又因为y=2t 在(0,1]上单调递增，所以当t=1时， ymw=1,故a≥1.故选D. 例4(1)A由f(x)=x sin x,x∈R, 得f'(x)=sinx十x cos x,当0< x<时，f'(x)>0,所以f(x)在 (0,受）上单调递增，因为受> 1> 牙>0，所以f()>f1) 7 ()故选A (2)B g(x)=f(x)-1=sin x- x,则g'(x)=c0sx-1≤0，所以函数 g(x)在R上单调递减，因为g(一x)= sinx十x=一g(x),所以函数 g(x)为奇函数，由f(m2)十f(3m十 2)>2,得f(m2)-1>-f(3m+2)+ 1=-[f(3m+2)-1],即g(m2)> -g(3m十2)=g(-3m-2),所以 m2<-3m-2,解得-2<m<-1,所 以不等式f(m)十f(3m十2)>2的解 集为（一2，一1）.故选B. 【考教衔接】 泰勒展开式 典例A 由题意知a= 31 ,由泰勒展开 32 式，得cosx≈1 2! ,s1nx≈ 2 一，所以b=c0s 1 3 ≈1 1 1 1 31 1 1 2 16 24 256 32 24 256 c=4s子≈4×(-× 十 高×)-1-×高 1 11 195,1、 1 256=96+120×256,所以a<b<c. 故选A. 对点训练31C存在：∈（年， ),且x≠x:使得f)= f红，等价于函载f八x)在（至，行】 上不是单调函数，易知f(x)=acosx一 sinx,若函数f(x)为单调递增函数， 则f'(x)≥0恒成立，即acos z-sinx≥ 0,所以a≥ sin工=tanx在x∈ cos x (牙，)上恒成立，则a≥5；同理， 若函数∫(x)为单调递减函数，则 f(x)≤0恒成立，得a≤1.故若函数 fx)在（至·）上不单洞，则1< a<√3.故选C. (2)(-∞，2) 解析：因为函数f(x)=x一sinx,所 f(-x)=-x+sinx=-f(x), 即函数f(x)是定义在R上的奇函数， 又'(x)=1一cosx≥0，则函数 f(x)为增函数，则不等式f(x十1)十 f(1-2x)>0等价于f(x+1)> -f(1-2x)=f(2x-1),即x+1> 2x一1，解得x<2,所以原不等式的解 集为(-0∞，2). 3.3导数中的函数构造问题 …关键能力提升… 例1B设F(x)=fx), x一x≠0，则 F'(x)='x）f).周为当 x>0时，xf'(x)一f(x)<0,所以当 x>0时，F(x)<0,即F(x)在 (0,十∞)上单调递减.由于f(x)是奇 函数，所以F(-x)=二x》= fx）=F(x),又F(x)的定义城为 (一∞，0)U(0,十∞)，关于原点对称， 所以F(x)是偶函数，所以F(x)在 (一0∞，0)上单调递增.又f(1)= 一f(一1)=0，所以当x<-1或x> 1时，F(x)=f<0:当-1<x< 0或0<x<1时，F(x)=>0, 所以当一1<x<0或x>1时， f(x)<0,即不等式f(x)<0的解集 为(-1,0)U(1,十∞).故选B. -453- 例2AC拘造Fr)=f四，则F'() e e'f'()-e'f(z)f'(x)-f(a) e e 又导函数f'(x)满足f'(x)<f(x), 则F'(x)<0,F(x)在R上是减函数， 故>02>四>12所 e-1 el 以f(2)<ef(0),ef(-1)>f(1). 故选AC. 例3c◆e)=e(e）周 g(x)=osx·fx)+sinx·f(x) cos'x 因为cosx·f(x)十sinx·f(x)0, 所以g'(x)<0,则g(x)= fx）在 cos x (0,)上单调递减，所以 () os3 () (） () 即 1 f() () 故巨f()> 2 2 f()()>().故 选C. 对点训练1(1)B设g(x)=f(x) x2,则g'(x)=f'(x)-2x>0,所以 g(x)在R上单调递增.又f(2)=5, 所以g(2)=f(2)-22=1,不等式 f(x)>x2+1,即f(x)-x2>1,即 g(x)>g(2),所以x>2,即不等式 f(x)>x2十1的解集为(2，十∞).故 选B. (2)A设g(x)=ef(x),则g'(x)= e[f(x)十f'(x)]>0,故g(x)在R 上单调递增.又g(0)=e°f(0)=0,故 f(x2十4x-5)>0可转化为 e2+1-5f(x2十4x-5)>0,即g(x2+ 4x-5)>g(0).由g(x)在R上单调 递增可得x2十4x-5>0,解得x< -5或x>1,即不等式f(x2十4x 5)>0的解集为(-∞，-5)U (1,十o∞).故选A. 3(若)U(g 舒折：令g)=2∈（一 0)U(0,π)，则g'(x)= f(x)sinx-fx)cos工，：当x∈ sin'x (0,π)时，f'(x)sinx-f(x)cosx 0,∴在(0，π)上，g(x)<0,函数 g(x)在(0，π)上单调递减.y= 参考答案“☑。红圈内·讲与练·高三数学 3.2导数与函数的单调性 考试要求 1理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性 2.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 必备知识回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 (2)在(a,b)内f'(x)≤0且f'(x)=0的根为 有限个，则f(x)在(a,b)内单调递减.() 1.函数的单调性与导数的关系 (3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0, 般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的 则∫(x)在定义域上一定单调递增.() 正负之间具有如下的关系：在某个区间(a,b) 内，如果 ,那么函数y=f(x)在区间 (4)函数f(x)=x一sinx在R上是增函数. (a,b)内单调递增；如果 ,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内单调递减. 2.(人教A版选择性必修第二册P87T3改编)函数 2.利用导数判断函数f(x)单调性的步骤 y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则 第1步，确定函数f(x)的定义域和导数f'(x); 下列判断中正确的是 第2步，求出导数f'(x)的零点； 058 第3步，用(x)的零点将f(x)的定义域划分为若 干个区间，列表给出∫(x)在各个区间上的正负， 由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 01274 回教材拓展 A.f(x)在(-3,1)上单调递增 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增，则x∈(a, B.f(x)在(1,3)上单调递减 b)时，f'(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a,b)上单调 递减，则x∈(a,b)时，f'(x)≤0恒成立. C.f(x)在(2,4)上单调递减 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间，则 D.f(x)在(3，十∞)上单调递增 x∈(a,b)时，f(x)>0有解；若函数f(x)在(a,b)上存 3.(人教A版选择性必修第二册P97习题5.3T2 在单调递减区间，则x∈(a,b)时，f'(x)<0有解. 改编)函数f(.x)=x3十2x2-4x的单调递增区 基础检测 间是 1.判断（正确的画“/”，错误的画“X”) 4.(人教A版选择性必修第二册P89T2改编)若函 (1)函数f(x)在(a,b)内单调递增，那么一定 数f(x)=x3+a.x2一a.x在R上单调递增，则实 有f'(x)>0. ( 数a的取值范围是 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1不含参函数的单调性 听课记录 【例1】(2024·湖南怀化二模)已知f(x) 2x2一3.x-lnx,则f(x)的单调递增区间为 第三章一元函数的导数及其应用 讲 4规律总结 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单 调性的步骤即可，但应注意：一是单调性应在函数的 定义域内讨论；二是多个单调性相同的单调区间之 间不能用并集，要用“，”或“和”隔开 【对点训练1】(1)定义在区间（一元，元）上的函数 f(x)=xsin x十cosx,则f(x)的单调递减 区间是 A.o,)U(x,-2) 4规律总结1 B(0,5)和(x,-》 1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对 不等式解集的影响进行分类讨论。 c(←，o)U(5x 2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内 讨论，还要确定导数值为零的点和函数的间断点. D(←o)和（受 3.若导函数为二次函数式，首先看能否因式分 解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能 (2)(多选)(2024·山西晋城一模)若一个函数 因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的 在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D 正负，两根的大小及根是否在定义域内. 上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值 恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则 【对点训练2】已知曲线y=f(.x)=ae一x+b 059 ( 在x=0处的切线过点(1，a2+2a一1)， A.函数f(x)=x2一2x在[1，十∞)上纯粹 (1)试求b-a2的值； 递增 (2)讨论∫(x)的单调性， B.函数f(x)=x3一2x在[1,2]上纯粹递增 C.函数f(x)=sinx-2x在[0，l]上纯粹 递减 D.函数f(x)=e-3.x在[0,2]上纯粹递减 考点2含参函数的单调性 【例2】已知函数f(x)=a.x2-(a+4)x+2lnx, 其中a>0,讨论f(x)的单调性. 听课记录 红通内·讲与练·高三数学 考点3函数单调性的应用 规律总结1 1.根据函数单调性求参数的方法 命题角度1 求参数的取值范围 (1)f(x)在(a,b)上为增（减）函数的充要条件 【例3】(2024·江苏泰州模拟)若函数∫(x)= 是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤ sin2x一s在(0，x)上单调递增，则a的 0),且在(a,b)的任一非空子区间上，f'(x)不恒为 零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. 取值范围是 ( (2)函数在区间(ab)上存在单调区间，实际上 A.(-∞，-1] B.[-1,+∞) 就是f'(x)>0(或f(x)<0)在该区间上存在解集. C.(-∞，1] D.[1,+∞) (3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调，则 听课记录 转化为f'(x)=0在(a,b)上有解（需验证解附近左 右两侧导数是否异号). 2.利用导数比较大小或解不等式，其关键是判 断已知（或构造后的）函数的单调性，利用其单调性 比较大小或解不等式： 考教衔接 泰勒展开式 1.教材母题：（人教A版必修第一册P256T26) 命题角度2比较大小或解不等式 英国数学家泰勒给出如下公式： 【例4】(1)已知函数f(x)=xsin x,x∈R,则 x sinx=x-3+7对+…， 060 f()1),(贺)的大小关系为 cos 2=1- 十… Af()>f1)>f() 其中n!=1×2×3×4×…×n. 这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多 B.f)>(5)>f() 的项就可以确保显示值的精确性.比如，用前三项 C.f(5）>f1)>f() 计算c0s0.3,就得到c0s0.3≈1-3+0.3 21 T4！ 0.9553375. D.()>f()>f) 试用你的计算工具计算cos0.3,并与上述结果 (2)已知f(x)=sinx-x+1,则不等式 比较 f(m2)+f(3m+2)>2的解集为 ( 2.常见的泰勒展开式 A.(-3,0) (1)e=1+x+ 22 十… 2!T3！ n! B.(-2,-1) C.(-0∞，-3)U(0,+∞) (2)n(x+1)=x 3 4十…+(-1). D.(-∞，-2)U(-1,+∞) x” 十… 听课记录 (3)sin =x- x 3!5171+…+(-1)1. 22-1 (2n-1)！ 22 (4)c0sx=1 2+ 4！一 61+…+(-1)-1. 22m-2 (2n-2)！ 十 第三章一元函数的导数及其应用 进 3.泰勒展开式将各种类型的函数（指数函数、对数函 【对点训练3】(1)(2024·云南昆明模拟)已知函 数、正弦函数、余弦函数等)与多项式函数联系起 数f(x)=asin x十cosx,若存在x1,x2∈ 来，这样在局部可以用多项式函数近似替代其他 函数，我们主要用其比较大小。 (任》且≠x使得fx)=fx.则 实数a的取值范围是 () 【典例】 已知a= 31 6=cos =4sn7,则 1 A.(-∞，1] ( B.[5,+o∞) A.c>6>a B.b>a>c C.(1,3) C.a>b>c D.a>c>b D.[1,W3] 听课记录 (2)已知函数f(x)=x一sinx,则不等式 f(x+1)+f(1-2x)>0的解集是 温馨提示) 学习至此，请完成课时作业18 3.3导数中的函数构造问题 考试要求 会根据已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式等问题. 061 关键能力提升 互动探究·考，点精讲 考点1通过导数的运算法则构造函数 命题角度2 利用f(x)与e构造函数 命题角度1利用f(x)与x”构造函数 【例2】（多选）已知f(x)是定义在(-∞，十∞) 【例1】设函数f(x)是奇函数f(x)(x∈R)的 上的函数，导函数f'(x)满足f'(x)<f(x) 导函数，f(-1)=0,当x>0时，xf'(x) 对于x∈R恒成立，则 () f(x)<0,则不等式f(x)<0的解集为 A.f(2)<ef(0) ( B.f(2)>e2f(0) A.(-∞，-1)U(0,1) C.e2f(-1)>f(1) B.(-1,0)U(1,+∞) D.e2f(-1)<f(1) C.(-∞，-1)U(-1,0) 听课记录 D.(0,1)U(1,+∞) 听课记录