2.11 函数模型及其应用-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

红圈内·讲与练·高三数学 【对点训练3】(1)(2024·四川成都二模)已知函 x3x<t 数∫(x)= 若存在m使得关于x的 x,x≥t, B.（∞，- U0,+) 方程f(x)=m有两个不同的根，则t的取值范 围为 ( C.o,- 57 3 U(0,+∞) A.(-1,0)U(0,1) B.(-1,0)U(1,+∞) D. C.(-∞，-1)U(0,1) D.(-∞，-1)U(1,+∞) 温馨提示0 1 (2)已知函数f(x)=log2(x十1)-十m的 学习至此，请完成课时作业15 零点在区间(1,3]上，则m的取值范围为( 】 2.11 函数模型及其应用 考试要求 1.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律 2.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等不同函 数类型增长的含义。 050 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 2.三种函数模型性质比较 1.六种常见的函数模型 项目 y=a y =log.x y=x" (a>1) (a>1) (n>0) 函数模型 函数解析式 在(0，十∞) 一次函数模型 f(x)=ax十b(a,b为常数，a≠0) 上的单调性 随n值变 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常 增长速度 二次函数模型 化而不同 数，a≠0) 随x值增大，随x值增大， 指数型 f(x)=ba十c(a,b,c为常数，a≥ 随n值变 图象的变化图象与 图象与 函数模型 化而不同 0且a≠1，b≠0) 接近平行 接近平行 对数型 f(x)=bloga+c(a,b,c为常数， 回教材拓展 函数模型 a>0且a≠1，b≠0) 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变； f(x)=a.x"+b(a,b,n为常数，a千 “指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数 幂型函数模型 0,n≠0) 爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来 “对勾”函 越小. y=x十4(a为常数，a>0) 数模型 2.充分理解题意并熟练掌握几种常见函数的图象 和性质是解题的关键 第二章函数的概念与基本初等函数 讲 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理 价格元 确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的 合理性. 基础检测。 111213 4时间 1.判断（正确的画“/”，错误的画“×”） A.40万元 B.60万元 (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加 C.80万元 D.120万元 10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售， 3.(人教A版必修第一册P119T5改编)有一组实 则每件还能获利 () 验数据如下表： (2)函数y=2的函数值比y=x2的函数值大 2.01 4.01 5.1 6.12 (3)不存在xo,使a。<x6<logo.( 8.01 15 23.8 36.04 (4)在(0，+o∞)上，随着x的增大，y=a(a> 则最能体现这组数据关系的函数模型是( 1)的增长速度会超过并远远大于y=x“(a> A.y=2x+H-1 B.y=x3 1)的增长速度. ) C.y=2log2x D.y=x2-1 2.(人教A版必修第一册P155T9改编)已知甲、乙 4.(人教B版必修第二册P43例2改编)从盛满 两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所 10L纯硫酸的容器里倒出1L,然后用水填满， 示.假设某商人持有资金120万元，他可以在t1 至14的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够 这样继续下去，第三次填满后的硫酸浓度为 立即成交（其他费用忽略不计）.如果他在14时 051 刻已经卖出所有商品，那么他将获得的最大利 A.70.4% B.67.2% 润是 C.81% D.72.9% 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1利用函数图象刻画变化过程 【例1】(2024·内蒙古赤峰一模)在下列四个图 形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长 为1的图形运动一周，O,P两点连线的距离y 与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点 听课记录 P所走的图形是 2勾·讲与练·高三数学 4规律总结 A.6-1 B.6+1 判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的 2 2 方法 C.5-1 D.W5+1 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模 听课记录 型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢 等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中 排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的 答案 【对点训练1】如图是一个 B 无水游泳池，ABCD- C A'B'CD'是一个四棱 规律总结 M 柱，游泳池是由一个长 ‘A' D 求解已知函数模型解决实际问题的关注点 方体切掉一个三棱柱得 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定 到的.现在向泳池注水，如果进水速度是均匀 系数 的（单位时间内注入的水量不变），水面与AB (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待 的交点为M,则AM的高度h随时间t变化的 定系数的值 图象可能是 【对点训练2】(1)(2024·四川德阳三模)如今我 国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济 052 发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函 B 数关系y=er+(a,b为常数)，若该果蔬在7℃ 考点2己知函数模型解决实际问题 的保鲜时间为288小时，在21℃的保鲜时间为 32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物 【例2】)记水的质量为d三n并且d越大， 流过程中果蔬的储藏温度（假设物流过程中恒 水质量越好.若S不变，且d1=2.1,d2=2.2, 温)最高不能超过 ( 则n1与n2的关系为 () A.14℃ B.15℃ A.n<n2 C.13℃ D.16℃ B.n>n2 (2)(2024·湖南长沙三模)地震震级通常是用 C.若S<1,则n1<n2;若S>1,则n1>n2 来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最 D.若S<1,则n1>n2;若S>1,则n1<n2 早是由查尔斯·里克特提出的，其计算基于地 (2)(2024·广东茂名一模)Gompertz曲线用于 震波的振幅，计算公式为M=1gA一gA。,其 预测生长曲线的回归预测，常见的应用有代谢 中M表示某地地震的里氏震级，A表示该地地 预测、肿瘤生长预测、有限区域内生物种群数 震台测振仪记录的地震波的最大振幅，A。表 量预测、工业产品的市场预测等，其公式为 示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地 f(x)=a(其中k>0,b>0,a为参数).某 震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大 研究员打算利用该函数模型预测公司新产品 振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为 未来的销售量增长情况，发现a=e(e为自然数 0.002,则该地这次地震的里氏震级约为（参考 对数的底数).若x=1表示该新产品今年的年 数据：1g2≈0.3) 产量，估计明年(x=2)的产量将是今年的e A.6.3级 B.6.4级 倍，那么b的值为 () C.7.4级 D.7.6级 第二章函数的概念与基本初等函数 讲 考点3构建函数模型解决实际问题 规律总结 应用函数模型解决实际问题的步骤 【例3】双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理颜数量 车市场转型升级的重要方向.某企业计划引进 关系，初步选择函数模型， 新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产 (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字 x(单位：千辆)获利W(x)(单位：万元) 语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函 30x+350,0<x≤2， W(.x)= 该 数模型 -2x2+40.x+340,2<x≤6， (3)解模：求解函数模型，得出数学结论 公司预计全年其他成本总投入为(20x十10) (4)还原：将数学结论还原为实际意义的答案。 万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应 求.记全年利润为f(x)(单位：万元) 【对点训练3】(1)(2024·湖南益阳三模)二手汽 (1)求函数f(x)的解析式： 车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折 (2)当年产量为多少千辆时，该企业利润最 旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格， 大？最大利润是多少？请说明理由 第一年汽车贬值20%，从第二年开始每年贬值 心听课记录 10%.刚参加工作的小明打算买一辆约5年的 二手车，价格不超过8万元.根据年限折旧法， 设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是 m(m∈N)万元，则m= ( A.13 B.14 C.15 D.16 (2)某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种 053 产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获 得利润100(3x十1-2 元，要使生产100千 克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产 速度是 A.2千克/小时 B.3千克/小时 C.4千克/小时 D.6千克/小时 温馨提示0 学习至此，请完成课时作业1623 8 017 -2 y=h(x)与y=a的图象有两个交点 时ae(径，）U4,+o,故路 例4D若函数f(x)=log2x十x2十m 在(2,4)上存在零点，由函数∫(x)在 (2,4)上的图象连续不断，且为增函 数，则根据函数零，点存在定理可知，只 需满足f(2)·f(4)<0,即(m十 5)(m十18)<0，解得-18<m<-5, 所以实数m的取值范围是（一18，一5）. 故选D. 对点训练3(1)B由函数f(x)= {,x<·可得函教y=fx)在 x,x≥t, (一o∞，t),[t,十o)上为增函数，当 x<t时，f(x)mx→t,当x≥t时， f(x)im=t,若存在m使得关于x的 方程f(x）=m有两个不同的根，只需 t3>t,解得一1<t<0或t>1,所以 t的取值范围为(-1,0)U(1,十∞). 故选B. (2)D由于函数y=log2(x十1)， y=m-上在区间(1,3]上均为增画 数，所以函数f(x)在(1,3]上为增函 数，由于函数f(x)=log(x十1) 1十m的零点在区间1,3]上，则 1f1)<0:即 m<0, f(3)≥0， 如+号≥0. 解得 号≤m<0.因此，实数m的取值范 国是[号0)故选D 2.11函数模型及其应用 必备知识回顾 教材回扣 2.增函数增函数增函数越来越 快越来越慢y轴x轴 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.D当甲商品的价格为6元时，该商人 全部买入甲商品，可以买120÷6= 20(万份)，在t。时刻全部卖出，此时获 利20X2=40(万元)：当乙商品的价格 为4元时，该商人买入乙商品，可以买 红对勾·讲与练·高三数学 (120十40)÷4=40（万份），在t1时刻 全部卖出，此时获利40×2=80（万 元).故该商人共获利40十80=120（万 元).故选D. 3.D将各点(x,y)分别代入各函数可 知，最能体现这组数据关系的函数模 型是y=x2一1.故选D. 4.D每次填满后，硫酸浓度都是原来的 ,所以第三次填满后的硫酸浓度为】 (得)×10%=72.9%.故选D …关键能力提升… 例1D对于A,点P在第一条边上时， y=x,但点P在第二条边上运动时，y 是随x的增大先减小（减到最小时y即 为三角形的第二条边上的高的长度)， 再增大，对比图象可知，A错误；对于 B,y与x的函数图象一定不是对称的， B错误；对于C,一开始y与x的关系不 是线性的，C错误；对于D,因为函数图 象左右对称，所以D选项应为正方形， 不妨设边长为a,点P在第一条边上时 (即0≤x≤a时)，y=x,点P在第二 条边上运动时（即a≤x≤2a时），y= √a+(x-a),依然单调递增，点P 在第三条边上运动时（即2a≤x≤3a 时)，y=√a+(3a-x)严，单调递 减，点P在第四条边上运动时（即3a≤ x4a时)，y=4a-x,单调递减，且 已知y关于x的函数图象关于直线 2a=。(其中l=4a)对 确.故选D. 对点训练1A由题意可知，当往游泳 池内注水时，游泳池内的水呈“直棱 柱”状，且直棱柱的高不变，刚开始水 面面积逐渐增大，水的高度增长得越 来越慢，当水面经过D点后，水面的面 积为定值，水的高度匀速增长，故符合 条件的函数图象为A中的图象，故 选A 例2(1)C由题意可得 S一1=2.1， d,To m=e 解得 S-1 d2 =In n2 =2.2, 等5>1则2引>22可得 e>品，即n1>m若S=1则 S-1_S-1=0,可得1=n:=1； 2.1 2.2 落S<1,则<22可得 C<。器，即n1<m.结合选项可知 C正确，A,B,D错误.故选C. -450- (2)A由a=e,得到f(x)=k· e当x=1时，f(1)=ke; 当x=2时，f(2)=ke2.依题意，明 年(x=2)的产量将是今年的e倍，得 -=e=…方-名- 即b2十b-1=0,解得b= 二1告56>06=2故 2 选A 对点训练2(1)A依题意，得 1ea+6=288 e21u+=32, 则e= g,即ea= 3,里然a<0,设物流过程中果蔬的 储藏温度为t℃，于是e+b≥96=3· e21a+h=ea·e21ub=e4a+h,解得at十 b≥14a十b,因此t≤14，所以物流过 程中果蔬的储藏温度最高不能超过 14℃.故选A. (2)B由题意，某地地震波的最大振 幅为5000，且这次地震的标准地震振 幅为0.002，可得M=1g5000 g1000-lg10o8=4 1g0.002=1g2 2 1g2-(1g2-3)=7-21g2≈6.4.故 选B. 例3解：(1)由已知得f(x)=W(x) (20x+10), 又W(x)= /30x十350,0<x2, -2x2+40x十340,2<x≤6， f(x)= 10x+340,0<x2, -2x2+20x十330,2<x≤6. (2)当0<x2时，f(x)=10x十 340,则当0<x2时，f(x) f(2)=360: 当2<x≤6时，f(x)=-2x2十 20x+330=-2(x-5)2十380，即 x=5时，f(x)mx=380. :360<380,∴.f(x)的最大值为380， 故当年产量为5千辆时，该企业利润最 大，最大利润是380万元. 对点训练3(1)C依题意，m(1一20%)(1一 8 10%)'≤8.解得m≤0.8X0.9 100000 6561 ,又m∈N,则m最大为15.故 选C. (2)C设生产100千克该产品获得的 利润为f(x)元，则f(x)=100. 1o0(3x+1-2）=100o0(3+ 2)-1000[2(2）+1+3]. 1≤x≤10，令t= 1,≤t≤1， x10 则g(t)=10000(-2t2+t+3) -20o[-)-]· 故当 4时，g()的值最大，此时x=4. t= 故选C. 第三章 一元函数的 导数及其应用 3.1导数的概念及其 意义、导数的运算 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)f'(xo)yx=0 -+i △x 2.斜率y-f(xo)=f'(xo)(x-x0) 3.0 ax-1 cos x-sin x a'lna ezina 1 1 x 4.(1)f'(x)±g'(x) (2)f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (3)(x)g(x)-f(x)g'(x) [g(x)] (4)cf(x) 5.yg·uf 基础检测 1.(1)√(2)×(3)×(4)× 2.3'sin -cos x (x1) sin'x 3"e r In 3-3*+le-r 解析：y’= (x3-1)'sinx-(sinx)'(x3-1) (sin )2 3x'sin x -cos x (x-1) sin'x y'=(3)'e+3r(e3r)'= 3"e-In 3-3+e r. 3.1-√2 解析：f(x)=-f(牙）sinx-cosx 令x=得f(任)=r(任) 号解得了()=1-厄 4.2e 解析：由y=xe,得y'=e(x+1), 所以该曲线在点(1，e)处的切线斜率 为2c.由y=alnx+2,得y=2,所 以该曲线在点(1,2)处的切线斜率为 a.因为两切线平行，所以a=2e. …关键能力提升… 例1解：(1)，lim f(xo)-f(xo-△x) x0-(x0-△x) f'(xo),即lim f(x0)-f(x。-△x) △x f'(x。)=k, .'lim nfx)-fx。-Ax）= 2△x 2· (2)''lim f(x。十△x)-f(x。-△x) 2△x lim f(x。十△x)-f(x。-Ax) △x 2k. 对点训练1D设f(x)=sin2x,则 mm2z+h》）-sn2z h 1imfx+h）-fz2）=r'(x) h (sin2x)'=2cos2x,故选D. 例2解：(1)f'(x)=2xe十x2e= (2x十x2)e. (2)f'(x)= xln2·2-logaz·2n2 (2)9 1 xln2-logx·ln2 2 (3)f'(x)= cosx·(1+cosx)-sinx·(-sinx) (1+cos z) cosx十cos2x十sin2x (1十cosx)2 1十c0sx 1 (1+cos x)I+cos x" 1 4f'(x)=1-22·1-2x)' 1 2 1-2x·（←2)=2z 对点训练2(1)Df'(x)=2f'(1)- 2x+1,当x=1时，f1)= 2f'(1)-2+1,解得f'(1)=1,所以 f(x)=2x-x2十lnx十1，f(1)= 2-1十0十1=2.故选D. 2A对于A)'= (In z)'z-(z)'In x x 1-1n工，故A正确；对于B, t! (√2x-I)'=[(2x-1)]'= 号a-1wx2- 1 三，故B正 W2x-1 确；对于C,(e5-1)=e5-1X5= 5eiu→，故C正确；对于D, -451- [m(r+晋)门'=cos(2r+)x 2=2c0s(2x十子）小，故D错误.故 选ABC. 例3(1)Af(x)=c+2sin工，则 1+x2 f(x)= (e +2cos x)(1+x2)-(e"+2sin x)2x (1+x2)2 故f(0)=3,所以曲线y=f(x)在点 (0,1)处的切线的方程为y=3x十1， 令x=0,解得y=1,令y=0,解得 了，故所求三角形的面积 1 x=一 为s= 11 (2)A由函数y=e2+1,可得y'= e2,设切点坐标为(t,e2十1)，可得 切线方程为y-(e2十1)=e2(x- t),把(0,0)代入方程，可得0-(e十 1)=e2(0-t),即(t-1)e2=1,解 得t=2,所以切线方程为y一(e°十 1)=e°(x-2),即y=x.故选A. 例4B易知A(b,0),设P(t,lnt),联立 y=lnx与y=a.x(x-b),可得lnx= ax(x-b),故lnt=at(t-b).由y= nx,得y=所以，= x 方因为1上PA,所以k·kpA了 t-b)=-1,即nt=-t(t-b),又 In t lnt=at(t-b),所以a=-1.故选B. 例5ln2 解析：方法一由y=e十x,可得 y'=e十1，曲线在点(0,1)处的切线 的斜率为e°十1=2，切线方程为y一 1=2x,即y=2x十1.曲线y=e十 x在点(0,1)处的切线也是曲线y= ln(x十l)十a的切线，设该切线与曲线 y=1n(x十1)十a的切点的横坐标为 工，可得切线的斜率为1 十7=2，可得 号起x=-代入y=2x中 1 x=- 2 1,可得切点坐标为(0).因为切 点在曲线y=ln(x十l)十a上，所以 0=h(合-1)十a,解得。=n2 方法二（切线重合）由y=e十x,可 得y'=e十1，曲线在点(0,1)处的切 线的斜率为e°十1=2，切线方程为y 1=2x,即y=2x十1.设该切线与曲 线y=ln(x十1)十a的切点为(xo, ln(x。十1)十a),由两曲线有公切线， 参考答案☑。