2.10 函数与方程-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

4 -2 3 y=f(x) 8 因为对任意x∈[m,十o∞)，都有 3,因 (x)二8，由图可知，m4 此，实数m的取值范围是 4 3 +∞）. 故选D. 2.10 函数与方程 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)f(x)=0(2)x轴f(x)=0 2.f(a)·f(b)<0(a,b)f(c)=0 3.f(a)·f(b)<0一分为二 零点 基础检测 1.(1) (2)× (3) (4)× 2.B由 x≤0， 或 x+x-2=0 x>0, -1+lnx=0, 解得x=一2或x= e,故f(x)有2个零点.故选B. 3.B函数f(x)在(0，十∞)上单调递 增，则f(x)=0在(0，十+∞)上只有一 个实数根，且f(1)=一1，f(2)=1,则 f(1)f(2)<0,故f(x)的零，点所在的 区间为(1,2).故选B. 4.-5 解析：因为函数y=x2十ax十b的零 9+3a十b=0, 点是3和一1，所以 解 1-a十b=0, a=-2, b=-3 得 所以a十b=-5. 关键能力提升 例1(1)ABCf(x)=2-x2,因为 f-D=-20)=1.所以/) 在（一1,0）内存在零，点；因为f(1)= 1,f(3)=-1,所以f(x)在(1,3)内 存在零点：因为f(3)=一1，f(5)= 7,所以f(x)在(3,5)内存在零点；作 出y=x2与y=2的图象如图所示， 结合y=x与y=2的图象的交点 情况可知f(x)在(5,6)内没有零点. 故选ABC =r2 =2 -10 24x (2)C当x-2时，f(x)=x2一5， 当f(x)=1时，解得x=一√6：当 x>-2时，令f(x)=xlg(x十2)= 1,即g(x+2)三·画出函数y3 1g红十2》和y=的图象（图略），可 得当f(x)=1时，x∈(-2，-1)或 x∈(1,2).综上，k的最大值是1.故 选C. 对点训练1(1)C设f(.x)=lnx- x十2=lnx一（x一2)，易知函数 f(x)在(1，十∞)上的图象连续，由表 格数据得f(1)>0,f(2)>0,f(3)= 1.099-1=0.099>0,f(4)= 1.386-2<0,f(5)<0,则f(3)· f(4)<0,即在区间(3,4)上，函数 f(x)存在一个零点，即方程lnx x十2=0的一个根所在的区间为(3， 4).故选C. (2)B函数f(x)=nx+x-2的 定义域为(0，十o∞)，又函数y=lnx, y=xy=- 在(0，十∞)上单调递 x 增，所以函数f()=lnx十x二兰在 (0,十o∞)上单调递增，又f(1)=ln1十 1-2=-1<0,f(2)=ln2+2-1= ln2+1>0,所以f(1)·f(2)<0,所 以零点所在的区间为(1,2).故选B. 例2(1)C作出函数y=f(x)的图象， 如图所示. 0 将原问题转化为直线y=ax十2（过定 点(0,2)与函数y=f(x)的图象交 点的个数，由图可知，当a=0时，直线 y=2与函数y=f(x)的图象只有一 个交点；当a<0时，直线y=a.x十2 与函数y=∫(x)的图象没有交点；当 a>0时，直线y=ax十2与函数y= f(x)的图象有三个交点，所以直线 y=ax十2与函数y=f(x)的图象不 可能有两个交点.故选C, (2)C由函数f(x)为偶函数，所以 f(x)=f(-x),因为对任意x∈R, 都有f(x)=f(6一x),即f(-x) f(6一x),所以函数f(x)的周期T= 6,当x∈[0,3]时，f(x)=log2(x+ 1)-1,则f(x)= 1-1og2(x+1),x∈[0,1)， log2(x十1)-1，x∈[1,3]， -449- 函数F(x)=f(x)十lg|x-1的零 点等价于函数y=f(x)与函数y= 1一gx图象的交点，如图所示，一 共有10个交，点，故C正确.故选C. y=I-Igid -13-11 -7-5 o1 对点训练2(1)B由f(x)=0,得 (分)广-1=1ogx,因此画数 f(x)的零点即为函数y=log2x与 y=(）广-1的国象交点横坐标。 在同一坐标系内作出函数y=log2x 与y= (合）广-1的国泉如图， 4 y=logx =- 观察图象知，函数y=log2x与y= (兮）)广-1的圈象有唯一交点，所 以函数f(x) 的零点个数为1.故选B. (2)C令f(x)=√11cosπx-2x+ 1=0,可得√11cosx=2x-1,则函 数f(x)=√1Ic0s元x-2x十1零点 的个数为y=√cosπx与y=2x 1图象的交点个数，显然y=√11c0sπx 与y=2zx-1的图象均关于（分0）对 称，又当x=2时，√/11c0s2r>2X2 1,当x=4时，√cos4r<2X4-1,再 结合两个函数的图象，如图，可得y= √11c0sπx与y=2x一1有5个交，点， =2x- y=/1Icos mx 故函数f(x)=√/11cosπx-2x+1 零点的个数为5，故C正确.故选C, 例3Ag(x)=0→f(x)十x-1 a=0→f(x）十|x-1=a,令 h(x)=f(x)十x-1|,则h(x)= x2+2x+1-x+1,x≤1， 即 2x2-8x+10+x-1,x>1, x2十x+2,x≤1， h(x)=2x2-7x+9x>1, 作出 h(x)的图象，如图. 参考答案‘☑。 23 8 017 -2 y=h(x)与y=a的图象有两个交点 时ae(径，）U4,+o,故路 例4D若函数f(x)=log2x十x2十m 在(2,4)上存在零点，由函数∫(x)在 (2,4)上的图象连续不断，且为增函 数，则根据函数零，点存在定理可知，只 需满足f(2)·f(4)<0,即(m十 5)(m十18)<0，解得-18<m<-5, 所以实数m的取值范围是（一18，一5）. 故选D. 对点训练3(1)B由函数f(x)= {,x<·可得函教y=fx)在 x,x≥t, (一o∞，t),[t,十o)上为增函数，当 x<t时，f(x)mx→t,当x≥t时， f(x)im=t,若存在m使得关于x的 方程f(x）=m有两个不同的根，只需 t3>t,解得一1<t<0或t>1,所以 t的取值范围为(-1,0)U(1,十∞). 故选B. (2)D由于函数y=log2(x十1)， y=m-上在区间(1,3]上均为增画 数，所以函数f(x)在(1,3]上为增函 数，由于函数f(x)=log(x十1) 1十m的零点在区间1,3]上，则 1f1)<0:即 m<0, f(3)≥0， 如+号≥0. 解得 号≤m<0.因此，实数m的取值范 国是[号0)故选D 2.11函数模型及其应用 必备知识回顾 教材回扣 2.增函数增函数增函数越来越 快越来越慢y轴x轴 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.D当甲商品的价格为6元时，该商人 全部买入甲商品，可以买120÷6= 20(万份)，在t。时刻全部卖出，此时获 利20X2=40(万元)：当乙商品的价格 为4元时，该商人买入乙商品，可以买 红对勾·讲与练·高三数学 (120十40)÷4=40（万份），在t1时刻 全部卖出，此时获利40×2=80（万 元).故该商人共获利40十80=120（万 元).故选D. 3.D将各点(x,y)分别代入各函数可 知，最能体现这组数据关系的函数模 型是y=x2一1.故选D. 4.D每次填满后，硫酸浓度都是原来的 ,所以第三次填满后的硫酸浓度为】 (得)×10%=72.9%.故选D …关键能力提升… 例1D对于A,点P在第一条边上时， y=x,但点P在第二条边上运动时，y 是随x的增大先减小（减到最小时y即 为三角形的第二条边上的高的长度)， 再增大，对比图象可知，A错误；对于 B,y与x的函数图象一定不是对称的， B错误；对于C,一开始y与x的关系不 是线性的，C错误；对于D,因为函数图 象左右对称，所以D选项应为正方形， 不妨设边长为a,点P在第一条边上时 (即0≤x≤a时)，y=x,点P在第二 条边上运动时（即a≤x≤2a时），y= √a+(x-a),依然单调递增，点P 在第三条边上运动时（即2a≤x≤3a 时)，y=√a+(3a-x)严，单调递 减，点P在第四条边上运动时（即3a≤ x4a时)，y=4a-x,单调递减，且 已知y关于x的函数图象关于直线 2a=。(其中l=4a)对 确.故选D. 对点训练1A由题意可知，当往游泳 池内注水时，游泳池内的水呈“直棱 柱”状，且直棱柱的高不变，刚开始水 面面积逐渐增大，水的高度增长得越 来越慢，当水面经过D点后，水面的面 积为定值，水的高度匀速增长，故符合 条件的函数图象为A中的图象，故 选A 例2(1)C由题意可得 S一1=2.1， d,To m=e 解得 S-1 d2 =In n2 =2.2, 等5>1则2引>22可得 e>品，即n1>m若S=1则 S-1_S-1=0,可得1=n:=1； 2.1 2.2 落S<1,则<22可得 C<。器，即n1<m.结合选项可知 C正确，A,B,D错误.故选C. -450- (2)A由a=e,得到f(x)=k· e当x=1时，f(1)=ke; 当x=2时，f(2)=ke2.依题意，明 年(x=2)的产量将是今年的e倍，得 -=e=…方-名- 即b2十b-1=0,解得b= 二1告56>06=2故 2 选A 对点训练2(1)A依题意，得 1ea+6=288 e21u+=32, 则e= g,即ea= 3,里然a<0,设物流过程中果蔬的 储藏温度为t℃，于是e+b≥96=3· e21a+h=ea·e21ub=e4a+h,解得at十 b≥14a十b,因此t≤14，所以物流过 程中果蔬的储藏温度最高不能超过 14℃.故选A. (2)B由题意，某地地震波的最大振 幅为5000，且这次地震的标准地震振 幅为0.002，可得M=1g5000 g1000-lg10o8=4 1g0.002=1g2 2 1g2-(1g2-3)=7-21g2≈6.4.故 选B. 例3解：(1)由已知得f(x)=W(x) (20x+10), 又W(x)= /30x十350,0<x2, -2x2+40x十340,2<x≤6， f(x)= 10x+340,0<x2, -2x2+20x十330,2<x≤6. (2)当0<x2时，f(x)=10x十 340,则当0<x2时，f(x) f(2)=360: 当2<x≤6时，f(x)=-2x2十 20x+330=-2(x-5)2十380，即 x=5时，f(x)mx=380. :360<380,∴.f(x)的最大值为380， 故当年产量为5千辆时，该企业利润最 大，最大利润是380万元. 对点训练3(1)C依题意，m(1一20%)(1一 8 10%)'≤8.解得m≤0.8X0.9 100000 6561 ,又m∈N,则m最大为15.故 选C. (2)C设生产100千克该产品获得的 利润为f(x)元，则f(x)=100. 1o0(3x+1-2）=100o0(3+第二章函数的概念与基本初等函数 讲 4规律总结 C.(0,1) 1.当不等式问题不能用代数法求解或用代数法 D.(-∞，0)U(1,+∞) 求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将 (2)设函数f(x)的定义域是R,满足2f(x+ 不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用 1)=f(x),且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x 数形结合思想求解. 1).若对任意x∈[m,十∞)，都有f(x)≥ 2.利用图象求参数时，要准确分析函数图象的 。,则m的取值范围是， 特殊点，借助函数图象，把原问题转化为数量关系较 明确的问题. B. + 4 【对点训练3】(1)已知函数f(x)=2-x一1， D 则不等式f(x)>0的解集是 A.(-1,1) 温馨提示) B.(-∞，-1)U(1,+∞) 学习至此，请完成课时作业14 2.10 函数与方程 考试要求 1.理解函数零点与方程解的关系. 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.能用二分法求方程的近似解的步骤 047 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 3.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且 1.函数的零点 的函数y=∫(x),通过不断地把它的零点所在 (1)函数零点的定义：使 的实数x叫 区间 ,使所得区间的两个端点逐步逼 做函数y=f(x)的零点， 近 ,进而得到零点近似值的方法叫做 (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对 二分法. 应方程的根的关系： 注意1.若连续函数f(x)在定义域上是单调函 数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个 (函数=)有零点 “点”，而是其图象与x轴交点的横坐标，也是令函数 值为0所得方程的实数根. 函数)=)的图象 方程 2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间 与有公共点 有实数解 [a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如 2.函数零点存在定理 图所示，所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 条连续不断的曲线，且有 ,那么，函数 y=fx) y=f(x)在区间 内至少有一个零点， 即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就 是方程(x)=0的解. 3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点 2圈内·讲与练·高三数学 基础检测。 2.(人教A版必修第一册P143例1改编)函数 1.判断（正确的画“√”，错误的画“×”） f(x)= x2十x-2,x≤0”的零点个数为 -1+lnx,x>0 (1)函数f(x)=2x的零点为0. ( () (2)图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间 A.3 B.2 C.7 D.0 (a,b)二D内有零点，则f(a)·f(b)<0. 3.(人教A版必修第一册P144T2改编)函数 ( f(x)=log2x十x一2的零点所在的区间为 (3)二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)在b2 ( 4ac<0时没有零点. ( ) A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) (4)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.4.（苏教必修第一册P230T2改编）已知函数y= x2十a.x十b的零点是3和-1，则a十b= 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1函数零点所在区间的判断 【对点训练1】(1)根据表格中的数据可以判定方 【例1】(1)（多选）已知函数f(x)=2r一x2,则下 程lnx-x+2=0的一个根所在的区间为 列区间含f(x)零点的是 ( A.(-1,0) B.(1,3) 2 3 4 5 C.(3,5) D.(5,6) In x 0 0.6931.0991.3861.609 x2-5,x≤-2， 048 (2)已知函数f(x)= x-2 0 1 2 3 xlg(x+2),x>-2, 若方程∫(x)=1的实数根在区间(k,k十1)， A.(1,2) B.(2,3) k∈Z上，则k的最大值是 ( ) C.(3,4) D.(4,5) A.-3 B.-2C.1 D.2 (2)已知函数f(.x)=lnx+x- 2,则f(x)的 听课记录 零点所在的区间为 ( A经 B.(1,2) C.(2,e) D.(e,3) 考点2函数零点个数的判断 【例2】(1)(2024·浙江温州三模)已知函数 4规律总结 x2—2x十3，x>0, f(x)= 则关于x的方 1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 2r,x≤0， (1)利用函数零点存在定理：首先看函数f(x) 程f(x)=a.x+2的根的个数不可能是 在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a, A.0 B.1 C.2 D.3 b)内必有零点. (2)已知函数y=∫(x)是定义在R上的偶函 (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 数，且对任意的x∈R,都有f(x)=f(6一 x轴在给定区间上是否有交点来判断. x),当x∈[0,3]时，f(x)=|log2(x+1) 2.函数零点存在定理只能判断函数在某个区间 1|,则函数F(x)=f(x)十lg|x-1的零点 上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质 个数是 () 进行分析判断. A.6 B.8 C.10 D.12 第二章 函数的概念与基本初等函数 听课记录 c(,u4to .(( 听课记录 规律总结。 函数f(x)零点个数的判断方法 (1)直接求零点：令f(x)=0,如果能求出解，那 么有几个解就有几个零点。 (2)借助函数零点存在定理：利用该定理不仅要 求函数f(x)的图象在[a,b]上是连续不断的曲线， 命题角度2 根据零点所在的区间求参数范围 且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质 【例4】函数f(x)=log2x+x2+m在区间(2,4) (如单调性)才能确定函数有多少个零点. 上存在零点，则实数m的取值范围是() (3)把函数f(x)拆分为两个较简单的函数，画 A.(-∞，-18) B.(5,+∞) 这两个函数图象，看其交点的个数，交点有几个，就 C.(5,18) D.(-18,-5) 有几个不同的零点. 听课记录 049 【对点训练2】()函数f(x)=（份)”-1 log2x的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(2024·河北邢台一模)函数f(x)= √1Icos元x-2x+1零点的个数为 ( A.3 B.4 C.5 D.6 4规律总结 考点3函数零点的应用 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方 命题角度1 根据零点的个数求参数范围 法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的 x2+2x+1,x≤1， 【例3】已知函数f(x)= 不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围 2x2-8x+10,x>1, (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值 若函数g(x)=f(x)十|x-1|-a恰有两个 域的问题加以解决 零点，则实数a的取值范围是 ( (3)数形结合法：先对解析式变形，把函数拆分 A.,2器）U4.+o) 为两个函数（一般一个含参，另一个不含参），在同 平面直角坐标系中，画出拆分出的两个函数的图象， B空刘 然后数形结合求解. 红圈内·讲与练·高三数学 【对点训练3】(1)(2024·四川成都二模)已知函 x3x<t 数∫(x)= 若存在m使得关于x的 x,x≥t, B.（∞，- U0,+) 方程f(x)=m有两个不同的根，则t的取值范 围为 ( C.o,- 57 3 U(0,+∞) A.(-1,0)U(0,1) B.(-1,0)U(1,+∞) D. C.(-∞，-1)U(0,1) D.(-∞，-1)U(1,+∞) 温馨提示0 1 (2)已知函数f(x)=log2(x十1)-十m的 学习至此，请完成课时作业15 零点在区间(1,3]上，则m的取值范围为( 】 2.11 函数模型及其应用 考试要求 1.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律 2.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等不同函 数类型增长的含义。 050 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 2.三种函数模型性质比较 1.六种常见的函数模型 项目 y=a y =log.x y=x" (a>1) (a>1) (n>0) 函数模型 函数解析式 在(0，十∞) 一次函数模型 f(x)=ax十b(a,b为常数，a≠0) 上的单调性 随n值变 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常 增长速度 二次函数模型 化而不同 数，a≠0) 随x值增大，随x值增大， 指数型 f(x)=ba十c(a,b,c为常数，a≥ 随n值变 图象的变化图象与 图象与 函数模型 化而不同 0且a≠1，b≠0) 接近平行 接近平行 对数型 f(x)=bloga+c(a,b,c为常数， 回教材拓展 函数模型 a>0且a≠1，b≠0) 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变； f(x)=a.x"+b(a,b,n为常数，a千 “指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数 幂型函数模型 0,n≠0) 爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来 “对勾”函 越小. y=x十4(a为常数，a>0) 数模型 2.充分理解题意并熟练掌握几种常见函数的图象 和性质是解题的关键