1.4 基本不等式-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

第一章集合、常用逻辑用语与不等式 听课记录 创新解读 1.本题注重对思维品质的考查. 2.由于目标函数变量较多，故采用换元法，令 x=6-a, y=c一b,使原命题等价于求m=max{x,y,之} z=1-c, 的最小值，从而变得简洁易懂.依据约束条件，可 将原命题分为两个子命题进行探究.以上思维过 程突显了新高考改革的命题特点和趋势， 温馨提示) 学习至此，请完成课时作业3 1.4基本不等式 考试要求 L.掌握基本不等式√ab≤a十b(a,b>0)及其推导过程. 2 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 014 必备知识回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 2 11 和 a2+b2 分别叫做a,b的调和平均 2 1.基本不等式ab≤a十b 2 数和平方平均数.“四个平均数”可构成不等式 (1)基本不等式成立的条件： 链： 2 ≤ab≤a+b a2+62 (2)等号成立的条件：当且仅当 时取 ≤ 2 等号 2.几个重要的不等式 4.利用基本不等式求最值 (1)a2+b2≥ (a,b∈R). 已知x>0,y>0. (1)如果积xy是定值P,那么当且仅当x=y (a,b同号) 时，x十y有最小值，是 (简记：积定和 最小). (2)如果和x+y是定值S,那么当且仅当x=y 时，xy有最大值，是 (简记：和定积 2 最大) 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 回教材拓展 3.“四个平均数” 给定两个正数a,b,数 称为a,b的算 1≤巴士)≤产要线诺两数积、丙数 术平均数；数√ab称为a,b的几何平均数；和、两数平方和选择合适的形式. 2勾·讲与练·高三数学 2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次 (4)“x>0且y>0”是“义十工≥2”的充要 使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们 y 等号成立的条件一致。 条件。 () 基础检测。 2.(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改 编)已知x>1,则x十 1 -T 的最小值为 1.判断（正确的画“/”，错误的画“×”） 1不等式6≤告)与士≥瓜成立 3.(人教A版必修第一册P58T5改编)若a>0, 的条件是相同的， b>0,且ab=a十b十3，则ab的最小值为 (2)函数y=x十二的最小值是2. 4.(人教A版必修第一册P46例3(1)改编)用篱笆 (3)函数y=sinx+ nx∈(0，)的最小 4 围一个面积为100m的矩形菜园，当这个矩形 两邻边的长分别为 m, m时， 值是4. 所用篱笆最短，最短篱笆的长度是 m. 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1利用基本不等式求最值 听课记录 命题角度1 配凑法 012 【例1】)已知x<4,则x十的最大值为 A.-4 B.0 C.4 D.8 (2)已知0<x< ,则x(2-3x)的最大值是 2 命题角度3消元法 【例3】已知x>0,y>0,x+3y十xy=9,则 ( x十3y的最小值为 c号 n 多听课记录 听课记录 人规律总结 1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常 数”或“积为常数”的形式 命题角度2 常数代换法 2.常数代换法，主要解决形如“已知x十y=t(t 【例2】 (2024·江苏南通二模)设x>0,y>0, 为常数)，求+么的最值”的问题，先将“十。转 1 x 十2y=2,则x+1的最小值为 y y x y 化为侣+小2中之，再质法本不等求 t B.2√2 3.当要求最值的代数式中的变量比较多时，通 常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数” D.3 或“积为常数”的形式，然后利用基本不等式求最值. 第一章集合、常用逻辑用语与不等式 【对点训练1】(1)已知a>b,且ab=8,则 考点3基本不等式的实际应用 a2+b2 一2的最小值是 ( a-b 【例5】石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生 A.6 B.8 C.14 D.16 们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈 (2)(2024·山西临汾三模)若0<x<1,则 善事业.为了在这次活动中最大限度地筹集资 金，某班进行了前期调查.若商品进货价每件 +品 2一的最小值是 ( 10元，当售卖价格（每件x元）在10<x≤25 A.1 B.4 时，本次活动售出的件数P=，10 C.2+22 D.3+22 (x一5)，若想在 本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件 (3)(2024·浙江嘉兴二模)若正数x,y满足 应定为 元 x2-2xy+2=0,则x十y的最小值是 ( 听课记录 A.√6 日哈 C.2√2 D.2 2 考点2利用基本不等式求参数的范围 【例4】若正数x,y满足(x一1)(y一4)=4，且 1十兰≥a-3a恒成立，则实数a的取值范围 是 A.{a-1<a<4} 013 规律总结 B.{a|-1≤a≤4} 利用基本不等式解决实际应用问题的思路 C.{a-4≤a≤1} (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变 D.{a-4<a<1) 量定义为关于其他变量的函数， 听课记录 (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需 利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域（使实 际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 【对点训练3】如图，实验中 学欲利用原有的墙（墙足 规律总结 够长)为背面，建造一间长 利用基本不等式求参数的值或取值范围的方法 方体形状的房屋作为体育 (1)根据基本不等式等号成立的条件，求参数的 器材室.房屋地面面积为18m2,高度为3m. 值或取值范围. 若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000 (2)转化为求最值问题，利用基本不等式求解. 元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和 【对点训练2】若关于x的不等式虹十，1 地面的费用，则该房屋的最低总造价为 ax2≥ 元 4对任意x>2恒成立，则正实数a的取值范 围为 温馨提示0 A.[1,4] B.(0,4) 学习至此，请完成课时作业4 C.(0,4] D.(1,4]√3c-3c=0,所以b>a,即a<b. 故选D. (2)A实数m,n,p满足m=4e, 2 18 4 n=5e,= e,.. .m 4e n 5 e<1m<,又”-4 2 p=18= e e是>1m>pp<m<n.故 选A. 例3(1)D当a=-1,b=-1时，a十 b=一2，故A错误；当a<0,b>0时， ab,故B错误：当a=2,b=1时， ln(a-b)=0,故C错误；若a>b>0, 则、 1>日>0湖a->6-日成 立，故D正确.故选D. (2)AD对于A,由0>c>d和不等 式性质可得c2<cd,故A正确；对于 B,因为a>b>0>c>d,若取a= 2,b=1,c=-1,d=-2,则a-c= 3,b-d=3,所以a-c=b一d,故B 错误；对于C,因为a>b>0>c>d, 若取a=2,b=1,c=一1，d=一2，则 ac=-2,bd=-2,所以ac=bd,故C 错误；对于D,因为a>b>0,则0 .1 日<6·又因为0>c>d,则0 一c<一d,由不等式的同向同正可乘 性得，-台<名号>0，故 a b D正确.故选AD. 对点训练2(1)D由于a>b,取a=1, 1 11 6=-1。十。干=立无法 得到。1 1 到a2中1<十，故A错误，取 a=0,b=-1,则ab=ab2,无法得 到ab>ab2,故B错误；取a=0, b=一2，则a2=0,ab=0,b=4,无 法得到a>ab>b2,故C错误；由于 a>b,则2a>b十a>2b,所以a> a十b>b,故D正确，故选D. 2 (2)BD当b为负数时，A可能不成 立，例如a=-2,b=-3,c=-4, -2>-3>-4,但-2+(-3)<-4， 即a十b<c,故A错误.因为a>b> |c≥0，根据不等式性质可得α2> b>c2,故B正确.因为a<b<0,所 以>0，所以a· a6<0,即 1 ab <<0，所以> ,C>0,故C 错误.因为a>b>c>0,所以 a b+c=ab十bc-ab-ac a十c a(a十c) 治号<0，所以名<牛D 正确.故选BD. 例4ABD因为-1<2x-y<4,所 以-2<4x一2y<8.因为-3<x十 2y<2,所以一5<5x<10,则-1< x<2,故A正确；因为一3<x十2y 2,所以-6<2x十4y<4.因为-1< 2x-y<4,所以-4<-2x十y<1, 所以-10<5y<5,所以-2<y<1, 故B正确；因为-3<x十2y<2, -1<2x-y<4,所以- 5 g+)<-号< 3 )<号期-2<x十y<2,故C错 误；因为-3<x十2y<2,-1<2x y<4:所以-号<日-2)< 号<w<号-1< x-y<3,故D正确.故选ABD. 对点训练3(1)C由题设0b<4, 则-4<-b≤0，又1<a<3,所 以-3<a-b<3.故选C. (2)D因为-1<a<5,-3<b 1,所以-1<-b<3,对于A, 1<a<53-15<ab<3, -3<b<0 -1<a<5ab=0, b=0 -1<a<5,-1<b<5,综上 0<b<1 可得一15<ab5,故A正确；对于B, -3-1=-4<a十b<1十5=6，故 B正确；对于C,-1-1=-2<a b<3十5=8，故C正确；对于D,当 a=4h时，分=8，故D错误，故 选D 【高考创新方向多想少算】 lx =b-a, 解析：设y=c一b, z=1-c, a=1-x-y-x, 那么b=1一y一之， c=1-2. ①若b≥2a,则1-y-之≥2(1-x- y-x),从而2x十y十之≥1，记m= max b-a,c-b,1-c, m≥x, 从而m≥y,所以4≥2x十y十之≥ m≥之， -435- 1每得阳≥子 ②若a十b≤1，则1一x-y-之十1 y-×≤1，从而x十2y+2x≥1， im max b-a,c-b,1-c, m≥x, 从而m≥y,所以5m≥x十2y十 m≥之， 2:≥1，解得m≥号综上m≥日即 max{b-a,c-b,1-c}的最小值 1 为 1.4基本不等式 …必备知识回顾 教材回扣 1.(1)a>0,b>0(2)a=b 2.(1)2ab(2)2 3.a+b 2 4.1)2p(2) 4 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.3 解折2十1中十1≥ 2√x1…5+1=3,且收 当x一1= 1 正，即x=2时等号 成立. 3.9 解析：由ab=a十b+3≥2√ab十3， 得ab-2√ab-3≥0，解得√ab≥ 3(√ab≤-1舍去)，即ab≥9.当且仅 当a=b=3时取等号. 4.101040 解析：设矩形莱园的相邻两条边的长 分别为xmym,由已知得xy=100, 篱笆的长度为2(x十y)m.由乙义≥ 2 √y,可得x十y≥2√xy=20,所以 2(x十y)≥40，当且仅当x=y=10 时等号成立，因此，当这个矩形莱园是 边长为10m的正方形时，所用篱笆最 短，最短篱笆的长度为40m 关键能力提升… 例1(1)B 因为x<4,所以4-x>0, 所以4x于≥2年=4，当且仅 当x=2时等号成立，所以x一4十 x-4≤-4，所以x+4 4 4≤0，即 女十4的最大值为0故选B 参考答案“☑。 (2)A已知0<E<号，则x(2 1 3x)=3×3xX(2-3x)≤3 u+名3)=子当且仅当 2 3x=2-3x,即x= 合时等号成立 故x(2-3x)的最大值是行故选A 例2C因为上+2y=2,所以 1,因为x>0,y>0,所以x十 (红+)(2+=合+y+ 1 1 +1=8+y2≥ 3 2xy 1 3 2y·2xV=2+2X2= 2+ 1 zy =2xy √2.当且仅当 1 x+y=1, 即-1+② 2’时取等号.故选C y=2-√2 例36 解析：方法一（换元消元法）由已知 得9-(x十3y)=xy= 1 3·x…3y≤ 弓，（仁之3）当且仅当x=3,即 x=3,y=1时取等号，即(x十3y)2+ 12(x+3y)-108≥0，令x+3y=t, 则t>0且t2+12t-108≥0，解得t≥ 6,即x十3y的最小值为6. 方法二（代入消元法）由x十3y十 y=9,得x=9-3,所以x+3y 1+y 9-3+3y=9-3y+31+2- 1十y 1十y 9+3y2 1+y 31+y)2-61+y)+12=301+ 1+y 12 12 ”+1中，y6≥2√31+》1中y 6=12-6=6,当且仅当3(1+y)= 吕即y=1=3时取等号中 x十3y的最小值为6. 对点训练1(1)A因为ab=8,所以 。2+6=a-b)'+2ab=a-b+ a-b a-b 。二石因为a>b,所以a-b>0,所以 16 2(a a-b 红对勾·讲与练·高三数学 8,即a。十名≥8，当且仅当ab=鱼 时，等号成立，故十6 a-b 一2的最小值 是6.故选A (2)D因为0<x<1,所以1-x> *1-1=3+1 x 3+2E,当里当= 2x,即 1-x x=2一1时，等号成立，所以」十 吕的小位是3十2放选D (3)A由x2-2xy+2=0可得y= x1 +x十)=x十+ +上≥受王=6，收 2 北时=2>0，符合题意.x十y 3 的最小值为√6.故选A. 例4B因为正数x,y满足(x-1)(y 4)=4,即xy=4x十y,所以4十 y =1所以十÷=（红+学）· (+)=2+≥2+ y 4x 即y=8,x=2时取等号，因为正数 x,y满足(x-1)(y-4)=4,且x十 ￥≥a2-3a恒成主.所以a-3a≤ 4,解得-1≤a≤4，即实数a的取值 范围是{a-1≤a4}.故选B. 对点训练2C由题意可得4工-2)+ a 2≥4-8对任意>2位成主， 由a>0,x>2,可得4x-2 4 a 当且仅当4(x-2) 1 x2,即x= 2+气时取得华子因4兰≤后 2 解得0<a≤4.故选C. 例515 解析：设本次活动中筹集的资金为y 无y-0,0<5 -436- 不妨令t=x-10∈(0,15]，则y= 10t 10 (t+5) 1+空+10 t 10 -=500,当且仅当t= 25 2N· +10 t 5,即t=5,即x=15时取等号，故售 卖价格每件应定为15元. 对点训练342000 解析：设房屋地面平行于墙的一边长 为xm,则其垂直于墙的一边的长为 2m,则总造价y=6000+1000× 18 (3z+18×2×3）,y=6000+ 3000X（x十 0)≥6000+3000☒ ,36 2x· x =42000,当且仅当x= 36,即工=6时取等号，故房屋的最低 总造价为42000元. 1.5一元二次方程、 不等式与二次函数 必备知识回顾… 教材回扣 2.{xx<x1,或x>x2}{xx1< x<x200 基础检测 1.(1)× (2)/ (3)×(4)× 2.(-0∞， 1u[层+) 解析：由-2x2十x≤-3可得2x2一 x-3≥0，即(2x-3)(x十1)≥0，解 得x-1或x≥ ),故不等式的解集 为-∞，-U[受+∞) 3.R 解析：已知A={xx2一16<0}= {x-4<x<4,B={xx2-4x 3>0}={x|x<1或x>3},则AU B=R. 4.(-3,0] 解析：当k=0时，满足题意：当k≠0 k<0, 时·=k-4×2×(人)<0， 解得一3<k<0,所以-3<k≤0， .关键能力提升… 例1ABD因为方程x2十x一2=0的 解为x1=1,x2=一2，所以不等式 x2十x-2>0的解集为{x|x<-2 或x>1,故A正确：因为2红十1 x-2