1.1 集合-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

第一章集合、常用逻辑 用语与不等式 1.1集合 必备知识回顾 教材回扣 1.（1)确定性互异性无序性 (2)属于不属于∈在 (3)列举法描述法图示法 2.(1)任意一个元素A二B (2)x在AA壬B (3)B二A 3.{xx∈A,或x∈B}AUB{x| x∈A,且x∈B}A∩B{x|x∈ U,且xEA}CA 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.{0,2,4,6,8,9,10 解析：因为U=AUB=0,1,2,3,4, 5,6,7,8,9,105,A∩(CB)={1,3,5, 7},CmB三A,所以CB={1,3,5,7}, 故B=C(CB)={0,2,4,6,8,9,10 3.2 解析：因为AUB=A,所以B二A, 所以a+2∈A.当a+2=3,即a= 1时，A=1,3,1},不满足集合中元素 的互异性，不符合题意；当a十2=a 时，a=一1（舍去）或a=2,此时A= {1,3,4},B={1,4},符合题意.综上， 实数a=2. 4.[2,十∞) 解析：因为B二A,所以利用数轴分析 法（如图），可知a≥2. B1 A 0 28 关键能力提升 例1(1)C集合A中只有一个元素，即 方程ax”-3x十2=0有一解或有两个 相同的实数解，当a=0时，A={x ax2-3.x十2=0}={x-3.x+2= 01=(得》，特合超意：当口≠0时， a.x2一3.x十2=0有两个相同的实数 解，则4=9-8a=0,解仔a=尽龄 上可得a=0或a=吕故选C (2)CA=B,.a2=2a十3，解得 a=-1或a=3,当a=-1时，a2= 2a十3=1，不满足集合中元素的互异 性，舍去.当a=3时，a2=2a十3=9， 此时A=B={0,1,9,满足题意.综 上，a=3.故选C 讲义手册 对点训练1(1)C当x=2,y=1时， 之=2：当x=2,y=2时，之=1；当 x=4,y=1时，之=4；当x=4,y= 2时，之=2.所以M={1,2,4,M中所 有元素之和为7.故选C. (2)BA={a+1,a2+4a-9, 2025},且-4∈A,.-4=a十1或 -4=a2十4a-9,若-4=a2十4a 9,则a=-5或a=1,当a=-5时， a十1=-4，a2十4a-9=-4,此时不 满足集合中元素的互异性，故舍去；当 a=1时，a十1=2，a2+4a-9=-4, 此时A={2,-4,2025},符合题意.若 a十1=一4，则a=一5，此时不满足集 合中元素的互异性，故舍去，综上所 述，实数a的值为1.故选B. 例2(1)C函数y=e十1的值域为 (1,+o∞)，函数y=l0g2(x一2)的定 义域为(2，十∞)，即P=(1,十∞)， M=(2,十∞)，所以有M二P.故 选C (2)D由x2-2x-3≤0，即(x十 1)(x一3)≤0，解得-1≤x≤3，所以 B={xx2-2x-3≤0}=[-1,3]， 当a<0时，A={x√反≤a}=, 特合A二B,当a≥0时，由√x≤a,解 得0≤x≤a2,所以A={x√元≤ a}={x|0≤x≤a2},因为A二B, 所以0≤3解得0≤a≤5.综上 la≥0， 可得a的取值范围为(-∞，√5].故 选D. 对点训练2(1)D由题意可得M= {x∈N|logx≤1}={x∈N|0< x≤2}={1,2}，且N=-1,0,1,2}, M二A三N,可知集合A必有1,2两 个元素，可能有一1,0两个元素，所以 满足条件的集合A的个数即为集合 {-1,0}的子集个数，共有2=4（个）. 故选D. (2)B因为A={2,3,5},B={3,5, 8},所以A一B={2},所以A一(A B)={3,5,有两个元素，则A一(A B)的子集个数是2=4.故选B. 例3(1)C集合M={x-3<x< 1,N={x|-1≤x<4},则MU N={x-3<x<4}.故选C. (2)D因为A={1,2,3,4,5,9},B {x元∈A}={1,4,9,16,25,81}, 所以CA(A∩B)={2,3,5}.故选D. 例4D由A∩B=A,得A三B,由 |x-3≤m,得-m十3≤x≤m十3， -433- 则有m十32解得m≥5·即 m+3≥4， m≥1， m≥5.故选D. 对点训练3(1)A集合A={x-5< x3<5},B={-3,-1,0,2,3}, (-3)3=-27,(-1)3=-1,03=0, 2=8,33=27,则A∩B={-1,0}. 故选A. (2)D因为A={x-1≤x2}, B={x|1≤x≤6}，所以AUB= {x一1≤x≤6}，所以题图中阴影部 分表示的集合C(AUB)={xx< 一1或x>6}.故选D. (3)D由x2-x≥0，可得x≥1或 x≤0，即A={xx≥1或x0, 由AUB=R,B={x|x<a,可得 a≥1.故选D. 例5D对于A,若M=1},N={1, 2},则M×N={(1,1),(1,2)},N× M={(1,1),(2,1),M×N≠NX M,A错误；对于B,若M={1},N= {2},T={3},则M×N={(1,2), (MXN)×T={(1,2),3)},而M× (N×T)={(1,(2,3)),(M×N)× T≠MX(NXT),B错误；对于C,若 M={1},N={2},T={3},则MX (NUT)={(1,2),(1,3),M×N= {(1,2),M×T={(1,3),M×(NU T)=(MXN)U(MXT),C错误；对 于D,任取元素(x,y)∈MX(N∩ T),则x∈M且y∈N∩T,则y∈ N且y∈T,于是(xy)∈MXN且 (x,y)∈MXT,即(x,y)∈(MX N)∩(MXT),反之若任取元素(x, y)∈(MXN)∩(M×T),则(x, y)∈MXN且(x,y)∈MXT,因此 x∈M,y∈N且y∈T,即x∈M且 y∈N∩T,所以(x,y)∈MX(N∩ T),即MX(N∩T)=(M×N)∩ (MXT),D正确.故选D. 对点训练4Bx=6n十5=3(2n十 1)十2，y=3m十7=3(m+2)+1,集 合A,B无公共元素，对于A,集合C为 空集，没有真子集，A错误；对于B,由 6m十5<100得a<165号，由3m十 7<1000得m<331,因此C中元素个 数为166十331=497，B正确；对于C, C中元素个数为166，非空真子集个数 为216-2，C错误；对于D,C、C= Cx[AU(CxB)]=(CxA)∩ [Cx(CxB)]=(CNA)∩B,而B∈ CxA,因此CxC中元素个数为331，D 错误.故选B. 参考答案“☑。 【高考创新方向创新考法】 例（合] 解析：因为2∈M,所以2适合不等式， 中2a-1>0,解得a>分因为1任 M,所以1不适合不等式，即a-1≤0， 解得a≤1.综上，a (合] 1.2常用逻辑用语 …必备知识回顾 教材回扣 1.充分必要充分不必要必要不 充分充要既不充分也不必要 2.(1)H(2)] 3.Hx∈M,p(x)3x∈M,p(x) Hx∈M 基础检测 1.(1)√(2)√(3)/(4)× 2.C由命题的否定的定义，因为原命题 是“Hx∈R,使得n≥x2”,因此其否 定形式应该把全称量词廿改为存在量 词月，把n≥x2改为n<x2,所以命 题“Vx∈R,使得n≥x2”的否定形式 是“了x∈R,使得n<x2”,故选C, 3.B显然a2十b2=0,则a=0,b=0, 有ab=0,即a2十b2=0→ab=0,而 ab=0,取a=0,b=1,a2十b2≠0， 则ab=0不能推出a2十b2=0,所以 “ab=0”是“a2十b2=0”的必要不充 分条件，故选B 4.(-∞，1) 解析：“x=1”是“x>Q”的充分条 件，x=1→x>a,∴a<1,即实数 a的取值范围为（一∞，1）. 关键能力提升 例1(1)D当a<0时，显然√a(a b)>0不成立，即充分性不成立；当 √a(a-b)>0时，显然有√a>0,则 a>b一定成立，即必要性成立.所以 “a>b”是“√a(a-b)>0”的必要不 充分条件，故选D. (2)C由函数y=x3单调递增可知， 若a3=b3,则a=b;由函数y=3单 调递增可知，若3”=3，则a=b.故 “a3=b3”是“3”=3”的充要条件.故 选C. (3)BD由x2-4x<0,解得0<x 4,设p:E={x0<x<4},p成立 的一个充分不必要条件为集合F,则 FE,所以0<x<2和1<x<3 都是0x<4的充分不必要条件，故 选BD. 对点训练1(1)A由x一2<1可 得-1<x-2<1,解得1<x<3, 红对勾·讲与练·高三数学 所以由1<x<2推得出x-2<1, 故充分性成立；由|x一2<1推不出 1<x<2,故必要性不成立.所以“1< x<2”是“x一2<1”的充分不必要 条件.故选A. (2)D当a=1,b=-2时，a>b, a2021<b221,当a=-2,b=1时， a221>b2021,a<b,所以“a>b”是 “a221>b221”的既不充分也不必要 条件，故选D. 例2(1)(0,3](2)[9，十∞) 解析：(1)因为p是q的必要不充分条 1-m≥2或 件，所以1十m<10 1-m>-2·解得m≤3，又m>0, 1+m≤10， 所以实数m的取值范围为(0,3]. (2)因为力是q的充分不必要条件，所 1-m<-2·解 以什+} 得m≥9，即实数m的取值范围为 [9,+o∞). 对点训练2(1)D因为“x∈A”是 “x∈B”的充分不必要条件，所以 A￥B,所以a≥2.故选D. (2)D.“x>2m2-3”是“-1< x<4”的必要不充分条件，.(-1,4) 是(2m2一3，十∞)的真子集，因此 2m2-3≤-1，解得-1≤m1.故 选D 例31D命题p:Vz∈(0,2)， sinx<x为全称量词命题，则p为 3x∈(0，受）nz≥，故选D (2)B对于p而言，取x=一1，则 有x十1=0<1，故p是假命题， 一p是真命题；对于g而言，取x=1, 则有x3=13=1=x,故q是真命题， q是假命题.综上，一p和q都是真命 题.故选B. 例4A因为“Hx∈R,x2-4x十a≠ 0”为假命题，所以“了x∈R,x2 4x十a=0”为真命题，即方程x2 4x十a=0有实数根，则△=(-4)2 4a≥0，解得a≤4，即实数a的取值范 围是(-∞，4].故选A. 对点训练3(1)B因为命题“了x≥3， x2一2x十3<0”为存在量词命题，所 以其否定为“Hx≥3，x2一2x十3≥ 0”.故选B. (2)C由题意知命题“月x∈[一1， 2],使x2十1>m”是真命题，所以 m<(x2十1)mx,当且仅当x=2时， 有(x2十1)mx=22十1=5，所以实数 m的取值范围是（一∞，5）.故选C. -434- 1.3等式性质与不等式性质 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)①>②=③ (2)①>②=③ 2.(1)b=a(2)a=c(3)a±c=b± c (4)ac =be (5)a=b c c 3.b<a b>aa>c a<c ac> bcac<bca+c>b十dac>bd 基础检测 1.(1)/(2)×(3)×(4)× 2.ABD ac2>bc2,则c2>0,则a>b, 故A正确；根据不等式的性质，a> b>0→a”>b”>0,n∈N”,故B正 确；若a=-2,b=-1,则a2>ab> 11=b一8①，因为 b2,故C错误：a一方三ab a<b<0,所以b-a>0,ab>0,所 以①式大于索，故日>方故D正骑。 故选ABD. 3. 限析片名-话>0同为。 b,所以b-a<0,所以ab<0. 4.M>N 解析：M-V=x2十y2十1-2x一 2y+2=(x-1)2+(y-1)2+1>0. 故M>N. …关键能力提升… 例1Bpg=+2-a二6= d a 8)=66-a ab b-aP(b+a,因为a<0,b<0,所 ab 以a十b<0,ab>0.若a=b,则p g=0,故p=q:若a≠b,则p-q< 0,故p<q.综上，p≤q.故选B. 例2e"·π<e°·π" 解折话兰()”以 0<e<1,0<元-e<1,所以 (）”<1,即x e。π" <1,即e"· π<e·π". 对点训练1(1)D因为a=4d十√3c, b=4d+√3c+I+1,则c≥0，所以 b-a=(4d2+√3c+I+1)-(4d+ √3c)=(4d2-4d+1)+(3c+1- √3c)=(2d-1)2+(√3c+1 √3e)≥0+（√3c+I-√3c)>第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.1集合 考试要求 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系. 2.会求两个集合的并集、交集与补集. 3.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本 运算. 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 提醒(1)空集是任何集合的子集，是任何非空 集合的真子集。 1.集合与元素 (2)任何集合都是自身的子集。 001 (1)集合中元素的三个特性： 3.集合的基本运算 表示 运算 (2)元素与集合的关系是 或 集合语言 图形语言 记法 用符号 或 表示 (3)集合的表示法： 并集 A (4)常见数集的记法 非负整数集 正整 有理 实 交集 集合 整数集 (或自然数集) 数集 数集 集 符号 N N(或N+) Z 个 补集 UA 2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集 回教材拓展 合A中 都是集合B中的元素，就 1.若集合A中有n(n≥1)个元素，则集合A有2" 称集合A为集合B的子集，记作 (或 个子集，(2”一1)个真子集，(2”一1)个非空子集，(2”一 B2A). 2)个非空真子集. 2.若A二B,B二C,则A二C (2)真子集：如果集合A二B,但存在元素x∈ 3.A∩B=A台A三B,AUB=A台B三A. B,且 ,就称集合A是集合B的真子 4.Cu(AnB)=(CA)U(CB),Cu(A UB)= 集，记作 (或B吴A). (CA)∩(CB). (3)相等：若A二B,且 ,则A=B. 5.card(A UB)=card(A)+card(B)-card(AB). 2圈内·讲与练·高三数学 基础检测。 2.(人教A版必修第一册P14T6改编)已知全集 U=AUB={x∈N|0≤x≤10}，A∩ 1.判断（正确的画“/”，错误的画“X”) (CB)={1,3,5,7},则集合B= (1)集合{x∈N|x3=x),用列举法表示为 3.(人教A版必修第一册P35T9改编)已知集合 {-1,0,1. ( ) A={1,3,a2},B={1,a+2},若AUB=A,则 (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x, y)|y=x2+1冫. 实数a= () (3)若1∈{x2,x},则x=一1或x=1.( 4.(人教A版必修第一册P9T5(2)改编)已知集合 (4)对任意集合A,B,都有(A∩B)三(AUB). A={x|0<x<a},B={x|0<x<2},若 () B二A,则实数a的取值范围为 关键能力 提升 互动探究·考点精讲 考点1集合的含义与表示 (2)已知集合A={a+1,a2+4a-9,2025}, 若一4∈A,则实数a的值为 () 【例1】(1)已知集合A={x|ax2-3.x+2=0》 A.-5 B.1 的元素只有一个，则实数a的值为 ( C.5或-1 D.-5或1 A号 B.0 考点2集合的基本关系 C号安n 【例2】(1)(2024·山西阳泉三模)设集合P= D.无解 {y|y=e+1},M={x|y=log2(x-2)}, 002 (2)已知集合A={0,1,a2},B={1,0,2a+3}, 则集合M与集合P的关系是 () 若A=B,则a= A.M=P B.P∈M A.-1或3 B.0 C.M∈P D.P∈M C.3 D.-3 (2)(2024·河北秦皇岛三模)若集合A={x| 心听课记录 √x≤a},B={x|x2-2x-3≤0}，且A三 B,则a的取值范围为 ( A.[0,1] B.[0,W3] C.(-∞，1] D.(-∞，W5] 听课记录 4规律总结 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构 成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据 元素的特征（满足的限制条件）构造关系式解决相应 规律总结 问题。 1.空集是任何集合的子集，在涉及集合的基本 【对点训练1】(1)设集合A={2,4},B={1,2), 关系问题中，如无特殊说明，必须考虑空集的情况， 否则易造成漏解. 集合M=之x=C,x∈A,y∈B,则M中 y 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将 所有元素之和为 条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为 参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解 A.3 B.5 决这类问题. C.7 D.9 第一章集合、常用逻辑用语与不等式 【对点训练2】(1)(2024·广东汕头三模)已知集 心听课记录 合M={x∈N|log2x≤1}，N={-1,0,1, 2},若M二A二N,则满足条件的集合A的个 数为 A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2024·广东深圳模拟)定义两集合M,N 的差集：M-N={x|x∈M且xN}.已知 集合A={2,3,5},B={3,5,8},则A-(A B)的子集个数是 A.2 B.4 C.8 D.16 考点3集合的运算 规律总结 1.对于集合的运算问题，若所给集合是用描述 命题角度1集合的运算 法表示的，则需要将其具体化，如求出不等式的解 【例3】(1)(2024·北京卷)已知集合M={x| 集，再结合数轴和Venn图进行集合之间的运算. -3<x<1},N={x|-1≤x<4},则MU 2.若所给集合中带有参数，在进行运算时要注 N= ( 意参数范围的边界值是否可以取到， A.{x|-1≤x<1〉 B.{x|x>-3} 【对点训练3】(1)(2024·新课标I卷)已知集合 003 C.{x-3<x<4} A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3}, D.{x|x<4} 则A∩B= () (2)(2024·全国甲卷理)已知集合A={1,2,3, A.{-1,0} B.{2,3} 4,5,9},B={x|√x∈A},则CA(A∩B)= C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} (2)(2024·湖南邵阳三模)已知全集U=R,集 A.{1,4,9} B.{3,4,9} 合A={x|-1≤x≤2}，B={x|1≤x≤ C.{1,2,3》 D.{2,3,5} 6},如图所示，则图中阴影部分表示的集合是 听课记录 () B A.{x-1≤x≤6} B.{xx<-1} C.{x|x>6) 命题角度2根据集合的运算求参数 D.{x|x<-1或x>6) 【例4】(2024·福建宁德三模)已知集合A (3)(2024·广东佛山二模)已知集合A={x| {-2,0,2,4},B={x川x-3≤m}.若A∩ x2-x≥0}，B={x|x<a},且AUB=R, B=A,则m的取值范围是 ( 则实数a的取值范围是 () A.(1,十∞) B.[1,+∞) A.a>0 B.a≥0 C.(5,+∞) D.[5,+o∞) C.a>1 D.a≥1 2的勾·讲与练·高三数学 考点4集合的新定义问题 y=3m+7,m∈N},C={x|x∈A B 且x<1000},以下说法正确的是() 【例5】大数据时代，常需要对数据库进行检索， A.若在横线上填入“∩”，则C的真子集有 检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡 (22-1)个 尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都 会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员 B.若在横线上填入“”，则C中元素个数大于 需要了解笛卡尔积.两个集合A和B,用A中 250 元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有 C若在横线上填入“个”，则C的非空真子集有 序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A与 (2153-2)个 B的笛卡尔积，又称直积，记为A×B,即A× D.若在横线上填入“UC、”,则C、C中元素个 B={(x,y)|x∈A且y∈B}.关于任意非空 数为13 集合M,N,T,下列说法一定正确的是( 高考创新方向 创新考法 A.M×N=NXM B.(M×N)XT=MX(NXT) 【例】已知关于x的不等式a.x-1>0的解集为 C.MX(NUT)(M×N)U(M×T) M,若2∈M且1M,则实数a的取值范围是 D.M×(N∩T)=(M×N)∩(M×T) 听课记录 听课记录 004 规律总结· 解决以集合为背景的新定义问题的关键 (1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新 创新解读 定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具 本题难度低，计算量小，但是考查形式与常见 体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键 的集合考查形式不一样，学生很容易陷入思维定 所在. 式，不能深刻理解本题为对元素与集合关系的考 (2)用好集合的性质：解题时要善于从题中发现 查，导致无法作答，复习过程中应从各种角度加强 可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集 对基础概念的理解. 合的性质， 【对点训练4】(2024·浙江绍兴模拟)对于集合 温馨提示0 A,B,定义A\B={xx∈A且xB},则对 学习至此，请完成课时作业1 于集合A={x|x=6n+5,n∈N),B={y|