已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

己知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 己知线面角求其他量、己知二面角求其他量专项训练 考点目录 已知线面角求其他量 己知二面角求其他量 考点一 已知线面角求其他量 例1.(25-26高二上广西柳州月考)如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点M,N分别是边 BC,CD的中点，AC与BD交于点O,AC与MN交于点G.沿MN将aCMN翻折到△PMN的位置，连接PA,PB,PD, 得到如图2所示的五棱锥P-ABMND P(C D D GM 2----- 图1 图2 (1)证明：MN⊥平面PAG; 2若平面PMN1平面MNDB,线段PA上是否存在一点Q,使得直线NM与平面QDN所成角的正弦值为VS9?若 13 存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由 【答案】（①）证明见解析 (2)存在，Q为PA上靠近P的三等分点 【详解】(I)证明：折叠前，四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD,: 由于M,N分别是边BC,CD的中点，所以MNI/BD,故MN⊥AC, 折叠过程中MN⊥GP,MN⊥GA,GP∩GA=G,GP,GAc平面PAG 所以MW⊥平面PAG (2)当平面PMN⊥平面MNDB时，由平面PMN∩平面MNDB=MN,GPc平面PMN,MN⊥GP, 所以GP⊥平面MNDB,又AGc平面MNDB,故GP⊥AG, 建立如下图空间直角坐标系， 已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 P(C M A B 则G(0,0,0),A3V3,0,0),P(0,0,V5),D(5,-2,0),N(0,-1,0),M(0,1,0) 所以PA=(35,0,-5),设P0=PA0≤1≤1)，则Q3W5,0,V3-√5) D0=(351-√5,2，V5-√52)，DN=(-V5,1,0), 设平面QDW的法向量为m=(x,y,z), m.D0=(332-V5x+2y+(5-52)z=0 则 m.DN=-√5x+y=0 取x=1-1,则m=(2-1,V32-√3,32+1)，而NM=(0,2,0), 设直线NM与平面ODN的夹角为O, m·MN 2W5λ-2W3 则sin0= √39 MN 2V4(2-1)2+(32+1)2 3,解得入 3 所以Q为PA上靠近P的三等分点，满足题设要求。 例2.(25-26高二上·海南海口·期中)如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABC和底面BCD均为正三角形，且AB=2, AD=3. D B (1)求证：BC⊥AD; (2)已知AP=AD(0<1<1): ①若久=分求二面角P-8C-D的大小： (i)若直线AC与平面PBC所成角的正弦值为 ,求实数入的值 4 【答案】()见解析 2 已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 回(i)景(i)=月 【详解】(1)取BC的中点M,连接MA,MD, 因为ABC和△BCD都是等边三角形， 所以AM⊥BC,DM⊥BC,且AM∩DM=M,AM,DMc平面AMD, 所以BC⊥平面AMD,且ADC平面AMD, 所以BC⊥AD; M (2)(i)连结BP,CP,MP,MD, 因为AB=AC=BC=BD=DC=2,AD=3, 所以△ABD生△ACD,所以BP=CP= 所以MP⊥BC,DM⊥BC, 所以∠PMD为二面角P-BC-D的平面角， PM=√BP2-BM2=1 3 △PMD中，由余弦定理可知，cos∠PMD=4+39 341 2x5×52 2 所以∠PMD=T 3 D (i)由(1)可知，AM=DM=5,AD=3, 所以cos∠AMD=3+3-9.1 2xV3xV5=-2,则∠AMD=120, 如图，以点M为原点，以MC,MD为x,y轴的正方向，z轴过平面AMD,建立空间直角坐标系， 已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 c1a0,-1a.40-5引 D0,5,0, D M BP=BA+AP=BA+AD 22 BC=2,0,0), 设平面PBC的法向量为n=(x,y,2), 则 2x=0 32-1 令y=1,则2=52-可' 所以平面PBC的一个法向量为万= 32-1 ,15-》 c9 设直线AC与平面PBC的夹角为O, V533-1 则sin=cos(Ac, 22√5（-1 5 03 4, 32-1 2x1+ 3(2-1) 解得：入 例3.(25-26高二上贵州期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4, PC=PD=2V2,Q是棱PB上的动点. (1)求该四棱锥的高； 已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 ②)若直线QC与平面PAB所成角的正弦值为198， 试确定点Q所在的位置， 22 【答案】(1)5 (2)Q为BP靠近点B的三等分点 【详解】(I)如图，分别取AB,CD的中点E,F,连接PE,PF,EF, 因底面ABCD是边长为4的正方形，且PA=PB,则PE⊥AB,EF⊥AB,且PEOEF=E,PE,EFC平面PEF, 所以AB⊥平面PEF,且ABC平面ABCD, 所以平面PEF⊥平面ABCD. 过点P作PO⊥EF于点O,因为平面PEF∩平面ABCD=EF,POc平面PEF, 所以P0⊥平面ABCD. 因为PA=PB=AB=4,PC=PD=2V2, 8PEx4=2B,PF22-22=2,F4, 由PE2+PF2=EF2,可得PE⊥PF, 则由Sw-2PE-PF=P0-EF,可得P0=PEpF=5, EF 所以四棱锥P-ABCD的高为√5. (2) 7 如图，以过点O的CD的平行线为x轴，OF,OP所在直线分别为y,2轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-z 在RtaP0F中，0F=VPF2-0p2=V2-(V5=1, 则P0,0,5,A-2,-3,0),B(2,-3,0),C(21,0). 所以PB=(2,-3,-V5,AB=(4,0,0),CB=(0,4,0). 设平面PAB的法向量为i=(x,y,z. PB.i=0 2x-3y-V3z=0 则 ，得 AB.=0 4x=0 故可取i=0,-1,V3）. 已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 依题设B0=入BP,1∈0，，则C0=CB+B0=CB+元BP=(-22,3-4,V52) 设直线QC与平面PAB所成的角为O, co. 则sin0=cosC0,= 4-32+32 V198 co 2V22)2+(3-42+W3)月 22. 化简得188-271+7=0.解得天-写变名 （舍去). 6 改当A0=写丽，即Q为BP第近点B的三等分点时，直线QC与平面P4a所说角的正孩值为 22 例4.(25-26高二上·江西景德镇月考)已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,PA/DQ,PA=AD=3DQ=3, 点E、F分别为线段PB、CQ的中点. (I)求证：CD⊥EF; (2)求点A到平面PCQ夹角的距离； M是线段PQ上的动点，当直线亚与平面4CM1所成角的正弦值取得最大值时，求 【答案】(1)证明见解析 (29v1a 14 PM 6 3)M@7 【详解】(1)因为ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD,所以AP、AB、AD两两互相垂直， 以点A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， B 6 已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 则P40n1、cB.a0小、Da0、叫00、Q03小、0引、F3 所以EF=(0,3,-1),CD=(-3,0,0), 所以CDEF=0×-3+0×3+0×(-1)=0,所以CD⊥EF. (2)设平面PCQ的法向量m=(x,y,z,PC=(3,3,-3),C0=（-3,0,1, 则 m.PC=3x+3y-3z=0 ，取x=1,可得m=(1,2,3), m.C0=-3x+z=0 所以平面PCQ的一个法向量为m=(1,2,3),又AP=(0,0,3), m·AP列 则点A到平面PCQ夹角的距离为d= 9 99V14 m1+4+94=14 (3)假设存在点M,使得PM=2PQ=(0,32,-22),其中入∈[0,1， 则AM=AP+PM=(0,0,3+(0,32,-22)=(0,32,3-22),AC=（3,3,0), 设平面ACM的一个法向量为=(x,,2), i.4C=3x+3y=0 4M=3沉男+3-2)3=0取=3-2，可得=21-3,3-22，-32， 则 所以平面ACM的一个法向量为币=(21-3,3-21，-31)， 设直线EF与平面ACM所成角为B, EF.v 9-32 由题意可得sinβ= EF-问10,92+2x3-222 爱.而mw扁 3 3 t2 当是久合时，mB收爱大值， 因为入-合所以P西-合P0,所以 PM 6 `Mg7' 变式1.(25-26高三上山东·月考)如图，圆锥的轴截面PAB是边长为2的正三角形，C,D为底面圆周上的点， 且△BCD是正三角形，E为母线PB上的一动点. > 已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 C B (1)若PA/平面CDE,求PE的长 (②若直线DE与平面BCD所成角的正弦值为V5 .求平面CDE与平面BCD夹角的余弦值. 10 【答案】()； 227 7 【详解】(1)取直径AB的中点O,连接PO,在底面圆所在平面内作Ox1AB,直线Ox,OB,OP两两垂直， 以0为原点，直线Ox,OB,OP分别为x,y,z轴建空间直角坐标系， 由△PAB,△BCD都是正三角形，AB=2,得A(0,-1,0),B(0,l,0),P(0,0,√3)， r得-oc9o,令40nc0f.明r@-50, 由PAII平面CDE,平面PABO平面CDE=EF,PAC平面PAB,得PAIIEF, 因此PE PB AB ,PE=AF=,所以PE的长为2 小 E ---- (2)由(1)知PB=(0,l,-V3),设PE=tPB=(0,t,-√3)，0≤t≤1，则E(0,t,V3-V31), D车比行N8-B0,而平面8CD的法向量m0.0D 由直线DE与平面BCD所成角的正弦值为V3 , 得cos(DE,m)= |DE·m 10 DEm 已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 3-V3t√30 1 ,整理得2t2-5t+2=0,又0≤1≤1，解得t= V42-5t+410 是D死=1A,面D=B0.0,设平面cDE的法向室n=Gy3》 2 [元.CD=V5x=0 则 -DE=-5+y+5:=0令：=2，得i=0.-5.,2, 2 2=0 2 因此cos(m,n= m.n 2 27 mln7 所以平面CDE与平面BCD夹角的余弦值为2 7 变式2.(25-26高三上山西·月考)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C中，AB⊥BC,AB=BC=A4=2,M是棱CC,上 一点（不包含端点），N是AB,的中点. A1 ! B M (I)若M是CC,的中点，求证：MW1/平面AB,C; (2)求证：三棱锥B-AMB,的体积为定值，并求出此定值： ③)若直线MN与平面4BC所成角的正弦值为55，求CM的长 21 【答案】（①）证明见解析： 2)证明见解析，定值为) 8aw-3 【详解】(1)取AB的中点P,连接CP,NP, 因为N是，的中点，所以P1/B8,NP=A8。 直三棱柱ABC-A,B,C,中BB,/1CC且BB,=CC, 又M是CC的中点，所以MC1/BB,且MC=BB, 故MCIINP且NP=MC, 0 已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 所以四边形NPCM是平行四边形，则MN IIPC, 因为PCc平面ABC,MNa平面AB,C,所以MWI/平面AB,C. (2)依题意可知，AB,BC,BB,两两相互垂直， 又BC∩BB,=B,BC,BB,C平面BB,C, 所以AB⊥平面BB,C, s=s58m4B-8朗8c4B-有3×2x2x2-手 32 32 (3)依题意可知，AB,BC,BB,两两相互垂直， 以B为原点，BB,BC,BA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 ZA A1 B B 则B(0,0,0),M(x,2,0),N(1,0,1,B(2,0,0),A0,0,2),C(0,2,0), NM=（x-1,2,-1,BA=（-2,0,2,CB=（2,-2,0), 设平面AB,C的法向量为i=x,,), iBA=0 -2x+231=0 则 即 CB=0 2x-24=0,不妨取=1，则无=为=1，万=1,1， 设直线MN与平面AB,C夹角为O, M· (x-1)×1+2×1-1×1 sin0 5v5 M-园x-12+2+-12xVP+P+211 化简可得12+25x-75=0,解得x-号（负值合去). 故CM=3 5 变式3.(25-26高三上河南月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB/1CD,AB⊥BC, BC=CD=1,AB=2,M为PD中点. o已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 已知线面角求其他量、已知二面角求其他量专项训练 考点目录 已知线面角求其他量 已知二面角求其他量 考点一 已知线面角求其他量 例1．（25-26高二上·广西柳州·月考）如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，与交于点与交于点.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥. (1)证明：平面； (2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 例2．（25-26高二上·海南海口·期中）如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABC和底面BCD均为正三角形，且，. (1)求证:； (2)已知. （i）若 求二面角的大小： （ii）若直线与平面所成角的正弦值为 求实数的值. 例3．（25-26高二上·贵州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，Q是棱上的动点． (1)求该四棱锥的高； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，试确定点Q所在的位置． 例4．（25-26高二上·江西景德镇·月考）已知底面ABCD是正方形，平面，点E、F分别为线段PB、CQ的中点. (1)求证：； (2)求点A到平面PCQ夹角的距离； (3)若点M是线段PQ上的动点，当直线EF与平面ACM所成角的正弦值取得最大值时，求的值. 变式1．（25-26高三上·山东·月考）如图，圆锥的轴截面PAB是边长为2的正三角形，C，D为底面圆周上的点，且是正三角形，E为母线PB上的一动点．    (1)若平面CDE，求PE的长； (2)若直线DE与平面所成角的正弦值为．求平面与平面夹角的余弦值． 变式2．（25-26高三上·山西·月考）如图，在直三棱柱中，，，是棱上一点（不包含端点），是的中点.    (1)若是的中点，求证：平面； (2)求证：三棱锥的体积为定值，并求出此定值； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 变式3．（25-26高三上·河南·月考）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点.    (1)求证：； (2)已知四点均在以为球心的球面上. ①求证：不与平面平行； ②若与平面所成角的正弦值为，求的长. 变式4．（25-26高二上·北京东城·月考）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且平面平面，在平面内过，交于，连接． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值： (3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长． 考点二 已知二面角求其他量 例1．（24-25高三上·贵州·月考）如图，在三棱柱中，，，平面平面，分别为的中点，且． (1)证明：平面 (2)在上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，找出点P的位置；若不存在，请说明理由 例2．（25-26高三上·宁夏·月考）如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上一动点满足，判断是否存在，使平面与平面夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例3．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图甲所示，已知在长方形中，，且为BC的中点，将图甲中沿折起，使得，如图乙. (1)求证：平面平面AECD； (2)若点为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点是线段上的动点，且满足，若平面与平面AECD的夹角为，求的值. 例4．（25-26高三上·河南郑州·月考）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，为等边三角形，，平面平面，为棱的中点，为棱上一点（不含端点），，． (1)若，证明：平面； (2)是否存在，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 变式1．（25-26高二上·重庆·月考）如图，在直四棱柱中，，是的中点，是线段上不与端点重合的动点． (1)证明:． (2)若点满足，且直线平面，求的值． (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 变式2．（25-26高二上·江西·月考）如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，且平面⟂平面为的中点. (1)求证：平面. (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离. 变式3．（2025·湖北·模拟预测）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，，是边长为的等边三角形，是的中点，为上一点. (1)若与交于点，满足平面，求的长； (2)设，若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值. 变式4．（25-26高三上·江苏南京·期中）如图，三棱柱的体积为分别是，的中点，是线段上的动点，且平面.    (1)若，求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $