专题 18.5 分式方程（ 知识梳理 +题型精析 + 同步练习）- 2025-2026学年人教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

本初中数学讲义聚焦分式方程核心知识点，系统梳理分式方程的概念、解法及增根原理，衔接整式方程基础，通过知识梳理搭建认知支架，题型精析从基础辨析、解方程到培优层增根与无解、整数解问题递进，形成完整学习脉络。 资料以★、★★分层设计题型，例题配变式训练，强化运算能力与推理意识，如培优篇“增根与无解”辨析深化逻辑推理。同步练习分基础巩固与能力提升，含选择、填空、解答题，课中辅助教学分层指导，课后助力学生查漏补缺，培养模型意识与应用能力。

专题 18.5 分式方程 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】分式方程的概念 1 【知识点二】分式方程的解法 1 【知识点三】分式的增根 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】分式方程的辨析 2 【★题型2】解分式方程 3 【★题型3】分式方程的增根 3 （二）培优篇 3 【★★题型4】解分式方程 3 【★★题型5】分式方程的增根与无解 4 【★★题型6】分式方程的整数解、正数解、负数解等问题 5 二．同步练习​ 5 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 5 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 7 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 【知识点二】分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【知识点三】分式的增根 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点提示： （1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】分式方程的辨析 【例题1】（23-24九年级下·上海·月考）下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D．关于的方程 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是 ．（请填写序号） 【小结归纳】 （1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【★题型2】解分式方程 【例题2】（根据人教版166页练习改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列分式方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期中）解方程： （1） （2） 【变式2】（25-26八年级上·辽宁盘锦·月考）解方程： （1） （2） 【★题型3】分式方程的增根 【例题3】（25-26八年级上·山东淄博·月考）若关于的方程有增根，则的值是（    ） A． B．5 C．和5 D．3 【变式1】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程有增根，则常数m的值为 ． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）已知关于x的分式方程，若方程有增根，求k的值． 【小结归纳】解分式方程增根求参数值的题型，核心解题思路是遵循分式方程增根的定义与求解步骤：先将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程，再确定使最简公分母为 0 的未知数的值（即增根），最后把增根代入整式方程，通过计算求出参数的取值；需要注意的是，当最简公分母为 0 能得到多个增根时，要把每个增根分别代入整式方程计算，避免遗漏参数的可能取值。 （二）培优篇 【★★题型4】解分式方程 【例题4】（25-26八年级上·重庆·月考）解下列分式方程： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级上·河北唐山·期中）下面是琪琪同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同时乘以___________，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 将系数化为1，得． 所以，原方程的解为． （1）这位同学解题过程中的横线处应该填___________，解题过程缺少的步骤是___________； （2）其他同学发现琪琪的解题过程出现多处错误，请你写出正确的解答过程． 【变式2】（25-26八年级上·湖南永州·期中）解分式方程： （1）； （2）． 【★★题型5】分式方程的增根与无解 【例题5】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于的分式方程． （1）若方程的增根为，求的值． （2）若方程无解，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知关于x的方程． （1）若方程有增根，则x的值为（   ） A．        B．0        C．1        D．2 （2）若方程无解，求a的值． 【变式2】（24-25九年级下·广东深圳·期中）下面是小虎在解决分式方程无解问题的分析过程： 解：第一步：去分母，得， 第二步：移项，得， 第三步：合并同类项，得， 第四步：化系数为1得， 第五步：若方程无解，则为增根，即， 第六步：∴． 请问小虎是从第 步开始出现错误，请你从这一步开始改正他的解法． 【小结归纳】解分式方程的增根与无解问题的综合题型，解题思路是明确“增根”与“无解”的联系与区别：增根是分式方程化为整式方程后产生的使原分式方程分母为 0 的根，而分式方程无解分两种情况，一是整式方程本身无解，二是整式方程有解，但这个解是原分式方程的增根；解题时需先将分式方程化为整式方程，再求出使最简公分母为 0 的增根，最后分“整式方程无解”和“整式方程的解为增根”两类情况讨论，代入计算求出参数取值，同时注意解法纠错题型中易出现的忽略 “整式方程无解” 情况的易错点。 【★★题型6】分式方程的整数解、正数解、负数解等问题 【例题6】（24-25八年级下·河北保定·期末）已知． （1）化简分式A； （2）若关于x的分式方程：的解是非负数，求m的取值范围． 【变式1】（25-26八年级上·广西贵港·期中）已知关于的分式方程． （1）若，求分式方程的根； （2）若分式方程的根为正数，求的取值范围． 【变式2】（25-26八年级上·北京房山·期中）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 【小结归纳】此类分式方程的整数解、正数解、非负数解的综合题型，涵盖分式化简、解含参分式方程、结合不等式求参数取值范围等内容，核心解题思路是：先按照分式方程的解法步骤将方程化为整式方程，求出用参数表示的方程的解；再根据题目对解的限定条件列出不等式，同时必须考虑分式方程有意义的前提 —— 分母不为 0，即解不能是增根；最后结合不等式的解集和参数的特殊要求，确定参数的最终取值范围，解题时需注意兼顾解的限定条件和分式方程的分母不为 0 这两个关键要点，避免因忽略增根而导致取值范围出错。 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 4．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 5．（25-26八年级上·广西来宾·期中）若关于的方程的解是1，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）数学课上，李老师在黑板上写了关于a的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解，A同学说：当时，方程的解为正数；B同学说：当时，方程的解为负数．关于两位同学的说法，正确的是（   ） A．只有A同学答对 B．只有B同学答对 C．A，B同学都答对 D．A，B同学都答错 二、填空题 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 8．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）方程的解为 ． 9．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程的根是负数，则的取值范围是 ． 10．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 11．（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 12．（25-26八年级上·山东济宁·月考）当时，分式（为常数）没有意义，那么当的值为3时的值是 ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）解分式方程： （1） （2）． 14．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解分式方程： （1） （2） 15．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）下面是于老师在批改作业时，薇薇同学和萱萱同学解分式方程的过程，请认真阅读后解决问题： 薇薇： 解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 萱萱： 解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （1）找出薇薇和萱萱解分式方程过程中的错误，并写出正确过程； （2）请你根据平时的学习经验，就解分式方程时需要注意的事项给其他同学提一条建议． 16．（20-21八年级上·河北唐山·期中）已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，若A，B两点关于原点对称． （1）当m＝2时，求x的值； （2）若不存在满足条件的x值，求m的值． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）分式方程的解是（   ） A．0 B．2 C．3 D．无解 2．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）方程（    ） A．解为 B．无解 C．解为任何实数 D．解为的任何实数 3．（23-24八年级下·河南开封·期末）解分式方程：，去分母得（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）如果关于x的分式方程 的解是正数，那么实数 m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 5．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）题目：“已知关于的分式方程无解，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 6．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知关于的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·上海虹口·期中）方程的解是 ． 8．（2021·上海·一模）如果关于的分式方程有增根，则 ． 9．（25-26八年级上·山东威海·月考）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是 ． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ． 11．（25-26八年级上·全国·期末）当 时，关于的方程无解． 12．（25-26八年级上·河北唐山·期中）的解为 ． 三、解答题 13．（23-24八年级上·山东泰安·期末）解方程： （1）． （2）． 14．（25-26八年级上·全国·月考）解方程： （1）； （2）． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程：． （1）当m为何值时，方程无解． （2）当m为何值时，方程的解为负数． 16．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． （1）根据上面的规律，猜想的解为 ； （2）利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； （3）解方程：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 18.5 分式方程 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】分式方程的概念 1 【知识点二】分式方程的解法 1 【知识点三】分式的增根 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】分式方程的辨析 2 【★题型2】解分式方程 4 【★题型3】分式方程的增根 6 （二）培优篇 8 【★★题型4】解分式方程 8 【★★题型5】分式方程的增根与无解 10 【★★题型6】分式方程的整数解、正数解、负数解等问题 13 二．同步练习​ 16 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 16 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 24 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 【知识点二】分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【知识点三】分式的增根 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点提示： （1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】分式方程的辨析 【例题1】（23-24九年级下·上海·月考）下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D．关于的方程 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键； 根据分式方程的定义逐项判断即可． 解：A、是一元一次方程，不是分式方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，故本选项符合题意； C、的分母含未知数，但不是整式，不是分式方程，故本选项不符合题意； D、关于的方程分母不含未知数，不是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是 ．（请填写序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出结果即可． 解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程； 方程③④分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 故答案为： ③④． 【小结归纳】 （1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【★题型2】解分式方程 【例题2】（根据人教版166页练习改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列分式方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）无解；（3）；（4）无解 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （3）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （4）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 解：（1）解： 方程两边乘，得， 解得：． 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． （2）解： 方程两边乘，得， 解得：． 检验：当时，， 所以不是原分式方程的解， 所以原分式方程无解． （3）解： 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． （4）解： 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 因此是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． 【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤及方法是解题关键； （1）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得，并检验即可； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；并检验即可． 解：（1）解： 经检验：是原分式方程的解； （2）解： 经检验：是原分式方程的解. 【变式2】（25-26八年级上·辽宁盘锦·月考）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 解：（1）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 【★题型3】分式方程的增根 【例题3】（25-26八年级上·山东淄博·月考）若关于的方程有增根，则的值是（    ） A． B．5 C．和5 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义． 分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 解：∵有增根， ∴的解为方程的增根， ∴为方程的增根， ∴ ， 将代入得， ， 故选D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程有增根，则常数m的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先去分母可得，再根据关于的方程有增根，可得，代入计算即可求解． 解：， 去分母得：，即， ∵关于的方程有增根， ∴， ∴， 将代入， 得， 故答案为：6． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）已知关于x的分式方程，若方程有增根，求k的值． 【答案】k的值为6或 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的根的情况求参数；按解分式方程的步骤把分式方程化为整式方程，整理得，根据分式方程有增根，得出或， 并把，分别代入中，进行计算，即可求得k的值． 解：， 分式方程两边同时乘上，得， ， 解得， 由题知，该分式方程有增根，即， 解得或， 当时，得，解得， 当时，得，解得， 综上所述，k的值为6或． 【小结归纳】解分式方程增根求参数值的题型，核心解题思路是遵循分式方程增根的定义与求解步骤：先将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程，再确定使最简公分母为 0 的未知数的值（即增根），最后把增根代入整式方程，通过计算求出参数的取值；需要注意的是，当最简公分母为 0 能得到多个增根时，要把每个增根分别代入整式方程计算，避免遗漏参数的可能取值。 （二）培优篇 【★★题型4】解分式方程 【例题4】（25-26八年级上·重庆·月考）解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解；（2） 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键． （1）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 解：（1）解： 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； （2）解： 去分母得：， 解整式方程得：， 把代入得：， ∴是原方程的根． 【变式1】（25-26八年级上·河北唐山·期中）下面是琪琪同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同时乘以___________，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 将系数化为1，得． 所以，原方程的解为． （1）这位同学解题过程中的横线处应该填___________，解题过程缺少的步骤是___________； （2）其他同学发现琪琪的解题过程出现多处错误，请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）；检验；（2） 【分析】本题考查分式方程的解法，解分式方程的步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，最后必须检验． （1）解分式方程时，需通过乘以最简公分母化为整式方程求解，之后必须检验解是否使原方程分母为零．琪琪的解题过程中，乘以公分母后计算错误，且缺少检验步骤； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，最后必须检验． 解：（1）解：这位同学解题过程中的横线处应该填，解题过程缺少的步骤是检验； 故答案为：；检验； （2）解： 方程两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 将系数化为1，得． 经检验，是原方程的解， 所以，原方程的解为． 【变式2】（25-26八年级上·湖南永州·期中）解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）方程两边同乘，将方程转化为整式方程，求解并检验即可； （2）方程两边同乘，将方程转化为整式方程，求解并检验即可 解：（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴是该分式方程的解． （2）解：， 方程两边同乘，得， 整理，得， 解得， 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 【★★题型5】分式方程的增根与无解 【例题5】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于的分式方程． （1）若方程的增根为，求的值． （2）若方程无解，求的值． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】本题主要考查分式方程的增根及无解，关键是将分式方程化为整式方程，结合增根的定义（使分母为的根）分析，易错点是混淆“增根导致无解”与“整式方程本身无解”的情况． （1）先将分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程求； （2）分“整式方程无解”和“整式方程的解是增根”两种情况求． 解：（1）解： 方程两边同时乘以得： 整理得： 将增根代入整式方程： 解得 （2）分式方程无解分两种情况： 情况 1：整式方程无解 当时，整式方程无实数解，故分式方程无解，此时； 情况 2：整式方程的解是增根 增根为（使分母为的根），由（1）知此时； 所以的值为或． 【变式1】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知关于x的方程． （1）若方程有增根，则x的值为（   ） A．        B．0        C．1        D．2 （2）若方程无解，求a的值． 【答案】（1）AC；（2）或或 【分析】． 本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握运算法则是解此题的关键 （1）根据原分式方程有增根得出，计算即可得解； （2）将分式方程化为整式方程可得，再根据分式方程无解分情况讨论即可得解． 解：（1）解：∵关于x的方程有增根， ∴， ∴或， 故选：AC； （2）解：去分母可得：， 整理可得， ∵方程无解， ∴当整理后的整式方程无解是，解得， 当方程有增根时，此时或，即或， 解得：或， 综上所述，或或． 【变式2】（24-25九年级下·广东深圳·期中）下面是小虎在解决分式方程无解问题的分析过程： 解：第一步：去分母，得， 第二步：移项，得， 第三步：合并同类项，得， 第四步：化系数为1得， 第五步：若方程无解，则为增根，即， 第六步：∴． 请问小虎是从第 步开始出现错误，请你从这一步开始改正他的解法． 【答案】四，见分析 【分析】本题考查了实解分式方程． 观察解分式方程的步骤，找出错误，然后分两种情况解答即可． 解：小虎是从第四步开始出现错误， ①若，则方程无解，此时 ②若， ， 若方程无解，则为增根，即 综上，或． 【小结归纳】解分式方程的增根与无解问题的综合题型，解题思路是明确“增根”与“无解”的联系与区别：增根是分式方程化为整式方程后产生的使原分式方程分母为 0 的根，而分式方程无解分两种情况，一是整式方程本身无解，二是整式方程有解，但这个解是原分式方程的增根；解题时需先将分式方程化为整式方程，再求出使最简公分母为 0 的增根，最后分“整式方程无解”和“整式方程的解为增根”两类情况讨论，代入计算求出参数取值，同时注意解法纠错题型中易出现的忽略 “整式方程无解” 情况的易错点。 【★★题型6】分式方程的整数解、正数解、负数解等问题 【例题6】（24-25八年级下·河北保定·期末）已知． （1）化简分式A； （2）若关于x的分式方程：的解是非负数，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）且 【分析】此题考查了分式的除法运算法则，完全平方公式和平方差公式，解分式方程，正确掌握分式的分解，运算法则，是解题的关键． （1）将分式的分子、分母分解因式，将除法化为乘法，约分计算即可； （2）将A、B的值代入解方程，根据解是非负数及分式有意义的条件，计算即可； 解：（1）解： ； （2）解： ∵分式方程的解是非负数， ∴，且， ∴且 解得且，， ∴m的取值范围且． 【变式1】（25-26八年级上·广西贵港·期中）已知关于的分式方程． （1）若，求分式方程的根； （2）若分式方程的根为正数，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）且 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． （1）利用解分式方程的步骤进行求解即可； （2）整理出方程的根，然后解一元一次不等式即可． 解：（1）解：当时，分式方程为 ， 经检验，当时，， ∴是原分式方程的根； （2）解： ， ∵分式方程的根为正数， ∴，且，即 解得且． 【变式2】（25-26八年级上·北京房山·期中）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组和一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．利用关于的一元一次不等式组的解集为，通过解不等式组确定的一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定的取值，同时满足两个条件的整数解即为答案． 解：， 解不等式①的解集为， 不等式②的解集为， ∵不等式组的解集为， ； 解关于的分式方程， ， ， 解得， ∵， ， 关于的分式方程的解是非负整数， ， ，，， 但时，是原方程的增根，舍去， ，， 符合条件的所有整数的所有取值为，． 【小结归纳】此类分式方程的整数解、正数解、非负数解的综合题型，涵盖分式化简、解含参分式方程、结合不等式求参数取值范围等内容，核心解题思路是：先按照分式方程的解法步骤将方程化为整式方程，求出用参数表示的方程的解；再根据题目对解的限定条件列出不等式，同时必须考虑分式方程有意义的前提 —— 分母不为 0，即解不能是增根；最后结合不等式的解集和参数的特殊要求，确定参数的最终取值范围，解题时需注意兼顾解的限定条件和分式方程的分母不为 0 这两个关键要点，避免因忽略增根而导致取值范围出错。 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此进行判断即可． 解：A．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意， B．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意， C．选项中的方程符合分式方程的定义，符合题意， D．选项是代数式，不是等式，不符合题意， 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程．先确定分式的最简公分母为，再把等式的左右两侧同时乘以即可． 解：等式两边同时乘以得，， 故选：C． 3．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，表示出分式方程的解是解本题的关键． 先求解分式方程，得到解，根据解为负数且分母不为零的条件，列出不等式和排除条件即可求解． 解：由题意得， 解得， ∴分母， ∴， ∵解为负数， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴且． 故选：B． 4．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 5．（25-26八年级上·广西来宾·期中）若关于的方程的解是1，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的解，准确的计算是解决本题的关键． 将方程的解代入原方程，求解m的值． 解：∵是方程的解， ∴ ， ， 解得． 故m的值为， 故选B． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）数学课上，李老师在黑板上写了关于a的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解，A同学说：当时，方程的解为正数；B同学说：当时，方程的解为负数．关于两位同学的说法，正确的是（   ） A．只有A同学答对 B．只有B同学答对 C．A，B同学都答对 D．A，B同学都答错 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的方法．解分式方程，分析解的符号，判断两位同学的说法是否正确． 解：解分式方程得：， 当时，且，解为正数，A同学说法错误； 当时，，解为负数，B同学说法正确， 故选：B． 二、填空题 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】该题考查了分式方程的定义，分式方程是指分母中含有未知数的方程．判断时需满足两个条件：一是方程为等式，二是分母中含有未知数． 解：方程①的分母中含未知数，故是分式方程；②不是方程，故不是分式方程；方程③的分母是常数，不含未知数，故不是分式方程；方程④的分母中含未知数，故是分式方程． 故答案为：①④． 8．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查解分式方程，通过交叉相乘将分式方程转化为整式方程求解，再检验即可． 解：方程两边同时乘以 ，得 ， 解得 ， 检验：当 时，， 所以原分式方程的解为 ， 故答案为． 9．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程的根是负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解情况求参数，将原方程去分母并解得的值，然后根据题意得到关于的不等式，解不等式即可． 解：原方程去分母并整理得：， 解得： 原方程的根是负数， 且， 解得：且， 故答案为：且． 10．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程无解的知识点，分式方程无解有两种情况：整式方程无解或分母为，本题中简后的整式方程总有解，因此只需考虑增根的情况． 解：， 得 即 去分母得： 解得 若分式方程无解，则其解为增根，即， ∴时方程无解 故答案为2． 11．（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键． 先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可． 解： 去分母，得， 解得：， 分式方程的增根为： ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得：，且． 故答案为：且． 12．（25-26八年级上·山东济宁·月考）当时，分式（为常数）没有意义，那么当的值为3时的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分式无意义的条件（分母为0）以及分式方程的求解；解题的关键是先根据分式无意义的条件求出常数的值，再代入建立分式方程求解 先由“当时分式无意义”，根据分式无意义的条件（分母为0）得,求出；再根据“分式的值为3”建立方程,两边同乘分母去分母转化为整式方程，求解后检验分母不为0，确定的值。 解：∵当时，分式没有意义， ∴分式分母为0，即, 解得,此时分式为. 当时，两边同乘（）得, 展开右边得, 移项得, 合并同类项得, 解得. 检验：当时，,符合题意， 故答案为：. 三、解答题 13．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）解分式方程： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元一次），解题关键是掌握解分式方程并能熟练运用求解． （1）去分母，移项，合并同类项，即可求解，再检验根； （2）去分母，移项，合并同类项，即可求解，再检验根． 解：（1）解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 即， 经检验：是原分式方程的解； （2）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 经检验：是原分式方程的解． 14．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解分式方程： （1） （2） 【答案】（1）无解；（2） 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法，是解题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 解：（1）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 15．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）下面是于老师在批改作业时，薇薇同学和萱萱同学解分式方程的过程，请认真阅读后解决问题： 薇薇： 解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 萱萱： 解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （1）找出薇薇和萱萱解分式方程过程中的错误，并写出正确过程； （2）请你根据平时的学习经验，就解分式方程时需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】（1）薇薇解分式方程的错误是：去分母时漏乘整式项，导致后面的步骤全部错误；萱萱解分式方程的错误是：解方程没有验根；过程见分析；（2）方程两边同乘最简公分母时，每一项都要乘，不要漏掉 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）薇薇去分母时，常数项漏乘最简公分母，出错，萱萱没有进行检验出错，根据解分式方程的步骤解方程即可； （2）根据两位同学的错误，提出建议即可． 解：（1）薇薇解分式方程的错误是：去分母时漏乘整式项，导致后面的步骤全部错误， 萱萱解分式方程的错误是：解方程没有验根， 正确过程为： 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 是原分式方程的解； （2）①方程两边同乘最简公分母时，每一项都要乘，不要漏掉， ②解分式方程必须要验根等．（答案不唯一） 16．（20-21八年级上·河北唐山·期中）已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，若A，B两点关于原点对称． （1）当m＝2时，求x的值； （2）若不存在满足条件的x值，求m的值． 【答案】（1）x＝10；（2）m＝﹣1． 【分析】（1）根据“A，B两点关于原点对”可得+＝0，再把m＝2代入得到关于 的分式方程，解出即可； （2）根据“不存在满足条件的x值，”可得 ，即可求解． 解：（1）根据题意得：+＝0， 把m＝2代入得： ， 去分母得：2﹣（x﹣8）＝0， 解得：x＝10； （2）+＝0， 去分母得：m﹣（x﹣8）＝0， ∵已知不存在满足条件x的值， ∴该方程无解， ∴ ，得到x＝7， 把x＝7代入m﹣（x﹣8）＝0得：m﹣（7﹣8）＝0， 解得：m＝﹣1． 【点拨】本题主要考查了数轴，解分式方程和分式方程的增根问题，理解数轴上A，B两点关于原点对称的含义，得到方程是解题的关键． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）分式方程的解是（   ） A．0 B．2 C．3 D．无解 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，掌握知识点是解题的关键． 根据解分式方程的步骤求解即可． 解： 方程两边同乘以，得 解得， 经检验，不是原方程的解，原方程无解． 故选D． 2．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）方程（    ） A．解为 B．无解 C．解为任何实数 D．解为的任何实数 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程解法，解分式方程需考虑分母不为零的条件，方程两边分母相同，直接比较分子，但所得解使分母为零，故无解． 解：∵ 分母 ，即 ， 又 ∵ ， ∴ 两边同乘 （），得 ， 但 与 矛盾， ∴ 原方程无解． 故选B． 3．（23-24八年级下·河南开封·期末）解分式方程：，去分母得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程． 首先观察分母和互为相反数，即，从而将方程简化后去分母． 解：∵， ∴原方程可化为：， 去分母得， 即． 故选：A． 4．（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）如果关于x的分式方程 的解是正数，那么实数 m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程，得到解的表达形式，再根据解为正数且分母不为零，列出不等式求解． 解：∵ ， 去分母得，， ∴ ，且，即． ∵ 解是正数， ∴ ，即 ， ∴ ． 综上，， 故选：C． 5．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）题目：“已知关于的分式方程无解，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程无解需考虑整式方程无解和增根两种情况，缺一不可． 根据分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解（矛盾），二是解出的根使分母为零（增根）．通过化简方程，分别讨论m的值． 解：∵ 去分母，， 整理得： ， 情况一：当 ，即 时，无解． 情况二：当 时， ，若 ，则分母为零，无解，此时 ，解得 ∴ 当 时，方程有增根 ，无解． 综上， 或 时，方程无解． 甲答 ，乙答 ，两者合在一起才完整． 故选C． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知关于的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组，解决本题的关键是按照解一元一次不等式组的方法解出不等式组．首先判断不等式组无解的条件，再求解分式方程的正整数解．将满足两个条件的整数a求和． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因为不等式组无解，即， 解得：， ， 去分母，得：， 解得：， 关于y的分式方程的解为正整数， 所以， 因为a为整数， 所以：时；时，满足题意； 所有满足条件的整数a的和为：． 故选：A． 二、填空题 7．（25-26八年级上·上海虹口·期中）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的解法是解题的关键．根据分式方程的解法即可求解． 解：， ， 解得， 经检验，当时，， 原方程的解是， 故答案为：． 8．（2021·上海·一模）如果关于的分式方程有增根，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是熟练掌握分式方程增根的产生原因，增根的求法．分式方程去分母，化成整式方程，求出，再根据分式方程有增根，得到，求出的值，进而求出m值即可． 解：， 方程两边同时乘得：， 整理得， 解得， 关于的分式方程有增根， ， 或， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上可知，或， 故答案为：或． 9．（25-26八年级上·山东威海·月考）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了已知分式方程的解求参数， 设“？”代表的数为m，将分式方程转化为整式方程，利用增根使分母为零且满足整式方程的性质，代入求解m． 解：设“？”代表的数为m，则原方程为． 去分母得， ∵方程的增根是， ∴把代入得， ∴ 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求值．再解答时注意分母不能为0的条件．将分式方程化为整式方程，解得，根据解为非正数且分母不为零的条件，确定的取值范围． 解：， ， ， ， ， 解得， 由于解为非正数，即， 所以， 即， 又因为分母且，即且， 当时，，解得，但此时，不符合非正数条件； 当时，，解得，但此时分母，分式无意义， 因此需排除， 故的取值范围是且． 故答案为：且． 11．（25-26八年级上·全国·期末）当 时，关于的方程无解． 【答案】或1或6 【分析】此题考查分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可． 解：由原方程得：， 整理得： （i）当，即时，原方程无解； （ii）当，原方程有增根， 当时，，即； 当时，，即， 即当，或时原方程无解， 故答案为：，或． 12．（25-26八年级上·河北唐山·期中）的解为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了解分式方程，左边每个分式拆项为两个分式的差，先简化；右边合并分式，然后解方程并检验即可求解． 解：方程左边每个分式拆项： 求和后中间项抵消，左边简化为： y右边化简为： 当时，方程化为： 解得．经检验是原方程的解． 故答案为：． 三、解答题 13．（23-24八年级上·山东泰安·期末）解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2）原方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键，最后的检验是易错点． （1）先变形方程，然后通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； （2）先变形方程，然后通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 解：（1）解：， ， ， ， ， 检验：将代入中可得， 所以是原方程的解． （2）解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 是原方程的增根，舍去； 原方程无解． 14．（25-26八年级上·全国·月考）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原方程无解；（2） 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）先两边同时乘以，转化为一元一次方程后求解并检验即可； （2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验即可． 解：（1）解： ， 检验：当时，，故不是该方程的解， ∴该方程无解． （2）解： ， 检验：当时，，故是该方程的解， ∴该方程的解为． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程：． （1）当m为何值时，方程无解． （2）当m为何值时，方程的解为负数． 【答案】（1）或4；（2）且 【分析】（1）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答； （2）通过解分式方程得到x的值，然后根据已知条件列出关于m的不等式，通过解不等式可以求得m的值． 本题考查了分式方程的解法，以及分式方程无解的问题，理解分式方程无解的条件是解题的关键． 解：（1）由原方程，得， ①整理，得， 当即时，原方程无解； ②当分母即时，原方程无解， 故， 解得， 综上所述，或4； （2）由（1）得到， 当时．， 解得， 由（1）知：时，原方程无解； 所以综上所述，且． 16．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． （1）根据上面的规律，猜想的解为 ； （2）利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； （3）解方程：． 【答案】（1），；；（2），，；（3），． 【分析】（1）仿照材料解方程，归纳总结得到结果； （2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 解：（1）解：根据上面的规律，猜想的解为：，． 故答案为：， （2）解：由， 得， ∴， ∴， 由（1）中法规律得方程的解为：， ； （3）解：由， 得， ∴， ∴， ∴， ∴，或， 解得，． 【点拨】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $