精品解析：山东省大联考2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025—2026学年高二12月联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，直线的斜率为，则（ ） A. -5 B. -2 C. 2 D. 5 2. 甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9.两人各射击1次，则恰有一人脱靶的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.08 C. 0.18 D. 0.72 3. 在空间四边形中，，点在上，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个古典概型的样本空间和事件，其中，，下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与互斥 C. D. 事件与相互独立 6. 已知两定点，，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 4 7. 如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）．已知椭圆，坐标原点到点处切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是钝角 C. 若向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 点到点的距离为定值 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知是抛物线的焦点，不过原点的直线与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线过点，则的最小值为4 B. 若直线过点，点在第一象限，，则直线的倾斜角为 C. 若，线段的中点为，则到轴的距离最小值是2 D. 若直线过点，则原点在以线段为直径的圆内 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有2个，则实数的取值范围是__________. 13. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球､3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则摸到一个红球一个黄球的概率是__________. 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，若的内切圆的圆心为，且满足与为坐标原点）的纵坐标互为相反数，则双曲线的渐近线的方程为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求切线的方程； （2）已知直线，判断直线与圆的位置关系，如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 16. 某地举行足球赛，共有16支球队参加.赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮），然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰）.现16支球队分为四组，每组4支球队.已知甲､乙､丙､丁4支球队分在组，甲队胜乙队､丙队､丁队的概率分别为.假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变. （1）求甲队在小组单循环比赛中胜两场及两场以上的概率； （2）已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对组每支球队的胜率均为，乙队对组每支球队的胜率均为，求乙队夺冠的概率. 17. 已知双曲线，其实轴长为2，离心率为. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点作的两条切线，设直线的斜率分别为，若，求实数的取值范围. 18. 如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点在棱上，且. （1）若，证明：平面； （2）当异面直线与所成角为时，求实数的值； （3）求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 19. 已知曲线上的动点满足点与定点的距离和到定直线：的距离之比是常数.圆：.点为一动点. （1）求曲线的方程； （2）过点作曲线的两条切线，切点分别为两点.证明：直线过定点：（参考公式：若为椭圆上的点，则其在处的切线方程为.） （3）若直线与圆相切于点，且交曲线于两点.证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高二12月联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，直线的斜率为，则（ ） A. -5 B. -2 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点求斜率的公式求得正确答案. 【详解】因为，所以， 故选：D 2. 甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9.两人各射击1次，则恰有一人脱靶的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.08 C. 0.18 D. 0.72 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的加法公式、对立事件的概率公式，结合概率的乘法公式进行求解即可. 【详解】两人各射击1次，甲中靶，乙脱靶的概率为， 两人各射击1次，甲脱靶，乙中靶的概率为， 所以有一人脱靶的概率为， 故选：A 3. 在空间四边形中，，点在上，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理及向量的加法表示出即可求解． 【详解】由， 得， 所以， 故选：B． 4. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求圆C的圆心关于直线对称点即可求得所求圆圆心，进而得解. 【详解】圆的圆心为，半径为5， 设圆心关于直线对称点坐标为， 由题意得，解得，即对称圆的圆心为， 所以圆C关于直线对称的圆的方程为. 故选：B 5. 如图是一个古典概型的样本空间和事件，其中，，下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与互斥 C. D. 事件与相互独立 【答案】A 【解析】 【分析】对A，根据容斥原理判断；对B，根据互斥定义判断；对C，由古典概型概率计算公式计算；对D，由相互独立的定义判断. 【详解】对于A：由可得，A正确； 对于B：由可知，事件与不互斥，B错误； 对于C：由图知，，所以，C错误； 对于D：因为， 所以，D错误； 故选：A. 6. 已知两定点，，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程，得到阿波罗尼斯圆的圆心的坐标及半径的值，再利用阿氏圆的常用公式，快速求出的值，即可得解. 【详解】设阿波罗尼斯圆的圆心为，半径为， 因为阿波罗尼斯圆方程为，所以. 因为，，所以， 代入阿氏圆的常用公式，可得，又，解得. 又由阿氏圆的常用公式，可得. 所以． 故选：B 7. 如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】过点向线段的延长线作垂线，垂足为，因为， 所以，所以，因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与所成角为，则， 所以，， 故选：B. 8. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）．已知椭圆，坐标原点到点处切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线均为，求出点到的距离，结合椭圆的定义得到原点到点处切线的距离，得到方程，求出，，由余弦定理，，得到，求出离心率. 【详解】如图，是的平分线，则⊥， 设，则， 根据椭圆的光学性质，点处切线与直线均为， 故点到的距离分别为， ， ∵为的中点， ∴由梯形中位线性质得，原点到点处切线的距离为 ， ∴，故，， 又，由余弦定理，可得 ， ∴，即，故， ∴ 的离心率为. 故选：C． 【点睛】求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是钝角 C. 若向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用共线定理和共面定理可判断A；考虑共线反向可判断B；利用反证法判断C；利用空间向量共面的推论判断D. 【详解】A选项，因空间中任意两个向量是共面的， 故若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； B选项，若，则与的夹角是钝角或者平角，故B错误； C选项，若是共面的向量，则存在实数使得， 即，则向量是共面的向量， 与向量是不共面的向量矛盾， 所以是不共面的向量，故C正确； D选项，因，则由空间向量共面的推论可知，四点共面， 故D正确. 故选：ACD 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 点到点的距离为定值 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】整理可得点的轨迹为圆，根据为该圆圆心可知A正确；利用可求得B正确； 利用的几何意义将问题转化为点到点的距离的最大值，利用圆的几何性质可求得C错误； 采用三角换元的方式，结合辅助角公式和正弦型函数最值可求得D正确. 【详解】对于A，由得：， 点的轨迹是以为圆心，半径的圆，点到点的距离为该圆的半径，即定值，A正确； 对于B，，，的最大值为，B正确； 对于C，的几何意义为点到点的距离， 圆心到点的距离，的最大值为，C错误； 对于D，设，，，， ，，当，即时，取得最大值，最大值为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知是抛物线的焦点，不过原点的直线与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线过点，则的最小值为4 B. 若直线过点，点在第一象限，，则直线的倾斜角为 C. 若，线段的中点为，则到轴的距离最小值是2 D. 若直线过点，则原点在以线段为直径的圆内 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，联立方程组，求得，由，可判定A；根据抛物线的焦半径公式，求 得，结合斜率和倾斜角的定义，可判定B；分析直线过抛物线的焦点和直线不过抛物线的焦点，两种 情况讨论可求得到轴的距离，可判定C；根据抛物线的定义过点作，得到以为直径的圆与准线相切，可 判定D. 【详解】由抛物线的焦点，准线方程为，设， 对于A，根据抛物线的定义，可得， 则， 设，联立方程组，整理得， 则，所以， 所以，当时取等号，所以的最小值为，A正确； 对于B，由抛物线的定义，可得，解得，则. 因为点在第一象限，可得，即，所以， 设的倾斜角为，可得，所以，所以B错误； 对于C，当直线过抛物线的焦点时，则， 可得，因为是线段的中点，所以， 所以到轴的距离为； 当直线不过抛物线的焦点时，可得， 所以，解得. 因为是线段的中点，所以，即到轴的距离大于， 综上可得，所以到轴的距离的最小值为，所以 C正确； 对于D，由直线过抛物线的焦点，过分别作，垂足分别为， 根据抛物线的定义，可得，且 在过点作，垂足为，可得， 所以以为直径的圆与准线相切. （几何直观）由图可知，为钝角，所以，所以原点在以为直径的圆的圆内. （代数证明）设，由A可知，，， ，， ，所以， 故原点在以为直径的圆内，所以D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有2个，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的距离可计算. 【详解】由题意可知，点到直线的距离， 即，得或， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球､3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则摸到一个红球一个黄球的概率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据不放回抽取的性质，结合古典概型的运算公式进行求解即可. 【详解】不放回抽取,第一次抽到红球，第二次抽到黄球的概率为， 不放回抽取,第一次抽到黄球，第二次抽到红球的概率为， 所以摸到一个红球一个黄球的概率是， 故答案为： 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，若的内切圆的圆心为，且满足与为坐标原点）的纵坐标互为相反数，则双曲线的渐近线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据与的纵坐标互为相反数，求出点的纵坐标，再根据等面积及双曲线的定义求出，从而可求出点的坐标，代入双曲线方程即可得解． 【详解】设，内心为， 依题意可设， 因为与为坐标原点）的纵坐标互为相反数， 所以，解得， 因为的内切圆的圆心为，所以的内切圆的半径为， 由等面积可得， 化简得， 又，点在双曲线的右支上， 所以， 因为， 所以 ， 则，解得， 所以的坐标为， 代入双曲线方程中，得，解得， 所以双曲线的渐近线的方程为， 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求切线的方程； （2）已知直线，判断直线与圆的位置关系，如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【答案】（1）或. （2）直线与圆相交，弦长为 【解析】 【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出的值，综合可得出直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，并与半径比较大小，结合勾股定理可求得直线被圆截得的弦长. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，则直线的方程为，即， 由题意得，解得，此时直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 直线被圆所截得的弦长为. 16. 某地举行足球赛，共有16支球队参加.赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮），然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰）.现16支球队分为四组，每组4支球队.已知甲､乙､丙､丁4支球队分在组，甲队胜乙队､丙队､丁队的概率分别为.假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变. （1）求甲队在小组单循环比赛中胜两场及两场以上的概率； （2）已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对组每支球队的胜率均为，乙队对组每支球队的胜率均为，求乙队夺冠的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式进行求解； （2）计算出甲队和乙队分别进入决赛的概率，从而得到甲队进入决赛乙队夺冠的概率和甲队没进入决赛乙队夺冠的概率，相加即可. 【小问1详解】 设在一轮比赛中，甲队胜乙队为事件，甲队胜丙队为事件，甲队胜丁队为事件， 由题得， 设甲队在第一轮比赛中胜两场及两场以上的事件为， 则， 由题可得， . 因此，甲队在小组单循环比赛中胜两场及两场以上的概率为． 【小问2详解】 由题得，甲队进入决赛的概率为， 乙队进入决赛的概率为， 则甲队进入决赛乙队夺冠的概率为， 甲队没进入决赛乙队夺冠的概率为， 因此，乙队夺冠的概率为． 17. 已知双曲线，其实轴长为2，离心率为. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点作的两条切线，设直线的斜率分别为，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求出a，c值，根据a，b，c的关系，可得，即可得答案. （2）设切线方程为，与双曲线T联立，可得关于x的方程，由题意得，可得关于k的方程，则该方程也要有两个不同的实根，结合韦达定理，分析计算，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得，解得，离心率，解得， 又， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设切线方程为，与双曲线T联立， 得， 由得， 化简可得关于k的方程， 该方程也要有两个不同的实根， 所以，解得且， 由韦达定理得，由且， 解得或，即实数的取值范围是. 18. 如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点在棱上，且. （1）若，证明：平面； （2）当异面直线与所成角为时，求实数的值； （3）求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据中位线性质和基本事实4可证得，再根据线面平行的判定定理即可证得结论； （2）根据题设条件建立空间直角坐标系，设，求出相关点和向量的坐标，结合即可求得的值； （3）利用（2）中建立的坐标系分别求出两平面的法向量，根据空间向量夹角的坐标公式表示出两平面夹角余弦的解析式，结合二次函数的性质即可求得范围. 【小问1详解】 如图，连接，交于，连接，则为的中点，又为的中点，所以； 当时，为的中点，又为的中点，所以； 所以，又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 如图，连接，由正四棱锥可知两两相互垂直，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 所以，所以， 所以，； 因为异面直线与所成角为，所以，解得， 实数的值为； 【小问3详解】 由（2）知，， 所以； 设平面的一个法向量为，则 ，即，取，则，所以； 设平面的一个法向量为，则 ，即，取，则，所以； 设平面与平面的夹角为， 则， 因为，所以函数， 所以， 即平面与平面夹角余弦值的取值范围是. 19. 已知曲线上的动点满足点与定点的距离和到定直线：的距离之比是常数.圆：.点为一动点. （1）求曲线的方程； （2）过点作曲线的两条切线，切点分别为两点.证明：直线过定点：（参考公式：若为椭圆上的点，则其在处的切线方程为.） （3）若直线与圆相切于点，且交曲线于两点.证明：为定值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出方程并化简即得. （2）设出点的坐标，写出切线的方程，进而求出直线方程即可得证. （3）按直线的斜率是否存在，设出方程并与椭圆方程联立，结合圆心到直线距离及向量数量积的坐标表示求出，再利用数量积的运算律计算得证. 【小问1详解】 依题意，，化简整理得， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 设点，则切线的方程分别为，， 因此，显然点的坐标满足方程，则直线的方程为， 对于任意实数，当时，恒有，即直线过定点， 所以直线过定点. 【小问3详解】 当直线的斜率存在时，设其方程为，， 由直线与圆相切于点，得，，则， 由消去并整理得， 则， ，， 因此 ，当直线的斜率不存在时，其方程为或， 由，解得，，于是， 所以为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $