5.4.2二次函数y=ax²+k的图象和性质同步练习2025-2026学年青岛版数学九年级下册

二次函数y=ax²+k的图象和性质参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C C A B A D C 题号 11 答案 D 1．A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，依据题意，由解析式，直接代入对称轴公式“直线”，从而可以判断得解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，，， ∴对称轴为直线． ∴对称轴为y轴． 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的开口方向、对称轴、最值及增减性． 由二次项系数判断开口方向；根据顶点式确定对称轴与最值；结合对称轴分析增减性． 【详解】解：对于二次函数． A、 ，图象开口向上，此选项不符合题意； B、顶点坐标为，函数最小值为1，此选项不符合题意； C、对称轴为，开口向上，故当时，随的增大而减小，此选项不符合题意； D、图象的对称轴为直线，并非，此选项符合题意． 故选：D． 3．A 【详解】∵正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小， ∴该正比例函数图象经过第二、四象限，且m＜0． ∴二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴． 综上所述，符合题意的只有A选项． 故选A． 4．C 【分析】本题考查了比较一次函数的函数值大小问题，根据一次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴随着的增大而增大， ∵点在一次函数的图象上，且， ∴ 故选：C ． 5．C 【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为y轴，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，根据二次函数图象的对称性可知，点A和点B关于对称轴对称，就可以得出答案. 【详解】解：对称轴为y轴，开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵2＜5， ∴y2＞y3， 根据二次函数图象的对称性可知，点A和点B关于对称轴对称， ​故y1=y2＞y3. 故选C. 【点睛】此题考查二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，解题关键在于利用函数的对称性及增减性． 6．A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象平移规则“上加下减”求解即可． 【详解】将抛物线平移后得到抛物线， 平移的方法可以是向下平移3个单位长度． 故选：A． 7．B 【分析】根据二次函数平移的性质可得两个抛物线的形状相同，求得平移距离即可求解． 【详解】解：根据题意可知，两个抛物线的形状相同 ∴y1-y2=-x2+1-（-x2-1）=2 ∴阴影部分面积=（y1-y2）×|2-（-2）|=2×4=8 故答案为：B. 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移的性质是解题的关键． 8．A 【分析】根据二次函数的图像和性质逐项分析即可． 【详解】A.因为，，这三个二次函数的图像对称轴为，所以都关于轴对称，故选项A正确，符合题意； B.抛物线，的图象开口向上，抛物线的图象开口向下，故选项B错误，不符合题意； C.抛物线，的图象不经过原点，故选项C错误，不符合题意； D.因为抛物线，，的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图象，故D选项错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟记二次函数的图像和性质是解题的关键． 9．D 【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：当a＞0时，，所以，函数y＝的图象位于二、四象限，y＝ax2﹣a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合； 当a＜0时，，函数y＝的图象位于一、三象限，y＝ax2﹣a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大． 10．C 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象，反比例函数图形的性质是解题的关键．根据图形所在象限判定的符号，即可求解． 【详解】解：A、根据反比例函数图形可得，，则， ∴二次函数图象开口向下，与轴的交点在轴上方，原选项不符合题意； B、根据反比例函数图形可得， ，则 ， ∴二次函数图象开口向下，与轴的交点在轴上方，原选项不符合题意； C、根据反比例函数图形可得，，则 ， ∴二次函数图象开口向下，与轴交点在轴上方，原选项符合题意； D、根据反比例函数图形可得，，则， ∴二次函数图象开口向上，与轴的交点在轴下方，原选项不符合题意； 故选：C． 11．D 【分析】本题考查抛物线的对称性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 由题意可得互为相反数，即，由此可以确定所求的函数值． 【详解】∵在中，当x取时，函数值相等，抛物线的对称轴是y轴， ∴互为相反数， ∴， 当时，． 故答案为：D． 12． 【分析】本题考查二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征． 根据二次函数的性质，由于0，函数图象开口向上，对称轴为轴．点和点的横坐标均为负数，且位于对称轴左侧，在此区域内函数值随的增大而减小．由于，因此． 【详解】解：由二次函数，可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为轴， 当时，随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 抛物线在对称轴右侧下降，表明抛物线开口向下，因此二次项系数小于零． 【详解】解：抛物线的二次项系数为， 由题意，抛物线开口向下， 故， 解得， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二次函数，由于抛物线开口向下，对称轴为轴，点和点的横坐标与对称轴的距离不同，点距离更远，因此其纵坐标较小． 【详解】抛物线 的二次项系数为负，故开口向下，对称轴为 ， 点 的横坐标与对称轴的距离为 ， 点 的横坐标与对称轴的距离为 ， 由于点距离对称轴更远，且抛物线开口向下， 故 ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了二次函数的性质． 分别计算各点的函数值，进而比较即可． 【详解】解：，，， 由于为常数，比较的大小即比较的大小． ， 因此． 故答案为：． 16．< 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，通过计算二次函数在和处的函数值，比较和的大小． 【详解】解：对于点，代入函数得； 对于点，代入函数得， 由于，因此． 故答案为：＜． 17．能，向左平移5或13个单位 【分析】本题考查二次函数的平移，根据抛物线平移的规律，向右平移h个单位后，a不变，括号内变“减去h”；若向左平移h个单位，括号内应“加上h”，即“左加右减”解题即可． 【详解】能，设平移后的函数为， 将代入得， 所以或， 所以平移后的函数为或 即抛物线的顶点为或， 所以向左平移5或13个单位． 18． 【分析】可得，从而可求，，由即可求解． 【详解】解：由题意得 ， ， 解得：，， ，， ， ， (米)； 答：这两盏灯的水平距离是米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，无理数估算，掌握解法是解题的关键． 19．（1）抛物线解析式为y=x2﹣1；（2）△ABM为直角三角形．理由见解析；（3）当m≤时，平移后的抛物线总有不动点． 【分析】（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）根据OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分别得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，进而得到△ABM是直角三角形； （3）根据抛物线的平以后的顶点设其解析式为.∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴，方程总有实数根，则≥0，得到m的取值范围即可 【详解】解：（1）∵点A是直线与轴的交点， ∴A点为（-1，0） ∵点B在直线上，且横坐标为2， ∴B点为（2，3） ∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为： ∴，解得： ∴抛物线的解析式为． （2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下： 作BC⊥轴于点C， ∵A（-1，0）、B（2，3） ∴AC＝BC＝3， ∴∠BAC＝45°； 点M是抛物线的顶点， ∴M点为（0，-1） ∴OA＝OM＝1， ∵∠AOM＝90° ∴∠MAC＝45°； ∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90° ∴△ABM是直角三角形． （3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为． ∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴ 化简得： ∴＝＝ 当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点 ∴． 考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别式） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数y=ax²+k的图象和性质 一、单选题 1．抛物线的对称轴是（    ） A．y轴 B．x轴 C．直线 D．直线 2．对于二次函数y=2x²+1，下列说法中不正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时随的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 3．在同一平面直角坐标系中，若正比例函数，y随x的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（     ） A．（A） B．（B） C．（C） D．（D） 4．已知点在一次函数的图象上，且，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．已知点A，B，C在二次函数y=-3x2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．将抛物线平移后得到抛物线，平移的方法可以是（   ） A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 7．如图，两条抛物线 与分别过点（， ）（2，）且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴部分的面积为（　　）   A．10 B．8 C．6 D．4 8．若在同一直角坐标系中，作，，的图像，则它们（    ） A．都关于y轴对称 B．开口方向相同 C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到 9．已知a≠0，函数y＝与y＝ax2﹣a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（      ） A． B． C． D． 11．二次函数，当x取时，函数值相等．则当x取时，函数值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是：m n．（填“>”、“=”或“<”） 13．抛物线在对称轴的右侧下降，那么的取值范围是 ． 14．若点、在抛物线上，则 （填“>”或“<”） 15．已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为 ．（用“”连接） 16．若点都在二次函数的图象上，则 ．（用“＞”或“＜”填空） 三、解答题 17．能否向左或向右平移函数的图象，使得到的新的图象过点？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 18．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点，处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是多少米？（精确到1米） 19．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM． （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断△ABM的形状，并说明理由； （3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $