2025-2026学年高二上学期物理期末复习专题二：电场性质的综合应用和带电粒子在电场中的力电综合

该高中物理导学案聚焦电场性质综合应用及带电粒子在电场中的运动，涵盖电场图像问题、功能关系、电容器动态分析等七大考点，通过回顾电场强度、电势等基础概念搭建学习支架，衔接从基础到综合应用的知识脉络。 资料亮点在于系统梳理v-t、φ-x等电场图像的物理意义及应用，例题与知识点紧密结合，素养提升题综合性强，助力学生深化物理观念（能量、运动与相互作用），培养科学思维（模型建构、科学推理），高效掌握重点，提升问题解决能力。

专题二：电场性质的综合应用和带电粒子在电场中的力电综合 考点一：电场中的图像问题 【知识回顾】 1.v－t图像 根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。 2.φ－x图像 (1)电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)．切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零． (2)在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向．(如图) (3)电场中常见的φ－x图像 ①点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图． ②两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图． ③两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图． 3.E－x图像 (1)E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向． (2)E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况． (3)电场中常见的E－x图像 ①点电荷的E－x图像 正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示． ②两个等量异种点电荷的E－x图像，如图． ③两个等量正点电荷的E－x图像，如图． 4.Ep－x图像、Ek－x图像 (1)Ep－x图像 由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图像的切线斜率k＝，其大小等于静电力，斜率正负代表静电力的方向． (2)Ek－x图像 当带电体只有静电力做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x图像的切线斜率k＝，其大小表示静电力． 【例题】 1.A、B是电场中一条电场线上的两点，如图甲所示，t=0时刻，一个电子从A点由静止释放，仅在静电力作用下从A点运动到B点，该过程中其速度v随时间t的变化图像如图乙所示。关于该电场，下列说法正确的是（　　） A．可以判断出电场线的方向是由A到B B．A点的电场强度大小小于B点的电场强度大小 C．该电子在A点的电势能大于在B点的电势能 D．该电子在A点的电势能小于在B点的电势能 【答案】C 【详解】A．电子带负电，向右做加速运动，说明受电场力向右，场强方向由B到A，故A错误； B．根据v−t图像可知，斜率越来越小，即电子加速度越来越小，根据 可得A点的电场强度大小大于B点的电场强度大小，故B错误； CD．电子速度增大，动能增大，根据动能定理，可知电场力做正功，故电子电势能减小，故C正确，D错误。 故选C。 2.两个点电荷、分别固定在x轴上的O、M两点，在两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图所示，其中A、N两点的电势均为零，ND段中C点的电势最高。下列说法正确的是（　　） A．C点的电场强度为零 B．为负电荷，为正电荷 C．A、N两点的电场强度方向相同 D．将一负点电荷从D移到N的过程中，电势能先增大后减小 【答案】A 【详解】A．图像斜率表示电场强度，C点的电势最高，斜率为，因此，故A正确； B．由图像可知，附近电势高且正，附近电势低且负，由正电荷周围电势为正，负电荷周围电势为负可知，为负电荷，为正电荷，故B错误； C．图像斜率表示电场强度，斜率正负表示电场强度方向，根据“上坡正，下坡负”可知、两点电场强度方向相反，故C错误； D．由图可知，从到的过程中，电势先增大后减小，由电势和电势能关系，需要带入正负计算，因为是负电荷，因此，电势能正负表示大小，因此将一负点电荷从移到的过程中，电势能先减小后增大，故D错误； 故选A。 3.（多选）某静电场中轴正半轴上电场强度随变化的规律如图所示，已知电场强度为正值时方向沿轴正方向，一个质量为、带电量为的粒子从坐标原点由静止释放，粒子开始沿轴正方向运动，不计粒子重力，则下列说法正确的是(　　） A．粒子一定带正电荷 B．粒子先做匀变速运动，后做匀速运动 C．粒子一定能运动到处 D．粒子运动过程中的最大速度大小为 【答案】ACD 【详解】A．由于范围内电场力沿轴正方向与场强方向一致，因此粒子带正电，故A正确； B．电场强度先沿x轴正方向逐渐减小后沿x轴负方向逐渐增大，最后保持不变，则加速度先减小后增大再保持不，故B错误； C．由几何关系可知，图像在范围内与坐标轴所围的面积大于范围内所围的面积，因此粒子一定能到达处，故C正确； D．粒子运动到处电场强度为零，电场力为零，合外力为零，则速度最大，根据动能定理可得 解得，故D正确。 故选ACD。 4.一带正电的粒子只在电场力作用下沿x轴运动，其电势能随位移x变化的关系如图所示，如果电场是由固定在x轴上两点的点电荷、共同产生的，在x轴上有等间距的a、b、c、d四点，下列说法正确的是（　　） A．和一定带有异种电荷 B．和可能带有同种电荷 C．从a到c，带电粒子的加速度一直增大 D．从a到b电场力做功小于b到c电场力做功 【答案】A 【详解】AB．由图像知a处的电势等于零，所以和带有异种电荷，故A正确，B错误； C．图像中直线或曲线某处切线的斜率表示电场力的大小。可知从到粒子受到的电场力逐渐减小，其加速度也逐渐减小，故C错误； D．电场力做功等于电势能的改变量，根据图像可知，从a到b电场力做功大于b到c电场力做功，故D错误。 故选A。 考点二：电场中的功能关系 【知识回顾】 1.电场中常见的功能关系 (1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变． (2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变． (3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量． (4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量． 【例题】 1.如图所示为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点，在这一运动过程中克服重力做的功为2.0 J，静电力做的功为1.5 J。下列说法中正确的是（　　）    A．粒子带负电 B．粒子在A点的电势能比在B点少1.5 J C．粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J D．粒子在A点的动能比在B点少0.5 J 【答案】C 【详解】A．由粒子运动的轨迹可知，粒子所受电场力方向向右，而电场强度方向也向右，故粒子带正电，故A错误； B．粒子从A点到B点的过程中静电力做正功，所以电势能减少，粒子在A点的电势能比在B点多1.5 J，故B错误； C．静电力做正功，机械能增加，所以粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J，故C正确； D．根据动能定理得 所以粒子在A点的动能比在B点多 0.5 J， 故D错误。 故选C。 2.如图所示，在空间中存在竖直向上的匀强电场，质量为m、电荷量为+q的物块从A点由静止开始下落，加速度为，下落高度H到B点后与一轻弹簧接触，又下落h后到达最低点C，整个过程中不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则带电物块在由A点运动到C点过程中，下列说法正确的是（　　） A．该匀强电场的电场强度为 B．带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为 C．带电物块电势能的增加量为mg（H+h） D．弹簧的弹性势能的增加量为 【答案】D 【详解】A．物块从静止开始下落时的加速度为，根据牛顿第二定律得 解得，故A错误； B．从A到C的过程中，系统除重力和弹力以外，只有静电力做功，且静电力做功为 根据功能关系可知机械能减少了，故B错误； C．由B选项可知，从A到C过程中，静电力做功为，所以根据功能关系可知带电物块电势能的增加量为，故C错误； D．从A到C过程中，对带电物块列动能定理方程有 解得弹簧弹力做功为 所以根据功能关系可知弹性势能增加量为，故D正确。 故选D。 考点三：电容器及平行板电容器动态分析 【知识回顾】 1．电容器 (1)组成：由两个彼此绝缘又相距很近的导体组成． (2)带电荷量：一个极板所带电荷量的绝对值． (3)电容器的充、放电： ①充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能． ②放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能． 2．电容 (1)定义：电容器所带的电荷量与电容器两极板之间的电势差之比． (2)定义式：C＝. (3)单位：法拉(F)、微法(μF)、皮法(pF).1 F＝106 μF＝1012 pF. (4)意义：表示电容器容纳电荷本领的高低． (5)决定因素：由电容器本身物理条件(大小、形状、极板相对位置及电介质)决定，与电容器是否带电及电压无关． 3．平行板电容器的电容 (1)决定因素：正对面积、相对介电常数、两板间的距离． (2)决定式：C＝. 1．两类典型问题 (1)电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变． (2)电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q保持不变． 2．动态分析思路 (1)U不变 ①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析Q的变化． ②根据E＝分析场强的变化． ③根据UAB＝E·d分析某点电势变化． (2)Q不变 ①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析U的变化． ②根据E＝＝分析场强变化． 【例题】 1.如图所示，将平行板电容器与电池组相连，两板间带电尘埃恰好处于静止状态，若将两板间距缓慢增大一些，其他条件不变，则（　　） A．电容器电容变大 B．电源给电容器充电，电容器电荷量增多 C．尘埃向下运动 D．电流计中有b到a的电流 【答案】C 【详解】A．根据平行板电容器电容公式，板间距离缓慢增大一些，即增大，则电容减小，故A错误； B．电容器电容减小，电压不变，则电容器电荷量减少，放电。故B错误； C．根据场强公式可得板间距离增大，电场强度减小，根据 则有电场力减小，重力不变，所以尘埃向下运动，故C正确； D．电容器电荷量减小，极板电荷向电源运动，所以负电荷从向运动，即电流从流向，故D错误。 故选C。 2.如图平行板电容器与电动势为的直流电源连接，下极板接地，闭合开关，稳定时一带电的油滴静止于两极板间的点，下列说法正确的是（　　） A．油滴带正电 B．若保持开关闭合，减小两板间的距离，则电容器电容增大，电流计中电流方向从流向 C．若断开开关，减小两极板间的距离，则静电计指针张角减小，油滴仍然保持静止 D．若断开开关，减小两极板正对面积，则静电计指针张角增大，油滴将向下加速运动 【答案】C 【详解】A．对油滴受力分析可知，油滴受到的电场力竖直向上，与板间场强方向相反，则油滴带负电，故A错误； B．若保持开关闭合，两极板间电势差保持不变，根据，可知减小两板间的距离，电容器的电容增大，由，可知电容器极板所带的电荷量增加，处于充电状态，电流计中电流是从流向，故B错误； C．若断开开关，两极板上电荷量保持不变，根据，可知减小两板间的距离，电容器的电容增大。由，可知电容器极板间电势差减小，静电计指针张角变小。根据，可知，极板间电场强度不变，油滴受到的电场力不变，处于静止状态，故C正确； D．同理，根据，若减小两板正对面积，电容器电容减小。由，两极板上电荷量保持不变，极板间电势差增大，静电计指针张角变大。根据，极板间电场强度增大，油滴受到的电场力增大，油滴将向上加速运动，故D错误。 故选C。 3.2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵在北京天安门隆重举行，我国自主研发的东风-61陆基洲际战略核导弹等武器首次亮相。导弹内部固定安装有多种类型的传感器，其中电容式导弹加速度传感器原理如图所示，质量块左、右侧分别连接电介质和轻质弹簧，弹簧与电容器固定在导弹弹体内部，质量块套在光滑且平行于弹簧轴线的固定直杆上，质量块可带动电介质移动从而改变电容。下列说法正确的是（　　） A．电介质插入极板间越深（深度不超过极板长度），则电容器电容越小 B．若导弹沿弹簧轴线方向做变加速度运动，则以上电路中有电流 C．若导弹沿弹簧轴线方向由向右匀加速运动变为向右匀速运动，弹簧长度会变长 D．导弹由静止突然沿弹簧轴线方向向右加速时，以上电路中有逆时针方向的电流 【答案】B 【详解】A．根据电容器的电容公式可知，当电介质插入极板间越深，则电容器电容越大，A错误； B．若导弹沿弹簧轴线方向做变加速度运动，根据牛顿第二定律可知，弹力大小改变，则导致插入极板间电介质的深度改变，电容改变，根据可知，极板间的电量改变，电路中有电流，B正确； C．若导弹沿弹簧轴线方向向右匀加速运动，弹簧弹力向右，变为向右匀速运动，弹簧弹力为零，此过程中弹簧弹力减小，弹簧长度变小，C错误； D．导弹由静止突然沿弹簧轴线方向向右加速时，质量块要向左运动，导致插入极板间电介质深度变大，因此电容会增大，由于电压不变，根据可知，极板间的电量增大，电容器处于充电状态，因此电路中有顺时针方向电流，D错误。 故选B。 4.如图所示，带电平行板电容器水平放置，一带正电的液滴静止于极板、中的一点处，极板接地。下列说法正确的是（　　） A．极板带正电荷 B．点处的电势为正值 C．若极板固定，极板上移一小段距离，液滴在点处的电势能变小 D．若极板固定，极板左移一小段距离，液滴在点处的电势能变小 【答案】D 【详解】A．液滴静止于两极板间，故液滴受力平衡，则电场力应与重力等大反向，即电场力应竖直向上。又因为液滴带正电，电场力方向与电场方向相同，故两板间的电场方向应竖直向上，所以B极板带正电，A极板带负电，故A错误； B．极板接地，所以极板的电势为零，由于电场方向向上，沿电场方向电势降低，所以P点的电势比B极板低，即P点电势为负值，故B错误； C．电场强度 由于电容器的电荷量Q以及两极板的正对面积不变，所以两板间的场强也不变。因为 由于A极板固定，极板上移一小段距离，故减小，则点处的电势升高。液滴带正电，则根据电势能公式可知，液滴在点处的电势能变大，故C错误； D．由C选项可知，若极板固定，极板左移一小段距离，则两极板的正对面积减小，故两板间的场强增大。因为 由于两板间的场强增大，则点处的电势降低。液滴带正电，则根据电势能公式可知，液滴在点处的电势能减小，故D正确。 故选D。 考点四：带电粒子在电场中的偏转 【知识回顾】 1.带电粒子在匀强电场中偏转的两个分运动 (1)沿初速度方向做匀速直线运动，t＝(如图)． (2)沿静电力方向做匀加速直线运动 ①加速度：a＝＝＝ ②离开电场时的偏移量：y＝at2＝ ③离开电场时的偏转角：tan θ＝＝ 2．两个重要结论 (1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的． 证明：在加速电场中有qU0＝mv02 在偏转电场偏移量y＝at2＝··()2 偏转角θ，tan θ＝＝ 得：y＝，tan θ＝ y、θ均与m、q无关． (2)粒子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半． 3．功能关系 当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv02，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差． 【例题】 1.具有相同质子数和不同中子数的原子称为同位素。让氢的三种同位素原子核（、和（电荷量相同，质量不同）以相同的速度从带电平行板间的P点沿垂直于电场的方向射入电场，分别落在A、B、C三点，如图所示。不计粒子的重力，则（　　） A．三种粒子在电场中运动的时间相同 B．三种粒子在电场中运动的过程中电势能的变化量相同 C．落在A点的是 D．到达负极板时，落在C点的粒子的动能等于落在A点的粒子的动能 【答案】B 【详解】A．粒子在电场中做类平抛运动，运动的加速度为 在垂直极板的方向上三个粒子运动距离相同，即 由于粒子的比荷不同，加速度不同，根据公式可知时间是不同的，故A错误； B．粒子在电场中运动的过程中电势能均减小，减小量为 三个粒子电荷量相同，所以电势能的变化量相同，故B正确； C．根据上述计算可知，在极板之间的运动时间最长，在极板上的水平距离 可知粒子会落在A点，故C错误； D．落在极板上的粒子，动能应为 由于粒子电荷量相同，质量不同，所以质量大的粒子动能更大，落点也更远，故D错误。 故选B。 2.如图光滑绝缘斜面上横线所示为某平行于斜面匀强电场等差等势面，从点以初动能水平射出带正电小球，沿虚线所示轨迹经过N点时动能为。已知小球的质量，电荷量，斜面倾角为，MN高度差为，重力加速度取，关于小球在斜面上的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球的速率随时间均匀增大 B．小球的电势能可能增大 C．小球的机械能一定增大 D．电场强度大小为 【答案】C 【详解】B．小球从M到N过程，重力做正功，电场力也会做功，设电场力做功为，根据动能定理有 代入数据解得 故电场力做正功，则电势能减小；又根据电场线与等势线垂直，可知电场力方向沿斜面向下，故B错误； A．对小球进行受力分析，可知小球受重力、电场力和支持力作用，其中支持力与重力垂直斜面向下的分力平衡，则小球所受的合力为电场力和重力沿斜面向下的分力的合力，又两个力都是恒力，故合力也为恒力，根据牛顿第二定律，小球的加速度恒定，则速度的变化率恒定不变；而速率是速度的大小，在匀变速曲线运动中小球的速率变化不是均匀的，故A错误； C．根据功能关系，除重力之外的其他力做的功等于机械能的变化量，因电场力做正功，所以小球的机械能一定增大，故C正确； D．由B知，电场力方向沿斜面向下，又小球带正电，故电场线方向也沿斜面向下，根据几何关系可得小球在沿电场线方向的位移 根据 解得，故D错误。 故选C。 3.（多选）如图所示，一带正电粒子从K发出（初速度为零），经K与A板间的加速电场加速，从A板中心沿中心线射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中，经过电场后打在荧光屏上的点。已知加速电压为，M、N两板间的电压为，板长为，板间距离为，粒子的质量为，电荷量为，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．增大加速电压，点会往上移动 B．增大M、N两板间的电压，点会往上移动 C．若把粒子的质量增加为原来的倍，则点会往下移动 D．若把粒子的带电量增加为原来的倍，则点位置不变 【答案】BD 【详解】在电场中加速过程，根据动能定理得 在偏转电场中做类平抛运动，有，， 联立解得 A．增加加速电压，则变小，即点会往下移动，故A错误； B．增大M、N两板间的电压，则变大，点会往上移动，故B正确； CD．偏转距离与粒子质量和电荷量无关，若把粒子的质量增加为原来的2倍，或者把粒子的带电量增加为原来的2倍，则点位置都不变，故C错误，D正确。 故选BD。 考点五：带电粒子在交变电场中的运动 【知识回顾】 1．带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化(如方波)的情形． 当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周期性． 2．研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况．根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等． 3．注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件． 4．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动． 【例题】 1.（多选）如图（a）所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交变电压UBA，UBA随时间t的变化规律如图（b）所示。现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区域，设电子的初速度和重力可忽略。则（　　） A．若电子是在时刻进入的，它将一直向B板运动 B．若电子是在时刻进入的，它时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上 C．若电子是在时刻进入的，它时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上 D．若电子是在时刻进入的，它时而向B板运动，时而向A板运动 【答案】AB 【详解】根据电子进入电场后的受力情况和运动情况，作出如图所示的图像 A．由图可知，当电子在时刻进入电场时，电子一直向B板运动，故A正确； B．若电子在时刻进入电场，电子时而向B板运动，时而向A板运动，但向B板运动的位移大于向A板运动的位移，因此最后仍能打在B板上，故B正确； C．若电子在时刻进入电场，在第一个周期电子先向B板运动，再向A板运动，最后返回至A板，故C错误； D．若电子在时刻进入电场，则它一靠近小孔便受到排斥力，根本不能进入电场，故D错误。 故选AB。 2.（多选）如图甲所示，两平行金属板水平放置，间距为d，金属板长为2d，两金属板间加如图乙所示的电压（时上金属板带正电），其中。一粒子源连续均匀发射质量为m、电荷量为的带电粒子（初速度，重力忽略不计），该粒子源射出的带电粒子均恰好从上板左端的下边缘水平进入两金属板间，若粒子碰到两金属板即被吸收不再反弹且对极板的电量几乎无影响，则（　　） A．能从极板右侧飞出的粒子电场力对其做功一定为0 B．0时刻进入两极板间的粒子能够从极板右侧飞出 C．能从板间飞出的粒子在板间运动的时间为 D．能从极板右侧飞出的粒子数占入射粒子总数的 【答案】AD 【详解】A．根据对称性，能从极板右侧飞出的粒子在电场中运动时间为T，则出电场时竖直速度一定为零，则电场力对其做功为零，故A正确； B．假设时刻进入两极板间的粒子能够从极板右侧飞出，则它在竖直方向上先加速向下，经过时间后电场反向，开始在竖直方向上减速向下，又经过时间，竖直分速度减为零，则有 由牛顿第二定律，可得 联立解得 则假设不成立，时刻进入两金属板间的粒子将打在金属板上，故B错误； C．能从板间飞出的粒子，水平方向做匀速直线运动，则有，故C错误； D．考虑射入的粒子，当粒子射出位置最低时，可以假设释放的时间为，在释放后的时间内，竖直位移应恰好为d，则 解得 随后的内，由于 竖直上升高度为 假设成立，此为一临界位置；当粒子射出位置最高时，根据对称性可知从时刻射入粒子恰好从上边缘射出，此为一临界位置，则能从极板右侧飞出的粒子数占入射粒子总数，故D正确。 故选AD。 3.（多选）如图甲，长为4d、间距为2d的平行金属板水平放置，两金属板左边中点O有一粒子源，能持续水平向右发射初速度为v0、电荷量为q（q>0）、质量为m的粒子。现在两板间加图乙所示电压，已知t=0时刻射入的粒子恰好能从金属板射出。不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．不同时刻入射的粒子在金属板间运动的时间不相等 B．所加电压 C．不同时刻入射的粒子最终都能平行金属板射出 D．粒子射出金属板时的动能为 【答案】BCD 【详解】B．已知时刻射入的粒子恰好能从金属板射出，则水平方向有 竖直方向 加速度 解得，故B正确； A．作出不同时刻进入金属板的粒子在电场方向速度与时间的图像如图，由图像可以看出，在时刻（）进入金属板的粒子会在电场方向上有最大位移，结合题目条件知电场方向最大位移为d，其它时刻进入的粒子在电场方向位移都小于d，所以不同时刻进入金属板的粒子都能够射出金属板，由水平方向匀速运动可知，粒子射出金属板时间都相同，时间都为 故A错误； CD．由图像可知，粒子在电场中运动的时间，恰为电压随时间变化的周期，出射时只剩水平速度v0，竖直方向的速度为0，故粒子平行金属板射出，且动能为，故CD正确。 故选BCD。 4.（多选）如图甲所示，某多级直线加速器由个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，各金属圆筒依序接在交变电源的两极M、N上，序号为0的金属圆板中央有一个质子源，质子逸出的速度不计，M、N两极加上如图乙所示的电压：，一段时间后加速器稳定输出质子流。已知质子质量为、电荷量为，质子通过圆筒间隙的时间不计，且忽略相对论效应，以下说法正确的是（　　） A．质子在各圆筒中做匀速直线运动 B．各金属筒的长度之比为 C．质子进入第个圆筒时的瞬时速度为 D．加速器筒长和加速电压不变，若要加速荷质比更大的粒子，则要调大电压的周期 【答案】AB 【详解】A．金属圆筒中电场为零，质子不受电场力，做匀速运动。故A正确； BC．质子进入第n个圆筒时，经过n次加速，根据动能定理可得 解得 只有质子在每个圆筒中匀速运动时间为时，才能保证每次在缝隙中被电场加速，则第n个圆筒长度 所以各金属筒的长度之比为，故B正确，C错误； D．由上述分析可知，保持和不变，荷质比增大，则T必须减小。故D错误。 故选AB。 考点六：带电粒子在电场和重力场中的圆周运动 【知识回顾】 1．等效重力场 物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些．此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”． 2. 3．举例 【例题】 1.（多选）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球，小球所带电荷量大小为q。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内顺时针做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的电场强度 B．小球动能的最小值为 C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 D．小球从初始位置开始，在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 【答案】AB 【详解】A．小球静止时悬线与竖直方向成角，对小球进行受力分析 小球受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件，有 解得，故A正确； B．小球恰能绕O点在竖直平面内顺时针做圆周运动，在等效最高点A速度最小，根据等效重力提供向心力，有 则最小动能，故B正确； C．小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置机械能最小，小球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端点时机械能最小，故C错误； D．小球从初始位置开始，在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，电场力先做负功，后做正功，再做负功，则其电势能先增大后减小再增大，故D错误。 故选AB。 考点七：带电粒子在复合场中的运动 【例题】 1.如图，光滑轨道abc固定在竖直面内，轨道ab部分水平，长度为，bc是半径为的四分之一圆弧轨道，与ab相切于点。轨道处在一个水平向右的匀强电场之中，电场强度，一个带正电小球，质量为，电荷量为，自点处在电场力的作用下从静止开始向右运动。已知重力加速度大小为。 (1)小球经过点时的速度为多大？ (2)小球离开点后经多长时间到达其运动轨迹的最高点？小球从点开始运动到其轨迹最高点，小球的机械能增加了多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意知 由动能定理有 解得 （2）小球在y方向的加速度 最高点，有 解得 小球在x方向 小球离开c点后在x方向的位移 解得 由功能关系可知，小球从a点开始运动到轨迹最高点增加的机械能为 联立上式解得 2.如图甲所示，真空中水平放置长为2 L的两块平行金属板，两板间加上如图乙所示最大值为U0的周期性电压。紧挨金属板右侧有一个范围足够大的匀强电场，该电场的电场强度大小，方向竖直向下。竖直向下的电场中有一个水平放置的荧光屏，荧光屏到下金属板的竖直高度为两金属板间距离的一半。在金属板左侧有一粒子源，该粒子源可以不间断的水平向右发射速度大小均为v0的粒子，这些粒子沿两金属板之间的中线射入其中，粒子通过两金属板的时间为，偏移量最大的粒子恰好从两极板右边缘射出。所有从金属板间射出后的粒子恰好均打在荧光屏上。已知粒子的质量为m、电荷量为+q，不计粒子重力和它们之间的相互作用力，不考虑边缘效应。 (1)求两金属板间的距离d； (2)求荧光屏的长度S和打在荧光屏上的粒子的最大速度vm； (3)若荧光屏上只接收到一半的粒子，求荧光屏向右平移的距离x。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设两极板之间的距离为d，粒子在两极板之间由牛顿第二定律可得 粒子的最大偏移量为 联立解得 （2）沿下极板射出的粒子恰好打在荧光屏的最左侧，在竖直向下的电场中qE=ma2 竖直方向则有 水平方向则有x1=v0t1 解得 沿上极板射出的粒子恰好打在荧光屏的最右侧，竖直方向 水平方向x2=v0t2 解得 则 沿上极板射出的粒子恰好打在荧光屏时速度最大，由动能定理可得 解得 （3）沿两极板中间的虚线射出的粒子恰好只能接收到一半，竖直方向 水平方向x3=v0t3 解得x3=2 L 则有 素养提升 1.如图所示，在原点O和x轴负半轴上坐标为处分别固定两点电荷、（两点电荷的电荷量和电性均未知）。一带负电的试探电荷从坐标为处以一定的初速度沿x轴正方向运动，其电势能的变化情况已在图中绘出，图线与x轴交点的横坐标为，图线最高点对应的横坐标为，不计试探电荷受到的重力，则下列说法正确的是（　　） A．点电荷带负电 B．该试探电荷在之间受到的静电力沿x轴正方向 C．之间的电场强度逐渐增大 D．两点电荷、电荷量的比值为 【答案】D 【详解】A．沿电场线方向电势逐渐降低，根据Ep＝φq，可得沿电场线方向，负电荷的电势能逐渐升高，可得从O﹣x2电场线方向向右，因此点电荷Q1带正电。故A错误； B．将试探电荷从x2移动到x3，由图像可得，电势能在增加，因此电场力做负功，电场力方向沿x轴负方向，故B错误； C．将试探电荷从x3移动到x4，由图像可得，电势能增加，图像的斜率减小，因为图像的斜率，则电场强度逐渐减小，故C错误； D．在x4位置时，由图像可得，故此时负电荷所受电场力为0，此时场强为0，根据平衡条件，可得k 解得，故D正确。 故选D。 2.（多选）轴上有两个不等量点电荷、，两电荷连线上各点电势随位置坐标变化的图像如图所示，图线与轴正交（在处图像切线的斜率为零），交点处的纵坐标为，为轴上关于原点对称的两个点。正电子的质量为，电荷量为，取无穷远处电势为0，下列说法正确的是（　　） A．都是正电荷 B．两电荷电量之比 C．将一正电子从点由静止释放，若经过点时速度为，则点电势 D．将一正电子从点由静止释放，则电场力先做正功后做负功，正电子经过点后可以到达点 【答案】AC 【详解】 A．由图可知x轴上的和之间的电势都大于零，故两个点电荷一定都是正电荷，故A正确； B．在x=0处图像切线的斜率为零，则该点处的电场强度为零，有 解得，故B错误； C．从a点静止释放到O点，动能定理可得 得，故C正确； D．将一正电子从b点由静止释放初始动能为零，由于a点电势大于b点，正电子在a点电势能大于b点，根据能量守恒可知，不可能到达a点，故D错误。 故选AC。 3.中国新一代粒子研究器“超级陶粲”装置近日正式启动，静电分析器是其重要组成部分。静电分析器的两电极之间存在如图所示的静电场，以静电场中任意一点电场方向均沿半径方向指向圆心，大小均满足（为与装置有关的常数，为该点到圆心的距离）。某次实验中质量之比为、电荷量之比为的甲、乙两粒子由入射口进入静电分析器，分别沿轨迹I、II仅在电场力作用下做圆心为的匀速圆周运动，最后从出射口射出，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两粒子运动时的速率之比为 B．甲、乙两粒子运动时的角速度之比为 C．甲、乙两粒子运动时的动量大小之比为 D．甲、乙两粒子运动时的动能之比为 【答案】A 【详解】A．由电场力提供向心力可得 其中，解得 故，故A正确； B．根据，由于两粒子运动的半径之比未知，则角速度之比未知。故B错误； C．由动量，可得，故C错误； D．动能，可得动能之比为，故D错误。 故选A。 4.（多选）如图所示的电路中，两金属板沿水平方向放置，并与灵敏电流计G串联后接在电源两端，D是理想二极管。单刀双掷开关S接1时，带电小球刚好静止在两极板间P点，A极板接地。下列说法正确的是（　　） A．小球的电势能为负 B．单刀双掷开关S接1时，仅将A板向上移动少许，则P点的电势会升高 C．将单刀双掷开关S由接1改为接2，仅将B板向上移动少许，则小球向上运动，且流过灵敏电流计G的电流方向向右 D．单刀双掷开关空置，在AB间插入电介质，则小球向下运动，且电容器电压减小 【答案】BD 【详解】A．单刀双掷开关S接1时，AB板间电场强度方向竖直向上，带电小球刚好静止在两极板间，则小球所受电场力方向也是竖直向上，故小球带正电，A板接地，电势为零，AB板间电势都为正，根据电势能，可知小球电势能为正，故A错误； B．单刀双掷开关S接1时，电容器的电压不变，仅将A板向上移动少许，板间距离变大，根据可知电场强度变小，P点与B板电势差 可知电势差减小，又 不变，可知P点的电势会升高，故B正确； C．将单刀双掷开关S由接1改为接2，仅将B板向上移动少许，则板间距离减小，根据可知电容变大，但是二极管具有单向导电性，可知电容器电荷量保持不变，根据， 联立可知 电场强度不变，电场力不变，可知小球静止不动，灵敏电流计没有电流，故C错误； D．单刀双掷开关S空置，电容器电量不变，插入电介质，电容变大，由可知，电压减小。极板之间的电场强度 电容器电容 联立解得 可知插入电介质后场强E减小，电场力减小，小球向下运动，故D正确。 故选BD。 5.（多选）如图甲所示，倾角为的粗糙斜面上各点场强E的方向均沿斜面向上，以斜面底端为坐标原点，沿斜面向上为正方向建立x轴，斜面上各点场强E的大小与该点位置坐标x之间的关系如图乙所示。现有一个质量为，电量为0.01C的带正电小滑块从斜面底端静止释放，斜面足够长，小滑块与斜面间动摩擦因数为0.75，取重力加速度，，，小滑块运动的过程中，下列说法正确的是（    ） A．x轴上与两点间电势差为600V B．小滑块能获得的最大动能为1.5J C．小滑块机械能增加量最多为4.5J D．小滑块在x轴上从运动到过程中电势能减小量为6J 【答案】ACD 【详解】A．图像与坐标轴所围面积表示两点间的电势差，如图所示 x轴上与两点间电势差为图中阴影面积，A正确； B．小滑块沿斜面向上运动过程中，电场力逐渐减小，加速度减小，当加速度为零时，速度最大，动能有最大值，设滑块动能最大时，到达位置，电场强度为，根据平衡条件 根据题图可得 解得 由A选项的解析中知，x轴上与两点间电势差 最大动能，B错误； C．当 时，滑块机械能增量最多，结合 解得 则 小滑块机械能增加量，C正确； D．小滑块在x轴上从运动到过程中电势能减小量，等于此过程中静电力做功，即，D正确。 故选ACD。 6.（多选）带电粒子在匀强电场中只受电场力作用，从到做曲线运动，轨迹如图所示。粒子在、两处的速率均为，且速度方向垂直。已知粒子的质量为，所带电荷量绝对值为，运动时间为。下列说法正确的是（　　） A．从到过程粒子电势能先减小后增加 B．从到过程电场力的冲量大小为 C．从到过程粒子的最小速率为 D．电场强度的大小为 【答案】BD 【详解】A．粒子在匀强电场中做类斜抛运动，、两处的速率相等，由能量守恒定律可知，粒子在、两处的电势能也相等，电场中、两点的电势相等，、连线是等势线，电场力方向与连线垂直，由于力指向轨迹的凹侧，因此电场力方向与连线垂直斜向上。从到的过程中电场力先做负功后做正功，粒子的电势能先增加后减小。故A错误； B．粒子在、两处的速率均为，且速度方向垂直。如图所示 速度变化量 由动量定理，从到的过程中电场力的冲量。故B正确； C．把粒子的运动分解为沿方向和垂直方向，沿方向做匀速直线运动，当垂直方向的分速度减小到0时，粒子速度达到最小值。粒子从到运动过程中，速度偏转角为，所以运动过程中粒子的最小速率为。故C错误； D．从到的过程中电场力的冲量，可得。故D正确。 故选BD。 7.（多选）绝缘水平地面的右侧固定一竖直光滑的绝缘圆弧轨道BCD，B点与水平地面等高，O为圆心，C、D分别为轨道最低点和最高点，F点与圆心O处于同一高度。在过B点垂直于水平地面的虚线右侧存在范围足够大的匀强电场，该电场的电场强度大小E=7.5×102V/m，方向水平向左。在同一竖直面内，一电荷量q=+1×10-3C的带电小球从离地面某一高度的A点水平抛出，小球恰好从B点沿切线方向进入轨道BCD，且恰好能沿轨道做圆周运动。已知小球的质量m=0.1 kg，OB与OC的夹角θ=37°，轨道半径R=0.4m。在整个运动的过程中，小球的电荷量保持不变。重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6。下列说法正确的是（　　） A．小球在A点的速度大小为4m/s B．小球在D点时的速度最大 C．小球运动到C点时，对轨道压力大小为5.75N D．小球运动到F点时，机械能最小 【答案】AD 【详解】AB．在B点右侧区域，小球受到竖直向下的重力G=mg=1N 水平向左的电场力F电=qE =0.75N 等效重力大小为=1.25N 设等效重力方向与竖直方向夹角为，则 解得=37° 由于轨道半径OB与竖直方向OC的夹角为37°且B点在左侧，可知等效重力方向沿半径指向B点，因此B点为等效重力场中的稳定平衡点（速度最大点），与B点对称的点为等效最高点（速度最小点）。小球通过等效最高点时满足 解得 从点到B点，根据动能定理 解得vB=5m/s 小球在B点的速度水平分量为vA=vBcos37° 解得vA=4m/s，故A正确，B错误； C．从B点到C点，根据动能定理 解得 由牛顿第二定律N−mg＝ 解得N=6.75N，故C错误； D．当小球运动至电场力做功最大的F点时机械能最小，故D正确。 故选AD。 8.（多选）空间存在水平向左的匀强电场，粗糙水平地面上，一个质量为带正电的物块以一定的初速度向右运动，物块的动能和电势能如下图的两条图线，则（　　） A．图线Ⅰ是变化曲线，图线Ⅱ是变化曲线 B．过程中阻力对物块做功、变化量和变化量关系为 C．电场力和阻力大小相等 D．由图线可求得动摩擦因数 【答案】BC 【详解】A．物块带正电，受到的电场力向左，物块向右运动时，电场力做负功，电势能增加，图线Ⅰ是电势能是变化曲线，A错误； B．过程中，根据动能定理 ，又 由以上二式可得 ，B正确； C．过程中，电场力做功 ；合外力做功 联立可得 ，即电场力与阻力大小相等，C正确； D．由图线可求得动摩擦因数 解得 ，D错误。 故选BC。 9.（多选）如图所示，O点正下方2l处固定一电荷量为-Q的点电荷，质量为m、电荷量为+q的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点。现将小球拉至细线水平由A点静止释放，测得小球经过最低点B时速度的大小为v。忽略空气阻力及小球所带电荷对空间电场的影响。重力加速度为g。取B点的电势为零，下列说法正确的是（　　） A．小球从A到B的过程中电势能的变化量 B．小球从A到B的过程中电势能的变化量 C．A点的电势 D．A点的电势 【答案】BC 【详解】AB．对小球从A到B，由动能定理可得， 所以，故A错误，B正确； CD．取B点的电势为零，则 所以A点的电势为，故C正确，D错误。 故选BC。 10.如图所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点。现有一质量为、电荷量为、套在杆上的带负电小球（可视为质点）从A点由静止开始沿杆下滑。已知重力加速度为，A点距过C点的水平面的竖直高度为，小球滑到B点时的速度大小为。求： （1）A、B两点的电势差； （2）小球滑至C点时的速度的大小； （3）若以C点为参考点（零电势点），试确定A点的电势。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）小球从A到B，由动能定理可得 又 解得A、B两点的电势差为 （2）根据点电荷的电场特征可知，BC所在的圆是一个等势面，所以小球从B到C电场力做的总功为零，由几何关系可得BC的竖直高度为 小球从B到C，根据动能定理可得 解得 （3）以C点为零电势点，则有 解得 11.如图，氕（）核和氘（）核，同时从加速电场的左极板由静止释放，沿OO′方向射入偏转电场，射出偏转电场后打在圆筒外壁的感光纸上并留下感光点。已知加速电场的电压为、两极板间距为，偏转电场的电压为、两极板长为、间距为d，两电场均为匀强电场；圆筒半径为R；氕核的电荷量为e、质量为m；氘核的电荷量为e、质量为2m。忽略两原子核的重力及两核间的相互作用。求： (1)氕核和氘核离开加速电场时速度的比值； (2)若圆筒不转动，氕核和氘核打到圆筒感光纸上位置的距离； (3)若圆筒以角速度转动，氕核和氘核在圆筒感光纸上打出两个感光点，展开感光纸测得两感光点间距离为，求的大小。 【答案】(1) (2)0 (3)（、1、2、…） 【详解】（1）氕核和氘核在加速电场中加速，根据动能定理有， 解得， 所以 （2）氕核在偏转电场中做类平抛运动，， 解得， 氘核在偏转电场中做类平抛运动，， 解得， 若圆筒不转动，氕核和氚核打到圆筒感光纸上位置的距离 （3）氕核和氘核在加速电场中运动， 解得， 若圆筒以角速度转动，氕核和氘核在圆筒感光纸上打出两个感光点，展开感光纸测得两感光点间距离为，则（、1、2、…） 解得（、1、2、…） 12.如图所示，空间竖直平面内存在水平方向的匀强电场（未画出），将一质量为、带电量为的带电小球，从点以初速度水平向左抛出，结果小球落到点正下方地面的点处。点距离地面的高度为，重力加速度为，不计空气阻力。 (1)求电场强度的大小和方向； (2)若将匀强电场的方向顺时针转动，电场强度大小不变，将小球在点以水平向右抛出，求小球落地时的速度大小。 【答案】(1)，水平向右 (2) 【详解】（1）小球落到N点，说明小球受到的电场力方向水平向右，故匀强电场的方向水平向右  竖直方向  取水平向右为正，水平方向 又由于 联立上述方程可解得 （2）竖直方向，， 取水平向右为正，水平方向， 落地时的合速度 联立以上各式解得 13.如图所示，BCDG是光滑绝缘的圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带正电的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g，，。请完成下列问题： (1)若滑块从水平轨道上距离B点s＝2R的A点由静止释放，求滑块到达C点时受到轨道的支持力的大小； (2)改变s的大小仍使滑块由静止释放，且滑块始终沿轨道滑行，并能从G点飞出轨道，求s的最小值； (3)现撤去电场，滑块从水平轨道上距离B点s＝2R的A点释放，若运动到CD段某点时脱离轨道，并在此后经过O点，求滑块释放时应该有多大的水平向左的初速度？ 【答案】(1) (2)4.2R (3) 【详解】（1）滑块从A到C，由动能定理有 解得 滑块在C点由牛顿第二定律有 解得 （2）如图，轨道DG间存在H点，滑块在H点的电场力和重力的合力指向圆心，合力大小 合力与竖直方向的夹角满足 解得 s最小时滑块在H点速度最小，由牛顿第二定律有 解得 滑块从A到H，由动能定理有 解得s＝4.2R （3）如图，设滑块在Q点脱离轨道，QO与CO之间的夹角为α，滑块在Q点，由牛顿第二定律有 解得 滑块从A到Q，由动能定理有 解得 滑块Q到O做斜抛运动，如图建直角坐标系， y方向有 x方向有 解得， 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二：电场性质的综合应用和带电粒子在电场中的力电综合 考点一：电场中的图像问题 【知识回顾】 1.v－t图像 根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。 2.φ－x图像 (1)电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)．切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零． (2)在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向．(如图) (3)电场中常见的φ－x图像 ①点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图． ②两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图． ③两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图． 3.E－x图像 (1)E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向． (2)E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况． (3)电场中常见的E－x图像 ①点电荷的E－x图像 正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示． ②两个等量异种点电荷的E－x图像，如图． ③两个等量正点电荷的E－x图像，如图． 4.Ep－x图像、Ek－x图像 (1)Ep－x图像 由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图像的切线斜率k＝，其大小等于静电力，斜率正负代表静电力的方向． (2)Ek－x图像 当带电体只有静电力做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x图像的切线斜率k＝，其大小表示静电力． 【例题】 1.A、B是电场中一条电场线上的两点，如图甲所示，t=0时刻，一个电子从A点由静止释放，仅在静电力作用下从A点运动到B点，该过程中其速度v随时间t的变化图像如图乙所示。关于该电场，下列说法正确的是（　　） A．可以判断出电场线的方向是由A到B B．A点的电场强度大小小于B点的电场强度大小 C．该电子在A点的电势能大于在B点的电势能 D．该电子在A点的电势能小于在B点的电势能 2.两个点电荷、分别固定在x轴上的O、M两点，在两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图所示，其中A、N两点的电势均为零，ND段中C点的电势最高。下列说法正确的是（　　） A．C点的电场强度为零 B．为负电荷，为正电荷 C．A、N两点的电场强度方向相同 D．将一负点电荷从D移到N的过程中，电势能先增大后减小 3.（多选）某静电场中轴正半轴上电场强度随变化的规律如图所示，已知电场强度为正值时方向沿轴正方向，一个质量为、带电量为的粒子从坐标原点由静止释放，粒子开始沿轴正方向运动，不计粒子重力，则下列说法正确的是(　　） A．粒子一定带正电荷 B．粒子先做匀变速运动，后做匀速运动 C．粒子一定能运动到处 D．粒子运动过程中的最大速度大小为 4.一带正电的粒子只在电场力作用下沿x轴运动，其电势能随位移x变化的关系如图所示，如果电场是由固定在x轴上两点的点电荷、共同产生的，在x轴上有等间距的a、b、c、d四点，下列说法正确的是（　　） A．和一定带有异种电荷 B．和可能带有同种电荷 C．从a到c，带电粒子的加速度一直增大 D．从a到b电场力做功小于b到c电场力做功 考点二：电场中的功能关系 【知识回顾】 1.电场中常见的功能关系 (1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变． (2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变． (3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量． (4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量． 【例题】 1.如图所示为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点，在这一运动过程中克服重力做的功为2.0 J，静电力做的功为1.5 J。下列说法中正确的是（　　）    A．粒子带负电 B．粒子在A点的电势能比在B点少1.5 J C．粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J D．粒子在A点的动能比在B点少0.5 J 2.如图所示，在空间中存在竖直向上的匀强电场，质量为m、电荷量为+q的物块从A点由静止开始下落，加速度为，下落高度H到B点后与一轻弹簧接触，又下落h后到达最低点C，整个过程中不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则带电物块在由A点运动到C点过程中，下列说法正确的是（　　） A．该匀强电场的电场强度为 B．带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为 C．带电物块电势能的增加量为mg（H+h） D．弹簧的弹性势能的增加量为 考点三：电容器及平行板电容器动态分析 【知识回顾】 1．电容器 (1)组成：由两个彼此绝缘又相距很近的导体组成． (2)带电荷量：一个极板所带电荷量的绝对值． (3)电容器的充、放电： ①充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能． ②放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能． 2．电容 (1)定义：电容器所带的电荷量与电容器两极板之间的电势差之比． (2)定义式：C＝. (3)单位：法拉(F)、微法(μF)、皮法(pF).1 F＝106 μF＝1012 pF. (4)意义：表示电容器容纳电荷本领的高低． (5)决定因素：由电容器本身物理条件(大小、形状、极板相对位置及电介质)决定，与电容器是否带电及电压无关． 3．平行板电容器的电容 (1)决定因素：正对面积、相对介电常数、两板间的距离． (2)决定式：C＝. 1．两类典型问题 (1)电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变． (2)电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q保持不变． 2．动态分析思路 (1)U不变 ①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析Q的变化． ②根据E＝分析场强的变化． ③根据UAB＝E·d分析某点电势变化． (2)Q不变 ①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析U的变化． ②根据E＝＝分析场强变化． 【例题】 1.如图所示，将平行板电容器与电池组相连，两板间带电尘埃恰好处于静止状态，若将两板间距缓慢增大一些，其他条件不变，则（　　） A．电容器电容变大 B．电源给电容器充电，电容器电荷量增多 C．尘埃向下运动 D．电流计中有b到a的电流 2.如图平行板电容器与电动势为的直流电源连接，下极板接地，闭合开关，稳定时一带电的油滴静止于两极板间的点，下列说法正确的是（　　） A．油滴带正电 B．若保持开关闭合，减小两板间的距离，则电容器电容增大，电流计中电流方向从流向 C．若断开开关，减小两极板间的距离，则静电计指针张角减小，油滴仍然保持静止 D．若断开开关，减小两极板正对面积，则静电计指针张角增大，油滴将向下加速运动 3.2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵在北京天安门隆重举行，我国自主研发的东风-61陆基洲际战略核导弹等武器首次亮相。导弹内部固定安装有多种类型的传感器，其中电容式导弹加速度传感器原理如图所示，质量块左、右侧分别连接电介质和轻质弹簧，弹簧与电容器固定在导弹弹体内部，质量块套在光滑且平行于弹簧轴线的固定直杆上，质量块可带动电介质移动从而改变电容。下列说法正确的是（　　） A．电介质插入极板间越深（深度不超过极板长度），则电容器电容越小 B．若导弹沿弹簧轴线方向做变加速度运动，则以上电路中有电流 C．若导弹沿弹簧轴线方向由向右匀加速运动变为向右匀速运动，弹簧长度会变长 D．导弹由静止突然沿弹簧轴线方向向右加速时，以上电路中有逆时针方向的电流 4.如图所示，带电平行板电容器水平放置，一带正电的液滴静止于极板、中的一点处，极板接地。下列说法正确的是（　　） A．极板带正电荷 B．点处的电势为正值 C．若极板固定，极板上移一小段距离，液滴在点处的电势能变小 D．若极板固定，极板左移一小段距离，液滴在点处的电势能变小 考点四：带电粒子在电场中的偏转 【知识回顾】 1.带电粒子在匀强电场中偏转的两个分运动 (1)沿初速度方向做匀速直线运动，t＝(如图)． (2)沿静电力方向做匀加速直线运动 ①加速度：a＝＝＝ ②离开电场时的偏移量：y＝at2＝ ③离开电场时的偏转角：tan θ＝＝ 2．两个重要结论 (1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的． 证明：在加速电场中有qU0＝mv02 在偏转电场偏移量y＝at2＝··()2 偏转角θ，tan θ＝＝ 得：y＝，tan θ＝ y、θ均与m、q无关． (2)粒子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半． 3．功能关系 当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv02，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差． 【例题】 1.具有相同质子数和不同中子数的原子称为同位素。让氢的三种同位素原子核（、和（电荷量相同，质量不同）以相同的速度从带电平行板间的P点沿垂直于电场的方向射入电场，分别落在A、B、C三点，如图所示。不计粒子的重力，则（　　） A．三种粒子在电场中运动的时间相同 B．三种粒子在电场中运动的过程中电势能的变化量相同 C．落在A点的是 D．到达负极板时，落在C点的粒子的动能等于落在A点的粒子的动能 2.如图光滑绝缘斜面上横线所示为某平行于斜面匀强电场等差等势面，从点以初动能水平射出带正电小球，沿虚线所示轨迹经过N点时动能为。已知小球的质量，电荷量，斜面倾角为，MN高度差为，重力加速度取，关于小球在斜面上的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球的速率随时间均匀增大 B．小球的电势能可能增大 C．小球的机械能一定增大 D．电场强度大小为 3.（多选）如图所示，一带正电粒子从K发出（初速度为零），经K与A板间的加速电场加速，从A板中心沿中心线射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中，经过电场后打在荧光屏上的点。已知加速电压为，M、N两板间的电压为，板长为，板间距离为，粒子的质量为，电荷量为，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．增大加速电压，点会往上移动 B．增大M、N两板间的电压，点会往上移动 C．若把粒子的质量增加为原来的倍，则点会往下移动 D．若把粒子的带电量增加为原来的倍，则点位置不变 考点五：带电粒子在交变电场中的运动 【知识回顾】 1．带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化(如方波)的情形． 当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周期性． 2．研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况．根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等． 3．注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件． 4．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动． 【例题】 1.（多选）如图（a）所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交变电压UBA，UBA随时间t的变化规律如图（b）所示。现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区域，设电子的初速度和重力可忽略。则（　　） A．若电子是在时刻进入的，它将一直向B板运动 B．若电子是在时刻进入的，它时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上 C．若电子是在时刻进入的，它时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上 D．若电子是在时刻进入的，它时而向B板运动，时而向A板运动 2.（多选）如图甲所示，两平行金属板水平放置，间距为d，金属板长为2d，两金属板间加如图乙所示的电压（时上金属板带正电），其中。一粒子源连续均匀发射质量为m、电荷量为的带电粒子（初速度，重力忽略不计），该粒子源射出的带电粒子均恰好从上板左端的下边缘水平进入两金属板间，若粒子碰到两金属板即被吸收不再反弹且对极板的电量几乎无影响，则（　　） A．能从极板右侧飞出的粒子电场力对其做功一定为0 B．0时刻进入两极板间的粒子能够从极板右侧飞出 C．能从板间飞出的粒子在板间运动的时间为 D．能从极板右侧飞出的粒子数占入射粒子总数的 3.（多选）如图甲，长为4d、间距为2d的平行金属板水平放置，两金属板左边中点O有一粒子源，能持续水平向右发射初速度为v0、电荷量为q（q>0）、质量为m的粒子。现在两板间加图乙所示电压，已知t=0时刻射入的粒子恰好能从金属板射出。不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．不同时刻入射的粒子在金属板间运动的时间不相等 B．所加电压 C．不同时刻入射的粒子最终都能平行金属板射出 D．粒子射出金属板时的动能为 4.（多选）如图甲所示，某多级直线加速器由个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，各金属圆筒依序接在交变电源的两极M、N上，序号为0的金属圆板中央有一个质子源，质子逸出的速度不计，M、N两极加上如图乙所示的电压：，一段时间后加速器稳定输出质子流。已知质子质量为、电荷量为，质子通过圆筒间隙的时间不计，且忽略相对论效应，以下说法正确的是（　　） A．质子在各圆筒中做匀速直线运动 B．各金属筒的长度之比为 C．质子进入第个圆筒时的瞬时速度为 D．加速器筒长和加速电压不变，若要加速荷质比更大的粒子，则要调大电压的周期 考点六：带电粒子在电场和重力场中的圆周运动 【知识回顾】 1．等效重力场 物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些．此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”． 2. 3．举例 【例题】 1.（多选）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球，小球所带电荷量大小为q。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内顺时针做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的电场强度 B．小球动能的最小值为 C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 D．小球从初始位置开始，在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 考点七：带电粒子在复合场中的运动 【例题】 1.如图，光滑轨道abc固定在竖直面内，轨道ab部分水平，长度为，bc是半径为的四分之一圆弧轨道，与ab相切于点。轨道处在一个水平向右的匀强电场之中，电场强度，一个带正电小球，质量为，电荷量为，自点处在电场力的作用下从静止开始向右运动。已知重力加速度大小为。 (1)小球经过点时的速度为多大？ (2)小球离开点后经多长时间到达其运动轨迹的最高点？小球从点开始运动到其轨迹最高点，小球的机械能增加了多少？ 2.如图甲所示，真空中水平放置长为2 L的两块平行金属板，两板间加上如图乙所示最大值为U0的周期性电压。紧挨金属板右侧有一个范围足够大的匀强电场，该电场的电场强度大小，方向竖直向下。竖直向下的电场中有一个水平放置的荧光屏，荧光屏到下金属板的竖直高度为两金属板间距离的一半。在金属板左侧有一粒子源，该粒子源可以不间断的水平向右发射速度大小均为v0的粒子，这些粒子沿两金属板之间的中线射入其中，粒子通过两金属板的时间为，偏移量最大的粒子恰好从两极板右边缘射出。所有从金属板间射出后的粒子恰好均打在荧光屏上。已知粒子的质量为m、电荷量为+q，不计粒子重力和它们之间的相互作用力，不考虑边缘效应。 (1)求两金属板间的距离d； (2)求荧光屏的长度S和打在荧光屏上的粒子的最大速度vm； (3)若荧光屏上只接收到一半的粒子，求荧光屏向右平移的距离x。 素养提升 1.如图所示，在原点O和x轴负半轴上坐标为处分别固定两点电荷、（两点电荷的电荷量和电性均未知）。一带负电的试探电荷从坐标为处以一定的初速度沿x轴正方向运动，其电势能的变化情况已在图中绘出，图线与x轴交点的横坐标为，图线最高点对应的横坐标为，不计试探电荷受到的重力，则下列说法正确的是（　　） A．点电荷带负电 B．该试探电荷在之间受到的静电力沿x轴正方向 C．之间的电场强度逐渐增大 D．两点电荷、电荷量的比值为 2.（多选）轴上有两个不等量点电荷、，两电荷连线上各点电势随位置坐标变化的图像如图所示，图线与轴正交（在处图像切线的斜率为零），交点处的纵坐标为，为轴上关于原点对称的两个点。正电子的质量为，电荷量为，取无穷远处电势为0，下列说法正确的是（　　） A．都是正电荷 B．两电荷电量之比 C．将一正电子从点由静止释放，若经过点时速度为，则点电势 D．将一正电子从点由静止释放，则电场力先做正功后做负功，正电子经过点后可以到达点 3.中国新一代粒子研究器“超级陶粲”装置近日正式启动，静电分析器是其重要组成部分。静电分析器的两电极之间存在如图所示的静电场，以静电场中任意一点电场方向均沿半径方向指向圆心，大小均满足（为与装置有关的常数，为该点到圆心的距离）。某次实验中质量之比为、电荷量之比为的甲、乙两粒子由入射口进入静电分析器，分别沿轨迹I、II仅在电场力作用下做圆心为的匀速圆周运动，最后从出射口射出，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两粒子运动时的速率之比为 B．甲、乙两粒子运动时的角速度之比为 C．甲、乙两粒子运动时的动量大小之比为 D．甲、乙两粒子运动时的动能之比为 4.（多选）如图所示的电路中，两金属板沿水平方向放置，并与灵敏电流计G串联后接在电源两端，D是理想二极管。单刀双掷开关S接1时，带电小球刚好静止在两极板间P点，A极板接地。下列说法正确的是（　　） A．小球的电势能为负 B．单刀双掷开关S接1时，仅将A板向上移动少许，则P点的电势会升高 C．将单刀双掷开关S由接1改为接2，仅将B板向上移动少许，则小球向上运动，且流过灵敏电流计G的电流方向向右 D．单刀双掷开关空置，在AB间插入电介质，则小球向下运动，且电容器电压减小 5.（多选）如图甲所示，倾角为的粗糙斜面上各点场强E的方向均沿斜面向上，以斜面底端为坐标原点，沿斜面向上为正方向建立x轴，斜面上各点场强E的大小与该点位置坐标x之间的关系如图乙所示。现有一个质量为，电量为0.01C的带正电小滑块从斜面底端静止释放，斜面足够长，小滑块与斜面间动摩擦因数为0.75，取重力加速度，，，小滑块运动的过程中，下列说法正确的是（    ） A．x轴上与两点间电势差为600V B．小滑块能获得的最大动能为1.5J C．小滑块机械能增加量最多为4.5J D．小滑块在x轴上从运动到过程中电势能减小量为6J 6.（多选）带电粒子在匀强电场中只受电场力作用，从到做曲线运动，轨迹如图所示。粒子在、两处的速率均为，且速度方向垂直。已知粒子的质量为，所带电荷量绝对值为，运动时间为。下列说法正确的是（　　） A．从到过程粒子电势能先减小后增加 B．从到过程电场力的冲量大小为 C．从到过程粒子的最小速率为 D．电场强度的大小为 7.（多选）绝缘水平地面的右侧固定一竖直光滑的绝缘圆弧轨道BCD，B点与水平地面等高，O为圆心，C、D分别为轨道最低点和最高点，F点与圆心O处于同一高度。在过B点垂直于水平地面的虚线右侧存在范围足够大的匀强电场，该电场的电场强度大小E=7.5×102V/m，方向水平向左。在同一竖直面内，一电荷量q=+1×10-3C的带电小球从离地面某一高度的A点水平抛出，小球恰好从B点沿切线方向进入轨道BCD，且恰好能沿轨道做圆周运动。已知小球的质量m=0.1 kg，OB与OC的夹角θ=37°，轨道半径R=0.4m。在整个运动的过程中，小球的电荷量保持不变。重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6。下列说法正确的是（　　） A．小球在A点的速度大小为4m/s B．小球在D点时的速度最大 C．小球运动到C点时，对轨道压力大小为5.75N D．小球运动到F点时，机械能最小 8.（多选）空间存在水平向左的匀强电场，粗糙水平地面上，一个质量为带正电的物块以一定的初速度向右运动，物块的动能和电势能如下图的两条图线，则（　　） A．图线Ⅰ是变化曲线，图线Ⅱ是变化曲线 B．过程中阻力对物块做功、变化量和变化量关系为 C．电场力和阻力大小相等 D．由图线可求得动摩擦因数 9.（多选）如图所示，O点正下方2l处固定一电荷量为-Q的点电荷，质量为m、电荷量为+q的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点。现将小球拉至细线水平由A点静止释放，测得小球经过最低点B时速度的大小为v。忽略空气阻力及小球所带电荷对空间电场的影响。重力加速度为g。取B点的电势为零，下列说法正确的是（　　） A．小球从A到B的过程中电势能的变化量 B．小球从A到B的过程中电势能的变化量 C．A点的电势 D．A点的电势 10.如图所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点。现有一质量为、电荷量为、套在杆上的带负电小球（可视为质点）从A点由静止开始沿杆下滑。已知重力加速度为，A点距过C点的水平面的竖直高度为，小球滑到B点时的速度大小为。求： （1）A、B两点的电势差； （2）小球滑至C点时的速度的大小； （3）若以C点为参考点（零电势点），试确定A点的电势。    11.如图，氕（）核和氘（）核，同时从加速电场的左极板由静止释放，沿OO′方向射入偏转电场，射出偏转电场后打在圆筒外壁的感光纸上并留下感光点。已知加速电场的电压为、两极板间距为，偏转电场的电压为、两极板长为、间距为d，两电场均为匀强电场；圆筒半径为R；氕核的电荷量为e、质量为m；氘核的电荷量为e、质量为2m。忽略两原子核的重力及两核间的相互作用。求： (1)氕核和氘核离开加速电场时速度的比值； (2)若圆筒不转动，氕核和氘核打到圆筒感光纸上位置的距离； (3)若圆筒以角速度转动，氕核和氘核在圆筒感光纸上打出两个感光点，展开感光纸测得两感光点间距离为，求的大小。 12.如图所示，空间竖直平面内存在水平方向的匀强电场（未画出），将一质量为、带电量为的带电小球，从点以初速度水平向左抛出，结果小球落到点正下方地面的点处。点距离地面的高度为，重力加速度为，不计空气阻力。 (1)求电场强度的大小和方向； (2)若将匀强电场的方向顺时针转动，电场强度大小不变，将小球在点以水平向右抛出，求小球落地时的速度大小。 13.如图所示，BCDG是光滑绝缘的圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带正电的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g，，。请完成下列问题： (1)若滑块从水平轨道上距离B点s＝2R的A点由静止释放，求滑块到达C点时受到轨道的支持力的大小； (2)改变s的大小仍使滑块由静止释放，且滑块始终沿轨道滑行，并能从G点飞出轨道，求s的最小值； (3)现撤去电场，滑块从水平轨道上距离B点s＝2R的A点释放，若运动到CD段某点时脱离轨道，并在此后经过O点，求滑块释放时应该有多大的水平向左的初速度？ 学科网（北京）股份有限公司 $