专题04 整式的化简求值及其应用（9大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

该初中数学复习讲义通过知识框架系统梳理整式化简求值的核心内容，涵盖同类项识别、合并同类项、去括号法则等基础概念，明确化简求值的基本步骤与整体代入等核心方法，划分9大基本题型构建知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与精准方法指导，每个题型配典例与练习，如整体代入求值中通过配系数法培养推理意识，实际应用问题引导构建整式模型发展模型意识。基础学生可掌握化简步骤，优秀学生能深化技巧，助力教师实施分层教学与精准复习。

2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题04 整式的化简求值及其应用（9大基本题型） 题型1：直接代入求值 题型2：整体代入求值 题型3：化简求值 题型4：含字母参数的问题 题型5：不含某一项的问题 题型6：绝对值化简求值 题型7：非负性求值 题型8：定义新运算 题型9：实际应用问题 一、基础概念与核心法则（化简的前提） 1. 同类项的识别：同类项需满足两个条件：①所含字母完全相同；②相同字母的指数也相同（与系数无关）。例如，3x2y与−5x2y是同类项，2ab2与2a2b不是同类项。 2. 合并同类项法则：合并同类项时，系数相加，字母及指数不变。例如，2x＋3x＝5x，−4xy2＋7xy2＝3xy2。合并的关键是准确识别同类项并正确计算系数。 3. 去括号法则： (1) 括号前是“＋”号：去掉括号及“＋”号，括号内各项符号不变； (2) 括号前是“－”号：去掉括号及“－”号，括号内各项符号改变。 (3) 去括号时需注意符号变化及项的完整性，避免漏乘系数。 二、化简求值的核心方法（关键步骤） 1. 基本步骤：化简求值的一般流程为：去括号→合并同类项（化简）→代入数值→计算结果。化简是关键，可简化计算过程。 2. 代入求值的两种类型 (1) 直接代入：已知字母的具体值，直接代入化简后的式子计算。 (2) 整体代入：当字母的值未直接给出，但存在整体表达式时，将整体代入求值，分为以下几类： 1 配系数法：将所求式子变形为含已知整体的形式。 2 奇次项相反数法：当x取相反数时，奇次项符号改变，偶次项不变。 3 构造整体法：通过变形将式子构造为已知整体的形式。 三、特殊类型问题（易错点与高频考点） 1. 化简后值与字母无关的问题：若化简后的式子不含某字母，则该字母的系数为0。最为常见的便是：若已知“式子的值与x无关”，求参数值 2. 不含某一项的问题：若化简后的式子不含某一项（如x2项、一次项），则该项的系数为0。 3. 非负性求值问题：利用绝对值（∣a∣≥0）、平方数（a2≥0）的非负性，求字母的值。 4. 程序流程图问题：根据流程图的运算规则，将输入值代入计算输出值。 【题型1】直接代入求值 核心思路：先通过去括号、合并同类项将整式化为最简形式，再将字母的具体数值代入最简式计算结果。 解题步骤： 1. 去括号：根据去括号法则（括号前是“＋”，括号内不变号；括号前是“－”，括号内全变号）去掉式子中的括号； 2. 合并同类项：将同类项（所含字母相同且相同字母的指数也相同）的系数相加，字母及指数保持不变，得到最简整式； 3. 代入求值：将题目给出的字母具体数值代入最简式，按照有理数运算规则计算结果。 【题型2】整体代入求值 核心思路：当字母的具体数值未直接给出，但存在整体表达式（如x＋y、xy等）时，将整式变形为含整体表达式的形式，再将整体值代入计算。 解题步骤： 1. 观察结构：分析整式结构，找出可整体代换的部分（如x2＋2x、a＋b等）； 2. 变形整式：通过去括号、合并同类项将整式化为含整体表达式的形式； 3. 代入计算：将整体表达式的值代入变形后的式子，计算结果。 【题型3】化简求值 核心思路：这是整式化简求值的基础题型，强调“先化简、后求值”的规范步骤，重点考查去括号、合并同类项的准确性。 解题步骤： 1. 去括号：严格按照去括号法则处理，避免符号错误； 2. 合并同类项：将同类项合并为最简形式； 3. 代入求值：将字母的具体数值代入最简式，计算结果。 【题型4】含字母参数的问题 含字母参数的问题​ 核心思路：当整式中含字母参数（如a、b等）时，通过化简整式，结合题目条件（如“值为5”“与x无关”等）建立方程，求解参数值。 解题步骤： 1. 化简整式：将含参数的整式化为最简形式； 2. 建立方程：根据题目条件（如“值为常数”“与某字母无关”），令含参数项的系数为0或建立等式； 3. 求解参数：解方程求出参数值。 【题型5】不含某一项的问题 核心思路：当题目要求“整式的值与某字母无关”或“不含某一项”时，化简整式后，令该字母对应项的系数为0，求解参数值。 解题步骤： 1. 化简整式：将整式化为最简形式； 2. 定位项：找到题目要求“不含”的项（如“不含x2项”“与y无关”）； 3. 令系数为0：令该字母的系数为0，建立方程求解参数。 【题型6】绝对值化简求值 核心思路：结合数轴或非负性判断绝对值内表达式的正负性，根据绝对值性质（正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数）去掉绝对值符号，再化简求值。 解题步骤： 1. 判断符号：根据数轴上点的位置或非负性（如∣a∣≥0、a2≥0）判断绝对值内表达式的正负； 2. 去绝对值：根据符号去掉绝对值符号（正数不变，负数变相反数）； 3. 化简求值：合并同类项后计算结果。 【题型7】非负性求值 核心思路：利用绝对值（∣a∣≥0）、平方数（a2≥0）的非负性（和为0时，每个非负项都为0），建立方程组求解字母值，再代入求值。 解题步骤： 1. 识别非负项：找出式子中的绝对值或平方项； 2. 建立方程组：令非负项的和为0，得到方程组； 3. 求解字母值：解方程组求出字母值； 4. 代入求值：将字母值代入整式计算结果。 【题型8】定义新运算 核心思路：根据题目定义的新运算规则（如“a※b＝a2＋b”），将式子转化为常规整式运算，再化简求值。 解题步骤： 1. 理解新规则：明确新运算的符号、操作步骤（如“a△b＝2a－3b”）； 2. 转化式子：将题目中的式子按照新规则转化为常规整式； 3. 化简求值：合并同类项后计算结果。 【题型9】实际应用问题 核心思路：将实际问题（如图形面积、工程问题、行程问题）转化为整式运算，通过化简求值解决实际问题。 解题步骤： 1. 建模：根据实际问题，用整式表示相关量（如图形的长、宽、面积）； 2. 化简：将整式化为最简形式； 3. 求值：代入实际数值计算结果。 【题型1】直接代入求值 【典例1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果为，值为 【分析】本题主要考查整式加减的化简求值，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；先对整式进行加减运算，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 【练习1】化简求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将a的值代入计算即可． 【详解】解： 当时，原式 【练习2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先去括号，合并同类项，再将，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【练习3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【题型2】整体代入求值 【典例1】化简 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 将看作一个整体合并同类项即可． 【详解】解：原式 【练习1】先化简，再求值：，其中：，． 【答案】，2016 【分析】本题考查了整式加减中的化简与求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． 根据整式加减的运算法则化简式子，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 【练习2】【阅读理解】“整体思想”是中学数学解题思想中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛． 例如：已知代数式的值为7，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，则有， 所以， 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若代数式的值为5，求代数式的值． （2）若代数式的值为13，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求代数式的值． 【答案】10；； 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及整式运算、整体代入求值等知识，熟练掌握整式运算及整体代入思想是解决问题的关键． （1）利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （2）利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （3）将所求代数式变形为，然后整体代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴ ． 【练习3】整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题：如果代数式的值为 3，那么代数式的值是多少？爱动脑筋 的 小 聪 同学这样 来 解 ：原式． 我们把看成一个整体， 把式子两边乘2， 得． 【方法运用】 （1） 若，则的值为_； （2） 若，求的值； 【拓展提高】 （3） 已知 求代数式的值． 【类比迁移】 （4）A，B两地相距60千米，甲、乙两人同时从A，B两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 【答案】（1）7；（2）；（3）；（4）2或4小时 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，求代数式的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式变形后整体代入已知数值计算即可； （2）将原式去括号，合并同类项后并整理，然后整体代入已知数值计算即可； （3）将原式化为，进而将代入计算即可； （4）由题意易得，则，根据题意分相遇前两人相距20千米和相遇后两人相距20千米列式计算即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：7； （2），， ； （3） ； （4）由题意得， 则， 若相遇前两人相距20千米时， （小时）， 若相遇后两人相距20千米时， （小时）， 即甲、乙两人出发2小时或4小时后两人相距20千米． 【题型3】化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【练习1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算和代数式求值，正确化简整式是解题关键． 先根据去括号法则去掉括号，再通过合并同类项简化式子，最后将、代入计算即可． 【详解】解： ， 已知，， 则． 【练习2】先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)；3 (2)；7 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，先将整式化为最简形式，再代入具体值计算． （1）先利用去括号法则去掉括号，再合并同类项化简式子，最后代入相对应字母的值求值． （2）先利用去括号法则去掉括号，再合并同类项化简式子，最后代入相对应字母的值求值． 【详解】（1）解： 当，时， 原式 ． ． （2）解： 当，时， 原式 ． 【练习3】（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），（2）， 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可求出答案； （2）先根据整式的运算法则进行化简，然后将a与b的值代入化简后的式子即可求出答案． 本题考查了整式的加减-化简求值，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； 当，时， 原式 【题型4】含字母参数的问题 【典例1】若关于的多项式减去多项式的若干倍，其结果为常数项，则其运算结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式加减运算，熟记整式加减运算法则是解决问题的关键． 由于两个多项式的差为常数项，通过运算以后得到的多项式中项和项的系数均为零，由此求出倍数和参数，进而得到常数项． 【详解】解：设倍数为， ， ∵关于的多项式与多项式的几倍的差结果为常数项， 即其运算结果中项和项的系数均为零，常数项是， ，且， 解得， ∴ 常数项为， 故选：D． 【练习1】若关于x、y的多项式的值与x的取值无关，则__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的化简与代数式求值，解题的关键是根据“多项式的值与无关，则含项的系数为”，求出的值． 先合并多项式中的同类项，再根据“多项式的值与取值无关”得出含项的系数为0，进而求出，最后代入计算． 【详解】解：原多项式为， 合并同类项得， 由题意，含x的项系数为零，即和， ，解得，， 则， 所以． 故答案为：． 【练习2】已知：． (1)计算：； (2)当时，求的值； (3)若的值与 y无关，求 x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，整式加减无关型，掌握去括号法则，合并同类项法则把整式正确化简是解决问题的关键． （1）把，代入，通过去括号、合并同类项化简即可求解； （2）再把，代入（1）中结果计算即可； （3）由（1）知，结合题意得出关于x的等式，即可求出x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时， ； （3）解：由（1）知， 因为的值与y无关， 所以中，， 所以． 【练习3】已知两个多项式A和B，其中，小勤在计算时，误看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)若的值与a无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减以及整式加减中的无关型问题，掌握运算法则并正确计算是解题的关键 （1）由的结果为得：，利用整式减法进行计算即可； （2）先化简求出，的值与a无关，可列，然后解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵的值与a无关， ∴， ∴． 【题型5】不含某一项的问题 【典例1】若关于的多项式不含二次项，则等于（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查整式加减中的无关项问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先合并同类项，根据多项式中不含二次项，令二次项系数为零，求解． 【详解】解：原多项式为， 合并同类项得， ∵多项式不含二次项， ∴， 解得：． 【练习1】要使多项式化简后不含 x的二次项，则m的值是（ ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，把原多项式去括号后合并同类项后，令含的项的系数为零，解出即可得到答案． 【详解】解： ， ∵多项式化简后不含 x的二次项， ∴， ∴， 故选：D． 【练习2】已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查了整式的加减中无关型问题，先求两个多项式的差，根据差不含二次项，得出二次项系数为零，解出m和n，再计算即可． 【详解】解： ∵多项式与的差不含二次项， ∴和， 解得， ∴， 故答案为：1． 【练习3】已知代数式． (1)当，时，求的值． (2)若的值与的值无关时，求的值． 【答案】(1)19 (2) 【分析】本题考查代数式的化简求值以及代数式与字母取值无关的问题，解题的关键是先化简，再根据已知条件代入计算． （1）先化简，将其转化为含和的形式，再代入已知值计算； （2）根据与无关，得出的系数为0，求出的值，再代入计算． 【详解】（1）解： ， 将代入上式： ； （2）解：由，因为其值与无关， 所以的系数， 解得：， 将代入， 原式． 【题型6】绝对值化简求值 【典例1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简_______． 【答案】/ 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，化简绝对值，整式的加减，正确判断各个代数式的符号是解题的关键． 根据数轴，判断出，，可得，，再利用绝对值的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴ ． 【练习1】有理数在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：___________0，___________0，___________0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的加减运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的加减运算是解题的关键； （1）由数轴可知，且，然后问题可求解； （2）根据（1）中结论及绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：由数轴可知，且， ∴； 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知： ． 【练习2】（1）如果关于、的单项式与的和仍是单项式，求的值． （2）有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，其中，化简． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）考查了同类项和合并同类项法则的应用，解题的关键是能根据题意求出、的值； 根据同类项的定义，得出关于、的方程，然后求出、的值，再把、的值代入计算即可． （2）考查了带有字母的绝对值化简的问题，根据点在数轴的位置判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴可知，根据绝对值的定义进行去绝对值号，再合并同类型即可． 【详解】解：（1）关于、的单项式与的和仍是单项式， ，， ，， ； 即的值为． （2）由图可知：， ， ， ， ， ； 即的值为． 【练习3】数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．当，，三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题， (1)当时，求______，当时，求______． (2)请根据，，三个数在数轴上的位置，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． （1）当时，点a在原点右边，由题意可知，当时，点b在原点左边，由题意可知，然后计算即可； （2）由图中点的位置得到，，，，然后去绝对值计算即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 故答案是：，； （2） 解：由数轴可得：，，，． ∴． 【题型7】非负性求值 【典例1】先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握整式的加法、减法运算法则，掌握绝对值的性质、偶次方的性质，正确化简并求出、的值是解题的关键．先去括号合并同类项，再根据非负数的和为0确定、的值，最后代入求值． 【详解】解：原式， ，，， ，， ，， 原式． 【练习1】先化简，再求值：，其中满足． 【答案】，2 【分析】本题考查整式加减中的化简求值、非负数的性质，熟练掌握整式的加减运算法则是解答的关键． 先根据整式的加减运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解：原式 ， ， ，， ，， ∴原式． 【练习2】先化简再求值：，其中、满足． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，非负数的性质，掌握相关运算法则是解题关键．先去括号再合并同类项化简，利用平方和绝对值的非负性，求出、的值，代入计算求值即可． 【详解】解： ， ，且，， ，， ，， 原式． 【练习3】先化简，再求值：若，求代数式的值． 【答案】；3 【分析】本题考查了整式加减运算中的化简求值，绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握去括号法则以及合并同类项法则． 先根据去括号法则以及合并同类项法则化简代数式，再根据绝对值以及完全平方式的非负性求解，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴， ∴ ∴原式． 【题型8】定义新运算 【典例1】定义一种新运算：，例如：，则化简后的结果是___________． 【答案】/ 【分析】本题为新定义运算，根据新运算的定义，将和代入公式进行计算即可求解﹒ 【详解】解：﹒ 【练习1】定义一种新的运算，观察下列各式： ， ， ， ． (1)根据观察到的规律，计算； (2)用代数式表示的结果； (3)若，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，整式的加减，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义直接求解即可， （2）根据新定义直接求解即可， （3）由，得到，再将所求式子化简，最后将代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知． （2）根据题意，可知． （3）根据题意，可知， ， 将代入，得． 【练习2】定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3-1=2，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数853是否为“极差数”？_____．（填“是”或“不是”） 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为______； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）能，理由见解析 【分析】本题考查数字类问题，整式加减的应用，旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为8， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 理由：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴ ， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【练习3】定义：将三个不等于0的有理数，，两两相除（其中对于，可得，两种商），得到的商是个互不相等的数（相等的商看作是一个数），称这个数为这三个有理数的“互商组”，为该“互商组”的基数． 例如，对于三个有理数1，2，3，得到“互商组”：，，，，，，其基数为6． (1)求，，的“互商组”； (2)请举例探究对于任意三个不等于0的有理数，，的“互商组”的基数的所有可能取值； (3)已知三个不等于0的有理数，，的“互商组”是，，，它们在数轴上所表示的点分别是，，（如下图）．若的最小值为4，且，求的值． 【答案】(1)，，的互商组为：，，1； (2)基数的所有可能取值为1，2，3，4，5，6； (3)的值为或375． 【分析】本题主要考查有理数的运算，绝对值的意义，掌握绝对值的意义及有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据“互商组”的概念求解即可； （2）根据题意列举，分①若三个有理数为，，；③若三个有理数都不相等，如，，，如，，，③若三个有理数都不相等，如，，，如，，，如1，2，3，再求“互商组”得基数即可； （3）由②可得，当互商组基数为3时，、、中存在两数相等情况，假设，再分情况讨论求的值即可． 【详解】（1）由题意：因为，， 所以，，的互商组为：，，1； （2）①若三个有理数为，，，此时 ②若有两个有理数相等， 如，，，则互商组为，，此时 如，，，则互商组为，，，此时 ③若三个有理数都不相等， 如，，，则互商组为，，，，此时， 如，，，则互商组为，，，，，此时， 如1，2，3，此时， 综上所述，基数的所有可能取值为1，2，3，4，5，6． （3）由②可得，当互商组基数为3时，、、中存在两数相等情况，假设， 则、、中有一个为1，结合数轴可得： 因为最小值为4， 所以当时取到最小值，即，得，． 所以，或 当时，由得，即 所以 当时，由得，即 所以． 综上所述的值为或375． 【题型9】实际应用问题 【典例1】自开展读书宣传活动以来，小刚和小美都喜欢上了读书，他们常在某书店进行租书阅读，该店租书的收费标准如下：方案一：不办理会员卡，每月收取租书费用为3元/本；方案二：办理会员卡，会员费10元/月，每月另收取租书费用为2元/本．若小刚和小美分别选择方案一、二租书，且他们每月的租书数量分别为x，本，则他们每月应付的租书总费用为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减． 根据租书方案，小刚选择方案一，费用按租书本数计算；小美选择方案二，费用包括会员费和租书本数费用．总费用为两人费用之和，化简表达式即可． 【详解】解：小刚租书费用为元， 小美租书费用为元， ∴总费用元． 故选：C． 【练习1】一个大长方形纸片剪去一个小长方形纸片后得到如图的形状，根据图中标注的长度，该图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 用大长方形面积减去小长方形的面积列式求解即可． 【详解】解：大长方形面积为， 小长方形面积为 ∴该图形的面积为． 故选：B． 【练习2】随着人工智能的发展，某快递公司购进了个分拣机器人，这些机器人被分为两组，每组的工作效率不同．第1组有个机器人，每个机器人平均8秒分拣一个包裹；第2组包含剩余的机器人，每个机器人平均6秒分拣一个包裹．同时，快递公司内还有10名熟练的包裹分拣员，他们每人平均10秒分拣一个包裹．机器人与工作人员同时工作1小时，则这个机器人比这10名工作人员多分拣的包裹个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，解题关键是准确掌握题目中的数量关系，列出代数式；通过计算机器人和工作人员在3600秒内分拣的包裹总数，求差值即可得到答案． 【详解】解：∵工作时间为1小时=3600秒， ∴第一组机器人分拣包裹数：， 第二组机器人分拣包裹数：， 机器人总分拣数：， 工作人员总分拣数：， ∴机器人比工作人员多分拣数：， 故选：D． 【练习3】魔术师说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然后除以4，再减去你原来所想的那个数的一半，我可以知道你计算的结果是2．” (1)如果设魔术师任意想的那个数为x，请你帮助魔术师说明上述结论的正确性； (2)在（1）中，得到的代数式化简后结果为2，它不含有x，我们称之为“与x无关”．试解决下列“无关”类问题： ①多项式的值（    ）； A．仅与x的大小无关                    B．仅与y的大小无关 C．与x、y的大小都无关                D．与x、y的大小都有关 ②三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c．设图1中阴影部分周长为m，图2阴影部分周长之和为n，试判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关，请说明理由；若无关，求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①C；②无关， 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，熟练掌握整式的加减步骤是解题的关键． （1）按照魔术师的步骤进行运算，即可得出结论； （2）①去括号，合并同类项后，即可得出结论； ②利用长方形的周长公式，可用含，，的代数式表示出，，二者作差后，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 上述的结论正确； （2）解：① ， 多项式的值与、的大小都无关． 故选：C； ②无关，， 根据题意得：长方形的长为，宽为， ，， ， 的值与正方形、、的边长无关，的值为0． / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题04整式的化简求值及其应用(9大基本题型) 专题概览 题型1：直接代入求值 题型2：整体代入求值 题型3：化简求值 题型4：含字母参数的问题 题型5：不含某一项的问题 题型6：绝对值化简求值 题型7：非负性求值 题型8：定义新运算 题型9：实际应用问题 核心知识点总结 一、基础概念与核心法则（化简的前提） 1.同类项的识别：同类项需满足两个条件：①所含字母完全相同：②相同字母的指数也相同（与系 数无关)。例如，3xy与-5x2y是同类项，2ab2与2ab不是同类项。 2.合并同类项法则：合并同类项时，系数相加，字母及指数不变。例如，2x+3x=5x,-4y2+7y2 =3y。合并的关键是准确识别同类项并正确计算系数。 3. 去括号法则： ()括号前是“+”号：去掉括号及“十”号，括号内各项符号不变： (2)括号前是“一”号：去掉括号及“一”号，括号内各项符号改变。 (3)去括号时需注意符号变化及项的完整性，避免漏乘系数。 二、化简求值的核心方法（关键步骤） 1.基本步骤：化简求值的一般流程为：去括号→合并同类项（化简）→代入数值→计算结果。化简 是关键，可简化计算过程。 2.代入求值的两种类型 (1)直接代入：己知字母的具体值，直接代入化简后的式子计算。 (2)整体代入：当字母的值未直接给出，但存在整体表达式时，将整体代入求值，分为以下几类： 1/11 ① 配系数法：将所求式子变形为含已知整体的形式。 ② 奇次项相反数法：当x取相反数时，奇次项符号改变，偶次项不变。 ③ 构造整体法：通过变形将式子构造为已知整体的形式。 三、特殊类型问题（易错点与高频考点） 1.化简后值与字母无关的问题：若化简后的式子不含某字母，则该字母的系数为0。最为常见的便 是：若已知“式子的值与x无关”，求参数值 2.不含某一项的问题：若化简后的式子不含某一项（如项、一次项），则该项的系数为0。 3. 非负性求值问题：利用绝对值(|a≥0)、平方数(a2≥0)的非负性，求字母的值。 4. 程序流程图问题：根据流程图的运算规则，将输入值代入计算输出值。 题型归纳 【题型1】直接代入求值 核心思路：先通过去括号、合并同类项将整式化为最简形式，再将字母的具体数值代入最简式计 算结果。 解题步骤： 1.去括号：根据去括号法则（括号前是“+”，括号内不变号；括号前是“一”，括号内全变号） 去掉式子中的括号： 2. 合并同类项：将同类项（所含字母相同且相同字母的指数也相同）的系数相加，字母及指数保持 不变，得到最简整式： 3. 代入求值：将题目给出的字母具体数值代入最简式，按照有理数运算规则计算结果。 【题型2】整体代入求值 核心思路：当字母的具体数值未直接给出，但存在整体表达式（如x十y、y等）时，将整式变形 为含整体表达式的形式，再将整体值代入计算。 解题步骤： 1.观察结构：分析整式结构，找出可整体代换的部分（如x2+2x、a+b等)； 2. 变形整式：通过去括号、合并同类项将整式化为含整体表达式的形式： 3.代入计算：将整体表达式的值代入变形后的式子，计算结果。 【题型3】化简求值 核心思路：这是整式化简求值的基础题型，强调“先化简、后求值”的规范步骤，重点考查去括 号、合并同类项的准确性。 2/11 解题步骤： 1.去括号：严格按照去括号法则处理，避免符号错误： 2. 合并同类项：将同类项合并为最简形式： 3.代入求值：将字母的具体数值代入最简式，计算结果。 【题型4】含字母参数的问题 含字母参数的问题 核心思路：当整式中含字母参数（如α、b等）时，通过化简整式，结合题目条件（如“值为 5与x无关”等)建立方程，求解参数值。 解题步骤： 1.化简整式：将含参数的整式化为最简形式： 2. 建立方程：根据题目条件（如“值为常数”“与某字母无关”），令含参数项的系数为0或建立 等式 3.求解参数：解方程求出参数值。 【题型5】不含某一项的问题 核心思路：当题目要求“整式的值与某字母无关”或“不含某一项”时，化简整式后，令该字母 对应项的系数为0，求解参数值。 解题步骤： 1.化简整式：将整式化为最简形式： 2.定位项：找到题目要求“不含”的项（如“不含x项”“与y无关”）； 3.令系数为0：令该字母的系数为0，建立方程求解参数。 【题型6】绝对值化简求值 核心思路：结合数轴或非负性判断绝对值内表达式的正负性，根据绝对值性质（正数绝对值是本 身，负数绝对值是相反数)去掉绝对值符号，再化简求值。 解题步骤： 1.判断符号：根据数轴上点的位置或非负性（如|≥0、a2≥0）判断绝对值内表达式的正负： 2.去绝对值：根据符号去掉绝对值符号（正数不变，负数变相反数）； 3. 化简求值：合并同类项后计算结果。 【题型7】非负性求值 核心思路：利用绝对值(|a≥0)、平方数(a2≥0)的非负性（和为0时，每个非负项都为0）， 建立方程组求解字母值，再代入求值。 解题步骤： 3/11 1.识别非负项：找出式子中的绝对值或平方项： 2.建立方程组：令非负项的和为0，得到方程组： 3.求解字母值：解方程组求出字母值： 4.代入求值：将字母值代入整式计算结果。 【题型8】定义新运算 核心思路：根据题目定义的新运算规则（如“a※b=a2+b”),将式子转化为常规整式运算，再化 简求值。 解题步骤： 1.理解新规则：明确新运算的符号、操作步骤（如“a△b=2a一3b”); 2.转化式子：将题目中的式子按照新规则转化为常规整式： 3.化简求值：合并同类项后计算结果。 【题型9】实际应用问题 核心思路：将实际问题（如图形面积、工程问题、行程问题）转化为整式运算，通过化简求值解 决实际问题。 解题步骤： 1.建模：根据实际问题，用整式表示相关量（如图形的长、宽、面积）； 2.化简：将整式化为最简形式： 3.求值：代入实际数值计算结果。 配套练习 【题型1】直接代入求值 【典例1】先化简，再求值： ab-3a2-2b2-5ab-a2-2ab ,其中0=1，b=-2 【练习1】化简求值：(2a+3a-6-2a-3列，其中a=-3. 【练习2】先化简，再求值，2a-2b-[a-(2h-0)+2c-40],其中a=-1,6=-2. 【练习3】先化简，再求值：7ab+(-4ah+5ab)-22ab-3ab),其中a=2,b=- 2· 【题型2】整体代入求值 4/11 【典例1】化简2(a-b°-3b-a3-3(a-b2+2b-a. 【练习1】先化简，再求值，(+2y-3列-(2x-y+0+2-1,其中：+y=2015,=2014 【练习2】【阅读理解】“整体思想”是中学数学解题思想中的一种重要思想，它在整式的化简与求值 中应用极为广泛， x2+x+1 2x2+2x-3 例如：已知代数式 的值为7，求代数式 的值。 小明采用的方法如下： 解：由题意得x2+x+1=7,则有x2+x=6, 所以2+2x-3=2x2+刘-3=2×6-3=9 2x2+2x-3 所以代数式 的值为9. 【方法运用】 )若代数式r+2x+ 的值为5，求代数式3+6r+ 的值. x2+x+3 (2)若代数式 的值为13，求代数式4r-4+5 值. 【拓展应用】 （3)若0+3b=4,0b-分=2，求代数式武20+7ab- 的值 【练习3】整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿 照下面的解题方法，完成后面的问题：如果代数式5a+3动的值为3，那么代数式2a+)+4(2a+)的 值是多少？爱动脑筋的小聪同学这样来解：原式=2a+2b+8a+4b=10a+6b. 我们把5a+3b看成一个整体，把式子5a+3b=3两边乘2，得10a+6b=6 【方法运用】 （)者“-2a=2,则30-6a+1的值为： （2)若m+n=2,mm=-1,求3(2m-则-3n-mm的值： 【拓展提高】 5/11 (3)已知 a+2ab=-5ab-2办=-3，求代数式20+3ab+2D 的值 【类比迁移】 (4)A,B两地相距60千米，甲、乙两人同时从A,B两地骑自行车出发，相向而行.甲每小时行a千 米，乙每小时行b千米，经过3小时相遇.问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 【题型3】化简求值 【典例1山先化简，再求值：(r+2w-3y)-32+-y),其中x=2y=-1 1 【练习1】先化简，再求值：3x2+y川-2(x2-2y,其中x=-5”y=7 【练习2】先化简，再求值： 1 (①2ab+3a2bl-3到ab2+a2b-a2b,其中a=2,b=2: 其中x=-1,y=2. 【缘习】化简- (2）先化简，再求值：4到3ah-b-23a6-公汤-14ab,其中。=1，b= 【题型4】含字母参数的问题 【典例1】若关于的多项式8x+减去多项式 mx2+5x+3 的若干倍，其结果为常数项，则其运算结 果是() 1 A.1 B. 5 c.5 【练习1】若关于、y的多项式mr-3+2r-+y的值与的取值无关，则m-3训 P=4x2+3y-2y+5,2=2x2-xy 【练习2】已知： 6/11 P-20 (1)计算： ； =-2,y=1 P-20 (2)当 时，求 的值： P-20 (3)若 的值与y无关，求x的值. 【练习3】已知两个多项式4和B,其中B=-a+b+1,小勤在计算4-2B时，误看成了“1+2B, 求得的结果为6ab-2a+1. (I)求多项式A; 2若41-(3A-2B的值与u无关，求b的值. 【题型5】不含某一项的问题 【典例1】若关于的多项式”+2mr-7x-6r2+3 含二次项，则等于() A.2 B.-2 C.3 D.-3 【练习1】要使多项式2-27+3x-2x2+mr 化简后不含x的二次项，则m的值是() A.2 B.0 C.-2 D.6 【练习2】已知关于少的多项式r-6-与扩-2的差不含二次项，则m- 【练习3】已知代数式1=32-x+2y-4,B=2x2-3x-y+2 5 )当x+y=7,y=-1时，求2A-3B的值. (2)若2A-3B的值与y的值无关时，求28x-15的值. 【题型6】绝对值化简求值 【典例】有理数a、众、c在数轴上的位置如图，化简回+b-d-+小 a 0b c 【练习1】有理数、bc在数轴上的位置如图： 7/11 0b c (1)用“>”或“<”填空：b+C 0,a-b 0,c- 0. (2)化简： b+c-a-b+c-a 【练习2】山如果关于、”的单项式2与5r的和仍是单项式，求2h-a 的值. alxcl al-la+bl+lc+al+lc-bl (2)有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，其中 ,化简 ab06> 【练习3】数形结合是一种重要的数学方法，如在化简回时，当“在数轴上位于原点的右侧时，网=“ 当在数轴上位于原点时， a=0 ；当“在数轴上位于原点的左侧时， la=-a.当a,b,c三个数在 数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题， b cO (1)当a=1时，求a一， 当b=-2时，求b lal lolld lo-al (2)请根据a,b,c三个数在数轴上的位置，求ab”cb-a的值. 【题型7】非负性求值 【典例1】先化简。再求值：4o+2-3-9)-3w-2),其中x++0-2=0 【练习1】先化简，再求值：2y-(6ry-4y）+2-2y-y,其中xy满足x x+2+p-=0 【练习2】先化简再求值：2-2-r+-x-3+2x),其中.y满足x+3++2斗=0 【练习3】先化同.再求值：若加-2+16--0，求代数武2女-23-2ob-00小沙的 8/11 值. 【题型8】定义新运算 【典例1】定义一种新运算：a®b=a-2b,例如：2@3=2-2×3=4，则x8-2列化简后的结果是 【练习1】定义一种新的运算，观察下列各式： 1⊙2=1+2×5=11， 5⊙-1=5+-1×5=0 (-3)⊙2=-3+2×5=7 (-6)⊙(-4)=-6+(-4)×5=-26 0)根据观察到的规律，计算-6)⊙(-2)； (2)用代数式表示m⊙n的结果： (3)若m2m⊙m= 2,请计算2m-4no(2n-7)的值. 【练习2】定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做 “极差数”.例如三位数231，因为3-1=2，所以它是“极差数”. 【理解定义】 三位数853是否为“极差数”？一·（填“是”或“不是”） 【建模推理】 （D设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为26，C, b,c ,C,则”与0，‘的关系式为 (2)任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ a b 【练习3】定义：将三个不等于0的有理数a’b,c两两相除（其中对于ab可得方，a两种商）， 得到的商是m个互不相等的数（相等的商看作是一个数），称这m个数为这三个有理数的“互商组”， m为该“互商组”的基数. 123 例如，对于三个有理数1,2,3，得到“互商组”：2”万3？5,2，其基数为6 (1)求2,2，-6的“互商组”； 9/11 (2)请举例探究对于任意三个不等于0的有理数a,b，c的“互商组”的基数m的所有可能取值： (③)已知三个不等于0的有理数“，6，‘的“互商组”是，，了，它们在数轴上所表示的点分别是 de f D,E,F(如下图).若r-d+k-d+K-f升的最小值为4，且a+b+c=5,求c的值. D E0F→ 【题型9】实际应用问题 【典例1】自开展读书宣传活动以来，小刚和小美都喜欢上了读书，他们常在某书店进行租书阅读，该 店租书的收费标准如下：方案一：不办理会员卡，每月收取租书费用为3元/本；方案二：办理会员卡， 会员费10元/月，每月另收取租书费用为2元/本.若小刚和小美分别选择方案一、二租书，且他们每月 的租书数量分别为，（一3引本，则他们每月应付的租书总费用为(） A.(5x+6元B.(5x-6元 C.(5r+4 元 D.(5r-4 元 【练习1】一个大长方形纸片剪去一个小长方形纸片后得到如图的形状，根据图中标注的长度，该图形 的面积为() x-2 10 8 x+1 A.10x+10 B.10x+4 C.10x-6 D.10x-4 【练习2】随着人工智能的发展，某快递公司购进了m个分拣机器人，这些机器人被分为两组，每组的 工作效率不同.第1组有个机器人，每个机器人平均8秒分拣一个包裹；第2组包含剩余的机器人， 每个机器人平均6秒分拣一个包裹.同时，快递公司内还有10名熟练的包裹分拣员，他们每人平均10 秒分拣一个包裹.机器人与工作人员同时工作1小时，则这m个机器人比这10名工作人员多分拣的包 裹个数是() A.120m-240n-360 B.120-150n-360 10/11