(18)计数原理-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（A）

高三一轮复习单元检测卷/数学 (十八)计数原理 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.下列四个问题属于组合问题的是 A.从4名志愿者中选出3人分别参加导游、翻译和接待工作 B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学参加运动会开幕式 D.4名同学在假期互发微信 2.在(2x一√x)的展开式中，x3的系数为 A.24 B.-24 C.48 D.-48 3.从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛，若男生甲和女生乙至少有1人被选中，则 不同的选法种数为 A.15 B.40 C.55 D.70 4.用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为 A.192 B.240 C.360 D.720 5.已知P为椭圆亏十苦-1上一动点，r分别为精圆的左，右焦点Q(-1.0).则PFE,十PQ 的最小值为 A.8 B.7 C.6 D.4 6.当∈N时，将三项式(x2十x十1)”展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角”.若在 (1十a.x)(.x2十x十1)5的展开式中，x2的系数为75，则实数a的值为 广义杨辉三角 (x2+x+1)0=I 第0行 1 (x2+x+1)'=x2+x+1 第1行 111 (x2+x+1)2-=x+2x3+3x2+2x+1 第2行 12321 (x2+x+1)3=x6+3x+6x+7x3+6x2+3x+1 第3行1367631 (x2+x+1)=x+4x2+10+16x5+19x+16x3+10x2+4x+1第4行14101619161041 A.1 B.-1 C.2 D.-2 7.已知双曲线C:若-若=1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为R,F,点P是其右支上一点.若 |PF|=4,|OP|=7,∠FPF,=,则双曲线C的离心率为 A号 B. C.√3 D.√7 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 8.用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至 少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为 ○OOO○ A.525 B.580 C.605 D.630 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知圆C:(x+3)2+y2=9,直线1：(m+2)x十4y一2十=0(m∈R),则 A.直线1恒过定点(-1,1) B.直线1与圆C有两个交点 C.当m=1时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 D.圆C与圆C':x2+y2-2x十8y+8=0恰有三条公切线 10.若(1十2.x)2025=a0十a1x十a2.x2十…十a2025x2025,则下列说法正确的是 A.a0=2025 B.a0十a1十…十a202s=32025 C.ag-a1十a2-a3十…-a2025=-1 D.a1-2a2+3a3+…+2025a2025=2025 11.已知某学校派甲、乙、丙、丁四名老师去A,B,C三所学校交流学习，每所学校都有老师去，且每名 老师只能去一所学校，则 A.共有36种不同的安排方法 B.若甲乙去同一所学校，则共有6种不同的安排方法 C.若甲不去B学校，乙不去C学校，则共有12种不同的安排方法 D.若甲、乙、丙、丁四名老师交流学习完后，该学校计划再追加派遣学习教师名额12个，且每所 学校至少再追加分配3个名额，则追加的名额分配的方式共有10种 班级 姓名」 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.在(x十2y)(x-y)5的展开式中，x3y3的系数是 .(用数字作答) 13.如图是某大桥的鸟瞰图，大桥主跨OA长约500米，主塔AB的高约100米.缆悬索OB是以O为 顶点且开口向上的抛物线C的一部分，则主塔顶端B点到抛物线C的焦点F的距离为米 B F。 塔 桥面 14.将1,1,2,2,2,2,2,3,5这9个数填人如图所示的格子中，要求每个数都要填入，每个格子中只能 填一个数，则不同的填法共有 种，若填入的每行数之和为偶数，则不同的填法种数为 (用数字作答，本题第一空2分，第二空3分) 第1行 第2行 第3行 三一轮复习单元检测卷十八 数学第2页（共4页） A 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 从①展开式中前三项的二项式系数之和为46；②展开式中所有项的二项式系数之和为512；③展 开式中常数项为第4项，这三个条件中任选一个，补充在问题的横线上，并解答. 问题：已知二项式（丘-）广，若 ,求： (1)展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中的第9项. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 16.(本小题满分15分) 某种产品的加工需要经过6道工序. (1)如果其中某道工序不能放在最前面，那么有多少种加工顺序？ (2)如果其中某2道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，那么有多少种加工顺序？ (3)如果其中某3道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ (4)如果其中某3道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 17.(本小题满分15分) 已知抛物线C:y2=2p.x(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点A在C上，点Q满足AQ=3QF】 (ⅰ)求点Q的轨迹方程； (ⅱ)求直线OQ斜率的最大值. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 已知(1十x)(2十x)2m-1=a0+a1x十…十ax+…十a2mx2m,k,n∈N*. (1)当n=3时，求a1十a2十…十a6的值： (2)当k≥1时，证明：2kas=(2n十k)C5号1·22w; (3)设2·(2n-k)a6=22m-1·(2n+k)b6,求b+3b1+5b2+7b3+…+(4n-1)b2m-1的值. 19.(本小题满分17分) 组合数有许多丰富有趣的性质，例如二项式系数的和有性质：∑C=2"(k,”∈N).小明同学 想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究： (1)计算：(C)2+(C)2+(C号)2，(C9)2十(C)2+(C号)2十(C)2,并分别与C?,C比较，通过 比较写出一般性结论并证明； (2)证明：（-1)(C)2=(-1C.； k= (3)利用1)(2)中的结论，证明：∑(C)P=[C+(-1)C]。 三一轮复习单元检测卷十八 数学第4页（共4页） A高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（十八） 命题要素-览表 注： 1.能力要求： L.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) I V VI ① ②③④⑤⑥ 档次系数 选择题 排列组合的判断 易 0.80 2 选择题 5 求二项展开式特定项的 易 0.78 系数 选择题 组合在抽取问题中的 0.72 应用 4 选择题 排数问题 中 0.65 5 选择题 与椭圆有关的最值问题 0.55 6 选择题 杨辉三角问题 0.40 选择题 5 双曲线的离心率 0.38 选择题 5 涂色问题 0.35 9 选择题 6 直线与圆的位置关系 中 0.65 9 二项展开式的系数及各 选择题 6 0.55 二项式系数的和 11 选择题 6 分组分配问题 0.35 12 填空题 5 求两个二项式相乘的特 定项 易 0.78 13 填空题 5 抛物线的方程及应用 0.60 14 填空题 与表格有关的计数问题 难 0.28 解答题 二项展开式中的特定项 15 中 0.65 问题 16 解答题 15 排队问题 0.60 17 解答题 15 直线与抛物线的位置 关系 / 中 0.50 18 解答题 17 二项式定理的综合应用 中 0.40 19 解答题 17 组合数的性质 难 0.25 ·105. ·数学· 参考答案及解析 9 叁考答亲及解析 一、选择题 1.C【解析】A,B,D均与顺序有关，为排列问题：对于 FF的中点，则Pò=号(P+P),即4|PO C,从全班同学中选出3名同学参加运动会开幕式，与 =pI+2P11p时1os受+1P时，所以 顺序无关，是组合问题.故选C 2.A【解析】(2x一√)的展开式的通项为T+1= 28=16+4|PF|+|PF212,解得|PF|=2,所以 (-1)C2-x-x克=(-1)C2-x号，k=0,1, 2a=|PF|-|PF1=4-2=2,故a=1,由 2,3,4,令8，=3，可得k=2,所以二项展开式中 2 RPH=o骨者得(， 的系数为（一1）2·C?·2=24.故选A. 所以e=二=5=3.故选C 3.C【解析】从8个人中任选4个人有C。=70种选 法，甲、乙都没有被选中的选法有C=15种，所以甲、 乙至少1人被选中的不同的选法种数为70一15=55 种.故选C 4.A【解析】依题意，可将这样的六位数分成三种情 况：第一种情况，首位是数字1，则第二位必须是数字 4,其余四个数位将另外四个数字全排列即可，有 A=24种方法；第二种情况，首位是数字4，则第二 位必须是数字1，其余四个数位将另外四个数字全排 列即可，有A=24种方法：第三种情况，首位从数字 2,3,5中任选一个，有C种方法，再将数字1,4看成 8.D【解析】先涂第一个圆有6种情况；再涂第二个圆 一个元素，与另外三个数字在四个位置上全排列有 有5种情况；涂第三个圆有5种情况；涂第四个圆有5 A种方法，再考虑数字1,4的顺序，有A种方法，故 种情况：涂第五个圆有5种情况，利用计数原理可知， 由分步乘法计数原理，有CAA=3×24×2=144 一共有6×5×5×5×5=3750种情况；若不涂红色 种方法.由分类加法计数原理可知，这样的六位数共 先涂第一个圆有5种情况；再涂第二个圆有4种情 有24十24十144=192个.故选A. 况：涂第三个圆有4种情况：涂第四个圆有4种情况： 5.B【解析】如图，连接PF, 涂第五个圆有4种情况，一共有5×4×4×4×4 1280种情况；若只有一个圆涂红色，当第一个圆涂红 色时，再涂第二个圆有5种情况，涂第三个圆有4种 情况，涂第四个圆有4种情况，涂第五个圆有4种情 况，一共有5×4×4×4=320种情况；当第二个圆涂 红色时，再涂第一个圆有5种情况，涂第三个圆有5 种情况，涂第四个圆有4种情况，涂第五个圆有4种 情况，一共有5×5×4×4=400种情况；当第三个圆 涂红色时，再涂第二个圆有5种情况，涂第四个圆有 因为PF2|+|PF|=2a=10,则|PF,|+PQ= 5种情况，涂第一个圆有4种情况，涂第五个圆有4 10+PQ1-|PF|,要使PF2|+|PQ|最小，需使 种情况，一共有5×5×4×4=400种情况：当第四个 |PQ-PF最小，由图知，当P,Q,F:三点共线，且 圆涂红色时，再涂第三个圆有5种情况，涂第五个圆 点P在椭圆的右顶点时，PQ|一PF|的值最小，最 有5种情况，涂第二个圆有4种情况，涂第一个圆有4 小值为-|QF,1=一（一1+4）=一3，此时|PF21十 种情况，一共有5×5×4×4=400种情况；当第五个 |PQ的最小值为10-3=7.故选B. 圆涂红色时，再涂第四个圆有5种情况，涂第三个圆 6.A【解析】由广义杨辉三角，得(x2十x十1)=x十 有4种情况，涂第二个圆有4种情况，涂第一个圆有4 5x”+15x8+30x7+45x5+51x5+45x+30x3+15x 种情况，一共有5×4×4×4=320种情况，所以红色 +5x十1，所以在(1+ax)(x2十x十1)5的展开式中， 至少涂两个圆的方案有3750-1280-320-400 x的系数为30十45a=75,即a=1.故选A. 400-400-320=630种.故选D. 7.C【解析】由双曲线的几何性质，可知点O是线段 ·106· 高三一轮复习A ·数学· 二、选择题 13.725【解析】以O为坐标原点，OA为x轴，过点O 9.ABC【解析】圆C:(x十3)2+y=9的圆心C(-3, 且与主塔AB平行的直线为y轴，建立如图所示的 0),半径r=3,对于A,直线1：m(x十1)十2x十4y-2 平面直角坐标系， 山=所得商以线过 定点A(-1,1),故A正确；对于B,因为|AC|= F √2+1严=√5<3，所以点A在圆C内，所以直线1 0 桥面 与圆C有两个交点，故B正确；对于C,当m=1时， 则B(500,100),设抛物线C的方程为x2=2py,p> 直线l:3x十4y-1=0,则点C到直线1的距离d 0,则500=2p×100,解得p=1250,所以抛物线C 1-3×3-1=2,又，一d=1,所以圆C上恰有三个 的准线方程为y=-625,所以|BF|=100十625 √/32+4 =725. 点到直线l的距离等于1，故C正确：对于D,圆C的 14.1512324【解析】将这9个数填入，不同的填法 方程化为(x-1)2+(y十4)=9，则圆心C(1,-4), 半径r'=3,所以|CC|=√(-4)2+4=4√2∈(0， 种数为N=六=1512种这9个数中有4个奇 6),所以两圆相交，所以圆C与圆C有两条公切线， 数，5个偶数，因为填入的每行数之和为偶数，故每 故D错误.故选ABC. 行有偶数个奇数，则只需将4个奇数按0,2,2分成 10.BC【解析】对于A,令x=0,则a=1,故A错误； 三组，当两个1在同一行时，不同的填法种数为 对于B,令x=1,则a0十a1十…十a25=32o25,故B V2=CCCA=108种；当两个1不在同一行时， 正确；对于C,令x=一1，则a。一a1十a2一a十… 不同的填法种数为N=CCAA=216种，故不 a202s=一1，故C正确：对于D,由(1十2x)225=a。十 同的填法种数为V2十V3=108十216=324种 a1x十a2x2十…十a2osx225,两边同时求导得2025X 四、解答题 2X(1+2x)2024=a1十2a2x+3a3x2+…+ 15.解：(1)（反-子）厂”的展开式的通项为T+1 2025a2025x2024,令x=-1,则a1-2a2十3a3-…十 2025a2o2s=4050,故D错误.故选BC. Cx→(-)广=(-1)rC→ (2分) 11.ABD【解析】对于A,将4名老师分成3组共有 若选条件①：展开式中前三项的二项式系数之和 CCC=6种，再将3组分配到3所学校有A=6 为46， Ai 种，所以共有6×6=36种不同的安排方法，故A正 则有C%+C十C=46, 确；对于B,先排甲乙有C=3种，再排丙丁有A= 即1十n+(21=46, 2 2种排法，所以共有3X2=6种不同的安排方法，故 整理得(n-9)(n十10)=0， B正确：对于C,当甲乙同组时有A=2种排法：当 因为n∈N*,所以n=9, (5分) 甲乙不同组时，将4名老师分成3组共有CCC 则展开式中二项式系数最大的两项为 A 1=5种，若甲去C学校，则有A号=2种，若甲不去C T:=(-1)*C4x-2=126x÷, 学校，则有1种，所以甲乙不同组时，共有5× T=(-1)C5x==-126x3】 (7分) (2十1)=15种.综上，甲不去B学校，乙不去C学 若选条件②：展开式中所有项的二项式系数之和 校，且每所学校均有人去，共有17种安排方法，故C 为512， 错误；对于D,若又计划向这三所学校追加12个学 则有2=512，解得n=9, (5分) 习名额，且每所学校至少3个，先每所学校分2个名 则展开式中二项式系数最大的两项为 额，然后使用隔板法将剩下的6个名额分成3份，且 T=(-1)Cx-4=126x号， 隔板不在两端，则共有C=10种不同的分配方法， T=(-1)C5x=-126x3 (7分) 故D正确，故选ABD. 若选条件③：展开式中常数项为第4项， 三、填空题 12.10【解析】(x十2y)(x-y)=x(x-y)+ 则有”3X3-0,解得=9， (5分) 2y(x-y)5,x(x-y)的展开式的通项为A,+1 则展开式中二项式系数最大的两项为 xC·x5-·(-y)r=C·(-1)x6·y(r=0,1, T:=(-1)Cx=126x÷, …5),2y(x一y)5的展开式的通项为B+1=2yC哈· x5-*(-y)=2C·(-1)·x-·y+1(k=0,1, T=（-1)5Cx￥=-126x. (7分) (2)由(1)知，n=9, …,5),令6-r=5-k=3,得r=3,k=2,.x3y3的 系数为-C+2C号=10. 故（丘-）广的展开式的通项为T1 ·107· ·数学 参考答案及解析 (-1)*C5x,k=0,1,…,9, 令x=0,则a6=25, 则T,=（-1)-=9x9 (13分) 所以a1十a2十…十a6=2X35-25=454. (3分) 16.解：(1)先从另外5道工序中任选1道工序放在最前 (2)因为(2十x)21的展开式通项为C-1·22- 面，有C=5种不同的排法， ·x, 再将剩余的5道工序全排列，有A=120种不同的 所以x的系数为au=C。·2-十Cn-1·22m-- 排法， =22如--1. 「2(2n-1)！ (2n-1)！ L(k-1)！(2-k)I十k！(2-k-1DI」 故由分步乘法计数原理可得，共有5×120=600种 =22n--1】 -1)I(2mkT(2+24) (2n一1)！ 加工顺序， (3分) (2)先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面 和最后面，有A号=12种不同的排法， =2wt1·C5.2十k k 再将剩余的4道工序全排列，有A=24种不同的排 所以2ka4=(2n十k)C.1·22a-. (8分) 法， (3)由(2)知 故由分步乘法计数原理可得，共有12×24=288种 ak=22a-k-1 (2n-1)! 加工顺序 (7分) -”(2+”) (3)先排这3道工序，有A=6种不同的排法， =22--1 再将它们看作一个整体，与剩余的工序全排列，有 (+) (2n-1)！ A=24种不同的排法， =2ak1.C5。-·2n- 2n+k (10分) 故由分步乘法计数原理可得，共有6×24=144种加 则2。(2n-k)a4=22a-1·C-1·(2n十k), 工顺序 (11分) (4)先排其余的3道工序，有A=6种不同的排法， 因为2·(2n-k)ag=22m1·(2n十k)bg, 出现4个空位，再将这3道工序插空，有A=24种 所以be=C览-1， 不同的排法， 当k=0时，(2k十1)b=b=C2m-1: (12分) 所以由分步乘法计数原理可得，共有24×6=144种 当k≥1时，(2k十1)b:=2k·C路a-1十C览。- 加工顺序. (15分) (2n-1)！ =2k·1(2n--D+C.- 17.解：(1)抛物线C的焦点为F(,0),准线方程为 (2n-2)! =2(2m-1)·k-"2n2g-+c.- =2(2n-1)Cn'2十C-1, (14分) 所以点F到雅线的距离为号-(-专)=p=2, 所以6十3b十5b,十7b,十…+(4n-1)ba-1=C②。- +2(2n-1)(Cn-2十C-2十…十C2-)十(C-1+… (4分) 十C数1)=2(2m-1)(C9-2+Cm-2十…+C)+ 所以抛物线C的方程为y=4x. (5分) (C9.-1十C2a-1十…+Ca)=2(2n-1)·22m-2十 (2)(i)设Q(x,y),由(1)可知F(1,0), 22w=L=（2n-1)·22w=1十22m-1=2n·22w=1=n· 则AQ=3Q市=(3-3x,-3y), 22 (17分) 所以A(4x-3,4y), 19.解：(1)(C9)2+(C)2+(C2)2=1+4+1=6=C, 因为点A在抛物线C上， (1分) 所以(4y)2=4(4x-3), (C8)2+(C)+(C￥)2+(C)2=1+9+9+1= 得到点Q的轨迹方程为4y2=4x一3. (10分) 20=C8. (2分) (iⅱ)设直线OQ的方程为y=x, 结论：(C0)2十(C)2十…十(C:)2=Cn. (3分) 则当直线OQ与曲线4y2=4x一3相切时，其斜率k 证明如下： (k>0)取到最大值. (1十x)”(1+x)”的展开式中，x”的系数为CC十 联立一3得y一 3 CC”-1十CC”-2+…+CC9=(C9)2+(C)2十… y=kx =0, +(C)2, 其判别式4-3=0得女=号（=一怎含) 又(1十x)"(1+x)"=(1十x)2m, (1十x)2m的展开式中x”的系数为Cm, 所以直线O0斜率的最大值为汽。 所以(C9)2+(C)2十…+(C:)2=Cm.(6分) (15分) (2)(1一x2)"的展开式中x的系数为（一1）"Cm, 18.解：(1)当n=3时，(1十x)(2十x)i=ao十a1x十… (8分) 十a6x, 又(1-x2)m=(1-x)2m(1十x)2" 令x=1,则a0十a1十…十a6=2X35: (1一x)2m(1十x)2m的展开式中x2"的系数为 ·108· C8nCa-CnC8a1十C8nC8a2-…十CaC8n= …十(C8器)2=(-1)"C, (14分) (-1D(C), 两式相减可得2(Cn)”十2(Cn)2十2(Cm)2十…十 2(C81)2=C粉-(-1)C8, 所以∑(-1)(C)2=(-1)C. (12分) 所以夕(C)=[c$+(←DCS]· (3)由(1)可得(C8n)2+(Cn)2+…+(C)2 (17分) C (13分) 由(2)可得(C9)2-(Cm)2+(C)2-(C.)2+