(16)圆锥曲线-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（A）

高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（十六） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V.空间想象能力V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) I ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 由抛物线方程求其准 选择题 易 0.80 线方程 2 选择题 棱锥与棱柱的体积 易 0.78 3 椭圆焦半径的最值（文 选择题 5 / 化题) 的 0.72 选择题 利用双曲线定义求 4 / 轨迹 分 0.65 5 选择题 分 累乘法求通项，裂项法 父 0.55 求和 选择题 5 光线的反射问题 分 0.45 7 选择题 5 抛物线与向量的综合 / 中 0.40 8 选择题 5 双曲线的离心率 中 0.30 9 选择题 6 两圆的位置关系 / 多 0.72 圆锥曲线与方程间的 10 选择题 6 中0.60 关系 选择题 曲线与方程（新定 6 义题) V 华 0.25 12 填空题 求圆的标准方程 易 0.76 13 填空题 5 直线与双曲线的交点 中 0.65 个数的问题 14 填空题 5 椭圆的实际应用 / / 中 0.35 求圆的标准方程，由圆 15 解答题 13 心角求参 易 0.72 ·93· ·数学· 参考答案及解析 求抛物线的标准方程， 16 解答题 15 最值问题 分 0.55 直线与双曲线的位置 17 解答题 15 关系，三角形面积的 名 0.45 最值 18 椭圆的标准方程及定 解答题 值问题 L 难 0.28 双曲线与数列的综合， 19 解答题 17 定点问题 难 0.25 香考答案及解析 一、选择题 式所以a2=2X3” 2 2 1.A【解析】易知曲线y=log22s(x-2)过x轴上定 0故学=3n+品 点(3,0)，即为C的焦点，故C的准线方程为x= 2 2 2 2 2 一3.故选A. 3(m千所以S=3X32十3X23X3十 2.B【解析】反向思考，边长为a的正方体，其最大内 2 2 2 2 2 接正四面体的体积为。-4X子×号×公-号。 3X33X4++03m号-3m 2 2n 200 1,解得3=3，故正方体体积的最小值为3.故选B. 3(n+1),故Si=303故选C 3.C【解析】设该椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,则 6.C【解析】如图，分别作出点A关于直线x一y=0 的对称点A'(一4，一6)，点D关于直线x=1的对称 2a=9,2h=4,即a=号，6=2，故c=V心-F= 点D(2,12),根据光的反射原理，点B,C在直线 Y,所以该精圆上的点到其右焦点距离的最大值 A'D上，所以kx=kD=二6=3，所以直线BC 一4-2 的斜率为3.故选C 为c十a=V+9(cm.故选C 2 x-1=0 4.D【解析】设动圆M的半径为r,则MC|=r+1, |MC|=r+3,则|MC:|-|MC,|=2<|C1C2|= 6,根据双曲线的定义知，动圆的圆心M的轨迹为双 曲线的左支，其方程为x-兰=1(x≤-1).故 8 选D. 5.C【解析】记数列{经}的前n项和为S,由题意可 知a,≠0，由(n十2)ant1=3nan,可变形为= 7.B an 【解析】设A(,平）B(a平）由y= n平2故2”-3《1>n2,所以三3 3n an-1 n+1 求导得y-号，则直线PA的方程为y 3(n-1).3(n-2) n+1 aw-2=3(n-1) +1 受(x一)十4，即y=受：一平，同理可得直线PB 3(n-2).3n-32 n-l a。-3=…=3(n-1) n+十1 的方程为y=受：一平，联立直线PA与直线PB的 3(m-2).3(n-3).3(m-4)3X2.3X1a n n-1n-2 4 341,因 方程可得P(士，平）由点P在直线y=-】 为a1所以a,=≥2.又1=1符合上 ·94- 高三一轮复习A ·数学· 上，得=-1，即x2=-4,所以P才·P 线C表示焦点在x轴上的椭圆，则2m+1>5一2m >0,解得1<m<号，故C正确：对于D,若曲线C 2 4 为等轴双曲线，则有2m十1十5一2m=0,此时无解， 故不存在m使得曲线C为等轴双曲线，故D错误. 4 16 4 故选AC. -4(一4）2=0.故选B. 11.ACD【解析】对于A,因为DF·|DF2|= 16 8.B【解析】如图， （2√2+2)×(22-2)=4，所以由定义知点D(22, O)在曲线C上，故A正确：对于B,若点M(x,1)(x> 0)在曲线C上，则MF·|MF:|= √[(x+2)+1]L(x-2)十1丁=4，化简得x 6x2+9=0,解得x=√，所以|MF|= √（√3+2）2+1≠2√2，故B错误；对于C,椭圆 若+苦=1的熊点坐标恰好为B(-2,0)与 2 F2(2,0),则|FQ|+F2Q|=2V6,又FQ⊥F2Q, 所以|FQ|2+F2Q2=16,故|FQ·|F2Q| FQ+|E,Q)2-(EQ+|FQ)=4, 2 在Rt△OPF中，因为tan∠POF=b=IPE 0 1OP,且 所以点Q在曲线C上，故C正确；对于D,设 OF=c,所以|PF|=b,|OP|=a.由三角形相似 A(2,y),则|AB|=2|y,因为点A在曲线C上， 可知1oP=TP·PF,所以TP=云又因 则AF=奇义A=6+y,所以9 为-号所以1QT=含A设∠0p-∠0Q 16+y2,化简得y+16y2-16=0,故y2=4√5-8， 所以y-1=45-9<0,故|y<1,所以|AB|< 2a =0,则tan0=4, ，放tan20= b 2ab 2,故D正确.故选ACD. 2a2,又在 三、填空题 12.(x-1)2+(y-1)2=4(形如(.x-a)2+(y-a)2=4 a2 3 的任一方程均可)【解析】由已知得圆心C的横纵 Rt△OPQ中，tan20= QP +b 2a2+3 坐标相等，且半径为2，故圆C的方程可设为(x OP 2ab 故20-即6和6-2公=0，整理对 a)2+(y-a)2=4,令a=1,即得(x-1)2+(y-1)2 =4. 2ab (b-2a2)(36+a2)=0,故b=2a2,所以c2-a2= 13.±3 (-,)u(停+) 【解析】由题 2a2,即c=3a,所以e==尽.故选B. a 二、选择题 可知C的浙近线方程为y=士号，若与C的新近 9.BC【解析】由题可知圆C的圆心坐标为C(0,0), 半径r=1.圆C的一般方程化成标准方程，得(x 线平行，此时1与C恰有一个公共点，则=士 31 3)2+(y十4)2=1，则圆心C2(3,一4)，半径R=1,两 设直线y=k(x一2)与C交于A(.x1,y),B(.xy2), 圆圆心距为|CC2|=√3+（一4）下=5，所以 y=k(x-2) 1PQmn=5-1-1=3,|PQImx=5十1+1=7，故A 联立 错误，B正确；两个圆心所在直线的斜率kcC= 3-y2=1 ,得(1-3k)x2+12k2x-3 (1一3k2≠0 3,故C正确：又|CC|>R+r,所以两圆外离， 12k2=0,所以3△>0 ,整理得 不相交，没有公共弦，故D错误.故选BC. 0x2>0 10.AC【解析】对于A,令2m十1=5-2m,解得m= 1,则C:x2十y2=3,此时曲线C表示圆，故A正确： k+3 对于B,若曲线C为双曲线，则(2m十1)(5一2m)< (12k2)-4×(1-3k)×(-3-12k)>0,解得k< 0,解得m>号或m<-2,故B错误：对于C,若曲 -3-12k>0 1-3k2 ·95· ·数学· 参考答案及解析 酸公 即入y2十y2=4m,入y=4, 联立两式并整理可得4m=1十)=+1 14.15【解析】以EF所在直线为y轴，EF的垂直平 +2， 分线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系. (8分) 因为y-A+只+2在A1,2]止单调递增， 所以m∈(a号]，即㎡∈(1，号]： (10分) 又x1十x2=m(y十y2)-2=4m2-2, 所以MN的中点坐标为(2m2一1,2m), (12分) 所以直线MN的垂直平分线的方程为y一2m= -m(x-2m2+1), (13分) 令y-0,可得。-2m+1e(3,], 设P为沿湖小径RS上的任意一点，则PE+|PF= 4,根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为椭圆，所以 所以点G的横坐标。的取值范国为(3，] 2a=4,2c=2,即a=2,c=1,所以b=a2-c2=3,所 (15分) 以点P的镜迹方程为学+号-1，曲题意，修建两条 b=3 观景步道的总费用为5PF十5PQ=5(|PQ+ 17.解：(1)由题意可得 2c=4 2a一|PEI),由图可知，当E,Q,P三点共线且点Q a2+b2=c2 在E,P之间时，即P在P。处时，总费用最低，最低 为5(4-|EQ)=15万元. 解得a=1,b=√3，c=2, 四、解答题 所以双曲线C的方程为一苦=1， (3分) 15.解：(1)设圆心坐标为C(a,b),半径为r. 由点C(a,b)在直线2x-y=0上，可得2a=b. (2)由题可得|OP|=√4+16=2V5,kp=2, (2分) 设与直线OP平行的直线的方程为y=2.x+t, 又圆C与x轴相切于点(1,0)， 当该直线与双曲线C相切，且切点为点A时， .a=1,b=2,则r=b-0|=2, △AOP的面积最小， .点C的坐标为(1,2)，半径r=2, (6分) 因为点A在双曲线C的右支上，所以t0.(4分) ∴.圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=4. (8分) (2)∠ACB=90°，|CA=|CB=2, ∴.圆心C到直线l的距离d=|CA×cos45°=√2， (10分) :1-2+m=2, w/1+1 解得m=-1或3. (13分) 16.解：(1)因为D(x,2)在C:y=2px(p>0)上， 所以4=2p,解得，=2 (2分) y=2x+t 因为DF|=2, 联立 x2-号=1得x2+4x+2+3=0, 所以6十号=2即号+号=2 3 由△=16t2-4(t+3)=12t-12=0且t<0,得t= 解得p=2, (4分) -1, 所以C的标准方程为y2=4x. (5分) 所以切线方程为y=2.x-1, (6分) (2)易知C的准线方程为x=一1， 所以直线OP与切线y=2x一1之间的距离为d= 则可得K(一1,0). 1-5 设M(1,y),N(x2,y), √55 由KM=λKN可得y1=2, (6分) 易知直线l斜率存在且不为0，设直线l:x=my一1， 所以△AOP面积的最小值为号×2V5×5-1. 5 m≠0，代入到y2=4x中得y2-4my十4=0， (8分) △=16m2-16>0,解得m<-1或m>1, (3)由题意可知直线DE的斜率不为0，且F(2,0), 所以y十y2=4m,y13y2=4, 设直线DE的方程为x=y十2，D(1y), ·96· 高三一轮复习A ·数学· E(x2y2), 0.√16-3m=√0， 2 联立 -号.得3m-1)y+12my叶9=0 解得m=2(舍)或m=-2. (10分) (x=my十2 由3m2-1≠0，△=144m2-36(3m2-1) 故直线1的方程为y= 3x-2. (11分) 36(m+1)>0,得m≠分 (3)由(2)知k1k2=”-1.2-1 x1-3x2-3 -12m 9 则+为=3m11=3m-' (子十m-1)(-号十m-1) 所以|DE|=√+m|y-y2 (x1-3)(x2-3) 1 =√十m -12m 36 6(1十m) 9-3(m-1)(x1+)+(m-1)2 3m2-1 3m2-1=3m2-1T· x1x2-3(x1十x2)+9 (10分) 设线段DE的中点为Q(x,y), 9 9m,36号(a-1D·婴+(m-1 4 则=当十业=一6m -2 2 3m-n=m+2=3m气 9m-36-3.30m+9 4 2 所以点Q到直线x=?的距离为 1 3m2-6m=1 2 =9m-18m-3' 3m2+3 所以kk2为定值. (17分) 2(3m2-1) (12分) 19.解：(1)因为C为等轴双曲线，所以a=b, 又|MN|=3w3, 所以C的渐近线方程为y=士x. (1分) 设右焦点坐标为F(c,0)(c>0), 所以由勾股定理得 33 3m2+3 2 2(3m2-1) 由题知△OPF为等腰直角三角形， 「3(1+m2)72 则由|OPI=√2→OF1=e=2, 3m2-1T」' 又在等轴双曲线中，c2=2a2→a2=2, (2分) 解得m=0或m=士1， (3分) 所以直线DE的方程为x十y一2=0或x一y一2=0 所以C的方程为号一苦-1 或x=2. (15分) ②者a8.则 解得y=0,即Q(-√2,0)， 18.解：(1)由题意得 2c=4√2， (1分) 根据对称性，不妨设Qn（an,bn)在第二象限， a2=6+c2, 由y=√-2，得y= [a=25 wx2-2 解得b=2, (3分) 所以在点Qn(an,bn)处的切线方程为y一b,= c=2√2 cx-u)即y=公r 故C的方程为号+兰=1. Va:-2 (4分) (②)设直线1的方程为y=一子x十m(m≠0且m≠ 与y-:联立得M.(石子)力 (6分) 2),M(x1y1),N(x2y2),x1,x2≠3， =-子x+m 所以直线Q,4的方程为y-（一a平。)- 4 乡 ,得4.x2-6m.x+9m2-36=0, a千h.,即y=ta+6. 4 4 x-y= 由A=(6m)2-144(m-4)>0,得-4y5<m< 联立x一ya,+b,化简得 am十bn 3 x2-y2=2 2 4且m≠0m≠2 (6分) asr-bae-an +ba 4 2x1.=9m2-36 则x十=3m.x 即 ,所以十b=1= (7分) aw+1十bnt1=n十 an+br 2 4 2 所以MN=√什·VCa+a)-4= 所以数列{a,十6}是以一巨为首项，号为公比的等 ·97· ·数学· 参考答案及解析 比数列， (8分) =0,m2-1≠0， 所以a+a=一巨·（分） △=(4m)2-4(m2-1)×2=8(m2+1)>0恒 成立， 由a号-b层=2得am-bn=-√2X2”-1, 所以y十为=一4m 2×(分）-2×2， m2-1'hy2= 二<0，得m2< 2 可得2an=-、 1. (13分) ×（合）》竖x2, 由直线AE与BE关于x轴对称， 所以an=一 2 (10分) 可知直线AE和直线BE的斜率互为相反数， -(川 即kE十kE=0. (14分) 所以S。= 2 1-7 1-2 所以十=产，十产，2十 2my+(2-)(1十2）=0， v2X2-1- my2十2-t(m十2-t)(m2十2-t) 2 (11分) 整理可得2myy+(2-t)(y1十y2)=0, (3)假设x轴上存在定点E,易知直线斜率不 为0. 设E(t,0),l3:x=my十2，A(x1,y),B(x2,2), 即4m(t-1)=0. (16分) 联立后-兰-1清去上得-1)Y十mv+2 要使上式恒成立，即与m的取值无关， 则应有t一1=0，所以t=1, x=my+2, 故x轴上存在定点E,其坐标为(1,0) (17分) ·98·高三一轮复习单元检测卷/数学 (十六)圆锥曲线 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.已知曲线y=log2o2s(.x一2)过抛物线C:y2=2p.x(p>0)的焦点，则C的准线方程为 A.x=-3 B.y=-3 C.x=-3 1 Dy=-日 2.将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值为 A.1 B.3 C.4 D.9 3.如图所示的金烧蓝嵌珠椭圆盒嵌表来自于19世纪的英国，此盒表的盒内可放化妆品或首饰，美观 而实用.该盒的上底面为椭圆，盒长9cm,宽4cm,则该椭圆上的点到其右焦点距离的最大值为 A.V65 2 cm B.√65cm C.V65+9 2 cm D.9 cm 4.已知圆C1:(x十3)+y2=1和圆C2:(x一3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动 圆的圆心M的轨迹方程为 A苦-1 B苦-r2=1 C,2-÷=1(x>1) 8 D.2 -=1(x≤-1) 8 5.数列{a,}满足a1=1,(+2)a1=3ma,则数列=}的前100项和为 A器 c器 n跚 6.已知入射光线从点A(一6，一4)射出，经过直线x一y=0上的点B后第一次反射，若此反射光线 经过直线x=1上的点C时再次反射，反射后经过点D(0,12),则直线BC的斜率为 A.4 7 B.2 C.3 D. 7.已知抛物线C:x2=4y,P为直线y=一1上一点，过点P作C的两条切线，切点分别为A,B,则 PA·PB的值为 A.1 B.0 C.-1 D.-2 8,已知双曲线C:乙-￥1(a>0,b>0)的右焦点为P,过点F作斜率为正的渐近线的垂线，垂足为 P,FP的延长线与y轴及另一条渐近线的交点分别为T,Q,若3PF=2QT|,则C的离心率为 A.② B.√3 C.2 D.3 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知点P在圆C1:x2十y2=1上，点Q在圆C2:x2十y2一6x十8y十24=0上，则 A.PQ的最小值为0 B.PQ的最大值为7 C.直线CC的斜率为-号 D.圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程为6.x一8y一25=0 10.已知曲线C的方程为2千十。2m1(m∈K).则下列说法正确的有 A.存在m,使得曲线C表示圆 B若曲线C为双面线，则一)<m<号 C若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<m<号 D.存在m,使得曲线C为等轴双曲线 11.如图，曲线C是一条“双纽线”，C上的点满足：到点F1(一2,0)与到点F2(2,0)的距离之积为4， 则下列结论正确的是 A.点D(2√2,0)在曲线C上 B.若点M(x,1)(x>0)在曲线C上，则MF1=2√2 C若点Q在椭圆后十苦-1上，且qLF.q.则点Q在曲线C上 D.过点F2作x轴的垂线交曲线C于A,B两点，则AB<2 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知圆C的半径为2，直线y=x恰好平分圆C的周长，则圆C的一个标准方程可以是 13.已知双曲线C:号-y=1与动直线1：y=(r一2)，若1与C恰有一个公共点，则实数女的值 为 ;若1与C的同一支有两个不同的交点，则实数k的取值范围为 ·(本题第一 空2分，第二空3分) 14.在某城市中，F地位于E地的正南方向，相距2km;Q地位于E地的正东方向，相距1km.现有 一条沿湖小径RS(曲线)，其上任意一点到E和F的距离之和为4km.现计划在该小径上选择一 个合适的点P建造一个观景台，经测算从P到F,Q两地修建观景步道的费用都是5万元/k, 则修建两条观景步道的总费用最低是 万元. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知圆C的圆心在直线2.x一y=0上，且与x轴相切于点(1,0). (1)求圆C的方程： (2)若圆C与直线l:x-y十m=0交于A,B两点，且∠ACB=90°，求m的值. 三一轮复习单元检测卷十六 数学第2页（共4页） A 16.(本小题满分15分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(xo,2)在C上，且DF|=2. (1)求C的标准方程； (2)若C的准线与x轴交于点K,过点K的直线1交C于M,N两点，且KM=入KN,λ∈(1,2]， 点G为线段MN的垂直平分线与x轴的交点，求点G的横坐标xG的取值范围. 17.(本小题满分15分) 已知双曲线C芹-若-1(a>0.6>0)的渐近线方程为y=士v后，焦距为. (1)求C的方程； (2)若A为C右支上一点，点P(2,4),O为原点，求△AOP面积的最小值： (3)过C的右焦点F的直线与C交于D,E两点（均异于顶点），以线段DE为直径的圆与直线 x=2交于M,N两点若MN=33,求直线DE的方程. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C:号+片-1a>6>0)过点P(3,1,熊距为4v2,斜率为-日的直线1与C相交于异 于点P的M,N两点，且直线PM,PN均不与x轴垂直. (1)求C的方程； (2)若|MN|=√10，求直线l的方程； (3)记直线PM的斜率为k1,直线PV的斜率为k2,证明：k1k2为定值. 19.（本小题满分17分) 我们把实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线.已知等轴双曲线C:号-若-1(a>0,6> 0)的渐近线分别为L1,l2(其中11斜率为负，l2斜率为正)，过C的右焦点F作FP⊥l1于点P,且 点P到原点O的距离为√2. (1)求C的方程： (2)已知Q(a1,b,)为C上一点，作C在Q1处的切线QM,交直线l1于点M,过点M,作 Q2M1∥l2与C交于点Q2(a2,b2),…,以此类推，作C在Qm(an,bn)处的切线QnMn交直线l1于 点Mn,过点Mn作Q+1Mn∥l2与C交于点Q+1(a+1,b+1),n∈N*,若a1=一√2，求数列 {an}的前n项和Sm; (3)过点F作直线I3与C的右支相交于A,B两点，问在x轴上是否存在一定点E(异于点F),使 得直线AE与BE关于x轴对称？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由. 三一轮复习单元检测卷十六 数学第4页（共4页) A