(15)直线与圆-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（A）

数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷十五 数学第2页（共4页） A 16.(本小题满分15分) 已知圆M:x2+y2-a.x-2ay-40=0的圆心在直线x-y+1=0上，直线l:y=x十6. (1)求a的值； (2)求圆M关于直线l对称的圆M'的标准方程； (3)过(2)中的圆M的圆心作圆M的切线m,求切线m的方程. 17.(本小题满分15分) 已知直四棱柱ABCD一AB1CD1的底面为菱形，AB=2,∠ABC=60°.如图，将该棱柱截去一角 得到多面体ABCD一A1B1C,点E为线段A1C的中点. (1)设平面CB1E与平面BDC1的交线为l,证明：BD∥l; 2)若三面角C-B,E一C的余弦值为 (i)求AA1的长； (ⅱ)求直线DE与平面BCE所成角的正弦值， 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 已知两个定点A(0,4),B(0,1),动点P满足PA=2PB,设动点P的轨迹为曲线E,直线l: y=kx-4. (1)求曲线E的方程； (2)若直线l与曲线E交于不同的两点C,D,且∠COD=120°(O为坐标原点)，求直线1的斜率； (3)若k=1,Q是直线l上的动点，过点Q作曲线E的两条切线QM,QN,切点分别为M,N,设点 T在圆F:(x一4)2+(y一3)=1上，求点T到直线MN距离的最大值. 19.(本小题满分17分) 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记|MN的最大值为m,MN|的最小值为n,若 m=2,则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“E一F”的 “钻石点”.已知圆A:(x十1)十(y十1)=子，P为圆A的“黄金点” (1)求点P所在曲线的方程； (2)已知圆B:(x一2)2+(y一2)2=1，P,Q均为圆“A一B”的“钻石点”. (ⅰ)求直线PQ的方程； (1)若圆H是以线段PQ为直径的圆，直线1y=kx+号与圆H交于1，J两点，对于任意的实 数k,在y轴上是否存在一点W,使得y轴平分∠IWJ?若存在，求出点W的坐标；若不存在，请 说明理由. 三一轮复习单元检测卷十五 数学第4页（共4页） A高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（十五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 (主题内容) ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 求直线的倾斜角 易 0.80 2 选择题 5 点与圆的位置关系 易 0.78 3 选择题 5 由两圆公切线条数 易 0.72 求参 4 选择题 5 直线与圆的位置关系 / 中 0.65 选择题 5 圆的实际应用 0.55 6 选择题 5 裂项相消法求和 √ √ 务 0.50 圆台的外接球（文 选择题 L L L 中 0.45 化题) 8 选择题 5 与圆有关的最值问题 中 0.35 9 选择题 6 由两直线位置关系 L 易 0.72 求参 10 选择题 6 等差数列与圆的综合 的 0.40 11 选择题 6 直线与圆的位置关系 / 难 0.25 线面关系与充分条件 12 填空题 的综合 易 0.78 13 填空题 利用圆求代数式的取 中 0.45 值范围 14 填空题 5 与圆有关的文化题 」 L 中 0.40 15 解答题 13 求直线方程，与直线有 / 易 0.72 关的最值问题 16 解答题 15 求圆及圆的切线方程 中 0.60 证明线线平行，利用二 17 解答题 15 面角求棱长及线面角 分 0.50 的正弦值 ·87· ·数学· 参考答案及解析 利用韦达定理研究直 18 解答题 17 0.32 线与圆相交问题 19 解答题 17 与圆有关的新定义题 难 0.25 春考答案及解析 一、选择题 6.D【解析】由题可知am=2m+1十n-2-2一n十1十2 1.B【解析】由题可知直线l的斜率为k=一tan 2π =2m+1,n≥2，又当n=1时，a1=2+1=3符合上式，所 3 以a,=2十1，所以2” 2 万，又因为1an号=6，所以直线1的倾斜角为号 a4.+=(2+1)（2*1+)= 1 1 1 故选B. 2中12+所以T=2十2+1十2+1 2.A【解析】因为点P(1,2)在圆C的外部，所以1+ 1 1 11170 2+1十2十m>0,解得m>-8,又方程x2+y2十x+ 2+1+…+2m+2+十=320*+1=513 y十m=0表示圆，则1十1一4m>0,解得m<分，所 整理得2m+1=512,解得m=8.故选D. 7.B【解析】如图所示，设球O的半径为Rcm,圆台的 以实数m的取值范围为（一8，令）.故选A, 上，下底面分别为圆O,O2, 3.B【解析】由题可知圆O的圆心为O(一4,0)，半 径为r,圆O2的圆心为O2(2,0),半径为3，当圆O 01------ 与圆O2恰有4条公切线时，两圆外离，则|OO2|> 十3，即6>r十3，解得r<3,又>0，故0<r<3.故 选B. 4.C【解析】因为直线ax十y十2a-1=0可化为 a(x十2)十y-1=0,所以直线ax十y十2a-1=0过 定点P(-2,1),将圆C:x2十y2+4x-1=0化为标 依题意，4πR2=100π，解得R=5,因为元·O2A=9π， 准方程为(x十2)2十y2=5,所以圆心C(一2,0)，半 π·O,B=16π，解得O2A=3cm,O,B=4cm,所以 径r=5,|PC=1,当PC⊥AB时，|AB|取最小 O0,=/R2-32=4cm,O0,=√/R2-4g=3cm,因 值，此时|AB|=2√2-PC下=2×√5-I=4. 为圆台的高超过1cm,所以该圆台的高为7cm,所以 故选C. 该圆台的体积为号×(9x+16x+12x)×7=259r 3 5.A【解析】如图，以O为坐标原点，线段AB所在的 直线为x轴，线段OP所在的直线为y轴建立平面直 cm3.故选B. 角坐标系， 8.A【解析】因为x2十y2-6y=0→x2+(y-3)2=9, 所以圆C的圆心坐标为C(0,3),半径r=3.因为直 PP)P2 P3 PA P5 线l上存在两点A,B,使得∠APB=三，所以以线段 AB为直径的圆与圆C有交点，当两圆外切时，AB长 度最小，且两圆圆心所在直线与！垂直，如图， A OA1A2AA4A5B元 则点A,B,P的坐标分别为(-18,0)，(18,0)， (0,6),设圆拱桥所在的圆的方程为圆C:x2十y十Dx十 Ey十F=0(D+E-4F>0).因为点A,B,P在圆C上， 182-18D+F=0, D=0, 故有182+18D+F=0,解得E=48, 故圆C的 62+6E+F=0. F=-324, 方程为x2十y2十48y一324=0.将点P2的横坐标x= 6代入圆C的方程，结合图象解得y=一24十12v, 故支柱A2P2的长为(12√6-24)m.故选A. ·88· 高三一轮复习A ·数学· 因为圆心C(0,3)到直线l的距离d= √1+x,因为圆M与圆O内切，所以圆心距 3X0-4X3-12L=琴，所以1AB引m=2X √32+49 |OM|等于半径之差，即√1+x=7-√4十x,化 (号-3)=8故选A 简后可得√什7-9，所以R的最小值为9，此 7 二、选择题 时sin∠APB最大，最大值为ABl=4=之 2R2=13,故D 9.ABC【解析】对于A,当a=3时，直线l1:3x十y-9 0,直线4z+y3=0,联立，”。，解得 正确.故选ABD. 三、填空题 0,所以1与，的交点为(3,0)，故A正确：对 /x=3 12.bCy(或b∥y)【解析】由bcy,可得a⊥b或由b∥ Y,可得a⊥b,由a⊥b,可得bCy或b∥y.因为M是 于B,直线l1:ax十y-3a=0可整理为a(x-3)十y a⊥b的充分不必要条件，所以M可以是bCy或b∥ =0,所以直线4恒过点(3,0)，故B正确：对于C,若 Y. 41,则a×2+1×(a-1)=0,解得a=子，故C正 13.[+∞） 11十2√0【解析】由题可得 确；对于D,假设存在a∈R,使l∥l2,当a=1时，l m+n,4=1+”-3, 的斜率为一1,2的斜率不存在，此时l1与2不平行： m-1 'm-1,令k=13 m-,则所求问题转化 当a≠1时，号-。占≠二显然无解，所以不存在 为求点P(m,n)与点A(1,3)连线的斜率的取值范 围，设点P(1,n)与点A(1,3)的连线为直线l,当直 a∈R,使l1∥l2,故D错误，故选ABC 线（的斜率不存在时，直线1相切于圆O的右边界； 10.BC【解析】因为直线1与圆C相切，则圆心C(2, 当直线（的斜率存在时，若直线（与圆O相切于第 0)到直线l的距离d等于半径am,即d= 二象限，设直线l的方程为y=k(x-1)十3，则点O 3X24X0+ml=a.(a,>0),所以a.-n+,所 w32+42 5 到直线1的距离为d=9告-1，解得k=亭，所 2+1 以a=子，故A错误：当≥2时，a,-a,=号故 1 以 ”∈[告，+），所以“陆”∈ -1 数列{am}是等差数列，故B正确；若圆C经过原点， [子+o)由题可知m+r一2m-6n十10 则(0一2)2十0=a,则a,=2,此时n=4,故C正 确；若直线1过点(1,1)，则3+4十n=0,解得n= (-1)2+(n-3)2,其几何意义为圆0上的点到点 -7,不合题意，故D错误.故选BC. A(1,3)的距离t的平方，所以tx=|AO|十1 11.ABD【解析】因为B(3,0),圆O:x2十y2=49,所 √32+1平+1=√10+1，所以x=11+2√/10. 以点B(3,0)在圆O内，当过点B(3,0)的直线与 OB垂直时，过点B(3,0)且被圆O截得的弦长最 14.V原【解折]令PC=1PB则份- 短，此时最短弦所在直线的方程为x=3,故A正确： 由题意可得圆O是关于点B,C的阿波罗尼斯圆，且 由直线1：x-y十4-3=0可得m(-y十4)十x A=之，设c(ma,P(则P% 3=0,故直线1恒过点C(3,4),由3+42=25<49 知点C(3,4)在圆O内，所以直线1与圆O总有两 √(x-m)+(y-n)Z ，整理得x2+y+ 1 个交点，故B正确；记点O到直线EG,FH的距离分 √/(x-4)+y 别为d,d2,则d+d=|OA|2=1,又|EG= 8m8n=16二42，又因为x2+y2=4 3 3 2√/49-d,|FH|=2√/49-d6,所以|EG|2+ |FH|=388≥2|EG·FH|,即|EG·|FH|≤ 8-8m=0 3 194,当且仅当|EG引=FH时等号成立，则四边形 EFGH的面积S=EG,FH≤97，即四边形 所以 81二0 ,解得m1 m=0,所以点C的 2 EFGH的面积的最大值为97，故C错误；当点P在 16-4m2-4n=4 3 x轴上时，sin∠APB=O;当点P不在x轴上时，设 △PAB外接圆的圆心为M,半径为R,由正弦定理 坐标为(1,0)，所以IPA|+号1PB=IPA|十 得2E=R,则景-n∠APB,当圆M的 |PC|≥|AC|=√(0-1)+(6-0)=√37，当 2R 点P,A,C在同一条直线上且点P在点A,C之间 半径最小，即圆M与圆O内切时，sin∠APB最大， 由题意可知点M在AB的中垂线上，可设点M的坐 时，取等号，所以|PA十？PB的最小值 标为(1，x),则R=|MA|=√4十x,|MO|= 为√37. ·89· ·数学· 参考答案及解析 四、解答题 解得=2或=宁， (13分) 15.解：(1)当直线1过定点A(1,4),m和n都为0时， 设y=tax,则t=4, 所以切线m的方程为2x一y十15=0或x一2y十18 所以直线1的方程为y=4x; (2分) =0. (15分) 当直线1过定点A(1,4),m和n都不为0时， 17.解：(1)连接AC交BD于点O,连接OE, 设后十m=1,代入点A1,4),解得m=3 由直四棱柱的性质可知OE∥BB,且OE=BB, 所以四边形BEOB为平行四边形， 所以直线1的方程为x-y十3=0. (4分) 所以BD∥BE, (2分) 综上所述，直线l的方程为y=4x或x-y十3=0. 又BD寸平面CBE,BEC平面CBE, (6分) 所以BD∥平面CBE, (4分) (2)易知直线！斜率存在.根据题意设直线（的方程 又BDC平面BDC,平面CBE∩平面BDC=L, 为y=k(x-1)十4(k<0), 所以BD∥L. (6分) 当x=0时y=4-k,当y=0时，x=1-冬 (2)(I)依题意可知，OE⊥平面ABCD, 以O为原点，OC,OD,OE所在直线分别为x轴、y 所以B(1-冬，0)，C(0,4-), 轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系 所以Sam=(1-冬)4-)=2(8-k9)≥ 8 (11分) 当且仅当一k=9,即6=一4时，等号成立， 此时直线l的方程为y=-4(x-1)十4，即4x十y -8=0. (13分) 16.解：(1)由圆M:x2+y2-a.x-2ay-40=0, 得(x-号)广'+(y-a)=40+号d, 设AA1=t(t>0). 在菱形ABCD中，因为AB=2,∠ABC=60°， 则圆心M(号a), 所以AB=BC=AC=2, 因为圆心M在直线x一y十1=0上， 所以BO=DO=√， (7分) 所以号-a十1=0，解得a=2。 所以C(1,0,0),B(0,-3,t),E(0,0,t), (4分) 所以B1它=(0√5,0)，C它=(-1,0，t), (2)由(1)得圆M:(x-1)2+(y-2)=45, 设平面BCE的法向量为n=(x,y,之)， 圆心M(1,2),半径r=3√5， (6分) n·B1E=0, 3y=0, 设圆心M(xo,y), 则 即 n·CE=0,-x十tz=0, 则线段MM的中点为 令之=1，得n=(t,0,1). (10分) 易知平面BEC的一个法向量为m=(0,0,1), kar=0二2 x-1 设二面角C-BE一C的平面角为a, 则cosa=|cos(m,n)|= m·n 2 2 +6 m·n w/+1×1 由对称性得 y-2 ·1=-1 w17 6-1 17 解得一4 (12分) y=7 ,即M(-4,7), (9分) 解得t=4,所以AA1=4. (i)由(i)可得n=(4,0,1),D(0,W3,0),E(0,0, 所以圆M的标准方程为(x十4)2十(y-7)2=45. 4), (10分) 所以DE=(0,一√3,4)， (13分) (3)由题可知切线m的斜率存在， 设直线DE与平面B:CE所成的角为B, 由(2)可知M(-4,7), 设切线m的方程为y一7=k(x十4)，即kx一y十4k 则sin=losD成，=1D克·nL +7=0, DE1·|n 则圆心M到切线m的距离d=k一2+4+7」 =|0×4+(-3)×0+4×1=4323 /k+1 √/3+16×√/16+0+1 323 35, 所以直线DE与平面B1CE所成角的正弦值为 ·90· 高三一轮复习A ·数学· 4323 323 (15分) 18.解：(1)设P(x,y), 则有|PA|=√+(y-4)严， |PB|=√x2+(y-1), 又因为|PA|=2|PB|, 2-1723456 所以√x+（y-4)严=2√+（y-1)7, 整理得x2十y2=4, 此时|TS=|SF|+1, 所以曲线E的方程为x2十y2=4. (4分) 又因为SF=√/(4-1)+(3+1)F=5, (2)因为∠COD=120°，1OD1=1OC1=2, 所以|TS|=6, 如图，取CD的中点G,连接OG, 所以点T到直线MN距离的最大值为6.(17分) 19.解：(1)因为点P为圆A的“黄金点”， 所以1PA1+9=2(1A-9), 即|PA=3, (2分) 所以点P的轨迹是以A(一1，一1)为圆心w√3为半 径的圆， (3分) 故点P所在曲线的方程为(x十1)2十(y十1)2=3. 则OG⊥CD,且OG平分∠COD, (4分) 所以∠OCD=30°， (2)()因为P为圆B的“黄金点”， 所以1OG=1, 则|PB|+1=2(|PB|-1), 即圆心O到直线1的距离为1， (7分) 解得PB=3, 即点P在圆(x-2)2+(y-2)2=9上，(6分) 由点到直线的距离公式可得 4 =1, √+ 则P是圆(x+1)2+(y十1)2=3和(x-2)+ 解得k=士√I5, (y-2)2=9的交点. 所以直线l的斜率为士√5， (9分) 因为P,Q均为圆“A一B”的“钻石点”， 所以直线PQ即为圆(x十1)2十(y十1)2=3和 (3)因为k=1,所以直线l:y=x-4, （x一2)2十(y-2)2=9的公共弦所在直线， 设Q(m,m-4), 两圆方程相减可得x十y=0, 由题意可知Q,M,O,N四点在以OQ为直径的 故直线PQ的方程为x十y=0. (9分) 圆上， (i)设(x+1)2+(y+1)2=3的圆心为S(-1, 所以以OQ为直径的圆的方程为(x-罗)广十 -1),半径为3， (y-"4)°=m+(m-4) 所以点S到直线x十y=0的距离为二=反， 2 4 即x2+y2-1x-(m-4)y=0, /x2+y2-.x-(m-4)y=0 所以19-)-()-1. 由x2+=4 所以圆H的方程为x2十y2=1. (11分) 可得x十(-4)y=4, 假设y轴上存在点W(0,t)满足题意，设I(x1,y), 即m(x十y)-4y-4=0, J(x2y),x1x2≠0. 所以直线MN的方程为m(x十y)一4y-4=0, 若y轴平分∠IWJ,则kw十kw=0, (13分) 即y二t+y二1=0， 所以直线MN过定点S(1,一1)， (14分) 整理得x2(y一t)十x1(y-t)=0., 因为点T在圆F:(x-4)2十(y-3)2=1上， 所以当T为SF的延长线与圆F的交点时，点T到 又数=涵十子=十分， 直线MN的距离最大，如图所示， 所以代入上式可得(k十子一)十(k十亨 -)=0, 整理得2k4+(号-)（红十）=0，① (13分) ·91· 由g=红+方可袋世+1)+号红-号=0 故y轴上存在点W(0,3),使得y轴平分∠IWJ. (17分) x2+y2=1 y △=（号）-4(k+1)×(-8)=4(+8)>0, W 所以十=十十 (15分) 代入①并整理得一2张十号6：=0， 此式对任意的k都成立，所以t=3.