(10)平面向量及其应用(含解三角形)、复数-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（A）

高三一轮复习单元检测卷/数学 (十)平面向量及其应用（含解三角形）、复数 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.若产1=1一3i,则的虚部为 A-号 B C. n 2.已知向量a,b满足a·b=一2，且b=(2,0),则a在b上的投影向量的坐标为 A.(-1,0) B.(1,0) C.(-2,0) D.(2,0) 3.函数f)=cosx一5sn2z在区间[0，lr]上的零点个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 4.若函数f(x)=2lnx- 2ax2一2x在区间(2,4)上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为 1 B(-,-2] C.(-∞，4) D.(-o,4] 5.在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°，AD=2,BC=1,P是CD上一点，则 |PA+3PB的最小值为 A.√3 B.5 C.4 D.5 6.如图，已知直线l1∥l2,A是l1,l2之间的一定点，且点A到l1,l2的距离分别为h1,h2,B是l2上一 动点，过点A作AC⊥AB交l1于点C.设∠ABD=a,则△ABC的面积S关于角a的函数解析 式为 A.S(a)= (0<a<受】 sin 2a B.S(a)= hh(0<a<受) cos 2a a C.S(a)= t(0<a<受】 sin 2a D.S(a)- h h2 cos 2a (o<a<5) 7.已知函数f(x)=sin(e一晋)，若对Ya∈[-召，-受]，在区间[m,0]上总存在确定的R,使得 f(a)一f(3)=0,则m的最大值为 A.一君 B一 c D.-π 8.已知点P在△ABC所在的平面内，且2PA十PB+PC=0,过点P的直线与直线AB,AC分别交 于点M,N,设AM=aAB,A=BAC(a>0,g>0),则a十43的最小值为 A B.3+2② c D.3+22 4 2 数学第1页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) .已知函数f(x)=sin(2x-号）g(x)=cos(2x+晋)，则 A.f(x)与g(x)的图象有相同的对称中心 B.f(x)与g(x)的图象关于x轴对称 C.f(x)与g(.x)的图象关于y轴对称 D不等式f(x)≥g(x)的解集为[晋+m,经+x](k∈Z 10.已知复数之=cos0+isin0(0∈R),则 A.x=1 B.x2|=x2 C.之·之=1 D.x+1≥2 11.在△ABC中，内角A,B,C对的边分别为a,b,c,D为CA延长线上一点，∠DAB的平分线交 直线CB于点E,若a=√7，b=3,c=2,则 A.sinA:sinB:sinC=√7：3：2 B.A= 26 C△ABC的面积为) D.AE=6 班级 姓名 分数 题号 1 6 7 10 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知菱形ABCD的边长为2，且∠ABC=60°，点P满足B驴=号(BC+Bi.则P心.B前 13.若复数x满足2十2=2，之·之=2，则x一22= 14.一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状.已知这个圆的半径 为13cm,AB=8cm,BC=6cm,且AB⊥BC,则圆心到点B的距离约为 cm.(结果精确 到0.1) 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知复数=6eR号为实数。 (1)求之； (2)求+2； (3)若复数(m十之)(m∈R)在复平面内对应的点位于第四象限，且之为实系数方程x2+ (m2一9)x+4=0的根，求m的值. 一轮复习单元检测卷十 数学第2页（共4页） A 16.(本小题满分15分) 对于任意两个非零平面向量a,b,定义新运算：a田b=a:b b2 (1)若向量a=(-1,5),b=(3,4),求(2a-b)⊕b的值； (2)若单位向量a,b满足(3a+b)©(a一2b)=-号，求a+b与b夹角的余弦值。 17.(本小题满分15分) 已知向量a=(-1,2√5)，b=(sinx-cos2x,sin rcos x),函数f(x)=a·b. (1)求函数f(x)的解析式及对称中心； 2若f(5+号）=-25求eosa+cos(e-号)的值： (3)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=√3，f(B)=1,求△ABC周长的取 值范围. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 18.(本小题满分17分) 某中学的数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了在同一条直线上的 A,B,C三点，测得AC=40m,B为线段AC的中点，兴趣小组的组长在A,B,C三点上方5m处 的A,B1,C1观察该建筑物最高点E的仰角分别为a,B,y,其中tana=1,tanB=2,tany=3,D 为点E在地面上的正投影，D1为线段DE上与A1,B1,C1位于同一高度的点. (1)求该建筑物的高度DE; (2)求乙B总的值 19.(本小题满分17分) 在△ABC中，∠ACB=120°，BC=2AC (1)求tan∠BAC的值； (2)若AB=2√7，求△ABC的面积； (3)设D为△ABC内一点，AD⊥CD,∠BDC=120°，求tan∠ACD的值. 轮复习单元检测卷十 数学第4页（共4页） ☒高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（十） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题型 值 (主题内容) ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 复数的概念与运算 易 0.85 2 选择题 5 投影向量 易 0.80 3 选择题 5 三角函数的零点个数 易 0.70 由函数存在单调区间 4 选择题 5 中 0.65 求参数取值范围 选择题 平面几何与向量的 / 综合 分 0.60 6 几何图形中三角形面 选择题 0.58 积的表达式 分 7 选择题 5 三角函数的值域 中 0.50 三角形中平面向量基 8 选择题 5 V / 中 0.35 本定理的应用 两三角函数的图象与 9 选择题 6 性质 易 0.72 复数的三角形式及 10 选择题 6 0.65 运算 11 选择题 解三角形 中 0.35 平面向量数量积的 12 填空题 0.69 运算 13 填空题 5 复数与共轭复数的 中 0.50 运算 两角差的余弦公式，利 14 填空题 中 0.32 用余弦定理解三角形 ·55· ·数学· 参考答案及解析 复数的运算，求复数的 15 解答题 13 模，复数范围内方程 的 0.68 的根 平面向量的自定义运 16 解答题 15 算，求向量夹角的余 / / 中 0.58 弦值 向量的坐标运算，三角 17 解答题 15 函数的对称中心，求三 L / 中 0.50 角形周长的取值范围 18 解答题 17 解三角形 求高度 中 0.40 利用正、余弦定理解三 19 解答题 17 难 0.30 角形，求三角形的面积 昏考答案及解析 一、选择题 1B【得标】因为奇牛=1十-1 以（子2）则2(-2)广-∈[-号4小 所以a<4.故选C. 所以=1+合，其虚部为了故选B 5.D【解析】根据题意建立如图所示的平面直角坐 标系， 2.A【解析】依题意，a在b上的投影向量的坐标为 60=子0=(-1,0.放选N P 3.C【解析】由题得f(x)=cosx-V3sin2x=cosx -23sin xcos x=cos x(1-23sin ),f(r)= D 0得s=0或sm停<号因为[0,1竖]。 设CD=a,PD=b,a>0,0≤b≤a,则A(2,0),B(1, 所以6os=0有两个解，分别为受和经snx- a),P(0,b),则PA=(2,-b),PB=(1,a-b),所以 6 PA+3PB=(5,3a-4b),所以|PA+3PB= 在区间[0,2π]上有两个解，因为y=sinx在区间 √5+(3a-4b)F≥5，当3a=4b时等号成立，所以 (21]上单调递增，且sin2x=0,sm1号=sin吾 |PA+3PB的最小值为5.故选D -号>停所以sm=在区间(2x1号]有一个 6.A【解析】，AE⊥l,AD⊥l2,AC⊥AB,.∠ABD 解，综上f()在区回[0]上有5个零点.故 +∠BAD=,∠CAE+∠BAD=受，·∠CAE= 选C. sin a'AC=h ∠ABD=a,0<a<吾，AB= cos a' 4.C【解析】由题得广()=号-ax-2,f(x)在区 sa)=号AB·AC=2 in co hih2 sin 2a 间(2,4）上存在单调递增区间，等价于∫(x)>0 (0<a<牙)故选A 在区间（分4）上有解，即兰一-2=2（公）广 7.C【解析】因为f(x)=sin(x-石)，若a∈ 2>a在区间（分，4）上有解，因为xe(日，4），所 [-照，-吾]，则。-吾∈[-，经]，所以fa) ·56· 高三一轮复习A ·数学· ∈[-0]，因为在区间[m,0们上总存在确定的8. 所以2kx≤2x-号≤π+2km,k∈乙，解得答+x≤t 使得f(a)一f(B)=0,所以在区间[m,0]上总存在 ≤经+k,kCZ,故D正确故送ABD 确定的使得∈[-90]当[m0]时 10.ABC【解析】对于A,|x=√cos0+sin0=1,故 仔吾∈[m-吾-吾]，则m-吾<-x:解得m≤ A正确；对于B,因为复数之=cos0+isin0(0∈R), 2=cos20-sin20++2isin Ocos 0=cos 20+isin 20, 一，故m的最大值为一爱故选C 则|2|=√cos20+sin20=1,而|z|2=cos20+sin0 8.C【解析】取BC边的中点D,连接PD,则2PD= =1,则|2|=x2,故B正确：对于C,名·之= cos 0+isin 0).(cos 0-isin 0)=cos20+sin20= P店+PC,所以2PA+2PD=0,则DP=PA,故P为 1,故C正确；对于D,由题意得+1=(cos0+1)+ 线段AD的中点，因为P,M,N三点共线，所以存在 isin0,所以|之+1|=√(cos0+1)2+sin0= 实数s,使得AP=sAM+(1-s)AN,故AP=saAB +1-9ad.又A方-号A亦-i+aC,且 √cos0+sin0+1+2cos0=√2+2cos0,因为 cos0∈[-1,1]，所以√2+2cos0∈[0,2]，故D错 误.故选ABC. AB,AC不共线，所以 ,整理得1+ 11.ACD【解析】因为a=√7，b=3,c=2,所以sinA: 1-s9= B sinB:sinC=a:b:c=√7：3：2，故A正确；由余弦定 =,所以。+=a+(+日) 理得asA-+4-令又A∈0)，所以 2bc (5++骨)≥(+V)-号当且 A=琴，放B错误：△ABC的面积为besin A 仅当。=子，日一意时等号成立，所以a十的最小值 3,放C正确：因为∠DAB的平分线交直线CB于 为号，故选C 点E,A=于，所以∠BAE=于，所以SE=Sa +Se:即号AC·A5nF-9+方AE: ABsin-号，解得AE=6,故D正确.故选ACD, 三、填空题 D 2.-青 【解析】由题得PC·B驴=(BC-B)· 二、选择题 9ABD【解析】令2x-号=元1∈乙，得x= 兰(BC+Bi)=号(BC-号BC-号B)·(BC+ 6 ,∈乙，所以f()图象的对称中心为点 B=号(BC-2Bi)·(BC+B)=号(BC (答+，0）∈0，令2x+晋=受+xk:∈Z, BC.Bi-2B)=号×(4-2X2×c0s60-2× 得=看+经，：∈Z,所以g(x)图象的对称中心 40=-专 13.√10【解析】设x=a十bia,b∈R,则=a-bi,所 为点（告+管，0）：∈Z,所以f(x)与g(x)的图 以x+=2a=2,则a=1,由之·=2，得a2+b2=2, 象有相同的对称中心，故A正确：g(x) 解得2=1，又之-22=-a十3bi,所以x-2e= cos(2x+8）=cos(2x-号+受）=-sin(2x √-a)2+(3b)=√10. 14.7.3【解析】如图，连接AC,设圆心为D,AC的中 牙)=一f(x).所以f(x)与g(x)的图象关于x轴 点为E,连接AD,DE,DB,则AD=13,由题意易知 AC=√AB+BC=10=2AE,AE=5,则 对称，故B正确：g(x)≠∫（一x),所以∫(x)与 g(x)的图象不关于y轴对称，故C错误；由f(x)≥ cos∠DAC=AE=5 5-高as∠BAC-般-吉所以 g(x)=-f(x),得f(x)≥0，即sin(2x-牙)≥0， ，sin∠BAC=号，所以cos∠BAD sin∠DAC=2, ·57· ·数学· 参考答案及解析 cos(∠DAC-∠BAC)-音×告+号×g- a+b与b夹角的余弦值为3@ 10 (15分) 在△ABD中，由余弦定理得BD=AD+AB 17.解：(1)f(x)=(cos2x-sin2x)+2√3 sin xcos a= 2AD·AB·cos∠BAD=53.8,所以BD≈7.3cm. V3sin2r+cos2x=2sin(2x+若)， (2分) 令2x十石=k元，k∈Z,则x=- 6 +经，k∈ 即丽数fx)的对称中心为（一员+经，0）k∈乙 (4分) 四、解答题 (2)由（倍+号）=-2可知， 15,解：因为：=伍，号为实数， 2m[2(危+号)+]-2， 31 所以士是-+2)D_生+6，名为实数。 1+i(1+i)(1-i)2 2 化简有m(e+音)=-。 (6分) 所以号2=0,6=2 则cosa十cos(a）=cosa十 则=2i. (4分) (2)由(1)得2=-4， 十sin asin-号 所以|x+2|=|-4十2i=√16+4=25.(6分) (3)由(1)可知x=2i, 是as。+号sn。-何sn(a叶吾）-后× 2 所以(m+g)2=(m+2i)2=m2一4+4i, 因为复数(m十x)2在复平面内对应的点位于第四 (）=-1 (8分) 象限， 所以0据得-2 (3)由f(B)=1可得2sin(2B+)=1,即 (10分) 又之=2i为实系数方程x2+(m2-9).x+4=0 sm(2B+吾)=安， 的根， 所以-4十2(m2-9)i+4=0, 又0<B<受，则吾<2B+若< 66 所以m-9=0,解得m=士3， 3 (9分) 又m<-2,所以m=-3. (13分) 所以2B+音-爱，解得B= 16.解：(1)由题得2a-b=(-5,6), 2分) 由装理有。后 b a =2, .(2a-b)©b=(2a-b)·b--15+24=9 b2 25 251 2 (5分) 所以a+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin(牙+A) (2由(8a+b)©(0-2b)=-号， 得3a+b):Ca-2b)=1-5a·b-5 =2inA+2停sA+号血A）-3nA5sA (a-2b)2 5-4a·b 3 (12分) 解得a·b=号 =23sin(A+若） (9分) (a+b)·b=a·b+1= 0<A<受 5 因为△ABC为锐角三角形，所以 1a+ol-a+-v2+2ab-√2+号 0<号-A<吾 3 解得A∈（晋，） (13分) 310 (12分) 5 所以A+若∈(5，)： .cos〈a+b,b〉= (a+b)·b 5 则23sin(A+)∈(3,23]， a+bb 30X1 5 所以3<a+c≤2v5,则3+√3<a+b+c≤3v5, -30 所以△ABC周长的取值范围为(3+√5,3√5]， 10· (15分) ·58· 高三一轮复习A ·数学· 18.解：(1)设ED1=h, 19.解：(1)在△ABC中由正弦定理得sm∠BAC BC h 由题得ana=A,D,=1,tanB=B,D =2,tan y= AC h sim∠ABC:义BC=2AC, CD=3, (3分) 所以2sin∠ABC=sin∠BAC, 所以AD=,BD,=合GD,=专 (4分) 又∠ACB=120°，所以∠ABC=60°-∠BAC, 所以2sin(60°-∠BAC)=sin∠BAC, 又AC=AC=40m,B,是线段A:C的中点， 即2(sin60°cos∠BAC-cos60°sin∠BAC)= 所以AB,=BC1=20m, (5分) sin∠BAC, 则在△A1B,D1中，由余弦定理得cos∠ABD 即V3cos∠BAC=2sin∠BAC, 40+- 所以tan∠BAC= sin∠BAC_3 cos∠BAC21 (5分) 2x20x号 (2)因为AB=2√7， 在△B,C,D1中，由余弦定理得cos∠C,BD,= 在△ABC中，由余弦定理得AB=AC+BC一 400+6 2AC·BCcos∠ACB, 49 (9分) 2×20× h 即28=AC+4AC-2AC×2AC×(-号），解得 AC=2(负值舍去)，则BC=4, 又∠A1B1D1+∠C1B1D1=π， 40+-40+空合 所以SAe=空AC·BCsin∠ACB=号X2X4X 所 =0 2×20X 2X20X (9分) 2 2 9-2v (3)在Rt△ADC中，设∠ACD=日(0°<0<90°)， 整理得1h 18 =800,解得h=120V页 11 m, AC=x(x>0), 则BC=2x,CD=xcos0, 所以该建筑物的高度DE=5+120工(m. 11 在△BCD中，可得∠BCD=120°-0，∠CBD= (13分) 0-60°， CD A:B BC (2)在△ABD,中，由正弦定理得sn∠AD,B 由正弦定理得 in∠CDB-sin∠CBD A D 则2 xcos 0 rcos 0 sin∠AB1D1' 5sin(0-60° 2 sin -v3 2 cos0 BC 在△BCD中，由正弦定理得 sin∠B1D1C1 所以4 CD 1 ,可得tang=3v3 2 (15分) sin∠C1B1D tan0 由蜘%-子且AkD=sCB, 即ian∠ACD=3 2 (17分) 所以sin∠ADB=CD=1 sin∠BDCA1D13 (17分) ·59