(2)一元二次函数、方程和不等式-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（A）

高三一轮复习单元检测卷/数学 (二)一元二次函数、方程和不等式 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.已知集合A={xx-3>0},B={xx2-5x十4>0}，则A∩B= A.(-c∞，1) B.(-∞，3) C.(3,+∞) D.(4,+∞) 2.已知a,b∈R,则“ab十1≠a十b”的充要条件是 A.a,b都不为1 B.a,b不都为1 C.a,b不都为0 D.a2+b=2 3.已知关于x的不等式a2十bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为（一4，），则的取值范围为 A.[-6,+∞) B.(-∞，6) C.(-6,+∞) D.(-∞，-6] 4.已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了，将这 一事实表示为一个不等式，则这个不等式为 A.bbm B.b≤b+m aa+m aa+m c号<8册 D名8 1-x2-2a.x-a,x<0」 5.已知函数f(x)= 在R上单调递增，则实数a的取值范围是 x+3, x≥0 A.(-o∞，0] B.[-3,0] C.[-3,3] D.[0,+∞) 6.中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为α， b,c,三角形的面积S可由公式S=√p(p一a)(p一b)(p一c)求得，其中p为三角形周长的一半. 已知△ABC的周长为12，c=4,则△ABC面积的最大值为 A.4 B.6 C.43 D.45 7.根据经济学理论，企业产量受劳动投人、资本投入和技术水平的影响，若用Q表示产量，L表示劳 动投人，K表示资本投入，A表示技术水平，则它们的关系可以表示为Q=AKL方，其中A>0, K>0,L>0,a>1,3>1.当A不变，K与L均变为原来的2倍时，下列说法正确的是 A.存在α>2和B>2,使得Q不变 B.存在1<a<2和1<3<2，使得Q变为原来的2倍 C.若a·3=4,则Q最多可变为原来的2倍 D.若2(a2+g)=a3,则Q最多可变为原来的2倍 8.已知函数f(x)=2m.x2一2(4-m)x十1，g(.x)=m.x,若对于任意的实数x,f(x)与g(x)至少有 一个为正数，则实数m的取值范围是 A.(0,2) B.(0,8) C.[2,8) D.(-o,0) 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.若a<0<b,且a十b>0,则下列结论一定正确的是 A.8>-1 B是+>0 C.a2<b2 D.(a-1)(b-1)<0 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 10.已知实数，y满足x2十y2一xy=3,则 A.x2+y2≤6 B.x+y≥-√3 C.x+y≤2v3 D.xy≤√3 11.已知关于x的不等式a(x一1)(x十3)一2>0的解集是(x1,x2),其中x1<x2,则下列结论正确 的是 A.x1+x2十2=0 B.-3<x1<x2<1 C.x1-x2|>4 D.x1x2+3<0 班级 姓名 分数 题号 2 3 4 5 6 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若命题p:“3x∈R,a.x2十x十1<0”为假命题，则实数a的取值范围为 13.已知一个矩形的周长为72cm,绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的长为 cm时，旋 转形成的圆柱的侧面积最大，最大为 cm2.(本题第一空2分，第二空3分) 14.若二次函数y=f(x)图象关于直线x=2对称，且f(a)<f(0)<f(1),则实数a的取值 范围是 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知p:x∈A,且A={xa-1<x<a+1};q:x∈B,且B={xx2-4x+3≥0}. (1)是否存在实数a,使得A∩B=心，AUB=R,若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明 理由； (2)若p是g的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 一轮复习单元检测卷二 数学第2页（共4页） A 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x2-2(a-1)x十4. (1)若a=2,求f(x)在[-2,3]上的最值； (2)若f(x)在[2，十∞)上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若x∈[1,2]时，f(x)的最小值为5，求a的值. 17.(本小题满分15分) 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影 响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争 力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每 x2十kx, 0≤x≤40， 生产x台该产品，需另投入成本G(x)万元，且G(x) 101x+2500-1100,40<x≤80 当年 产量为10台时，需另投入成本500万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年 内生产的该产品当年能全部销售完 (1)求k的值； (2)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数关系式（利润=销售收人 成本)； (3)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 设函数f(x)=2x2+(x-a)x-a(a∈R). (1)若f(0)≥1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值： (3)若x∈(a,十∞)，求不等式f(x)≥1的解集. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(.x)=2.x2-2a.x十2-a2,g(x)=x2+3.x-a2-4. (1)当a=1时，解不等式f(x)>g(x); (2)若对任意x>0,都有f(x)>g(x)成立，求实数a的取值范围； (3)若对Hx1∈[0,1]，3x2∈[0,1]，使得不等式f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围. 三一轮复习单元检测卷二 数学第4页（共4页） A高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（二） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 选择题 5 解不等式，集合的交集 / 多 0.85 运算 2 选择题 5 充分必要条件应用 易 0.80 不等式的求解与范围 3 选择题 5 易 0.78 的确定 4 选择题 5 不等式的判定 易 0.75 分段函数的单调性 选择题 0.70 应用 易 6 选择题 与数学文化有关的基 5 L L 中 0.65 本不等式的应用 7 选择题 5 基本不等式的应用 / 为 0.55 8 恒成立问题与分类讨 选择题 5 难 0.28 论思想 9 选择题 6 不等式大小比较 易 0.85 条件等式下利用基本 10 选择题 6 L 浓 0.68 不等式求最值 不等式的解的关系 11 选择题 6 中 0.35 判定 12 填空题 5 由命题真假求参 易 0.72 13 填空题 利用基本不等式解决 5 / / / 的 0.45 实际问题 14 填空题 由二次函数的单调性、 5 / 多 0.40 对称性求参 ·5· ·数学· 参考答案及解析 集合运算与充分必要 15 解答题 13 易 0.70 条件的应用 16 解答题 15 二次函数的综合应用 为 0.65 17 解答题 15 实际问题的应用求解 中 0.55 不等式求解与函数 18 解答题 17 中 0.30 最值 解不等式，由不等式 19 解答题 17 难 0.28 求参 9 昏考答案及解析 一、选择题 6.C 1.D【解析】由题可知A={xx-3>0}={xx> 【解析】由题可知a十b=8,c=4,p=合(a十b+) 3},B={x|x2-5x十4>0}={x1(x-4)(x-1)>0} =6,所以S=√6(6-a)(6-b)(6-4)= ={x|x>4或x<1},所以A∩B=(4,十∞).故 126-a6-D≤√位×6-a+6-b=45,当且 选D. 2 2.A【解析】ab十1≠a十b台(a-1)(b-1)≠0台a≠1 仅当a=b=4时取得等号，故△ABC面积的最大值 且b≠1，所以“ab十1≠a十b”的充要条件是a,b都不 为45.故选C. 为1.故选A. 7.D【解析】因为Q=AKL京，所以当A不变，K与L 3.D【解析】由不等式ax2十bx十c>0(a,b,c∈R)的解 集为(-4,1)，可知1和-4是方程ax2十bx十c=0的 均变为原来的2倍时，Q=A(2K)。(2L)方= 两个实数根，且a<0,由韦达定理可得 AKL言·2亡+立.对于A,若Q不变，则2+日=1，所 4+1=一6 A即2a所以8-如)+ 以日+日=0，因为。>1>1，所以日+日=0无 -4X1=c a+3a 解，所以不存在α>2和β>2，使得Q不变，故A错 误；对于B,若Q变为原来的2倍，则2。+言=2，所以 =16a2+9 Aa =4+是=-(-a+】 Aa 是+日=1，当1<a<2,1<K2时，号<是<1， a 3 -2√/-4ax9 4a a,即a= =-6,当且仅当-4a= 合<日<1，所以1K+<2所以+日=1无 1 -子时等号成立，所以+号∈(-，-6].故送D 解，所以不存在1<α<2和1<B<2,使得Q变为原 来的2倍，故B错误；对于C,若a·B=4,则2。+京≥ 4.C 【解标1当>0，w>0时，号<只证明如 下：名一-+0+型- 2VF5=2VF=2,当且仅当是-日即a=g=2时 6(6+m) 取等号，所以当α·B=4时，Q最少可变为原来的2 =6+品，：6>a>0,n>0, abtamba bm m(ab) b(b十m) 倍，故C错误：对于D,由2(a+子)=a,得。十 a-60,b+m>0,3<0号<g 合=合因为2（侵+日）≥（日+）广，所以 故选C 5.B【解析】因为当x≥0时，f(x)=x十3单调递增， (日+日)广<1，所以0<日+合<1，当日仅当女= 所以要使f(x)在R上单调递增，则需满足 -2a 合，即a=月=2时取等号，所以2寺≤2，所以若 2×(-1)≥0. ,解得-3≤a≤0，所以实数a的取 2(a2十g)=ag,则Q最多可变为原来的2倍，故D -a≤3 正确.故选D. 值范围是[-3,0].故选B. 8.B【解析】当m>0时，g(x)>0在(0，十∞)上恒 ·6- 高三一轮复习A ·数学· 成立，g(x)<0在(-∞，0)上恒成立，g(0)=0,而 需满足 a=1-和<0解得a≥子综上所述，实数 a>0 f(0)=1,所以需f(x)>0在（一∞，0）上恒成立， 又因为f(x)的图象并口向上，所以-2装四2>0 a的取值范围为[子，十∞) 或△=4(4-m)2-4×2m=4(m2-10m十16)<0， 13.18 648π 【解析】设矩形的长为acm,宽为 解得0<<4或2<m<8,所以0<m<8;当m=0 bcm,,矩形的周长为72cm,.2(a十b)=72, 时，g(x)=0,f(x)=-8x十1>0在R上不恒成立， ∴.b=36-a,而旋转形成的圆柱的侧面积为2πab= 故m=0不符合题意；当m<0时，g(x)>0在 2a(36-a)≤2x×[a+(36a=648x,当且 (一∞，0)上恒成立，g(x)<0在(0，十∞)上恒成 2 立，g(0)=0,而f(0)=1,所以需f(x)>0在 仅当a=36-a,即a=b=18时等号成立，∴.当矩形 (0,十∞)上恒成立，又因为f(x)的图象开口向下， 的长、宽均为18cm时，旋转形成的圆柱侧面积最 所以f(x)>0在(0，十∞)上不恒成立，故m<0不 大，最大值为648πcm 符合题意.综上，实数m的取值范围为(0,8).故 14.(-o,0)U(4,十∞)【解析】由题意得二次函数 y=f(x)图象的对称轴为直线x=2,因为∫(0)< 选B. 二、选择题 f(1),所以函数y=f(x)在(-o∞，2)上单调递 9.AC【解析】因为a<0<b,且a十b>0,所以b>-a 增，因此函数y=f(x)的图象开口向下，在 (一∞，2)上单调递增，在(2，十∞)上单调递减.因 >0,所以6<1，即号>-1，故A正确：因为a<0 为f(a)<f(0),所以|a-2|>|0-2|,即 b,所以ab<0,又a十6>0，所以子十古-古0， |a-2|>2,(a-2)2>4,a2-4a>0,解得a<0或 a>4. 故B错误；因为b>-a>0,所以b>（-a)2=a,故 四、解答题 15.解：(1)解不等式x2-4x十3≥0，得x≥3或x≤1， C正确：当a=-2,b=1时满足题设条件，但 故B={xx≥3或x≤1}. (2分) (a一1)(b一1)<0不成立，故D错误.故选AC. 假设存在实数a,使得A∩B=☑，AUB=R, 10.AC【解析】因为x2+y2-xy=3,所以x2十y2-3 则有a十1=3且a-1=1, =y≤十Y,所以x+y≤6，当且仅当x=y 解得a=2, (6分) 2 所以当a=2时满足题意. (7分) 士√时等号成立，故A正确：因为x2十y2一xy=3 (2)若p是q的充分不必要条件，则A至B, ≥2xy-xy,所以xy≤3，当且仅当x=y=士V3时等 所以a十1≤1或a-1≥3， 号成立，故D错误；因为x2十y2一xy=3=(x十y) 解得a≤0或a≥4， (12分) -3,所以(a+y)-3=3≤3×+》，所以 所以实数a的取值范围为(-∞，0]U[4,十∞). 4 (13分) (x十y)≤12，所以-2V3≤x十y≤23，当x=y= 16.解：(1)a=2时，f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3, f(x)在[一2,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增， √3时，x十y取得最大值23；当x=y=一√3时，x十 且f(-2)=12,f(1)=3,f(3)=7, y取得最小值-2√3，故B错误，C正确，故选AC. 所以f(x)ma=12,f(x)min=3. (5分) 11.AB【解析】由题意可得a<0,a(x-1)(x十3)一 (2)f(x)=(x-a十1)十4-(a-1),对称轴是直线 2=a(x-x)(x-2),即az2+2ax-3a-2=a.x2 x=a一1， a(a+)x十ax2,所以(2a=-a(a十 若f(x)在[2，十oo)上单调递增，则a一1≤2， -3a-2=ax1r2 ,所 解得a3. 以x十十2=0，十3=-名>0，故A正确，D 所以实数a的取值范围是(-∞，3]. (9分) (3)当1a一1≤2即2a3时，f(x)mim=4-(a 错误；令a(x-1)(x十3)=0，其根为x3=-3, 1)2=5,无解； x=1,结合二次函数性质可得一3<x1<x2<1, 当a-1<1即a<2时，f(x)在[1,2]上单调递增， 所以x2-x1<1-(-3)=4,即|x1-x2|<4,故B f(x)im=f(1)=1-2(a-1)+4=5,解得a=1: 正确，C错误.故选AB. 当a-1>2即a>3时，f(x)在[1,2]上单调递减， 三、填空题 F(x)=f(2)=4-4(a-1)+4=5,解得a=3 12.[,+o） 【解析】由题意可知，若p为假命题， 舍去 则p为真命题，即Hx∈R,ax2十x十1≥0恒成立， 综上，a=1, (15分) 当a=0时，由x十1≥0可得x≥一1，不符合题意： 17.解：(1)将x=10,G(x)=500代入G(x)=x2+kx, 当a≠0时，要使Hx∈R,a.x2+x十1≥0恒成立，则 得100十10k=500,解得k=40. (3分) ·7 ·数学· 参考答案及解析 (2)由题意可得，当0≤x≤40时，W(x)=100x-x2 -40x-100=-x2+60x-100: (5分) 当a-√8=2a≤4≤a+?-2立时， 3 当40<x≤80时，W(x)=100x-101x-2500+ x e[9] 1100-100=-x-2500+1000. (7分) x 此时不等式∫(x)≥1的解集为 a+√3-2a 3 故年利润W(x)关于年产量x的函数关系式为 -x2十60x-100,0x40, +∞）)： (14分) W(x)= x 2500+1000,40<x≤80. (8分) (3)由(2)得当0≤x≤40时，W(x)=-x2+60x 当a<-还时aE(,): 3 100=-(x-30)2+800: 当x=30时，W(x)mx=800; 此时不等式f(x)≥1的解集为(a,a-?=2@ 3 (11分) 当40<x≤80时，W(x)=-x 2500 +1000= x 3 -(+2500)+100c-2V.20 +1000 当+还<a时，e(停》 =900, 此时不等式f(x)≥1的解集为(a,十∞).(16分) 当且仅当工=2500，即x=50时，等号成立， x 擦上，当ae(,]U(停+)时，不等式 W(x)mx=900. (14分) f(x)≥1的解集为(a,十oo); 而900>800，故当x=50时，年利润最大，最大年利 润是900万元. (15分) 当aE(-.一号)时，不等式f)21的解集为 18.解：(1)若f(0)≥1，则-a|a|≥1， 所以解得a-1山 3 所以a的取值范围为(-∞，-1]. (3分) 当e[-号号 巨，巨时，不等式f(x)≥1的解集为 (2)当x≥a时，f(x)=3x2-2ax+a, 此时f(x)的图象开口向上，对称轴方程为x=3, a a+8=2a,to） (17分) 3 所以当a≥0时，f(x)mm=f(a)=2a2; (5分) 19.解：(1)当a=1时，f(x)>g(x)即2x2-2x十1> x2+3x-5, 当a<0时，fx)=f(号)-2g (6分) 所以x2-5x十6>0，所以(x-3)(x-2)>0, 当x<a时，f(x)=x2+2ax-a2, 所以x>3或x<2, 此时f(x)的图象开口向上，对称轴方程为x=一a, 所以不等式f(x)>g(x)的解集为{x|x>3或 所以当a≥0时，f(x)mm=f(-a)=-2a;(8分) x2}. (4分) 当a<0时，f(x)mn=f(a)=2a (9分) (2)“对任意x>0,都有f(x)>g(x)恒成立”等价 综上，当a≥0时，f(x)的最小值为-2a2;当a<0 于“对任意>0，都有x十 x -3>2a恒成立”， 时，x)的最小值为号 (10分) (3)当x∈(a,十∞)时，由f(x)≥1，得3x2-2ax 因为>0时叶一3≥2√，日 -3=26-3 x +a2-1>≥0， (当且仅当x=√6时等号成立)， △=4a2-12(a2-1)=12-8a2, 所以2a<25-3,即a<6-号 当a<-或a≥时4长0， 所以实数a的取值范围是(-o∞w5-号).(9分) 此时不等式f(x)≥1的解集为(a,十∞)：(12分) (3)因为对Hx1∈[0,1]，3x2∈[0,1]，使得不等 当-<a<9时4>0， 式f(x)>g(x2)成立， (10分) 由3x2-2ax十a-1≥0，整理可得 所以不等式f(x)mm>g(x)min, (x-a--2a)(x-+-2远)≥0(x> 因为g(x)=2+3x-d-4=(x+号)广-a 3 25 a), 4 ·8· 所以g(x)在[0,1]上单调递增， 所以g(x)mm=g(0)=-a2-4, (12分) f号)=2婴， 因为fx)=2x-2ar+2-a=2(x-号)}‘+2 由2-号>-a-4得-25<a<25, 3a 所以0≤≤a≤2： (15分) 2, (13分) 当号>1，即a>2时，f(x)在[0,1]上单调递减，所 所以当号<0，即Q<0时，f(x)在[0,1门上单调 以f(x)mn=f(1)=-a2-2a十4， 递增， 由-a2-2a十4>-a2-4得a<4, 所以f(x)mn=f(0)=2-a2, 所以2<a<4. (16分) 则2-a>-a2-4成立，故a<0; (14分) 综上所述，实数a的取值范围是（一oo,4).(17分） 当0≤号≤1，即0≤a≤2时，