(17)解析几何综合-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专用）

高三一轮复习AN ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（十七） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 值 (主题内容) ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 等比中项 易 0.80 直线与抛物线的位置 2 选择题 5 易 0.78 关系及充分条件 3 选择题 5 双曲线定义的应用 易 0.72 4 选择题 5 与圆有关的轨迹问题 分 0.65 双曲线离心率的取值 选择题 0.55 范围 分 6 选择题 求椭圆的标准方程 女 0.45 7 选择题 5 求点面距 √ 中 0.40 8 选择题 5 求椭圆的离心率 的 0.30 9 选择题 6 直线的位置关系 易0.72 10 选择题 6 立体几何的综合 / 中 0.60 11 选择题 6 抛物线焦点弦性质 难 0.25 12 填空题 5 抛物线的标准方程 易 0.76 13 填空题 5 圆锥与圆台的体积 分 0.65 14 填空题 双曲线的渐近线方程 分 0.35 解答题 等差数列与等比数列 15 13 的综合，分组求和 书 0.72 椭圆的中点弦问题，角 16 解答题 15 / / 中 0.60 度问题 17 解答题 15 抛物线的切点弦问题 的 0.45 直线与椭圆的位置关 18 解答题 17 难 0.28 系，定值问题 19 解答题 17 双曲线的方程及最值 / / / 问题（涉及导数） / 难 0.25 ·99· ·数学· 参考答案及解析 昏考答案及解析 一、选择题 7.A【解析】连接BD交AC于点O,由题意可得AC 1.B【解析】因为数列1，a,b,c,16是等比数列，所以 b=1×16,解得b=士4，又该等比数列第1项、第3 1 BD,OB OD AB =OA OC 项、第5项应同号，所以b>0,所以b=4.故选B. 2.A【解析】当点M在C的外部时，过点M且与C仅 VAB-0丽-√F-(宁-，如图，以0为原 有一个公共点的直线有3条，此时m>1,解得m< 点，OB,OC所在直线分别为x轴、y轴，过点O且与 -1或m>1,所以“m>1”是“过点M且与C仅有一 BB1平行的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 个公共点的直线有3条”的充分不必要条件，故选A. D 3.B【解析】由题可知a=4,b=2√5，所以c=6,由双 曲线的定义可得||PF,-|PF2||=2a=8,因为 |PF=9,所以|9-PF2||=8,解得|PF2|=1 或17，若|PF2|=1,则点P在右支上，应有 |PF2|≥c-a=2,不成立；若|PF:|=17,则点P在 左支上，应有|PF|≥c十a=10,成立.故选B. 4.A【解析】设M(x,y),P(xoy),则P(xo,0),因 D、 为PP=3MP,所以=3y,即P(x,3y),又点P 在曲线C上，所以2+9时=16(>0)，即后+器 则A(o-90小B(合00)C(o,号o 1(g>0),即点M的轨迹方程为需+ =1 D(-0,2所以A花=(05,0)，A店- (y>0).故选A. 5.B【解析】设以F2(c,0)为圆心，a为半径的圆与C (合小，励=(-10,2，设前=ABD 的一条渐近线bx一ay=0交于A,B两点，则点F,到 渐近线bx一ay=0的距离为d=cL=b,所以 (0<A<1),所以AD=AB+B驴=Ai+ABD= √a'+b (日号0)+A(-10.2)=(-x+号2x设 |AB|=2a-,因为3|AB|>|F1F2|,所以 fn·AC=0 3×2√a-b>2c,可得9a2-962>c2,所以5c2< 平面APC的法向量为n=(x,y,之)，则 n.A产=0 9a,所以号<号，所以e<35,又>1，所以C的离 W3y=0 即 ,令x=4以，则y=0,x= 心率的取值范围是(1,3)，故选B (-xt日)++2xe= 6.D【解析】由题意得G(0,a),A(-b,0),由点 2λ-1，所以n=(4λ，0,2λ-1)，设顶点B到平面AP℃的 M(号，-)在半圆上，得6=oM=号，连接 距离为d,则d=A方，nl= 21 n √(4以)+(2λ-1)产 OM,过点M作半圆的切线l,切点为M,又因为当点 2 2 M的坐标为（号，-）时，△AGM的面积最大，即 /20λ2-4λ+1 20-+√16+（只-2） 点M到直线AG的距离最大，此时AG∥l,所以OM 所以当} =2,即入=之时，顶点B到平面APC的距 1 ⊥AG,即kaM·kG=-1,易知kaM= 2 ② √2 2 离最大，最大为2=1 后=2，故选A. 2 8.A【解析】根据对称性不妨设P在第一象限.如图， =号所以-号·号=1，解得a6号 ,所 以半椭圆的方程为号+号-1()≥0).故选D. 3 ·100· 高三一轮复习AN ·数学· 确；在△ABC中，AB=√2，BC=BD=2,则AC= =后优-壳所以是-品-子所以 6 VA-BEF 合V-D,又当且仅当∠DBC=90时， 9 设|PF:|=m,PF:|=n,延长OQ交PF,于点A, Vm有最大值号×分×2X2×,厄=2，所以四 3 由题意知OQ∥PF,又O为F:F2的中点，所以A为 PF2的中点，由PF·PF2=O,得PF⊥PF2,则 面体A一BEF体积的最大值为二，故D正确，故 选BCD. ∠FPF,=∠QAP=,又点Q在∠F,PF,的平分 1.BCD【解析】对于A,易知F(2,0),故号=2，所以 线上，所以∠QPA=牙，故△QAP是等腰直角三角 p=4,即C的方程为y=8x,其准线l:x=一2，故A 形，所以|AQ=|PA|=号|PF=号，所以 错误；对于B,如图所示， 10AI=2 IPFI==10Q1+IAQI=26+ 乞n,整理可得m-n=4b,又|PF|+|PE|=2a, 则a十a=a,所以十弦又在R△PE巾， |PF1|2+|PF2|2=|F,F2|,即m2+2=4c2,将 被代人十=得(a十0)十 因为|MN|+|NF|=|MN|+1≥|MF|≥2，所以 (a-2b)2=4c2,即a2+4b2=2c2,又b2=a2-c2,所 IMN|≥1，当点M为原点O,点N的坐标为 以0=6c,所以心2-导-号，即c= (1,0)时取等号，故B正确：对于C,设MB是圆F .故选A 6 的切线，切点为B,则∠FMN≤∠FMB<90°，又 二、选择题 sin∠FMB= 9.ACD【解析】当三条直线交于一点时不能围成三角 ≤合，所以∠FMB≤30，所以 形，由/2xy+1=0 十)y1=0,解得4和4的交点A的坐标 ∠FMN≤∠FMB≤30°，即∠FMN的最大值为 30,所以sin∠FMN的最大值为号，故C正确：对于 为(0,1)，由点A在l上可得2×0十a十a-2=0,解 得a=1;因为l1与2相交，所以当三条直线l,l2,l D,设M(,),由MN=2M心，可知点D是线段 有两条直线平行时不能围成三角形，当1∥3时， MN的中点，设MB切圆F于点B,如图所示， 号=马≠早解得a=-1:当4/%时导=号 ≠，解得a=2,显然4,6与6不可能重合.综 上，当a=2或a=一1或a=1时，这三条直线不能围 成三角形.故选ACD. 1O.BCD【解析】因为AB⊥平面BCD,CDC平面 BCD,所以CD⊥AB,若BC⊥CD,又BC∩AB=B, BC,ABC平面ABC,所以CD⊥平面ABC,又因为 BEC平面ABC,所以CD⊥BE,又BE⊥AC,AC∩ 根据圆的切割线长定理可得|MB2=|MD· CD=C,AC,CDC平面ACD,所以BE⊥平面ACD, MNI =2 ND,MB=MF-BF2= 又ADC平面ACD,所以BE⊥AD,又BF⊥AD,BE MF2-1,所以lMF|2-1=21ND2,因为|ND|≤ ∩BF=B,BE,BFC平面BEF,所以AD⊥平面 2×1=2,所以|MF|2-1≤8，所以|MF|=x0+2≤ BEF,又EFC平面BEF,所以EF⊥AD,即AC与 3,所以x≤1，所以y哈=8x≤8，所以-2v√2≤y≤ EF不垂直，故A错误，B正确；由题可知BE⊥AC, 2√2，即点M到x轴的距离不超过2√2，故D正确. BF⊥AD,因为BC=BD,则△ABC≌△ABD,所以 故选BCD AC=AD,∠BAE=∠BAF,则△ABE≌△ABF,所 三、填空题 以AE=AF,所以能5所以EF/CD,故C正 12.y=4x(答案不唯一)【解析】抛物线的焦点到准 线的距离为2，即p=2,所以2p=4,当焦点在x轴 ·101· ·数学· 参考答案及解析 正半轴时，抛物线的标准方程为y2=4x;当焦点在x (2)设A(xy),B(2), 轴负半轴时，抛物线的标准方程为y2=一4x;当焦 点在y轴正半轴时，抛物线的标准方程为x2=4y; 联立号+专得（3+4状)十8z-8=0 当焦点在y轴负半轴时，抛物线的标准方程为x2 y=kx+1 -4y. 则△=(8k)2+32(3+4k2)=96(1+2k2)>0, 13.1【解析】根据题意，沙漏是由两个相同的圆锥组 8k 8 所以x1十x2= (7分) 成的几何体，两部分体积相等，则两部分圆锥的高均 3十4k西= 3+4k 为3，设沙漏下半部分圆锥的体积为V,沙子上方圆 因为线段AB的中点的横坐标为一号， 锥的体积为V,因为沙子体积占该沙漏容积的兴。 所以西十西=一k 4 2 3+4=一7， 即V-V= ×2V=,可得台=号设沙子推 解得k=1或k=3」 4 (10分) 积成的圆台的高为，所以三-（号） 号解 3)由(2)得十kB=当-3+业二3 得h=1,所以沙子堆积成的圆台的高为1. (k十1)-3+(k+1)一3_km一2+k一2 14.y=士2x【解析】由题意可知，∠F1PF2=90°，又 PF 直线PF,的斜率为2，可得tan∠PF,F=PF =2k-2(1+1)=2-2.4+ xIT2 2,根据双曲线定义|PF-|PF2|=2a,得|PF| 8k 4a,|PF2=2a,又△PFF2为直角三角形，所以 =2k-2.3十4k 8 =2k-2k=0, (14分) |PF|2+|PF2|2=|FF2|2,即16a2+4a2=4c2= 3+4k 4如十46，得4a=6,2=2.所以双曲线的渐近线方程 所以∠APO=∠BPO. (15分) a 为y=士2x 1,解：D由题意可知，F(号0小 四、解答题 15.解：(1)因为{a.}为等差数列，设公差为d, 设直线AB的方程为x=y十台，A(am), 由S=25,得5(a十a=5a4=25, B(x2), 2 (y=2px 解得a=5, (2分) 联立 由a1,aa1a成等比数列， +专得y-2py-p=0,则4=4r+ 得a3=a1·ag,即5=(5-2d)(5+10d), =8p2>0, 整理得dP一2d=0, 所以y+2=2p, (2分) 因为d≠0，所以d=2, (4分) 所以a=a+(n-3)d=5+(n-3)×2=2m-1, 所以AB1=西十m十p=y十号+为十号+p= 2 所以数列{an}的通项公式为a,=21-1. (6分) 4p=16, (2)(I)因为{an十b.》是公比为3的等比数列，a2十b 解得p=4, (4分) =9, 故E的方程为y=8x (5分) 所以an十bn=9×3-2=3”, (2)易知直线MV斜率不为0.设直线MV的方程为x 所以b,=3”-(2-1). (10分) =my十n,M(y),V(x4,), (i)由(i)得Tn=b十b2十b+…十b,=3十3+3+… 联立 y=8x,得y-8my-8m=0, +3”-[1十3+5+…+(2n-1)] x=mytn _3X(1-3"2-(1+2m=1)m=3-3-t, △=642+32n>0,即22+n>0, 1-3 2 2 所以为十y=8m,3y4=-一8n, (9分) 所以数列{}的前n项和为T,=3)3-忙.13分) 令为>0，当y>0时，y=8x可化为y=2√2z,则y 2 16.解：1)油题意得20=25’ 则在M处的切线PM的方程为y一为= a2-b=2 解得a=2,b=√5， (11分) (3分) 所以C的方程为子 31 (4分) 同理可得切线PN的方程为)一号 2 ·102· 高三一轮复习AN ·数学· 联立PM与PN的方程，解得p=, =-4,(13分) 19.解：(1)由题意可知b=2, 8 所以y=-32=一81，解得n=4,满足22十n>0, 又渐近线方程为y=土 x=土2x,所以a=1, a 所以直线MV的方程为x=y十4， (2分) 所以直线MN过定点，该定点坐标为(4,0). (15分) 所以C的标准方程为r-兰-1 4 9 =1, (2)设H(x,y),则|HG=√(x-2)+y= 18.解：(1)依题意可得 /(x-2)2-4+4x=√/5x2-4x, 2c=4, 因为x≤-1或x≥1，函数y=5z2一4x的对称轴方程 a2=b十2， 为x=一 -42 解得a4, X55 {b=2√3， (3分) 所以当x=1时，|HG引取得最小值，最小值为1.(6分) 故C的方程为后+首=1 (4分) (3)设A(xy),B(2,2),M(x0), 易知直线AB斜率存在且不为0，设直线AB:x=my十 (2)依题意可得直线1的方程为y=21十m, 5,m≠0， 设M(xy),N(x22), 联立方程红=mv十5，得(m-1)y十85my十16 4x2-y=4 =0, 联立 得x2+mx十m-12=0, 1 △=320m2-64(4-1)=64(m2+1)0, y=交x+m, 一6>0，得m>子 85m 16 所以y十= 由△=48-3m2>0,得m<16, 则x十x2=-m,x2=-12, (6分) 45m 所以MN-√+·-a 所以=“产=一，西=十后 2 5 4n- (8分) 由O,M,P三点共线得点=业=4m,① 当m=0时，|MN|取得最大值，最大值为2√5. (9分) 由PF⊥AB得kF·kB=-1, (3)依题意可得直线l的方程为y=kx一2k十3， 即p-0·1=-1,② M(2,3),N(x),H,), xp-√5 联立后+节1 n2海P(合岩》 (10分) y=kx-2k+3, 由P戒=PA+PB可知，四边形PAQB是平行四边形， 得(3十4)x2-8k(2k-3)x十16k-48k-12=0, 所以SPAQE=2S△PB, 则2十2= k(2k-3) 417m 3十4k2, 所以2=8一24-6 因为点P到直线l的距离为d 5 √5 √/1十m 3+4k 为=kz-2k+3=-12R-12k+9 +m, 4 3十4 (13分) 用-6替换k,可得西=8十2软一6 |AB引=√1+·|一 3+4k2 为=12k+12k+9 =√/个+m.8ym+_8(m2+1) 4m2-1 4m2-1 3+4k2 (15分) 所以SPAQB= +m.8m+1D 所以直线NH的斜率为当二业= 4m2-1 x3—x2 -3 .(m+1)2=32 (m十1) -12k+12k+9-12k-12k+9 4-1√5 V4m-1' (13分) √5 3+4k 3+4k2 8k2+24k-68k2-24k-6 2 令t仁4m-1,>0,则m=, 41 3+4k 3+4k 所以一后· 4 故直线NH的斜率为定值宁， /(t+5) (17分) (14分) 令f(t)=(1+5) ·103· 则f(t)=3(t+5)·f-2·(t+5) y t =1+5)(t-10) t 当0<t10时，(t)<0;当t>10时，f(t)>0, 所以f(t)在(0,10)上单调递减，在(10，十∞)上单调 递增， 所以f0a=10)-1空. 以wm言×32平-65此时=士 2 (17分)数学第1页（共4页) 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷十七 数学第2页（共4页） AN 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则抛物线的标准方程为 .(写出一个 即可) 13.沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如 图，沙漏可视为由上、下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙 子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的 圆台的高为 14,已知双商线若芳=1a>0,6>0)的左、右焦点分别为5，F,P是双崩线右支上 一点，且直线PF2的斜率为2，△PFF2是直角三角形，则双曲线的渐近线方 程为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sm,S5=25,且a1,a3,a13成 等比数列. (1)求{am}的通项公式； (2)若数列{am十bm}是公比为3的等比数列，且a2十b2=9. (1)求{bn}的通项公式； (i)求{bn}的前n项和T. 16.(本小题满分15分) 已知椭圆C:号+芳-1。>>0)的离心率为2，短轴长为2万，直线y=k红+1与C 交于A,B两点. (1)求C的方程； (2)若线段AB的中点的横坐标为一手，求k: (3)记点P(0,3),O为原点，证明：∠APO=∠BPO. 数学第3页（共4页）》 衡水金卷·先享题·高 17.(本小题满分15分) 已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与E相交于 A,B两点，且AB=16. (1)求E的方程； (2)已知直线l:x=一4，过l上一点P作E的两条切线PM,PN,切点分别为M,N. 求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标 18.(本小题满分17分) 知椭圆C:千1(Q>6>0)的焦距为4，点E(2,3)在C上，直线：y=立 (k≠0)与C交于M,N两点. (1)求C的方程； (2)若=专，求MN的最大值： (3)若点M与点E重合，过点M作斜率与l的斜率互为相反数的直线，l与C的 另一个交点为H,试问直线NH的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不 为定值，请说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知双线C后一茶 =1(a>0,b>0)的虚轴长为4，渐近线方程为y=士2x. (1)求C的标准方程； (2)已知G(2,0),H是C上的动点，求HG的最小值； (3)过C的右焦点F的直线1与C的左、右两支分别交于点A,B,点M是线段AB 的中点，过点F且与l垂直的直线'交直线OM于点P,点Q满足PQ=PA十PB, 求四边形PAQB面积的最小值. 三一轮复习单元检测卷十七 数学第4页（共4页） AN