精品解析：吉林省长春市公主岭市2024-2025学年下学期期末质量监测七年级数学试题

2024－2025学年度下学期期末教学质量检测七年级数学试题 数学试卷共6页，包括三道大题，共24道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 解方程组，你认为下列四种方法中，最简便的是（ ） A. 由②得，代入法消去 B. 由①得，代入法消去 C. 由，加减消元法消去 D. 由，加减消元法消去 3. 已知，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 车队运送一批货物，若每车装4吨，则剩下8吨未装；若每车装5吨，则剩余1辆车．设该车队有辆车，下面列出方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果不等式组有且仅有3个整数解，那么m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若关于的方程的解是，则______． 10. 已知，用含代数式表示，则___________． 11. 若关于x的不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的解集为______． 12. 将正五边形与正方形按如图所示的方式摆放，且正五边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ________ ． 13. 如图，在中，，将沿射线平移后得到，若，则的长度为______ ． 14. 如图，在△ABC中，∠BAC=90，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．上面说法中正确的有____________________________（填正确的序号）． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程． 16. 解方程组： 17. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点、、均是格点．将向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到．只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图． （1）在网格中画出； （2）在网格中画出，使得与关于点成中心对称； （3）与成______对称（填“中心”或“轴”）． 19. ，两地相距3千米，甲从地出发步行到地，乙从地出发步行到地．两人同时出发，20分钟后相遇，又经过10分钟后，甲所余路程为乙所余路程的2倍．求两人的速度． 20. 如图，在中，平分交于点，于点，与交于点．若，，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：平分（已知）， ______． 是的外角， ∴______（______）， ∴（等式的性质） ______（等量代换） ______． 于点， ． （______）． ______． 21. 为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗．已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元． （1）求每棵甲、乙树苗的价格． （2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值，经济价值）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？ 22. 【阅读材料】我们知道：探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题．如图①，四边形是凸四边形，探索其内角和的方法是：连结对角线，则四边形的内角和就转化为和的内角和，即为． 【解决问题】 （1）如图②，四边形是凹四边形，请探究与、、之间的数量关系．小明得出的结论是，请你帮小明写出证明过程． （2）图③和图④所示的图形都是一笔画成的，即从图形的某一顶点出发，连续不断且不重复经过图形上所有部分画成的，请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： 图③中，的度数为______； 图④中，的度数为______． 23. 阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 （1）若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； （2）求方程的正整数解； （3）若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 24. 如图，在中，，，．是中线，作点关于的对称点，连接．动点从点出发，以的速度沿向终点运动，设点运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． （1）当______时，点运动到点； （2）当点在上运动，且点在点下方时，的长度为______（用含的代数式表示）； （3）在点运动过程中，请用含的代数式表示； （4）当时，请直接写出取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度下学期期末教学质量检测七年级数学试题 数学试卷共6页，包括三道大题，共24道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程，根据定义判断． 【详解】解：A．，只含有一个未知数，且未知数的次数是1，是整式方程，因此是一元一次方程，符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元一次方程，不合题意； C．，未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不合题意； D．不是整式方程，不是一元一次方程，不合题意； 故选：A． 2. 解方程组，你认为下列四种方法中，最简便的是（ ） A. 由②得，代入法消去 B. 由①得，代入法消去 C. 由，加减消元法消去 D. 由，加减消元法消去 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个方程中的的系数互为相反数，结合加减消元法判断即可．本题考查了二元一次方程组的解法，属于基本题型． 【详解】解：观察的两个方程中的的系数互为相反数， ∴解方程组的最佳方法是由，加减消元法消去 故选：D． 3. 已知，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，理解并掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质即可求解． 【详解】、不等式两边同时乘以一个小于零的数，不等号方向发生改变，故，选项错误． 、不等式两边同时加上相同的数，不等号方向不发生改变，故，选项正确． 、不等式两边同时除以一个小于零的数，不等号方向发生改变，故，选项错误． 、当时，，当时，当时，无法判断和的大小，选项错误． 故选． 4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 5. 车队运送一批货物，若每车装4吨，则剩下8吨未装；若每车装5吨，则剩余1辆车．设该车队有辆车，下面列出方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．根据货物总量不变，第一种装法得总货物为，第二种装法因剩余1辆车，实际装货车为辆，总货物为，故方程应为. 【详解】解：由“每车装4吨，则剩下8吨未装”可得货物总量为吨， 由“每车装5吨，则剩余1辆车”可得货物总量为吨， 所以可列方程：， 故选：A． 6. 如果不等式组有且仅有3个整数解，那么m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式组恰好有3个整数解，可得这三个整数是5、6、7，即可求解. 【详解】∵不等式组恰好有3个整数解， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解题意是关键. 7. 如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．由旋转前后对应边、对应角相等，可得，，，由三角形外角的性质可得，由等边对等角得出，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，，， 又， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若关于的方程的解是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知方程的解求参数，将方程的解代入原方程，求解未知数即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得， 故答案为：． 10. 已知，用含的代数式表示，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数，然后利用一元一次方程的解法求解． 把x看作已知数表示出y即可． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：． 11. 若关于x的不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 根据不等式解集在数轴上的表示求解即可． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组为， 故答案为：． 12. 将正五边形与正方形按如图所示的方式摆放，且正五边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ________ ． 【答案】##18度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，先根据多边形的内角和公式求出正五边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补，求得正五边形和正方形的外角，最后根据三角形的内角和即可求得的度数． 【详解】解：在正五边形中，， ， 在正方形中，且正五边形的边与正方形的边在同一条直线上， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，将沿射线平移后得到，若，则的长度为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质得到，，进而计算即可． 【详解】解：∵在中，，将沿射线平移后得到， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在△ABC中，∠BAC=90，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．上面说法中正确的有____________________________（填正确的序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①利用三角形的中线，可知△ABE和△BEC是等底同高的两个三角形，即可判断； ②根据等角的补角相等先证明∠AFC=∠DGC，再利用对顶角相等即可判断； ③根据同角的余角相等证明∠FAG =∠ACD即可判断； ④根据已知条件不能推出∠HBC和∠HCB的关系，即可判断． 【详解】解：∵BE是AC边的中线， ∴AE= EC， ∴， 故①正确； ∵ CF平分∠ACB， ∴， ∵∠BAC= 90°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②正确； ∵∠BAC = 90° ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∵根据已知条件不能推出∠HBC=∠BCF， ∴， 故④错误； ∴上面说法中正确的有3个， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了三角形中线、高和角平分线的性质，熟练三角形的内角和定理、外角性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】解方程组： 解：①×2，得： 6＋2y＝12③ ②＋③，得： 7＝21， ＝3　　　　 把＝3代入①，得： 3×3＋＝6， ＝﹣3　　 ∴ 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键． 17. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】．数轴见解析． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 详解】解：由①得， 由②得， 故此不等式组的解集为：． 在数轴上表示为： ． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点、、均是格点．将向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到．只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图． （1）在网格中画出； （2）在网格中画出，使得与关于点成中心对称； （3）与成______对称（填“中心”或“轴”）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）中心 【解析】 【分析】本题主要考查了平移变换、中心对称变换以及中心对称图形和轴对称图形的识别． （1）根据平移的性质，分别将、、按“向上平移3个单位，再向左平移1个单位”的规则找到对应点、、，再连接成三角形． （2）依据中心对称的性质，找、关于的对称点、，然后连接得到三角形． （3）根据中心对称图形及轴对称图形的定义进行判断即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：与成中心对称图形， 故答案为：中心． 19. ，两地相距3千米，甲从地出发步行到地，乙从地出发步行到地．两人同时出发，20分钟后相遇，又经过10分钟后，甲所余路程为乙所余路程的2倍．求两人的速度． 【答案】甲速，乙速， 【解析】 【分析】设甲速，乙速，根据题意列出方程组进行求解即可； 【详解】设甲速，乙速， ， 解得：； ∴甲速，乙速． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确列式计算是解题的关键． 20. 如图，在中，平分交于点，于点，与交于点．若，，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：平分（已知）， ______． 是的外角， ∴______（______）， ∴（等式的性质） ______（等量代换） ______． 于点， ． （______）． ______． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余． 由角平分线的定义，得出，利用三角形外角的性质可求出，结合垂直关系得，再根据直角三角形两锐角互余可求出的度数． 【详解】解：平分（已知）， ， 是的外角， ∴ （三角形的一个外角等于与它不相邻的内角之和）， ∴（等式的性质） （等量代换） ， 于点， ， （垂直的定义）， ． 21. 为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗．已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元． （1）求每棵甲、乙树苗价格． （2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值，经济价值）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？ 【答案】（1）每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元； （2）乙种树苗种植数量不得少于100棵． 【解析】 【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元”列出方程组，可求解； （2）设乙种树苗种植数量为m棵，则甲种树苗数量为棵，根据“获得不低于5万元的价值”列不等式解题即可． 【小问1详解】 解：设每棵甲种树苗价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元， 由题意可得： ， 解得：， 答：每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元； 【小问2详解】 设乙种树苗种植数量m棵，则甲种树苗数量为棵， ∴， 解得：， ∴的最小整数解为100． 答：乙种树苗种植数量不得少于100棵． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，熟练的确定相等关系与不等关系是解本题的关键． 22. 【阅读材料】我们知道：探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题．如图①，四边形是凸四边形，探索其内角和的方法是：连结对角线，则四边形的内角和就转化为和的内角和，即为． 【解决问题】 （1）如图②，四边形是凹四边形，请探究与、、之间的数量关系．小明得出的结论是，请你帮小明写出证明过程． （2）图③和图④所示的图形都是一笔画成的，即从图形的某一顶点出发，连续不断且不重复经过图形上所有部分画成的，请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： 图③中，的度数为______； 图④中，的度数为______． 【答案】（1）证明见解析 （2）； 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是关键． （1）连结，根据三角形内角和定理可得，，两式相加得，再根据，即可求得答案； （2）图③中，连结，设与相交于点M，先证明，再根据三角形内角和定理，即可推得结论；图④中，连结，设与相交于点M，同理可得，再根据，即可求得答案． 【小问1详解】 证明：连结， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：图③中，连结，设与相交于点M， ，且， ， 又， ， ． 故答案为：． 图④中，连结，设与相交于点M， 根据图③的相关推理，同理可得， 根据阅读材料部分“四边形的内角和转化为和的内角和，即为”，可知，在图④中，， ， ． 故答案为：． 23. 阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 （1）若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； （2）求方程的正整数解； （3）若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 【答案】（1）11 （2） （3）共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，二元一次方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得是3的倍数，则是3的倍数，据此结合x的取值范围可得答案； （2）求出，根据x为正整数，得到是2的倍数，且y为正整数，据此求解即可； （3）设长为的绳子有段，长为的绳子有b段，由题意得，，求出该方程的正整数解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵为非负整数， ∴是3的倍数，且为非负数， ∴是3的倍数， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵x为正整数， ∴为正整数， ∴是2的倍数，且y为正整数， ∴当时，， ∴原方程的正整数解为； 【小问3详解】 解：设长为的绳子有段，长为的绳子有b段， 由题意得，， ∴， ∵b为正整数， ∴为正整数， ∴a是4的倍数，且a为正整数， 当时，， 当时，， ∴共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子． 24. 如图，在中，，，．是中线，作点关于的对称点，连接．动点从点出发，以的速度沿向终点运动，设点运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． （1）当______时，点运动到点； （2）当点在上运动，且点在点下方时，的长度为______（用含的代数式表示）； （3）在点运动过程中，请用含的代数式表示； （4）当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，列代数式，解不等式，用含t的式子表示出不同时间段内的长度是解题的关键． （1）由对称得，再根据点P的运动速度即可求解； （2）由中线的定义得，则当点在上运动，且点在点下方时，； （3）先计算出点运动到点，点所用时间，分，，三个阶段，根据三角形面积公式列式即可； （4）结合（3）中结论，令，解不等式，即可确定的取值范围． 【小问1详解】 解：点与点关于对称， ， 点运动速度为， 点运动到点时，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：是中线，， ， 当点在上运动，且点在点下方时，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意知，点运动到点时，， 点运动到点时，， 当时，点P在上运动， 的面积； 当时，点P在上运动， 的面积； 当时，点P在上运动， ， 的面积； 综上可知，； 【小问4详解】 解：当时，令， 解得，与矛盾，舍去； 当时，令， 解得， ； 当时，令， 解得， ； 综上可得，当时， 的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $