1 周期变化（教学课件）数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦“周期变化”核心知识点，通过东升西落、昼夜循环等生活现象情境导入，逐步抽象出周期变化定义，结合锯齿波函数等实例分析周期函数概念，构建从具体现象到数学抽象的学习支架，衔接后续三角函数内容。 其亮点在于融合数学抽象与直观想象，以神舟飞船星下点轨迹等实例渗透数学建模，通过概念辨析（如周期与最小正周期）、当堂检测（柱子标号问题）培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。学生能深化周期本质理解，教师可依托结构化流程提升教学效率。

1 周期变化 第一章 三 角 函 数 北师大版必修第二册·高一 本章导读 地球围绕太阳转动引起的四季交替，地球自转引起的昼夜循环，这些都是周期变化。大到宇宙，小到粒子，自然界许多运动都是周而复始的，这些运动称为周期变化。三角函数是体现周期变化最基本的数学模型，也是研究周期变化最主要的工具。 截至2024年，我国先后成功发射了19艘神舟飞船，进入创新型国家行列。飞船在大气层外，依据天体力学运动规律飞行，在地球引力的作用下做圆周运动。由于地球本身的自转，飞船在地面的投影——星下点轨迹，并非一个圆圈，而是类似一条不断移动的三角函数曲线。 在本章学习中，首先拓展角的范围，建立角的新的度量单位——弧度，借助单位圆建立三角函数的概念。然后讨论三角函数的性质，构建一般的模型，并讨论参数,,A的几何意义和物理意义，学习运用三角函数解决一些简单的实际问题，促进数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象和数学建模等核心素养的发展。 学 习 目 标 1 2 3 了解周期变化在现实中广泛存在，并感受周期变化对实际工作的意义 学习周期函数的概念，运用其来判断函数是否为周期函数，掌握最小正周期的求法 识别身边的周期现象，并用周期函数刻画周期现象,用数学的观点和从数学的角度认识实际问题. 读教材 阅读课本P2-P4，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“周期变化”吧！ 1.什么是周期变化？我们身边有哪些周期变化的现象？ 2.周期函数的概念是什么？如何理解函数的周期与函数的最小正周期？ 3.周期变化有哪些应用呢？如何用数学角度认识实际问题呢？ 单击此处添加备注 4 学习过程 01 03 02 目录 1 周期变化 3 当堂检测 2 周期函数 单击此处添加备注 5 情境导入 “东升西落” “昼夜循环” “草枯草荣” “冬去春来” 周而复始，始而复周的周期变化 新知探究 周期变化：以相同间隔重复出现的变化叫作周期变化. 定义 要判断一种变化是否为周期变化，关键是看每隔一段时间，这种变化是否会重复出现.若出现，则为周期变化；否则，不是周期变化. 思考：如何判断一种变化是否为周期变化？ 新知探究 练习：下列变化中不是周期变化的是( ). D A.“春去春又回” B.钟表的分针每小时转一圈 C.天干地支表示年、月、日的时间顺序 D.某交通路口每次绿灯通过的车辆数 解：由周期变化的概念易知，某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期变化.故选D. 新知探究 练习：地球围绕着太阳转（如图），地球到太阳的距离 随时间的变化是周期性的吗？ 解：根据物理学知识，我们知道在任何一个确定的时刻，地球与太阳的距离 是唯 一确定的，每经过一年地球围绕着太阳旋转一周.无论从哪个时刻 算起，经过一年时 间，地球又会回到原来的位置，所以，地球与太阳的距离是周期变化的. 学习过程 01 03 02 目录 1 周期变化 3 当堂检测 2 周期函数 单击此处添加备注 10 情境导入 水车上的点 P 围绕着中心O做匀速圆周运动，设水车转一圈用时为T，点P到水面的距离为 . 问题1：点P随时间T的变化是怎么样的？ 每经过时间T，点P又回到原来的位置 问题2：那么随时间是怎么样变化的？ 每经过时间T就会取相同的值 我们怎样从数学的角度刻画周期变化呢？ 实例分析 例1：讨论函数的图像和性质. 分析：对于每一个实数，其函数值是不超过的最大整数，它不是偶数就是奇数． 解：当为偶数时，函数；当为奇数时，函数. 因此可得到函数图象如下图. 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 -1 O x 实例分析 例1：讨论函数的图像和性质. 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 -1 O x 由函数图象可以得到： 对任意一个实数，每增加2的整数倍，其函数值保持不变. 这种变化是重复进行的，函数的变化是周期性的. = 实例分析 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 例2.讨论函数，画出它的图象，并观察其性质. 观察图像，可以得到，对任意一个实数，每增加1的整数倍，其函数值保持不变.这种变化是重复进行的，所以该函数的变化也是一种周期变化． 这个函数是物理中很有用的锯齿波函数. 解：函数f(x) =x-[x]即一个数减去不超过这个数的最大整数.函数图象如下图： O x y = 思考交流 思考：函数与函数的共同特点是什么？ 每增加2的整数倍，其函数值不变 每增加1的整数倍，其函数值不变 追问：如何用数学符号语言描述这一性质？ 抽象概括 定义 一般地，对于函数y=f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D ，都有x+T∈D且满足 f(x+T)=f (x)， 那么函数y=f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期. 追问1：对于函数,满足，那么6是该函数周期吗？ 追问2：对于函数,存在满足，那么6是该函数周期吗？ 6不是函数的周期，不满足定义中的任意的x 6不是函数的周期，不满足定义中的任意的x 概念剖析 问题1：如何理解概念中的“任意”？ 周期函数定义中的“”是对定义域中的每一个值来说的，只有个别的 值满足，不能说T是的周期． 问题2：为什么规定T非零？（T若为零，则任意函数都是周期函数．） 若为T零，则所有函数均为周期函数． 问题3：常数函数 是周期函数吗？其周期是什么？ 是周期函数，其周期是任意非零实数． 概念剖析 问题4：周期函数的周期是否只有一个? 不是，比如对于例1中的函数]来说，任何一个非零偶数都是它的周期． 对于例2中的函数来说，任何一个非零整数都是它的周期． 周期函数定义的实质：存在一个非零常数T，对定义域内的任意，均有，其中k∈Z，即自变量每增加一个T后，函数值就会重复出现一次． 既然周期不唯一，如何选取某一个周期作为代表来表征函数的周期呢？ 抽象概括 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数的最小正周期. 若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期. 定义 概念辨析 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) ． (1)若函数满足，则它的周期T=5．(　　) (2)若函数的周期T=5，则 ．(　　) (3)若函数为R上的奇函数，且，则 ．(　　) × √ √ 典例剖析 例3 讨论函数是否为周期函数，如果是，请指出它的周期． 解：当时，函数值分别为8，6，8，6，8，··· 显然函数为周期函数，且周期 证明如下：对 即，所以2是函数的一个周期. 提示：判断一个函数是否是周期函数，可以通过函数值先直观判断，然后再根据周期函数的定义证明！ 学习过程 01 03 02 目录 1 周期变化 3 当堂检测 2 周期函数 单击此处添加备注 22 当堂检测 1.下列函数图像中，不具有周期性的是（    ） C 解析：由周期性定义可得C不符合题意. 2.设 是定义在 上的函数，对任意的实数 有 ，当 时， ，则 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 当堂检测 C 解：因为 ，所以函数 的周期为6，所以 ，又当 时， ，所以 ，所以 ，故选C. 当堂检测 3.函数是定义在上的周期为4的奇函数，当时， ，则 ( ). C 解： 函数是定义在 上的周期为4的奇函数， .故选C. A.2 B.1 C. D.0 当堂检测 4.有这样一个故事：一次毕达哥拉斯处罚学生，要他来回数戴安娜神庙的七根柱子 （分别标记为A,B,C,D,,, ），一直到指出第2 025个数的柱子的标号是哪一个，才 能够停止.你能帮助这名学生尽快结束处罚吗？ 解：能.易知从A开始数，周期为12，而 ， 所以标号为 的柱子就是数到第2 025个数的那根柱子. 课堂小结 生活中的 “周而复始” 周期函数的 定义 周期变化 函数图象的 “重复出现” 函数值满足 f (x +T )=f (x) 数学建模 直观想象 数学抽象 逻辑推理 感谢聆听! $