专题05 空间向量及其应用（知识必备+7大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）高二数学上学期沪教版

该高中数学复习讲义以空间向量为核心，通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分层呈现空间向量概念、运算、定理及坐标表示等知识点，构建“概念-运算-应用”的递进知识脉络，突出向量法在立体几何位置关系判定与度量计算中的核心地位。 讲义亮点在于“题型-变式-综合”的三阶练习体系，如向量法求二面角、异面直线距离等典例，融入数学思维与数学语言，通过变式题分层训练。配套基础通关、重难突破练习，助力不同层次学生掌握空间向量工具，为教师精准教学提供系统支持。

专题05 空间向量及其应用（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 基础概念与定理考查 准确理解空间向量的核心概念，明确其与平面向量概念的共性与差异，领悟“类比推广”的数学思想。熟练掌握空间向量的三大核心定理，理解向量基底的定义，能运用定理判断向量的共线、共面关系，为向量运算和几何转化奠定基础。 高频基础考点，常考内容包括：空间向量概念的辨析、空间向量基本定理的应用、方向向量与法向量的定义理解。命题形式多为选择题或填空题，难度较低，侧重对基础知识的记忆与理解。 空间向量坐标运算 熟练进行空间向量的线性运算和数量积运算，掌握运算律的应用；能灵活实现空间向量的坐标表示，明确向量坐标与空间点坐标的关系。 核心考点，常考内容包括：向量坐标的求解、数量积的坐标计算、向量模与夹角的求解、法向量的坐标求解。中档题结合位置关系判定或度量计算考查运算应用。 向量法判定空间位置关系 能运用向量法判定空间几何位置关系：将线线、线面、面面的平行与垂直关系转化为向量关系，熟练掌握对应判定条件。 高频应用考点，常考内容包括：线线平行/垂直的判定、线面平行/垂直的判定、面面平行/垂直的判定。解题关键是准确转化为向量关系，熟练运用对应判定条件。 向量法求解空间距离和角度 能运用向量法求解空间度量问题，掌握各类度量问题的向量公式，能结合题意选择合适公式求解。 核心综合重难考点，常以解答题压轴问形式出现。常考内容包括：异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角，点到平面的距离异面直线间的距离。命题常结合具体几何体。 知识点01 空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 知识点02 空间向量的基本定理及坐标表示 1.共面向量定理 如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使． 推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①上面①式叫做平面的向量表达式． 2.空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使 由此定理， 若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使 3.空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 4.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 5.向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)； (2)dAB＝||＝ 知识点03 空间向量在立体几何中的应用 1.平面的法向量 (1)定义：如图，直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量。给定一点和一个向量，那么过点，以向量为法向量的平面是完全确定的。 (2)平面法向量的求法：求平面法向量的步骤： ①设出平面的法向量为； ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 ； ③根据法向量的定义建立关于、、的方程组； ④解方程组，取其中的一组解，即得法向量。由于一个平面的法向量有无数个，故可以在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量。 2.平行与垂直的向量表示 设直线、的方向向量分别为、，平面、的法向量分别为、，则由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳出以下结论： 3.两点间的距离的求法 、两点间的距离为。 4.点线距离的求法 如图，在直线上任取一点，取直线的一个方向向量，则点到的距离为：。 5.点面距离的求法 如图，设是平面的一个法向量，是平面的一条斜线，则点到平面的距离为。 6. 两异面直线距离的求法 如图，设、是两异面直线，是与公垂线的方向向量，又、分别是、上的任意两点，则、的距离是。 7.求异面直线所成的角 如图，已知、两异面直线，、与、分别是、上的任意两点，异面直线、所成的角为，则。 特别提醒：对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为、，在求出、的夹角，设两异面直线的夹角，利用求出异面直线的夹角，但需注意：异面直线夹角与向量夹角二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。 8.求直线和平面所成的角 如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与所成的角为，则直线方向向量在平面法向量方向上的投影的长度与直线方向向量的模之比就是线面夹角的正弦值，即有 9.求平面和平面所成的角（二面角） 如图，若于，于，平面交于，则为二面角的平面角， 。若、分别为面、的法向量，或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角的补角)。 (1)当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角等于法向量、的夹角，于是。 (2)当法向量与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角等于法向量、的夹角的补角，于是。 特别提醒：对二面角的大小问题，先求出平面、的法向量、，再求出、的夹角，在内取一点，在内取一点，设二面角大小为，若与同号，则，若与异号，则 题型一 空间向量及其运算 【典例1-1】（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 对于选项A，取的中点,连接,取的中点，连接,若，则，故A错误； 对于选项B，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，故B正确； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，故D错误． 故选：B． 【典例1-2】（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知，，则 . 【答案】24 【详解】因为，， 所以. 所以. 故答案为：24 【典例1-3】（24-25高二上·上海·期末）如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则等于 .    【答案】 【详解】因为三棱柱中，、分别是、的中点， 且，，， 所以， 故答案为：. 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期末）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B．向量与的夹角是 C． D．这个正方体的体积为 【答案】D 【详解】如下图示正方体，根据各向量对应线段的位置关系，各项判断如下， A：，则， 所以，对； B： ，， 所以向量与的夹角是，对； C： ，对； D：由正方体的结构易得，错. 故选：D 【变式1-2】（22-23高二上·上海嘉定·期末）如图，在长方体中，设，，，则 ． 【答案】 【详解】 由 故答案为： 【变式1-3】（22-23高二上·上海青浦·期末）如图，在四面体中，，且，，则= （用表示） 【答案】 【详解】依题得， 。 故答案为：． 【变式1-4】（23-24高二上·上海·期末）已知棱长为的正四面体中，为中点，则 . 【答案】 【详解】如下图所示： 在棱长为的正四面体中， 由空间向量数量积的定义可得， 因为为的中点，，则，可得， 所以，， 所以，. 故答案为：. 【变式1-5】（24-25高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，若为中点，则 .    【答案】 【详解】在平行六面体中，， ， 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得，且为中点， 则， 所以 ， 因此，. 故答案为：. 【变式1-6】（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知棱长为1的正方体，任选2个顶点作为起点和终点所成的向量，与向量的数量积共有 种结果． 【答案】 【详解】 ①当的起点与终点为正方体上相邻的两个顶点，，与平行或垂直， 若，且与同向，即， ； 若，且与反向，即， ； 若，即，； ②当的起点与终点为正方体侧面上对角的两个顶点，，与的夹角为或， 若与的夹角为，即， ； 若与的夹角为，即， ； ③当的起点与终点为正方体底面上对角的两个顶点，，与的垂直， 即，; ④当的起点与终点为正方体体对角线的两端点，，或， 若，即， ； 若，即， . 综上：与向量的数量积共有3种结果，分别为-1，0，1. 故答案为：3. 题型二 空间向量共线、共面问题 【典例2-1】（23-24高二上·上海·期末）设，，是空间中的三个向量，且共面，则 . 【答案】 【详解】由向量，，是空间中的三个向量， 因为共面，则存在实数使得成立， 可得，可得. 故答案为：. 【典例2-2】（24-25高二上·上海·期末）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 【详解】（1）根据题意，，则， 若，设，又由，则， 解可得，故或. （2）根据题意，， 则， 则，故， 故. 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【答案】①③ 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期末）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】10 【详解】因向量，，共面，且，，是三个不共面的非零向量， 则存在，满足， 即， 则有，解得. 故答案为：10. 题型三 空间直角坐标系 【典例3-1】（24-25高二上·上海·期末）若点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则两点（    ） A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于平面对称 【答案】A 【详解】因点关于平面的对称点为， 关于轴的对称点为，而点与点显然关于坐标原点对称. 故选：A. 【典例3-2】（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设，则平面， 故， 的最小值即为四棱台的高. 如下图，过作，垂足为，过作，垂足为， 过作平面，垂足为，连接， 则，， 因为，，故， 故，而，故，所以， 因为平面，故，而， 故平面，因平面，故， 故，故，即的最小值为， 故选：B.    【典例3-3】（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长． 【答案】，BN的长为 【详解】因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形， 所以 ， 由题意，可得|，，， 因此 所以，即的长为. 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（    ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 【答案】C 【详解】因为点和的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数， 所以点和点关于轴对称. 故选：C 【变式3-2】（24-25高二上·上海宝山·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【详解】点关于轴的对称点的坐标为. 故答案为： 【变式3-3】（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以 题型四 空间向量的坐标表示 【典例4-1】（23-24高二上·上海·期末）已知向量，，，则 . 【答案】 【详解】因为向量，，， 所以，解得， 故答案为： 【典例4-2】（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知向量，，则在上的投影向量的坐标是 . 【答案】 【详解】∵，， ∴， 所以向量在向量上的投影向量为： . 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高二上·上海·期末）若，，且，则 . 【答案】14 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故答案为：14. 【变式4-2】（24-25高二上·上海黄浦·期末）给定点，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【详解】由题设，， 所以. 故答案为： 题型五 向量法求空间距离 【典例5-1】（24-25高二上·上海·期末）空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在平面，平面，平面上的射影长分别为，则这条线段的长为 . 【答案】 【详解】这条线段可看作一长方体的体对角线，这个长方体的同一个顶点外的三个表面的面对角线为， 设长方体的长、宽、高分别为，则， 所以这条线段的长为. 故答案为：. 【典例5-2】（24-25高二上·上海·期末）如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 【答案】 【详解】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ，， 则， 设，则， 因为‖，所以，得， 所以（），则， 设点到的距离为，则 ， 所以当时，取得最小值，此时的面积取得最小值， 所以， 所以 故答案为： 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，，，则点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】因为底面是菱形，，连接，则为等边三角形， 取的中点，连接，则，又，所以， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取， 所以点到平面的距离. 故答案为： 【变式5-2】（24-25高二上·上海·期末）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若． (1)求该“蒺藜形多面体”的表面积和体积； (2)若点，分别在线段，上移动，求的最小值． 【详解】（1）因为，所以． 蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成， 故该几何体的表面积为． 该几何体的体积为 （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 设， ， 当且仅当，时，等号成立． 故PQ的最小值为. 题型六 向量法求空间角 【典例6-1】（24-25高二上·上海·期末）向量，的夹角 . 【答案】 【详解】，又因为夹角范围为：，故. 故答案为：. 【典例6-2】（24-25高二上·上海·期末）如图所示，圆锥的底面半径，高，点是弧的中点，点是母线的中点． (1)求圆锥的体积； (2)求直线与平面所成角的大小． 【详解】（1）因为，则圆的面积为， 又，所以圆锥的体积为. （2）易知面圆，又点是弧的中点，则， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，又点是母线的中点，所以， 易知平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成的角为， 则， 又，所以. 【典例6-3】（24-25高二上·上海·期末）水平通常指的是与水平面平行的状态.一个保持水平的桌面能够确保使用的舒适性和稳定性， 从而提高工作效率和精度.我们可以使用水平仪检测桌面是否水平， 水平仪可以被用于检测某一条直线是否处于水平状态. (1)请设计一个利用水平仪来检测桌面是否处于水平状态的方案，并借助数学知识来说明其测量原理; (2)现有一张边长为米的正方形四脚木桌 （四条桌腿的长度均为米）， 被放置在倾斜的地面上. 通过测量发现，此时桌面的两条对角线分别呈现出和的倾斜角度. 为了将这张桌子平稳地放置在地面上并使桌面保持水平，我们需要通过锯短桌腿来进行调整，请提供一个最省力的方案.（答案精确到米） 【详解】（1）在桌面上找两条相交直线和，且， 利用水平仪来检测这两条直线是否处于水平， 若直线，且直线，，、平面， 由面面平行的判定定理，桌面， 若直线不平行，或直线不平行，则桌面不平行. （2）解法一：假设桌腿的粗细忽略不计，且对角桌腿间的距离米和米， 不妨设对角线的倾斜程度为，对角线的倾斜程度为. 假设不锯桌腿，要使得水平面，则桌腿需要锯掉, 即，同理， 此时对角线和的交点在线段上的投影为（如图所示）， 为了使得桌子平稳地放置在地面上，则， 由梯形的中位线定理可知，， 所以， ，， 所以三条桌腿、、分别锯掉米、米、米. （锯掉三条桌腿的答案不唯一，在不锯桌腿的假设下，只需要满足， ，， 其中即可） 解法二：假设桌腿的粗细忽略不计，且对角桌腿间的距离米和米， 以对角线和的交点为原点，以平面与水平面的交线为轴， 以平面与水平面的交线为轴，以竖直方向为轴的正方向建立空间直角坐标系. 设水平面，倾斜地面. 由题意可知，未锯腿时的桌面平行于地面，即，， 不妨设，， 设地面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为， 则， 令，则， 可以通过旋转桌面，使得，，此时只需要锯两条桌腿. 则平面与平面的夹角满足， 则 则桌腿、分别锯掉米. 【变式6-1】（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，四面体的各棱长均为2，，分别为棱，的中点，设，，； (1)用向量，，的线性组合表示向量，； (2)求两条异面直线，所成角的大小． 【详解】（1），； （2）由四面体的各棱长均为2，可知四面体为正四面体，所以，，两两夹角为， 因此， ， ， ， ， 由于两条异面直线，所成角的范围为， 所以两条异面直线，所成角为. 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 【详解】（1） 底面是正方形；连接交于点O，连接；因为平面， 平面平面,平面，所以；又O是中点， 故E是中点；因为侧棱底面，底面是正方形， 以点D为坐标原点，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为2，则，, 由题意，是的中点，则， 设平面的法向量为，则, 令，得，记与平面的所成角， 则, 故 （2）由, 则，故，故， 又平面，平面,故平面， 故平面的法向量为，平面的法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角为. 【变式6-3】（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图，在圆锥P-O中，AB是底面圆的直径，点C，D在圆上，CD垂直平分线段OB，E是PB的中点，. (1)求二面角的正切值； (2)设AE与PO交于点M，Q是圆上的动点，DM，QM与平面ACE所成角的大小分别为，求，并证明. 【详解】（1）设与OB的交点为,过点作的平行线交底面圆于， 因为点C，D在圆上，CD垂直平分线段OB，E是PB的中点， 所以，又因为底面圆，底面圆， 所以 则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，, 所以， , 因为底面圆，底面圆,所以又因为且，所以平面,所以平面的法向量为, 则,, 设平面的法向量， 则， 设二面角所成的平面角为， 所以 则，由图可知为锐角，所以， （2）由可得， 设平面的法向量， 则， , , 所以, 设， 因为为底面圆上的动点，底面圆的方程为， 所以， 则，，， ， 令，则或， 所以，所以， 因为在上单调递增， 所以. 题型七 已知空间角用向量法求其他量 【典例7】（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上移动． (1)当点在棱的中点时，证明：平面平面； (2)当为何值时，平面与平面所成的锐二面角为． 【详解】（1） 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，，， 则，，，， 即，， 因为， 所以，即，又因为平面，平面，所以平面， 所以平面，平面，所以平面平面. （2） 如图，以为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设时，则， 由图知，平面法向量为，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，因为平面与平面所成角为． 所以，解得或（舍）． 所以当为时，平面与平面所成角为． 【变式7-1】（24-25高二上·上海长宁·期末）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱上.    (1)若分别是棱的中点，求证：平面； (2)设底面是边长为1的正方形，，，二面角的正切值为，若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【知识点】证明线面平行、已知线线角求其他量、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）取中点，连接，结合三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由题意可得二面角的平面角为，则可求得，由已知可证得两两垂直，所以以B为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接，    因为分别是棱的中点， 所以‖，， 因为四边形是平行四边形， 所以，‖， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为四边形为正方形，所以，，， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，. 所以二面角的平面角为， 所以，所以. 因为，，， 所以两两垂直， 所以以B为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 则，， 所以 ， 所以， 设，则， 因为，所以 所以 所以 所以当时，取到最小值.    【变式7-2】（24-25高二上·上海杨浦·期末）如下图所示正四棱锥，其中O为底面ABCD的中心. (1)求证：平面； (2)设E为上的一点，. ①若，求直线与平面所成角的大小. ②已知平面与平面所成锐二面角的大小为，若，求的长. 【详解】（1）因为底面是正方形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）①，如图，以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，得 ， ，， 由得， 所以，，由四棱锥是正四棱锥， 可得平面，平面，所以， 由，平面， 所以平面， 因为平面，即平面， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， ， 由，得， 所以直线与平面所成角为； ②，同①以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，得 ， ， 由得， 所以，， 设为平面的一个法向量， 则得，令得， 所以，因为平面， 所以是平面的一个法向量， 设平面与平面所成锐二面角的大小为，得， 由， 解得，即. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二上·上海黄浦·期末）直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【详解】因为在直三棱柱中，， 所以两两互相垂直，故建立如图所示空间直角坐标系， 因为，设， 所以，，， 所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 2．（24-25高二上·上海·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 【答案】 【详解】向量，， 则，，， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海金山·期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 【答案】 【详解】直线的一个方向向量 平面的一个法向量，且， 所以 解得. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海杨浦·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱上，且， 是的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）在正方体中， ∴以为坐标原点，为坐标轴如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ （2）由（1）知，， 设异面直线与所成角为， 则 5．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 【详解】（1）因为圆锥的底面半径， 经过旋转轴SO的截面是等边，可得， 所以圆锥的侧面积为. （2）以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，    由题意可得，则，，，，， 则，， 所以，，， 所以， 设异面直线PQ与SO所成角的大小为，， 则， 故异面直线PQ与SO所成角的余弦值为. 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（24-25高二上·上海黄浦·期末）已知正四面体ABCD的棱长为6，P是空间一点，若，则点P到平面BCD的距离的最大值为 . 【答案】 【详解】由，即， 若的中点分别为，且的中点为，则， 所以，即在以为球心，为半径的球面上， 由题设，易知都在面内，则面， 又面，即面，即，同理， 而，，易知，故为正四面体外接球球心， 到面BCD的距离， 到面BCD的距离，则，所以， 综上，点P到平面BCD的距离的最大值为. 故答案为： 2．（24-25高二上·上海·期末）已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图，O为中点，则由题意且， 所以. 因为，则即， 所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·期末）如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中、分别在棱上.若是正方形，则截面UVWXYZ的面积为 . 【答案】 【详解】以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，如下图所示： 当时， 则，所以， 又， 设，则，解得， 即，所以共面， 所以共面， 因为，所以，即， 又因为所以是正方形， 所以当时，六边形UVWXYZ就是所求截面， 此时, 所以截面UVWXYZ的面积为， 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，设，，. (1)用，，表示并求出； (2)求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）. 【详解】（1）由题意得， 故， ， 故； （2）， 故 ， ， 故， 设异面直线与所成角的大小为， 则， 故异面直线与所成角的大小为. 5．（24-25高二上·上海嘉定·期末）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成的角. 【详解】（1）在正方体中，为线段的中点， 所以平面，且， 因为是线段的中点，所以， 故三棱锥的体积； 因为，分别为线段，的中点，所以， 又因为，， 所以在中满足，故为直角三角形， 则，设点到平面的距离为， 则，解得， 因此点到平面的距离为. （2） 建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，解得， 所以， 设直线与平面所成角为，所以， 所以 6．（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且平面底面.    (1)求该四棱锥的体积； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 【详解】（1）等腰中，设边的中点为，易知， 因为平面底面，且底面， 则平面，在中，，所以， 则体积. （2）法一：因为， 所以即为异画直线和所成的角或其补角； 由（1）知平面底面，且平面底面 矩形中，， 因为平面底面，且底面， 所以面，又因为面，从而， 中，，所以 同理可得中，， 由余弦定理可得 ， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 法二：以的中点为为原点， 为轴建立空间坐标系，    则， 所以， ， 所以异面直线和所成角余弦值为 7．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 【详解】（1）解：如图所示： ， 故， 因为， 所以； （2）解：因为， 则，， 设平面的法向量为， 故且， 取，则， 由于平面时， 故， 即，解得； （3）解：， 设平面的法向量为， 则有 取， 则， 所以， 所以当时，取最大值. 所以. 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（24-25高二上·上海·期末）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． (1)求该平行六面体的表面积； (2)记在底面上的射影为，，，，求证：，并求侧棱与底面的所成角； (3)求异面直线与的所成角． 【详解】（1）底面是边长为1的正方形，则,, ，， 所以， 所以该平行六面体的表面积. （2）过 作 平面，连接 AM, HM, AE, HE, AH， 此时平面 ，，，平面， 面， ，， ，得证. 因为，则, 则， 所以 , 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 所以侧棱与底面的所成角为. 所以，侧棱与底面的所成角为. （3）由题意，， ， ， 所以． 而，， 则 ， 所以， 所以直线与所成角为. 2．（24-25高二上·上海金山·期末）我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. (1)若，求； (2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； (3)证明，并用表示三棱锥的体积. 【详解】（1），. （2）①的方向是平面的法向量； 因为，， ， 所以， ， 所以的方向是平面的法向量； ②由题意知， 设平面的法向量为， 则设，则， 则直线与平面的所成角的正弦值为， 则直线与平面所成角们大小为. （3） ， 由题意知点到平面的距离为， 3．（24-25高二上·上海闵行·期末）在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示．（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量．有四个平面，，， (1)若平面与平面互相垂直，求实数的值； (2)根据点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并用利用法向量和投影向量的相关知识证明． (3)若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，利用（2）的结论求该四面体的体积． 【详解】（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故. （2）不妨设，在平面内取一点， 则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为. （3）由，解得交点， 同理，可得其它交点，，， 又四面体外接球体积为，故外接球半径， 设球心为，则，即有 得或， 当球心坐标为时，，得（舍去）， 当球心坐标为时，， 得（舍去）或，故， 所以到平面即的距离为 ， 又是正三角形，所以， 故. 4．（24-25高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； (3)若，直线和的所成角为，求的取值范围. 【详解】（1）设基向量， 则， 因为， 所以， 因为三点共线，设， 则， 所以，即， 所以 （2）因为，且， 所以， 配方得：， 即， 故，即， 所以的最大值为. （3）解法一：， ， 则，即， ， 即 ， ， 令 ， . 解法二：因为，，所以， 又因为，所以，即， 所以直线和的所成角为， 当点和点重合时，最小为，即最大为1； 当点和点重合时，最大，即最小， ， 此时. 所以. 解法三：如图，以点为原点，为轴，为轴，建立空间直角直角坐标系. 则， 由点，得，则， 又，则， ， ， 令 ， . 【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两异面直线所成的角为，； ②直线与平面所成的角为，； ③二面角的大小为，. 5．（24-25高二上·上海·期末）我们知道，平面中的结论有不少可以向空间中进行推广，现有如下平面中的结论：如图，已知对任意三角形，都能找到三条等距的平行线，使得. (1)根据以上平面中的结论，若D为与边的交点，试判断D在线段上的位置； (2)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对任意给定的四面体，能否作出四个相互平行的平面，使，且相邻两个平面间的距离都相等.如能，说明作法并作图，如不能，说明理由. (3)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对一个正四面体，能够作出第（2）小题中的四个平面，且四个平面间距离为1，求此正四面体的体积. 【详解】（1）D为中点 根据已知结论可得直线即为，若为三条等距的平行线， 所以D为中点； （2）如图所示， 取的三等分点的中点，的中点， 过三点，，作平面，过三点作平面， 因为，又，所以； 又，且，所以； 又因为，且， 所以平面, 再过点分别作平面与平面平行， 那么四个平面依次相互平行， 由线段被平行平面截得的线段相等知，其中毎每相邻两个平面间的距离相等， 故即为所求平面（注：也可将正四面体放入正方体内说明） （3）设正四面体的棱长为，综合（2）有的中点， 再取的中点，连接交于， 则由等边三角形的性质可知为的中点，且， 则以为坐标原点，以平行于直线且过点的直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，， 令为的三等分点，为的中点， 则，， 所以，，. 设平面的法向量， 则有，即，取，则， 即. 又相邻平面之间的距离为1， 所以点到平面的距离为， 解得. 由此可得，边长为的正四面体满足条件. 可知所求正四面体的体积. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 空间向量及其应用（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 基础概念与定理考查 准确理解空间向量的核心概念，明确其与平面向量概念的共性与差异，领悟“类比推广”的数学思想。熟练掌握空间向量的三大核心定理，理解向量基底的定义，能运用定理判断向量的共线、共面关系，为向量运算和几何转化奠定基础。 高频基础考点，常考内容包括：空间向量概念的辨析、空间向量基本定理的应用、方向向量与法向量的定义理解。命题形式多为选择题或填空题，难度较低，侧重对基础知识的记忆与理解。 空间向量坐标运算 熟练进行空间向量的线性运算和数量积运算，掌握运算律的应用；能灵活实现空间向量的坐标表示，明确向量坐标与空间点坐标的关系。 核心考点，常考内容包括：向量坐标的求解、数量积的坐标计算、向量模与夹角的求解、法向量的坐标求解。中档题结合位置关系判定或度量计算考查运算应用。 向量法判定空间位置关系 能运用向量法判定空间几何位置关系：将线线、线面、面面的平行与垂直关系转化为向量关系，熟练掌握对应判定条件。 高频应用考点，常考内容包括：线线平行/垂直的判定、线面平行/垂直的判定、面面平行/垂直的判定。解题关键是准确转化为向量关系，熟练运用对应判定条件。 向量法求解空间距离和角度 能运用向量法求解空间度量问题，掌握各类度量问题的向量公式，能结合题意选择合适公式求解。 核心综合重难考点，常以解答题压轴问形式出现。常考内容包括：异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角，点到平面的距离异面直线间的距离。命题常结合具体几何体。 知识点01 空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 知识点02 空间向量的基本定理及坐标表示 1.共面向量定理 如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使． 推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①上面①式叫做平面的向量表达式． 2.空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使 由此定理， 若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使 3.空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 4.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 5.向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)； (2)dAB＝||＝ 知识点03 空间向量在立体几何中的应用 1.平面的法向量 (1)定义：如图，直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量。给定一点和一个向量，那么过点，以向量为法向量的平面是完全确定的。 (2)平面法向量的求法：求平面法向量的步骤： ①设出平面的法向量为； ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 ； ③根据法向量的定义建立关于、、的方程组； ④解方程组，取其中的一组解，即得法向量。由于一个平面的法向量有无数个，故可以在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量。 2.平行与垂直的向量表示 设直线、的方向向量分别为、，平面、的法向量分别为、，则由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳出以下结论： 3.两点间的距离的求法 、两点间的距离为。 4.点线距离的求法 如图，在直线上任取一点，取直线的一个方向向量，则点到的距离为：。 5.点面距离的求法 如图，设是平面的一个法向量，是平面的一条斜线，则点到平面的距离为。 6. 两异面直线距离的求法 如图，设、是两异面直线，是与公垂线的方向向量，又、分别是、上的任意两点，则、的距离是。 7.求异面直线所成的角 如图，已知、两异面直线，、与、分别是、上的任意两点，异面直线、所成的角为，则。 特别提醒：对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为、，在求出、的夹角，设两异面直线的夹角，利用求出异面直线的夹角，但需注意：异面直线夹角与向量夹角二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。 8.求直线和平面所成的角 如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与所成的角为，则直线方向向量在平面法向量方向上的投影的长度与直线方向向量的模之比就是线面夹角的正弦值，即有 9.求平面和平面所成的角（二面角） 如图，若于，于，平面交于，则为二面角的平面角， 。若、分别为面、的法向量，或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角的补角)。 (1)当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角等于法向量、的夹角，于是。 (2)当法向量与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角等于法向量、的夹角的补角，于是。 特别提醒：对二面角的大小问题，先求出平面、的法向量、，再求出、的夹角，在内取一点，在内取一点，设二面角大小为，若与同号，则，若与异号，则 题型一 空间向量及其运算 【典例1-1】（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知，，则 . 【典例1-3】（24-25高二上·上海·期末）如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则等于 .    【变式1-1】（24-25高二上·上海·期末）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B．向量与的夹角是 C． D．这个正方体的体积为 【变式1-2】（22-23高二上·上海嘉定·期末）如图，在长方体中，设，，，则 ． 【变式1-3】（22-23高二上·上海青浦·期末）如图，在四面体中，，且，，则= （用表示） 【变式1-4】（23-24高二上·上海·期末）已知棱长为的正四面体中，为中点，则 . 【变式1-5】（24-25高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，若为中点，则 .    【变式1-6】（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知棱长为1的正方体，任选2个顶点作为起点和终点所成的向量，与向量的数量积共有 种结果． 题型二 空间向量共线、共面问题 【典例2-1】（23-24高二上·上海·期末）设，，是空间中的三个向量，且共面，则 . 【典例2-2】（24-25高二上·上海·期末）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期末）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 题型三 空间直角坐标系 【典例3-1】（24-25高二上·上海·期末）若点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则两点（    ） A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于平面对称 【典例3-2】（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【典例3-3】（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长． 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（    ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 【变式3-2】（24-25高二上·上海宝山·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为 ． 【变式3-3】（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 题型四 空间向量的坐标表示 【典例4-1】（23-24高二上·上海·期末）已知向量，，，则 . 【典例4-2】（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知向量，，则在上的投影向量的坐标是 . 【变式4-1】（24-25高二上·上海·期末）若，，且，则 . 【变式4-2】（24-25高二上·上海黄浦·期末）给定点，则在方向上的数量投影为 . 题型五 向量法求空间距离 【典例5-1】（24-25高二上·上海·期末）空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在平面，平面，平面上的射影长分别为，则这条线段的长为 . 【典例5-2】（24-25高二上·上海·期末）如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，，，则点到平面的距离为 . 【变式5-2】（24-25高二上·上海·期末）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若． (1)求该“蒺藜形多面体”的表面积和体积； (2)若点，分别在线段，上移动，求的最小值． 题型六 向量法求空间角 【典例6-1】（24-25高二上·上海·期末）向量，的夹角 . 【典例6-2】（24-25高二上·上海·期末）如图所示，圆锥的底面半径，高，点是弧的中点，点是母线的中点． (1)求圆锥的体积； (2)求直线与平面所成角的大小． 【典例6-3】（24-25高二上·上海·期末）水平通常指的是与水平面平行的状态.一个保持水平的桌面能够确保使用的舒适性和稳定性， 从而提高工作效率和精度.我们可以使用水平仪检测桌面是否水平， 水平仪可以被用于检测某一条直线是否处于水平状态. (1)请设计一个利用水平仪来检测桌面是否处于水平状态的方案，并借助数学知识来说明其测量原理; (2)现有一张边长为米的正方形四脚木桌 （四条桌腿的长度均为米）， 被放置在倾斜的地面上. 通过测量发现，此时桌面的两条对角线分别呈现出和的倾斜角度. 为了将这张桌子平稳地放置在地面上并使桌面保持水平，我们需要通过锯短桌腿来进行调整，请提供一个最省力的方案.（答案精确到米） 【变式6-1】（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，四面体的各棱长均为2，，分别为棱，的中点，设，，； (1)用向量，，的线性组合表示向量，； (2)求两条异面直线，所成角的大小． 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 【变式6-3】（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图，在圆锥P-O中，AB是底面圆的直径，点C，D在圆上，CD垂直平分线段OB，E是PB的中点，. (1)求二面角的正切值； (2)设AE与PO交于点M，Q是圆上的动点，DM，QM与平面ACE所成角的大小分别为，求，并证明. 题型七 已知空间角用向量法求其他量 【典例7】（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上移动． (1)当点在棱的中点时，证明：平面平面； (2)当为何值时，平面与平面所成的锐二面角为． 【变式7-1】（24-25高二上·上海长宁·期末）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱上.    (1)若分别是棱的中点，求证：平面； (2)设底面是边长为1的正方形，，，二面角的正切值为，若，求的最小值. 【变式7-2】（24-25高二上·上海杨浦·期末）如下图所示正四棱锥，其中O为底面ABCD的中心. (1)求证：平面； (2)设E为上的一点，. ①若，求直线与平面所成角的大小. ②已知平面与平面所成锐二面角的大小为，若，求的长. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二上·上海黄浦·期末）直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 2．（24-25高二上·上海·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 3．（24-25高二上·上海金山·期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 4．（24-25高二上·上海杨浦·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱上，且， 是的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 5．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（24-25高二上·上海黄浦·期末）已知正四面体ABCD的棱长为6，P是空间一点，若，则点P到平面BCD的距离的最大值为 . 2．（24-25高二上·上海·期末）已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 3．（24-25高二上·上海·期末）如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中、分别在棱上.若是正方形，则截面UVWXYZ的面积为 . 4．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，设，，. (1)用，，表示并求出； (2)求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）. 5．（24-25高二上·上海嘉定·期末）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成的角. 6．（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且平面底面.    (1)求该四棱锥的体积； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 7．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（24-25高二上·上海·期末）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． (1)求该平行六面体的表面积； (2)记在底面上的射影为，，，，求证：，并求侧棱与底面的所成角； (3)求异面直线与的所成角． 2．（24-25高二上·上海金山·期末）我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. (1)若，求； (2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； (3)证明，并用表示三棱锥的体积. 3．（24-25高二上·上海闵行·期末）在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示．（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量．有四个平面，，， (1)若平面与平面互相垂直，求实数的值； (2)根据点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并用利用法向量和投影向量的相关知识证明． (3)若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，利用（2）的结论求该四面体的体积． 4．（24-25高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； (3)若，直线和的所成角为，求的取值范围. 5．（24-25高二上·上海·期末）我们知道，平面中的结论有不少可以向空间中进行推广，现有如下平面中的结论：如图，已知对任意三角形，都能找到三条等距的平行线，使得. (1)根据以上平面中的结论，若D为与边的交点，试判断D在线段上的位置； (2)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对任意给定的四面体，能否作出四个相互平行的平面，使，且相邻两个平面间的距离都相等.如能，说明作法并作图，如不能，说明理由. (3)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对一个正四面体，能够作出第（2）小题中的四个平面，且四个平面间距离为1，求此正四面体的体积. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $