专题2.2 圆的应用13种题型（期末复习专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题2-2 圆 题型1 求圆方程1：圆心在线上 题型8 与圆有关的定距离 题型2 求圆方程2：三角形外接圆 题型9 两圆公切线（难点） 题型3 求圆方程3：三角形内切圆 题型10 圆与四边形面积最值（难点） 题型4 点与圆求参 题型11 阿圆（常考点） 题型5 直线与圆（常考点） 题型12 圆过定点 题型6 两圆关系（重点） 题型13 圆轨迹 题型7 弦长与弦心距（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一、求圆方程1：圆心在线上 （共3小题） 1．（25-26高二上·新疆·月考）已知某圆的圆心在直线上，且该圆经过原点和点，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·湖南长沙·月考）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 3．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二、求圆方程2：三角形外接圆 （共3小题） 4．（23-24高二上·天津南开·期中）已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·海南·月考）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·天津·期中）经过三点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 题型三、求圆方程3：三角形内切圆 （共3小题） 7．（19-20高三上·山东潍坊·期末）若直线与两坐标轴分别交于，两点， 为坐标原点，则的内切圆的标准方程为 ． 8．（2016·重庆·一模）已知直线和直线分别与圆相交于和，则四边形的内切圆的面积为 ． 9．（21-22高二·全国·单元测试）已知三角形三边所在直线的方程分别为、和，则这个三角形的内切圆圆心是 ，半径为 ． 题型四、点与圆求参 （共3小题） 10．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）若点在圆外，则实数k的取值范围为 . 11．（21-22高二上·江苏盐城·期中）若点在圆外，则的取值范围是 . 12．（19-20高二下·上海宝山·期中）若抛物线的焦点在圆外，则实数m的取值范围是 ． 题型五、直线与圆（共3小题） 13．（25-26高三上·北京·月考）已知圆内有一点、经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为 ． 14．（25-26高二上·广东东莞·期中）若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则实数的取值范围是 ． 15．（25-26高三上·河北·月考）已知集合，若内有无穷个元素，则的取值范围是 . 题型六、两圆关系 （（共3小题）） 16．（25-26高二上·河北·期中）已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是 . 17．（2025·广东·模拟预测）已知圆与圆交于，两点，则公共弦长 ． 18．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知圆，圆是以圆上一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆交于两点，则当最大时，的大小为 ． 题型七、弦长与弦心距 （共3小题） 19．（25-26高二上·贵州遵义·月考）过点且斜率为的直线与圆：交于，两点，若，则 . 20．（25-26高二上·辽宁大连·期中）若直线与圆交于M，N两个点，O为坐标原点， ． 21．（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知圆：和直线交于，两点，定点，若，则的值 ． 题型八、与圆有关的定距离点（共3小题） 22．（25-26高三上·河南·月考）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．（25-26高二上·贵州遵义·期中）若圆上至少有3个点到直线的距离为3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型九、两圆公切线 （共3小题） 25．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 26．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 27．（24-25高三上·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型十、圆与四边形面积最值 （（共3小题）） 28．（2024·广东·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，若等腰直角的直角边为圆的一条弦，且圆心在外，点在圆外，则四边形的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 29．（2020·全国·模拟预测）已知直线：与圆：相交于不同两点，，位于直线异侧两点，都在圆上运动，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 30．（2024·山西吕梁·一模）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 题型十一、 阿圆 （共3小题） 31．（21-22高二上·山东潍坊·月考）已知两定点，，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．4 故选：B 32．（25-26高三上·河北邯郸·月考）在平面直角坐标系中，，点满足，则点到直线距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高二上·宁夏·月考）在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十二、圆过定点 （共3小题） 34．（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过定点（    ） A． B． C． D． 35．（12-13高三·广东·月考）已知动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（   ） A． B． C． D． 36．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（   ） A． B． C． D． 题型十三、圆轨迹 （（共3小题）） 37．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”．若椭圆方程为，则其蒙日圆方程为 ；点为椭圆上任意两个动点，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 38．（24-25高二上·四川南充·月考）若为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题.已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是 . 39．（21-22高三上·全国·月考）若椭圆上有两个动点，满足（为坐标原点），过点作，垂足的轨迹为圆，则称该圆为的内准圆.已知的内准圆方程为，则的离心率为 . 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 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因此，外接圆的方程是. 故选：B. 5．（24-25高二上·海南·月考）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的外接圆方程，将，，代入即可求解. 【详解】设的外接圆方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为. 故选：. 6．（24-25高三上·天津·期中）经过三点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得线段与的垂直平分线交点可得圆心，再求得半径即可. 【详解】由可知， 的中点坐标为，因此可知圆心在线段的垂直平分线上， 又可知，的中点坐标为， 所以的垂直平分线为，即； 联立，解得，因此圆心坐标为， 圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 故选：B 题型三、求圆方程3：三角形内切圆 （共3小题） 7．（19-20高三上·山东潍坊·期末）若直线与两坐标轴分别交于，两点， 为坐标原点，则的内切圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】结合三角形面积计算公式，建立等式，计算半径r，得到圆方程，即可． 【详解】设内切圆的半径为r，结合面积公式 则因而圆心坐标为，圆的方程为 【点睛】本道题考查了圆方程计算方法，难度较小． 8．（2016·重庆·一模）已知直线和直线分别与圆相交于和，则四边形的内切圆的面积为 ． 【答案】 【分析】由两直线方程，得出两直线垂直且交于点，结合圆的几何性质判断出四边形是边长为的正方形，其内切圆半径为，由此可求得答案. 【详解】联立 ，解得 ， 即直线和直线互相垂直且交于点， 而恰好是圆的圆心， 则AB,CD为圆的两条互相垂直的直径，且 , 所以，四边形是边长为的正方形， 因此其内切圆半径是，面积是， 故答案为:. 9．（21-22高二·全国·单元测试）已知三角形三边所在直线的方程分别为、和，则这个三角形的内切圆圆心是 ，半径为 ． 【答案】圆心；半径为. 【分析】由三角形所在位置设出其内切圆圆心坐标，利用三角形内切圆性质列方程，求解作答. 【详解】依题意，由得直线与的交点， 由得直线与的交点， 由得直线与的交点， 显然，且，即是等腰直角三角形，则直线平分， 设的内切圆圆心为，，则，解得， 即，半径， 所以这个三角形的内切圆圆心和半径分别为圆心，. 题型四、点与圆求参 （共3小题） 10．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）若点在圆外，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【分析】由点与圆位置关系结合圆的定义即可列不等式组求解. 【详解】因为点在圆（即）外， 所以. 所以实数k的取值范围为. 故答案为： 11．（21-22高二上·江苏盐城·期中）若点在圆外，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一般方程表示圆以及点在圆外可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由已知条件可得，解得. 故答案为：. 12．（19-20高二下·上海宝山·期中）若抛物线的焦点在圆外，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出抛物线的焦点F坐标为，由F在圆外，可得：，进而可得实数m的取值范围． 【详解】解：抛物线的焦点F坐标为， 若F在圆外，由，解得， 故答案为： 【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，点与圆的位置关系，属于基础题． 题型五、直线与圆（共3小题） 13．（25-26高三上·北京·月考）已知圆内有一点、经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由已知结合直线与圆相交的性质及直线垂直的斜率关系即可求解． 【详解】圆整理得， 即圆的圆心为点，半径为， 由题可知点 是弦的中点，则， 由题意得，， 则， 所以经过点的直线的方程为，即． 故答案为：． 14．（25-26高二上·广东东莞·期中）若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出圆的圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 由于圆上有且仅有两个点到直线的距离为， 则，即， 解得或． 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（25-26高三上·河北·月考）已知集合，若内有无穷个元素，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】确定集合与集合对应元素，根据集合的交集列不等式即可得的取值范围. 【详解】如图所示，注意到集合为图中的实心矩形，不包含左右两边，集合为圆周， 表示即圆心坐标为，半径为的圆或点， 当时显然题设不成立， 设圆心到直线的距离为，圆心与的距离为， 由题意知要使得内有无穷个元素，则圆必与矩形有无穷个公共点， 故应有， 易知，故由解得. 故答案为：. 题型六、两圆关系 （（共3小题）） 16．（25-26高二上·河北·期中）已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据两圆无公共点，可知两圆外离或者内含，根据圆心距和两圆半径的关系即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1，则， 因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或内含， 若外离：；若内含：， 综上：. 故答案为：. 17．（2025·广东·模拟预测）已知圆与圆交于，两点，则公共弦长 ． 【答案】 【分析】将两圆的方程进行相减，然后结合几何知识进行求解即可. 【详解】由题得，，，两方程相减得， ，则圆心到此直线距离为， 所以． 故答案为：. 18．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知圆，圆是以圆上一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆交于两点，则当最大时，的大小为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得圆必经过原点，圆与圆的相交弦刚好是圆的直径时，最大，进一步求解即可. 【详解】圆是以圆上一点为圆心， 所以圆必经过原点， 又因为圆经过原点， 所以圆与圆交于原点，设为． 当圆与圆的相交弦刚好是圆的直径时，最大， 此时，而， 所以．    故答案为：. 题型七、弦长与弦心距 （共3小题） 19．（25-26高二上·贵州遵义·月考）过点且斜率为的直线与圆：交于，两点，若，则 . 【答案】/ 【分析】设出直线的方程与圆的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】设直线的方程为， 则有， 显然点在：内部， 所以过点的直线与圆：一定交于两点， 设，则有， 因为， 所以， 于是有，或舍去， 故答案为：    20．（25-26高二上·辽宁大连·期中）若直线与圆交于M，N两个点，O为坐标原点， ． 【答案】 【分析】联立方程，结合韦达定理求出，根据向量坐标运算可得答案. 【详解】联立，可得，设， 则，， 所以. 故答案为： 21．（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知圆：和直线交于，两点，定点，若，则的值 ． 【答案】 【分析】设，根据，可得，联立方程，结合韦达定理即可求出参数. 【详解】由题知，设， 因为， 所以 ， 联立， 可得， 所以， 所以，. 故答案为： 题型八、与圆有关的定距离点（共3小题） 22．（25-26高三上·河南·月考）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆心到直线的的距离，要使圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则，求解即可. 【详解】由题意圆心为，则到直线的距离， 要使圆上到直线的距离为的点有且仅有2个， 则，则的取值范围是. 故选：C. 23．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先确定圆的圆心坐标与半径， 再求出圆心到直线的距离， 从而可得结论. 【详解】由，可得，所以圆心的坐标为，半径， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相交， 又，故圆上与直线的距离等于的点共有4个. 故选：D 24．（25-26高二上·贵州遵义·期中）若圆上至少有3个点到直线的距离为3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得圆心到直线的距离为，结合题意，得到，进而求得的取值范围，得到答案. 【详解】由圆，可化为， 则圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 要使得圆上至少有3个点到直线的距离为3，则满足， 即，可得，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 题型九、两圆公切线 （共3小题） 25．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 26．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算. 【详解】两圆的一条公切线的方程为 即过点， 不妨设两圆心，则， 则，， 则，故. 故选：D 27．（24-25高三上·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 题型十、圆与四边形面积最值 （（共3小题）） 28．（2024·广东·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，若等腰直角的直角边为圆的一条弦，且圆心在外，点在圆外，则四边形的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，表达出的面积，相加得到四边形的面积，利用辅助角公式求出最大值. 【详解】如图所示，设，则， 故， 由余弦定理得 ， 故等腰直角三角形的面积为， 故四边形的面积为， 其中，， 其中，故， 则当时，取得最大值，最大值为. 故选：A 29．（2020·全国·模拟预测）已知直线：与圆：相交于不同两点，，位于直线异侧两点，都在圆上运动，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出弦长的长度，然后结合圆与直线的位置关系，然后将的面积看成两个三角形和的面积之和，分析可得当为的垂直平分线时，四边形的面积最大． 【详解】圆：可以化为标准方程， 则其圆心为，半径， 则直线与圆心的距离， 故由勾股定理可得半弦长为， 所以. 又，两点位于直线异侧且都在圆上运动， 所以四边形的面积可以看作是和的面积之和， 则当为弦的垂直平分线（即为圆的直径）时，两三角形的面积之和最大， 即四边形的面积最大， 最大面积. 故选：A. 【点睛】方法点睛：解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用恰当的方法求解. 30．（2024·山西吕梁·一模）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】写出面积表达式，从而得到当与直线垂直时面积最小，代入数据计算即可. 【详解】由已知在以为直径的圆上， 所以， 又在圆上， 所以为圆的两条切线， 故 所以四边形面积， 圆的圆心坐标为，半径为， 所以， 所以， 而的最小值为点到直线的距离，此时与直线垂直，垂足为， 且点到直线的距离， 所以四边形面积的最小值为. 故选：B. 题型十一、 阿圆 （共3小题） 31．（21-22高二上·山东潍坊·月考）已知两定点，，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．4 【答案】B 【分析】根据方程，得到阿波罗尼斯圆的圆心的坐标及半径的值，再利用阿氏圆的常用公式，快速求出的值，即可得解. 【详解】设阿波罗尼斯圆的圆心为，半径为， 因为阿波罗尼斯圆方程为，所以. 因为，，所以， 代入阿氏圆的常用公式，可得，又，解得. 又由阿氏圆的常用公式，可得. 所以． 故选：B 32．（25-26高三上·河北邯郸·月考）在平面直角坐标系中，，点满足，则点到直线距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动点坐标，由题意建立方程，化简后得到动点轨迹为圆，写出圆心和半径.先求得圆心到直线的距离，即可得到动点到直线的距离的取值范围. 【详解】设，由题可得， 两边平方并化简得，故点在圆心为（8，4），半径为的圆上， 而圆心到直线的距离为， 故点到该直线的距离的取值范围为，即． 故选C． 33．（25-26高二上·宁夏·月考）在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可求得点轨迹方程为，再求方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可解. 【详解】设，由得：， 即， 化简可得：，即点轨迹方程为， 直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 点到直线距离最小值为. 故选：D 题型十二、圆过定点 （共3小题） 34．（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而得结果． 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 依题意圆心到直线的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，所以F在圆上． 故选：C． 35．（12-13高三·广东·月考）已知动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，根据抛物线的性质和圆的性质得出圆的半径为圆心到直线的距离，对于圆心到抛物线的焦点的距离，故抛物线的焦点在圆上． 【详解】解：抛物线的标准方程为， 抛物线的准线方程为，焦点为． 设动圆圆心为，则到的距离． 动圆与直线相切， 到直线的距离为动圆半径，即动圆半径为，即为圆上的点． 此圆恒过定点． 故选：A． 36．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按点的位置分不在坐标轴与在坐标轴上两种情况讨论，结合圆的标准方程，点在圆上，以及方程根的情况综合分析的值即可. 【详解】当点在第一象限时，圆，的方程为的形式， 代入点的坐标，可得关于的方程， 圆，的半径，是该方程的两个不同实根， 所以，同理，当点在第二、三、四象限时也可得． 当点在轴上时，， 此时圆，的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在点处相切， 且，满足． 同理，当点在轴上时，，同样满足． 故选：C. 【点睛】结论点睛：圆的标准方程为，其中圆心为，半径为. 题型十三、圆轨迹 （（共3小题）） 37．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”．若椭圆方程为，则其蒙日圆方程为 ；点为椭圆上任意两个动点，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据过椭圆四个顶点分别作椭圆的切线，可得圆的方程，根据直线与圆相离，可得，即可由离心率公式求解. 【详解】过的四个顶点分别作椭圆的切线，则得到交点， 故这四个点在圆上，故该圆的圆心为原点，半径为， 因此蒙日圆为： 由上知的蒙日圆方程为， 由于动点在直线上，且恒为锐角， 故在圆外，因此直线与圆相离， 故，解得， 故离心率为，故， 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：过椭圆的四个顶点的切线构成的矩形的外接圆即为蒙日圆,即可求解方程，根据恒为锐角，可得在圆外，因此直线与圆相离，根据点到直线的距离求解. 38．（24-25高二上·四川南充·月考）若为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题.已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】根据类比性质，可知动点的轨迹是过的终点且垂直的平面，动点的轨迹是以线段为直径的球，从而的最小值就是球心到平面的距离减去球的半径，再对距离与半径进行计算即可. 【详解】如图，由题，当与共线时，则，即，此时的点记作点，则， 所以动点的轨迹是过的终点且垂直的平面，动点的轨迹是以线段为直径的球， 的最小值就是球心到平面的距离减去球的半径. . ， . 故答案为：. 39．（21-22高三上·全国·月考）若椭圆上有两个动点，满足（为坐标原点），过点作，垂足的轨迹为圆，则称该圆为的内准圆.已知的内准圆方程为，则的离心率为 . 【答案】 【分析】讨论直线的斜率是否存在，存在时设出直线的方程，并与椭圆方程联立消元写韦达，根据求出，然后再求原点到直线的距离，即内准圆的半径，从而可求出椭圆的离心率. 【详解】当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立方程，化简整理得， 则， 所以， 由可知，即， 整理得. 又原点到直线的距离 ， 即， 由题意得，解得，. 当直线的斜率不存在时，由得，所以， 解得. 故答案为：. 结束 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $