数列的概念与性质 期末复习专题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义通过知识框架图系统构建数列单元的知识体系，从定义、通项公式、递推公式到前n项和公式层层递进，结合单调性、周期性、最值等性质形成完整脉络，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于典例分类的针对性设计，如“由前几项写通项公式”“递推公式求通项”等题型，培养学生用数学眼光观察规律、用数学思维推理逻辑。基础题与综合题结合，帮助不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准复习教学，提升学生解决数列问题的能力。

数列的概念与性质 一．重点知识点梳理 1.数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列；数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列 的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示，其中第1项也叫做首项。 2．数列的通项公式 如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这 个数列的通项公式。 3.数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 4．数列的前n项和 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++. 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式. =. 5．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有>，那么称数列{}为递增数列；如果对所有的，都有< ，那么称数列{}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有= (k为正整数)，那么称{}是以k为周期的周期数列. (3)最值 ①把看成函数，研究函数的最值 ② 利用基本不等式求解 ③最小⇔；最大⇔； 二．典例分类分析 （一）．给出数列的前几项写出一个通项公式 1．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数． （1） ，，，； （2） ，，，，…； （3）2，0，2，0，… （4）6，66，666，6666． （5），，，…． 【答案】(1)；(2)；(3) ；(4). （5） ． 【详解】 （1）4个项都是分数，它们的分子依次为，分母是正奇数，依次为， 所以给定4项都满足的一个通项公式为. （2）4个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为，分母比对应分子多1， 所以给定4项都满足的一个通项公式为. （3）4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为. 也可以先写出,…的一个通项公式为，从而可求2，0，2，0，…的一个通项公式为 （4）4个项，所有项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致， 依次可写为， 所以给定4项都满足的一个通项公式为. （5）所给数列可写成，，，…， 所以原数列的一个通项公式为． （二）．数列前n项和与数列通项的关系 1.设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n2-30n+1，求an 【详解】 当时，， 当时，， 当时，不满足上式， 所以 2．已知数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】由题化简可得，当时，求出，当时，由，可求出，再验证是否满足，即可求出数列的通项公式. 【详解】因为，所以，即． 当时，， 当时，， 显然不满足上式. 所以． 故答案为：. 3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-8n，第k项满足4<ak<7，则k=　　　　.  【详解】a1=S1=-7，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-8n-(n-1)2+8(n-1)=2n-9， 由4<ak<7得4<2k-9<7，得<k<8，因为k为正整数，所以k=7. 答案:7 4.已知数列{an}满足，则求数列{an}的通项公式． 【详解】①， 当时， ②， 则①－②得， 故． 当时，，也符合. 故 （三）．根据数列的递推公式求数列的项、通项公式 1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设数列1，3，6，10，15，…为，根据数列中项的关系，由数学归纳法可得，由此即可得到结果. 【详解】设数列1，3，6，10，15，…为， 所以， ， 所以. 故选：B. 2．数列中，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用累加法可求得，代入即可求得结果. 【详解】由得：， 则，，…，， 各式作和可得：，又，， . 故选：B. 3．已知 ， 则 （    ） A．506 B．1011 C．2022 D．4044 【答案】D 【分析】根据累乘法得，再根据通项公式求解即可. 【详解】解：， ， ，， ，， 显然，当时，满足， ∴， . 故选：D. 4．已知斐波那契数列满足：，，，若，则k=(     ) A．2020 B．2021 C．59 D．60 【答案】D 【详解】由，得 ，因此k=60, 故选：D 5．根据下列条件，写出各数列的前4项，并归纳猜想数列的通项公式． (1)，（，）； (2)，（，）； (3)，，（，）． 【答案】(1)，，，，猜想; (2)，，，，猜想； (3)，，，，猜想. 【分析】分别由已知数列递推式求出数列的前4项，然后归纳猜测可得所求数列的通项公式． (1) 解： 归纳猜想. (2) 解： 归纳猜想. (3) 解：，，， 归纳猜想. （四）．数列的单调性 1．已知数列的通项公式是，则（    ） A．不是单调数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是常数列 【答案】C 【分析】由与0比较即可得出答案. 【详解】因为， 所以是递增数列. 故选：C. 2.数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 答案：A.【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立， 即对任意恒成立，故， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A. 3．已知数列的通项公式为，若是严格增数列，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合数列单调性列式求解. 【详解】由题意可得，解得 故选：D. 4．已知数列是一个递增数列，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，则，由于数列是一个递增数列，， ，或或. ①当时，则，不合乎题意，舍去； ②当时，则，，， 由于数列是一个递增数列，所以，，由于，因此，； ③当时，，则，不合乎题意. 综上所述：，故选B. 5．已知函数，设数列的通项公式为，其中. (1)求的值； (2)求证：； (3)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)递增数列，证明见解析. 【详解】 (1)由题得，所以. (2)由题意得，因为为正整数，所以，所以. (3)由题得是递增数列， 证明：，所以是递增数列. 6．已知数列中，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，若对任意的，数列是单调递减数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】 (1)依题意，故，从而，， 故，， 当时，上式也符合， 所以. (2) 由（1）知，， 若对任意的，数列是单调递减数列， 则对任意的恒成立， 即， 又， 因为函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以由对勾函数的性质可知， 当或时，取得最小值6， 即取得最大值，故实数的取值范围为. （五）.数列周期性 1．已知数列满足，若，则（    ） A．-1 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由，且，得到所以数列是以3为周期的周期数列求解. 【详解】解：因为数列满足，且， 所以， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以， 故选：A 2．数列满足，则数列的前2026项的乘积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据递推公式求得数列的周期，结合数列的周期即可求得结果. 【详解】根据题意可得， 故该数列是以为周期的数列，且， 故数列的前2026项的乘积为. 故选：C. 3．已知数列对任意的，都有，且，当时，______. 【答案】4 【分析】通过计算发现数列从第三项起为周期数列，则得到，计算出即可. 【详解】根据题意知 是偶数， 是偶数， 是偶数， 是偶数， 是奇数， 是偶数， 是偶数， 是奇数， 从第三项开始，正整数数列是以3为周期的周期数列， ， ， 故答案为：4. (六).数列最值 1．若，则数列的最大项是第______项． 【答案】7 【分析】，对应的二次函数为，对称轴为，找到离对称轴最近的整数即可． 【详解】，其对应的二次函数为， 对称轴为，但为正整数，所以离最近的整数为7， 所以在第7项取最大值． 故答案为：7. 2．已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的值为_____． 【答案】 【分析】解法一或解法二：分析数列的单调性，即可求得数列中的最大项. 【详解】解法一：（作差比较法）：， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即． 所以，， 所以数列中的最大项为或，且； 解法二（作商比较法）：， 令，解得；令，解得；令，解得． 又，故，， 所以数列中的最大项为或，且． 3．已知数列的通项公式为， (1)依次写出数列的前项； (2)研究数列的单调性，并求数列的最大项和最小项． 【答案】(1)，，，，； (2)答案见解析. 【分析】（1）分别将代入通项公式即可； （2）由可知当时，；当时，，并可得到在每一段上的单调性，由此可确定最值. (1) 由题意得：，，，，. (2) ， 当时，且递增；当时，且递增； ；. 4．已知数列满足 (1)求an. (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将当时，和两式作差即可求出结果，注意检验时是否成立； （2）证得数列的单调性，从而结合不等式恒成立即可求出结果. （1） 当时，；当时， 又， 上述两式作差可得，即，不满足，所以； （2） 当时，，即， 所以，数列从第二项开始为递增数列，对任意的，恒成立. ①若为正奇数，则，，则，可得； ②若为正偶数，则，可得. 综上所述， ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列的概念与性质 一．重点知识点梳理 1.数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列；数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列 的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示，其中第1项也叫做首项。 2．数列的通项公式 如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这 个数列的通项公式。 3.数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 4．数列的前n项和 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++. 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式. =. 5．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有>，那么称数列{}为递增数列；如果对所有的，都有< ，那么称数列{}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有= (k为正整数)，那么称{}是以k为周期的周期数列. (3)最值 ①把看成函数，研究函数的最值 ② 利用基本不等式求解 ③最小⇔；最大⇔； 二．典例分类分析 （一）．给出数列的前几项写出一个通项公式 1．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数． （1） ，，，； （2） ，，，，…； （3）2，0，2，0，… （4）6，66，666，6666． （5），，，…． （二）．数列前n项和与数列通项的关系 1.设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n2-30n+1，求an 2．已知数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式． 3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-8n，第k项满足4<ak<7，则k=　　　　.  4.已知数列{an}满足，则求数列{an}的通项公式． （三）．根据数列的递推公式求数列的项、通项公式 1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是（    ） A． B． C． D． 2．数列中，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知 ， 则 （    ） A．506 B．1011 C．2022 D．4044 4．已知斐波那契数列满足：，，，若，则k=(     ) A．2020 B．2021 C．59 D．60 5．根据下列条件，写出各数列的前4项，并归纳猜想数列的通项公式． (1)，（，）； (2)，（，）； (3)，，（，）． （四）．数列的单调性 1．已知数列的通项公式是，则（    ） A．不是单调数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是常数列 2.数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 3．已知数列的通项公式为，若是严格增数列，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 4．已知数列是一个递增数列，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，设数列的通项公式为，其中. (1)求的值； (2)求证：； (3)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由. 6．已知数列中，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，若对任意的，数列是单调递减数列，求实数的取值范围. （五）.数列周期性 1．已知数列满足，若，则（    ） A．-1 B． C．1 D．2 2．数列满足，则数列的前2026项的乘积为（    ） A． B． C． D．1 3．已知数列对任意的，都有，且，当时，______. (六).数列最值 1．若，则数列的最大项是第______项． 2．已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的值为_____． 3．已知数列的通项公式为， (1)依次写出数列的前项； (2)研究数列的单调性，并求数列的最大项和最小项． 4．已知数列满足 (1)求an. (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围； ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $