专题5.5 一元一次方程的应用（知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年浙教版数学七年级上册同步培优讲练

本讲义聚焦一元一次方程的应用，系统梳理列方程解应用题的步骤及常见问题中的等量关系，通过配套、工程、行程等15个考点构建从基础到综合的应用体系，为学生提供清晰的学习支架。 资料以数学眼光抽象现实问题中的数量关系，通过典例与变式训练培养数学思维，分层练习（基础夯实、培优拔高）及中考真题强化模型意识与应用能力，如行程问题结合生活情境，助力教师高效教学与学生查漏补缺。

专题5.5 一元一次方程的应用 （知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的步骤： 2 知识点梳理02：常见问题中的等量关系 2 优选题型 考点讲练 4 考点1：配套问题(一元一次方程的应用) 4 考点2：工程问题(一元一次方程的应用) 5 考点3：销售盈亏(一元一次方程的应用) 5 考点4：比赛积分(一元一次方程的应用) 6 考点5：方案选择(一元一次方程的应用) 7 考点6：数字问题(一元一次方程的应用) 8 考点7：几何问题(一元一次方程的应用) 9 考点8：动点问题(一元一次方程的应用) 9 考点9：和差倍分问题(一元一次方程的应用) 10 考点10：电费和水费问题(一元-次方程的应用) 11 考点11：行程问题(一元一次方程的应用) 12 考点12：比例分配(一元一次方程的应用) 12 考点13：日历问题(一元一次方程的应用) 13 考点14：古代问题(一元一次方程的应用) 14 考点15：其他问题(一元一次方程的应用) 14 中考真题 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 17 基础夯实 17 培优拔高 19 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的步骤： ①审：理解题意，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系． ②设：设出未知数（直接设未知数或间接设未知数）． ③列：根据题目中的等量关系列出需要的代数式，进而列出方程． ④解：解所列出的方程，求出未知数的值． ⑤答：检验所求解是否符合题意，写出答案． 知识点梳理02：常见问题中的等量关系 ①和差倍分问题： 和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几． （1）当较大量是较小量的几倍多几时，； （2）当较大量是较小量的几倍少几时，． ②数字问题： （1）多位数字的表示方法： 一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，（其中a、b均为整数，，）则这个两位数可以表示为． 一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（其中均为整数，且，，）则这个三位数表示为：． （2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k，奇数可表示为（其中k表示整数）． （3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为． ③年龄问题： “年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键. ④日历问题： （1）在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7． （2）日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值是24，最大值是72，且这个和一定是3的倍数． （3）一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的． ⑤行程问题： 基本关系：路程=速度×时间 相遇路程=速度和×相遇时间 追及路程=速度差×追及时间 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程 （2）直线形追及问题：快者走的路程=慢者走的路程+两人初始路程差 快者走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=环形周长/二者速度和；第n次相遇时，二者合走了n圈. （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走了1圈；追及所用时间=环形周长/二者速度差；第n次相遇时，快者比慢者多走了n圈. ⑥工程问题： （1）基本相等关系：工作量=工作效率×工作时间； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1; （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和. ⑦商品销售问题： 在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系： 利润=售价－进价 利润=进价×利润率 实际售价=标价×打折率 ⑧配套问题： “配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；（3）不同零件的配套比．（利用（1）（3）得到等量关系，构造方程） 一般地说，（2）、（3）两个数据可以预先给定．例如，在给出（2）、（3）两组数据的基础上，如何确定车间工人人数，使问题有整数解． ⑨积分问题： 比赛场数=胜的场数+平的场数+负的场数，比赛分数=胜场得分+平场得分负场扣分． ⑩利息问题： （1）本金×利率×期数=利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数） （2）本金+利息=本息和；本息和=本金×（1+利率×期数） ⑪方案决策问题： 在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方案． ⑫分段计费问题： 常见类型：为鼓励节约用水、用电、用气,水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等，解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：各段费用之和=总费用；每一段的计费标准不同. 考点1：配套问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·广东汕头·月考）一条生产线上有台机器，已知一台机器一天可以生产支笔套或支笔芯，如果一支笔套需要支笔芯配成一套，学校准备批发套奖励学生． (1)若生产线每天生产的笔芯和笔套恰好配套，应分别安排多少台机器制作笔芯和笔套？ (2)已知一支笔芯元，一支笔套元，学校一共需要准备多少钱？ 【变式训练】（23-24七年级上·山东济宁·期末）某工厂有22个工人，每人每天可以生产2000个螺母或者可以生产1200个螺钉，已经知道螺钉和螺母的配比为，为了使得生产的螺母和螺钉正好配套，假设有名工人生产螺钉，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 考点2：工程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·广东梅州·月考）铺植一块草坪，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先铺植5小时，再增加2人和他们一起铺植3小时，完成这项铺植工作的，假设每个人的工作效率相同． (1)求先安排了多少人铺植草坪． (2)所有人一起完成这项铺植工作剩余的，还需要多少小时？ 【变式训练】（25-26七年级上·江苏连云港·月考）一项工程由甲工程队单独做完需要12天，由乙工程队单独做完需要24天．现由甲工程队先做3天，然后甲、乙工程队合作完成剩余的工程，则乙工程队做了 天． 考点3：销售盈亏(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆万州·期中）十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销，两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，10月份，两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售，两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份，两种品牌的空气净化器各售出多少个？ (2)根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌个．"双十一"超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与无关，则的值应该为多少？ 【变式训练】（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）某水果店以5元的价格购进了一批玉屏黄桃，由于销售情况良好，该店又以4.5元的价格再次购进一批玉屏黄桃，该水果店两次共购进玉屏黄桃，共用去2800元． (1)求该水果店两次分别购进了多少千克玉屏黄桃？ (2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但该水果店仍以相同的价格售出，且在销售过程中支出其他费用共350元．若该水果店售完这些玉屏黄桃后共获得1650元的利润，则该水果店每千克玉屏黄桃的售价是多少元？ 考点4：比赛积分(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·江西南昌·月考）受到“赣超”影响，某校开展了“校园足球联赛”运动，鼓励同学们在课余时间参与足球竞技，感受团队协作与足球运动的魅力．李华同学课后游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息如下表： 球队名称 场次/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 光明 6 5 1 0 16 蓝天 6 6 0 0 18 雄鹰 6 3 2 1 11 (1)本次比赛中，胜一场积___________分，平一场积___________分，负一场积___________分； (2)参加此次比赛的钢铁队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分．请你求出钢铁队的胜场数． 【变式训练】（25-26七年级上·广东汕头·月考）某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)观察、分析、推理表格数据，参赛者答对1道题得 分，答错1道题得 分； (2)参赛者F得76分，他答对了几道题？ (3)参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 考点5：方案选择(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南长沙·月考）已知某超市酸奶的定价为20元/箱，玻璃杯的定价为5元/个，该超市推出了两种优惠促销方案，如下表所示．现某顾客需要购买40箱酸奶和个玻璃杯． 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 (1)若该顾客按方案一购买，共需花费______元；若该顾客按方案二购买，共需花费______元；（用含的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时按哪种方案购买更省钱； (3)当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？并且请你根据购买玻璃杯数量的情况，为该顾客设计更加优惠的购买方案． 【变式训练】（25-26七年级上·四川成都·期中）某饮水机厂生产一种饮水机和饮水机桶，饮水机每台定价250元，饮水机桶每个定价50元，厂家开展促销活动期间，可以同时向客户提供两种优惠方案，方案一：买一台饮水机送一个饮水机桶；方案二：饮水机和饮水机桶都按定价的付款，现某客户到该饮水机厂购买饮水机20台，饮水机桶x个（超过） (1)若该客户按方案一购买，饮水机需付款______元，饮水机桶需付款______元，共需付款______元；若该客户按方案二购买，需付款______元（后三空均用含x的式子表示） (2)当时，请你选出上述两种方案中更为省钱的购买方案，并说明理由． (3)若两种优惠方案可以同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算出所需的钱数． 考点6：数字问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，若关于x的方程的解是，则称这个三位数是方程的“协调数”，称方程是这个三位数的“协调方程”．如：三位数200，因为方程的解是，所以200就是方程的协调数，方程就是200的协调方程．请根据上述材料，解决下列问题：请判断263是否是某个方程的协调数，方程是否是某个三位数的协调方程，并说明理由． 【变式训练】（25-26七年级上·吉林松原·月考）规定，当时，试求的值． 考点7：几何问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林长春·期中）两个完全相同的长方形、，如图所示放置在数轴上．    (1)长方形的面积是________平方单位； (2)若点P在数轴上，且，求点P在数轴上表示的数； (3)若长方形、分别以每秒1个单位长度、2个单位长度的速度在数轴上向左匀速移动．设移动时间为t秒，当重叠部分的面积为长方形面积的一半时，直接写出t的值． 【变式训练】（25-26七年级上·河南新乡·月考）如图，数轴上点A和点B表示的数分别是和3，数轴上另一点P到A，B两点的距离之和为2026，则点P表示的数是 ． 考点8：动点问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）若点，在数轴上分别表示有理数，，则、两点之间的距离可以表示为．例如，在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为．已知有理数，，在数轴上对应的点分别为，，，且满足． (1)填空： _________， _________， _________． (2)若点在数轴上表示有理数，当，两点之间的距离是，两点之间距离的倍时，求的值． (3)若点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为，判断的值与是否有关？并说明理由． 【变式训练】（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的k倍（k为正整数），则称C点是A，B两个点的“整k距点”，记为：．已知点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是10． (1)若，且点C在数轴上对应的数是7，则______； (2)点M从出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动至点B，设运动的时间为t秒，若，求出t的值； (3)点M从出发，以每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N从2出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若，求出t的值． 考点9：和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·山西大同·月考）山西是我国矿产资源极为丰富的省份之一，素有“煤铝铁之乡”的美誉．某炼钢厂使用甲、乙两种铁矿石提炼钢铁．已知每吨甲种铁矿石提炼出铁的质量比每吨乙种铁矿石提炼出铁的质量多，从甲种铁矿石中提炼出铁的质量与从乙种铁矿石中提炼出铁的质量相同，求甲、乙两种铁矿石每吨各能提炼出铁多少吨． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）某体育器材店在双“11”开展篮球促销活动，促销办法如下：每个篮球标价25元，若购买超过10个，享受八折优惠．在活动期间某中学的七（1）、（2）班到该店购买篮球，已知七（1）班比七（2）班多买2个篮球，付款时七（1）班反而比七（2）班少付5元．设七（2）班买x个篮球，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 考点10：电费和水费问题(一元-次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆开州·月考）为了鼓励市民节约用水，我区居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是我区“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 居民用水水费收取标准 每户每月用水量 单价：元吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 (1)已知小李家年7月用水吨，应缴水费______元． (2)如果小李家月份用水吨，则小李家这个月应缴水费多少元（用含的式子表示）？ (3)小李家月份忘记去交水费，当他月去交水费时发现两个月一共用水吨（其中月份用水超过吨），一共交水费元，求小李家月份用水多少吨？ 【变式训练】（25-26七年级上·四川成都·月考）2024年，成都全市新增注册登记新能源汽车10万辆以上，新增充电桩不低于4万个，某充电桩收费标准如下：充电时长小时（含4小时）每小时收费3元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费2元． (1)若小石在该充电桩充电小时，需支付费用多少元？ (2)若小石在该充电桩充电x（）小时，需支付费用________元（用含有x的代数式表示）． (3)小石每周在该充电桩充电一次，某月，小石第一周和第二周在该充电桩共充电10小时（第一周充电时长超过6小时），共支付充电费用27元，则小石第一周和第二周各充电多少小时？ 考点11：行程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·广东佛山·月考）列方程解应用题：A、B两站间的距离为，一列慢车从A站开往B站，每小时行驶，慢车行驶1小时后，另有一列快车从B站开往A站，每小时行驶，求快车行驶了几小时后与慢车相遇？ 【变式训练】（25-26七年级上·山东滨州·期中）如图数轴上有、两点，分别表示的数为和，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点以每秒个单位长度向左匀速运动．设运动时间为秒（）． (1)运动开始前，、两点的距离为 ； (2)它们按上述方式运动，秒后点表示的数为 ；点所表示的数为 ；（用含的式子表示） (3)它们按上述方式运动至两点相遇，则相遇点所表示的数是什么？ (4)若点以每秒个单位长度向右匀速运动．当、两点相距个单位长度时，求、两点运动了多长时间？ 考点12：比例分配(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）某农户为消灭棉田中的害虫，需配制一种药水．已知这种药水中药液与水的质量比为．配制这种药水，需要多少千克的这种药液？ 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙、丙三人做的零件个数比为．现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了 个零件． 考点13：日历问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，在2025年11月的日历表中用“”框出5个数（如框选部分所示），则这5个数的和有可能是（    ） A．30 B．52 C．75 D．90 【变式训练】（25-26七年级上·湖北武汉·月考）如图是某年11月的月历，“T”型、“田”型两个阴影图形分别覆盖其中四个方格（可以重叠覆盖），设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，四个数字之和为，“田”型阴影覆盖的最小数字为b，四个数字之和为． (1)的值能否为75？若能，求a的值；若不能，说明理由； (2)值能否为47？若能，求a，b的值；若不能，说明理由； (3)若，求的最大值为 （直接写结果） 考点14：古代问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）幻方是非常古老的数学问题，其要求将9个数分别填入图中9个格中，使得处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数字之和都相等．请你将数字，，，，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，那么“♥”所在的格中应填的数字是 ． 1 3 0 ♥ 【变式训练】（25-26七年级上·重庆南川·期中）《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5枚钱，则差45枚钱；每人出7枚钱，则差3枚钱．求人数和羊价各是多少？下列选项正确的是（   ） A．20人，羊价120枚钱 B．21人，羊价150枚钱 C．22人，羊价140枚钱 D．24人，羊价160枚钱 考点15：其他问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）为迎接新年的到来，A，B两家公司都打算购买一些彩灯和射灯来装饰新年晚会的会场．已知彩灯的售价为8元/个，射灯的售价为12元/个． (1)若A公司购买了彩灯和射灯共50个，花费540元，则A公司买了彩灯和射灯各多少个？ (2)B公司去购买时正逢商家让利促销，彩灯价格降低了，射灯在原价基础上打八折出售，B公司购买了彩灯50个，射灯30个，共花费608元，请求出m的值． 【变式训练】（25-26七年级上·河北沧州·期中）对于一个有理数，定义其伙伴为，如：的伙伴为，即的伙伴是；的伙伴为，即的伙伴是；的伙伴为，……，如此继续下去，一个数的伙伴的伙伴……，构成这个数的伙伴群落． (1)已知是的伙伴，则，那么___________；(用含的式子表示) (2)如果一个数的伙伴群落只有一个数，则这个数是___________； (3)若，，是伙伴群落中连续的三个数(即是的伙伴，是的伙伴)，用含的代数式表示； (4)在（3）的条件下，你认为是一个常数吗？如果是，请你求出这个常数，如果不是，请说明理由． 1．（2024·重庆·中考真题）某工程甲单独做12天可以完成，乙单独做18天可以完成．现在两人合作，但途中乙因事离开了几天，最后一共花了8天把这项工程做完，则乙中途离开了 天． 2．（2024·江苏镇江·中考真题）以下是两张火车票（“次”表示动车，“次”表示高铁），票上只显示了部分信息，已知该动车和高铁的平均速度分别为，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，若两车相距，则所在的时刻为 ． A地售A地B地   02车12号 2024年1月13日    ￥360元 限乘当日当次车 A地售A地B地   03车13号 2024年1月13日    ￥560元 限乘当日当次车 3．（2024·广西崇左·中考真题）甲上午6时步行从A地出发于下午5时到达B地，乙上午10时骑自行车从A地出发于下午3时到达B地，则乙追上甲的时间为（    ） A．12时20分 B．13时20分 C．14时20分 D．11时20分 4．（2024·山东日照·中考真题）一艘轮船在甲、乙两地之间航行，已知水流的速度是5千米/小时，顺水航行需要5小时，逆水航行需要6小时，则甲、乙两地间的距离是（    ） A．240千米 B．260千米 C．280千米 D．300千米 5．（2024·陕西咸阳·中考真题）如图（1），已知数轴上A，B两点分别表示有理数a，b，其中a，b满足． (1)若点是的中点，数轴上点表示有理数，请直接写出a，b，c所表示的数； (2)若动点C从点A出发，沿着射线方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，当动点运动多少秒时，满足？ (3)如图（2），在（1）的条件下，现有两动点P，Q在数轴上同时开始运动，其中点P从点B出发沿射线匀速运动，到达点A后立即返回沿射线匀速运动，速度为每秒5个单位长度，点Q从点C出发沿射线匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点是线段的中点，当时，直接写出运动时间的值． 基础夯实 1．（25-26七年级上·广东·月考）文化情境·数学文化中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）把一根木料锯成段要分钟，以同样的速度锯成段要分钟，正确的列式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山西大同·月考）平定紫砂壶历史悠久，曾与宜兴紫砂齐名，有“南宜兴北平定”的美誉，某生产商生产的某款平定紫砂茶具，每套茶具中把茶壶配只茶杯，用kg黏土可制作把茶壶或只茶杯，现在要用kg黏土制作茶具．若设用黏土制作茶杯，为使得茶壶与茶杯刚好配套，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河南安阳·期中）某学校七年级（1）班共有学生57人，其中男生人数比女生人数的多3，这个班女生有多少人？设这个班女生x人，可列方程为 ． 5．（25-26七年级上·山西大同·月考）年全国“敬老月”活动于月日至日开展，此次活动的主题为“弘扬孝亲敬老美德共建老年友好社会”．某校学生为敬老院的老人们表演了《花样跳绳》节目，已知甲种跳绳每根元，乙种跳绳每根元，用元购买这两种跳绳共根，求两种跳绳各买了几根．若设甲种跳绳买了根，则可列方程为 ． 6．（25-26七年级上·广东梅州·月考）小天使幼儿园的老师给某个小组的小朋友分苹果，若每人3个还少3个，每人2个又多2个，则该小组共有 个小朋友． 7．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走80米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．设速度快的人用x分钟追上速度慢的人，则可列方程 ． 8．（25-26七年级上·重庆开州·月考）现有一道路改造修复工程，甲工程队单独完成需要18天，乙工程队单独完成需要12天．甲队单独施工3天后接到通知要缩短工期，剩余的部分由甲、乙两工程队合作完成． (1)甲、乙两工程队还需合作多少天才能完成？（用方程解决） (2)若甲队每天的工资为1000元，乙队每天的工资为1500元，问完成这项工程需支付两队工资一共多少钱？ 9．（25-26七年级上·陕西西安·月考）为全面落实“以劳促教，以德育人”的要求，培养学生的实践创新能力，我校成功举办了科技节．在活动中，为方便作品展览并增强现场互动，需要用的智能围栏（可以自由调节长和宽）围成一个长方形活动区域，已知宽比长短，求该区域的面积． 10． （24-25七年级上·吉林·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”请你用方程求庭前孩童人数和梨的数量． 培优拔高 11．（25-26七年级上·重庆开州·月考）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出六，盈四；人出五，不足三．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出6钱，多出4钱；每人出5钱，还差3钱．问：人数、物价各是多少？若设人数是x人，根据题意列一元一次方程，正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·陕西西安·月考）某旅行团出发旅游，为方便拍照记录，决定租无人机拍摄．若每三人租一架，商店剩2架；若每两人租一架，最终剩余9人没有无人机可拍摄，若设有架无人机，则可列方程（   ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级上·江苏南通·期中）数轴上三个点分别表示数，点在原点两侧且到原点的距离相等，设点之间的距离为，点之间的距离为，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 14．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）一个梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长8厘米，就成了一个平行四边形，这个梯形的上底是 厘米． 15．（24-25七年级下·云南普洱·期末）洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示，图3是一个不完整的幻方．根据幻方的规则，图3中的值为 ． 16．（25-26七年级上·河北沧州·期中）大于的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：，…，则 ；若“分裂”后，其中有一个奇数是，则的值是 ． 17．（25-26七年级上·天津·月考）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要使在21天中所生产的零件全部配套，那么应该安排 天生产甲种零件． 18．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知在数轴上所表示的数分别为，且． (1)___________，___________； (2)①有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为___________个单位长度； ②如图所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，直接写出此时点所表示的数． (3)在（）的条件下，当火车以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点和点从出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 19．（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上线段，点A在数轴上表示的数是a，点C在数轴上表示的数是c，．若线段AB以6个单位/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时，？ (2)当运动到时，点B在数轴上表示的数是． (3)当，B点运动到线段上时，P是线段上一点，是否存在关系式？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 20．（25-26七年级上·河南周口·期中）如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为，点B表示的数为14，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)当时， ，此时点P表示的数为 ； (2)当时，求t的值； (3)若动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点P、Q同时出发，经过多少秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5 一元一次方程的应用 （知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的步骤： 2 知识点梳理02：常见问题中的等量关系 2 优选题型 考点讲练 4 考点1：配套问题(一元一次方程的应用) 4 考点2：工程问题(一元一次方程的应用) 6 考点3：销售盈亏(一元一次方程的应用) 7 考点4：比赛积分(一元一次方程的应用) 9 考点5：方案选择(一元一次方程的应用) 11 考点6：数字问题(一元一次方程的应用) 13 考点7：几何问题(一元一次方程的应用) 14 考点8：动点问题(一元一次方程的应用) 16 考点9：和差倍分问题(一元一次方程的应用) 18 考点10：电费和水费问题(一元-次方程的应用) 20 考点11：行程问题(一元一次方程的应用) 22 考点12：比例分配(一元一次方程的应用) 24 考点13：日历问题(一元一次方程的应用) 25 考点14：古代问题(一元一次方程的应用) 27 考点15：其他问题(一元一次方程的应用) 28 中考真题 实战演练 30 难度分层 拔尖冲刺 34 基础夯实 34 培优拔高 38 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的步骤： ①审：理解题意，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系． ②设：设出未知数（直接设未知数或间接设未知数）． ③列：根据题目中的等量关系列出需要的代数式，进而列出方程． ④解：解所列出的方程，求出未知数的值． ⑤答：检验所求解是否符合题意，写出答案． 知识点梳理02：常见问题中的等量关系 ①和差倍分问题： 和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几． （1）当较大量是较小量的几倍多几时，； （2）当较大量是较小量的几倍少几时，． ②数字问题： （1）多位数字的表示方法： 一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，（其中a、b均为整数，，）则这个两位数可以表示为． 一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（其中均为整数，且，，）则这个三位数表示为：． （2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k，奇数可表示为（其中k表示整数）． （3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为． ③年龄问题： “年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键. ④日历问题： （1）在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7． （2）日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值是24，最大值是72，且这个和一定是3的倍数． （3）一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的． ⑤行程问题： 基本关系：路程=速度×时间 相遇路程=速度和×相遇时间 追及路程=速度差×追及时间 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程 （2）直线形追及问题：快者走的路程=慢者走的路程+两人初始路程差 快者走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=环形周长/二者速度和；第n次相遇时，二者合走了n圈. （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走了1圈；追及所用时间=环形周长/二者速度差；第n次相遇时，快者比慢者多走了n圈. ⑥工程问题： （1）基本相等关系：工作量=工作效率×工作时间； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1; （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和. ⑦商品销售问题： 在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系： 利润=售价－进价 利润=进价×利润率 实际售价=标价×打折率 ⑧配套问题： “配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；（3）不同零件的配套比．（利用（1）（3）得到等量关系，构造方程） 一般地说，（2）、（3）两个数据可以预先给定．例如，在给出（2）、（3）两组数据的基础上，如何确定车间工人人数，使问题有整数解． ⑨积分问题： 比赛场数=胜的场数+平的场数+负的场数，比赛分数=胜场得分+平场得分负场扣分． ⑩利息问题： （1）本金×利率×期数=利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数） （2）本金+利息=本息和；本息和=本金×（1+利率×期数） ⑪方案决策问题： 在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方案． ⑫分段计费问题： 常见类型：为鼓励节约用水、用电、用气,水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等，解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：各段费用之和=总费用；每一段的计费标准不同. 考点1：配套问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·广东汕头·月考）一条生产线上有台机器，已知一台机器一天可以生产支笔套或支笔芯，如果一支笔套需要支笔芯配成一套，学校准备批发套奖励学生． (1)若生产线每天生产的笔芯和笔套恰好配套，应分别安排多少台机器制作笔芯和笔套？ (2)已知一支笔芯元，一支笔套元，学校一共需要准备多少钱？ 【答案】(1)应安排台机器制作笔套，台机器制作笔芯 (2)学校一共需要准备元 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用； （1）设安排台机器制作笔套，则安排台机器制作笔芯，根据题意建立方程，解方程，即可求解． （2）直接计算套所需的笔套和笔芯数量，再根据单价求总成本，即可求解． 【规范解答】（1）解：设安排台机器制作笔套，则安排台机器制作笔芯， 每台机器制作笔套每天生产支，总笔套产量为支， 每台机器制作笔芯每天生产支，总笔芯产量为支， 由于一支笔套需要支笔芯配套，故笔芯产量应为笔套产量的倍， ， 解得： ， 答：应安排台机器制作笔套，台机器制作笔芯； （2）学校需要套，每套包括支笔套和支笔芯， 需要笔套支，笔芯支， 笔套单价元，笔芯单价元， 总成本元， 答：学校一共需要准备元． 【变式训练】（23-24七年级上·山东济宁·期末）某工厂有22个工人，每人每天可以生产2000个螺母或者可以生产1200个螺钉，已经知道螺钉和螺母的配比为，为了使得生产的螺母和螺钉正好配套，假设有名工人生产螺钉，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查配套问题，关键是根据配比关系正确列出方程； 根据螺钉和螺母的配比为，螺母数量应为螺钉数量的2倍．设生产螺钉的工人数为，则生产螺母的工人数为．分别表示螺钉和螺母的总产量，再根据配套关系列出方程． 【规范解答】解：∵ 生产螺钉的工人数为，每人每天生产1200个螺钉， ∴ 螺钉总产量为个． ∵ 生产螺母的工人数为，每人每天生产2000个螺母， ∴ 螺母总产量为个． 又∵ 螺钉和螺母的配比为，即螺母数量是螺钉数量的2倍， ∴． 故选：C． 考点2：工程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·广东梅州·月考）铺植一块草坪，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先铺植5小时，再增加2人和他们一起铺植3小时，完成这项铺植工作的，假设每个人的工作效率相同． (1)求先安排了多少人铺植草坪． (2)所有人一起完成这项铺植工作剩余的，还需要多少小时？ 【答案】(1)先安排了3人铺植草坪 (2)所有人一起完成这项铺植工作剩余的，还需要2小时 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意并列方程求解是关键． （1）设应先安排x人铺植草坪，先计算一个人的工作效率为，再根据题意列方程求解即可； （2）用除以5个人的工作效率计算即可． 【规范解答】（1）解：设应先安排x人铺植草坪， 由一个人做要40小时完成，则一个人的工作效率为， 根据题意，得， 解得， 答：先安排了3人铺植草坪； （2）解：（小时）， 答：所有人一起完成这项铺植工作剩余的，还需要2小时． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏连云港·月考）一项工程由甲工程队单独做完需要12天，由乙工程队单独做完需要24天．现由甲工程队先做3天，然后甲、乙工程队合作完成剩余的工程，则乙工程队做了 天． 【答案】6 【思路点拨】本题主要考查实际问题与一元一次方程；设乙工程队做了x天，根据总工作量为1，利用甲和乙的工作效率及工作时间关系列出方程，再求解即可． 【规范解答】解：设乙工程队做了x天， 则甲工程队共做了天．甲的工作效率为，乙的工作效率为． 依题意，得， 方程两边同乘24，得， 即， 整理得， 解得． ∴乙工程队做了6天． 故答案为：6． 考点3：销售盈亏(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆万州·期中）十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销，两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，10月份，两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售，两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份，两种品牌的空气净化器各售出多少个？ (2)根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌个．"双十一"超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与无关，则的值应该为多少？ 【答案】(1)A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个； (2)a的值为560 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，整式加减中的无关型问题，正确理解题意是解题的关键． （1）设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出个，根据销售，两种品牌的空气净化器的利润相同建立方程求解即可； （2）根据利润等于实际售价减去进价后乘以销售量分别求出A、B两个品牌的利润，二者求和求出总利润，再根据总利润与m的值无关列式求解即可． 【规范解答】（1）解：设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个； （2）解：由题意得，总利润为 ， ∵全部售出所获得的利润与无关， ∴， ∴， 答：的值应该为560． 【变式训练】（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）某水果店以5元的价格购进了一批玉屏黄桃，由于销售情况良好，该店又以4.5元的价格再次购进一批玉屏黄桃，该水果店两次共购进玉屏黄桃，共用去2800元． (1)求该水果店两次分别购进了多少千克玉屏黄桃？ (2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但该水果店仍以相同的价格售出，且在销售过程中支出其他费用共350元．若该水果店售完这些玉屏黄桃后共获得1650元的利润，则该水果店每千克玉屏黄桃的售价是多少元？ 【答案】(1)第一次购进了玉屏黄桃，第二次购进了玉屏黄桃 (2)8元 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设第一次购买了千克玉屏黄桃，则第二次购买了千克玉屏黄桃，根据两次购买的总费用为2800元建立方程求解即可； （2）设该水果店每千克售价应定为元，根据利润等于总销售额减去总成本建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设该水果店第一次购进了玉屏黄桃，则第二次购进了玉屏黄桃， 由题意，得 解得， ∴． 答：该水果店第一次购进了玉屏黄桃，第二次购进了玉屏黄桃． （2）解：设该水果店每千克玉屏黄桃的售价是m元， 由题意，得， 解得． 答：该水果店每千克玉屏黄桃的售价是8元． 考点4：比赛积分(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·江西南昌·月考）受到“赣超”影响，某校开展了“校园足球联赛”运动，鼓励同学们在课余时间参与足球竞技，感受团队协作与足球运动的魅力．李华同学课后游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息如下表： 球队名称 场次/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 光明 6 5 1 0 16 蓝天 6 6 0 0 18 雄鹰 6 3 2 1 11 (1)本次比赛中，胜一场积___________分，平一场积___________分，负一场积___________分； (2)参加此次比赛的钢铁队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分．请你求出钢铁队的胜场数． 【答案】(1)3，1，0 (2)钢铁队胜7场 【思路点拨】本题考查一元一次方程解决实际问题； （1）由表中蓝天队的胜场和总积分可得胜一场的积分，再由光明队的总积分可得平一场的积分，最后由雄鹰队的总积分可得负一场的积分； （2）设钢铁队胜x场，根据积分是23分，可列出一元一次方程求解即可. 【规范解答】（1）解：∵蓝天队胜了6场，积分为18分， ∴胜1场的积分为分 ∵光明队胜5场，平1场，积分为16分， ∴平1场的积分为分， ∵雄鹰队胜3场，平2场，负1场，积分为11分， ∴负1场的积分为分. 故答案为：3，1，0. （2）解：设钢铁队胜场，则平了场． 由（1）知，胜1场积分为3分，平1场积分为1分，负1场积分为0分， ∴，解得． 答：钢铁队胜7场． 【变式训练】（25-26七年级上·广东汕头·月考）某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)观察、分析、推理表格数据，参赛者答对1道题得 分，答错1道题得 分； (2)参赛者F得76分，他答对了几道题？ (3)参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)，； (2)他答对了道题； (3)参赛者说他得了分，是不可能的，理由见解析． 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用． （1）根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况； （2）根据得分为76分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据得分为80分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，由该值不为整数，即可得出参赛者G不可能得80分． 【规范解答】（1）解：， 即参赛者答对1道题得5分， ， 即答错1道题得分； 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：他答对了道题； （3）解：不可能，理由如下： 由题意得：， 解得：，不是整数，不符合题意， 参赛者说他得了分，是不可能的． 考点5：方案选择(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南长沙·月考）已知某超市酸奶的定价为20元/箱，玻璃杯的定价为5元/个，该超市推出了两种优惠促销方案，如下表所示．现某顾客需要购买40箱酸奶和个玻璃杯． 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 (1)若该顾客按方案一购买，共需花费______元；若该顾客按方案二购买，共需花费______元；（用含的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时按哪种方案购买更省钱； (3)当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？并且请你根据购买玻璃杯数量的情况，为该顾客设计更加优惠的购买方案． 【答案】(1)；； (2)方案二更省钱 (3)当购买240个玻璃杯时，两种方案花费一样多；更优惠的方案是：先按方案二购买40箱酸奶，赠送40个玻璃杯，再按方案一购买剩余的玻璃杯，花费为元 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值、有理数四则混合运算的实际应用，理解题意，正确列出代数式和方程是解答的关键． （1）利用总价单价数量，结合该超市推出的两种优惠促销方案，即可用含x的代数式表示出按方案一及按方案二购买所需费用； （2）代入，求出按方案一及按方案二购买所需费用，再比较后即可得出结论； （3）①根据按这两种方案的花费一样多，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； ②根据题意，先按方案二购买40箱酸奶，赠送40个玻璃杯，再按方案一购买个玻璃杯更省钱． 【规范解答】（1）解：根据题意得：按方案一购买所需费用为元； 按方案二购买所需费用为元． 故答案为：；； （2）当时， 方案一购买所需费用为：（元）， 方案二购买所需费用为：（元）， 因为， 所以按方案二购买更省钱 （3）①由题意得： 解得 答：当购买240个玻璃杯时，上述两种方案一样． ②先按方案二购买40箱酸奶，赠送40个玻璃杯，再按方案一购买个玻璃杯． 所需费用：元． 因为，且当时，， 所以该方案比方案一和方案二都更优惠． 【变式训练】（25-26七年级上·四川成都·期中）某饮水机厂生产一种饮水机和饮水机桶，饮水机每台定价250元，饮水机桶每个定价50元，厂家开展促销活动期间，可以同时向客户提供两种优惠方案，方案一：买一台饮水机送一个饮水机桶；方案二：饮水机和饮水机桶都按定价的付款，现某客户到该饮水机厂购买饮水机20台，饮水机桶x个（超过） (1)若该客户按方案一购买，饮水机需付款______元，饮水机桶需付款______元，共需付款______元；若该客户按方案二购买，需付款______元（后三空均用含x的式子表示） (2)当时，请你选出上述两种方案中更为省钱的购买方案，并说明理由． (3)若两种优惠方案可以同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算出所需的钱数． 【答案】(1)5000，，， (2)方案一更省钱，理由见解析 (3)先按方案一购买20台饮水机，再按方案二购买10个饮水桶费用最少，为5450元 【思路点拨】本题考查方案选择类问题，根据题意列代数式，求代数式的取值是本题的关键． （1）按题意计算即可； （2）分别计算出两种方案下的费用，进行比较，确定更省钱的方案； （3）想要更省钱的方案，最佳方法就是分开购买，按方案一购买20个饮水机，赠送20个饮水机桶，剩下的饮水机桶按方案二购买，能更省钱． 【规范解答】（1）解：由题知， 按方案一购买时，饮水机需付款：（元）， 饮水机桶需付款：元， 共需付款：元； 按方案二购买时，需付款：元． 故答案为：5000，，，． （2）解：当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， 因为， 所以方案一更省钱． （3）解：先按方案一购买20台饮水机，费用为：（元）， 则赠送20个饮水机桶， 再按方案二购买10个饮水机桶，费用为：（元）， 则， 所以先按方案一购买20台饮水机，再按方案二购买10个饮水桶费用最少，为5450元． 考点6：数字问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，若关于x的方程的解是，则称这个三位数是方程的“协调数”，称方程是这个三位数的“协调方程”．如：三位数200，因为方程的解是，所以200就是方程的协调数，方程就是200的协调方程．请根据上述材料，解决下列问题：请判断263是否是某个方程的协调数，方程是否是某个三位数的协调方程，并说明理由． 【答案】263是方程的“协调数”，理由见解析；不是某个三位数的协调方程，理由见解析 【思路点拨】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题目中给出的新概念是解题的关键． 理解“协调数”和“协调方程”的定义，然后通过方程的解判断是不是“协调数”和“协调方程”． 【规范解答】解：263是方程的“协调数”，理由如下： 在三位数263中，，，，方程，即，解得，故263是方程的协调数； 不是某个三位数的协调方程，理由如下： ，该方程的解为，若该方程是协调方程，则， 因为c是个位数字，其应为整数， 故c不可能为， 所以不是某个三位数的协调方程． 【变式训练】（25-26七年级上·吉林松原·月考）规定，当时，试求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据新定义列方程求解即可． 【规范解答】解：∵ ∴， 解得：． 考点7：几何问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林长春·期中）两个完全相同的长方形、，如图所示放置在数轴上．    (1)长方形的面积是________平方单位； (2)若点P在数轴上，且，求点P在数轴上表示的数； (3)若长方形、分别以每秒1个单位长度、2个单位长度的速度在数轴上向左匀速移动．设移动时间为t秒，当重叠部分的面积为长方形面积的一半时，直接写出t的值． 【答案】(1)8； (2)1或； (3)． 【思路点拨】本题考查动点问题，解题的关键是掌握数轴上动点的表示方法和两点之间距离的表示方法，通过列方程进行求解． （1）根据图象求出长方形的长和宽，即可得到面积； （2）设点在数轴上表示的数是，可得，，由，列出方程，根据点的不同位置化简绝对值求解； （3）用t表示出点E、F、A、B运动后表示的数，当点与重合时，当点与重合时，列式求出t的值即可． 【规范解答】（1）解：长方形的长是：， 长方形的宽是：， 长方形的面积是：， 故答案是：8； （2）解：设点在数轴上表示的数是， 则， ， ∵， ∴， 当点在右侧时，即，，解得：， 当点在、之间时，，不符合题意， 当点在左侧时，即，，解得：， 答：点在数轴上表示的数是1或； （3）解：点、、、在数轴上分别表示的数是、、、， ∵重叠部分的高为2，当重叠部分的面积为长方形面积的一半，即在数轴上重叠部分的长是：， 又∵，故在上， 当点与点重合时，，解得：， 当点与点重合时，，解得：， 综上所述，当是长方形面积一半时，． 【变式训练】（25-26七年级上·河南新乡·月考）如图，数轴上点A和点B表示的数分别是和3，数轴上另一点P到A，B两点的距离之和为2026，则点P表示的数是 ． 【答案】或1014 【思路点拨】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，主要利用了数轴上两点间的距离的表示方法，读懂题目信息，理解两点间的距离的表示方法是解题的关键． 根据A，B的距离为4，小于2026，分点P在点A的左边和点B的右边两种情况，分别列出方程，然后求解即可． 【规范解答】解：∵，点P到A，B两点的距离之和为2026， ∴点P不在A，B之间， 设点P表示的数为x， 当点P在点A的左边时：， 解得； 当点P在点B的右边时：， 解得； 故答案为：或1014． 考点8：动点问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）若点，在数轴上分别表示有理数，，则、两点之间的距离可以表示为．例如，在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为．已知有理数，，在数轴上对应的点分别为，，，且满足． (1)填空： _________， _________， _________． (2)若点在数轴上表示有理数，当，两点之间的距离是，两点之间距离的倍时，求的值． (3)若点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为，判断的值与是否有关？并说明理由． 【答案】(1)1，， (2)或； (3)的值与无关，理由见解析． 【思路点拨】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值非负性，动点问题（一元一次方程的应用）． （1）由绝对值的非负性，可得，，代入，即可得; （2）用表示，两点之间的距离，，两点之间的距离，根据题意列方程求解即可； （3）设运动时间为，由运动过程可得，，计算的值，根据计算结果进行判断即可． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：1，，． （2）解：∵有理数，在数轴上对应的点分别为，，，，点在数轴上表示有理数， ∴，两点之间的距离为，，两点之间的距离为， ∵，两点之间的距离是，两点之间距离的倍， ∴，点在射线上， 若点在点左侧，，， 解得， 若点在线段上，，， 解得， ∴或． （3）解：的值与无关，理由如下： 设运动时间为， 由运动过程可得，， ∴， ∵为常数， ∴的值与无关． 【变式训练】（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的k倍（k为正整数），则称C点是A，B两个点的“整k距点”，记为：．已知点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是10． (1)若，且点C在数轴上对应的数是7，则______； (2)点M从出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动至点B，设运动的时间为t秒，若，求出t的值； (3)点M从出发，以每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N从2出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若，求出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或5 【思路点拨】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点之间的距离、一元一次方程的应用，理解“整k距点”是解题的关键． （1）先求出点C到点A和点B的距离，再根据“整k距点”的定义列式计算即可； （2）由题意得：，，根据“整k距点”的定义列方程计算即可； （3）由题意得：，，分两种情况作答即可． 【规范解答】（1）解：∵点C对应的数是7，点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是10， ∴． ∵， ∴，即，解得：． 故答案为：； （2）解：由题意得：，， ， ， 解得：； （3）解：由题意得：，， ， ，， M、N相遇前：，解得：， M、N相遇后：，解得：， 综上：或5． 考点9：和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·山西大同·月考）山西是我国矿产资源极为丰富的省份之一，素有“煤铝铁之乡”的美誉．某炼钢厂使用甲、乙两种铁矿石提炼钢铁．已知每吨甲种铁矿石提炼出铁的质量比每吨乙种铁矿石提炼出铁的质量多，从甲种铁矿石中提炼出铁的质量与从乙种铁矿石中提炼出铁的质量相同，求甲、乙两种铁矿石每吨各能提炼出铁多少吨． 【答案】每吨甲种铁矿石能提炼出铁，每吨乙种铁矿石能提炼出铁 【思路点拨】本题考查了一元一次方程与实际问题，关键是弄清题意，找到题目中的相等关系； 根据从甲种铁矿石中提炼出铁的质量与从乙种铁矿石中提炼出铁的质量相同来列方程即可． 【规范解答】解：设每吨甲种铁矿石能提炼出铁，则每吨乙种铁矿石能提炼出铁． 根据从甲种铁矿石中提炼出铁的质量与从乙种铁矿石中提炼出铁的质量相同， 列得方程． 去括号，得． 移项及合并同类项，得． 系数化为1，得． ． 答：每吨甲种铁矿石能提炼出铁，每吨乙种铁矿石能提炼出铁． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）某体育器材店在双“11”开展篮球促销活动，促销办法如下：每个篮球标价25元，若购买超过10个，享受八折优惠．在活动期间某中学的七（1）、（2）班到该店购买篮球，已知七（1）班比七（2）班多买2个篮球，付款时七（1）班反而比七（2）班少付5元．设七（2）班买x个篮球，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查一元一次方程的实际应用，七（2）班购买个篮球，七（1）班购买个篮球，根据“七（1）班比七（2）班多买2个篮球，付款时七（1）班反而比七（2）班少付5元”得到，据此列方程即可． 【规范解答】解：∵七（1）班比七（2）班多买2个篮球，付款时七（1）班反而比七（2）班少付5元． ∴七（2）班购买篮球数小于10，七（1）班购买篮球数大于10， ∴七（2）班购买个篮球，付款为元；七（1）班付款为元； ∴根据题意，可列方程为， 故选：B． 考点10：电费和水费问题(一元-次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆开州·月考）为了鼓励市民节约用水，我区居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是我区“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 居民用水水费收取标准 每户每月用水量 单价：元吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 (1)已知小李家年7月用水吨，应缴水费______元． (2)如果小李家月份用水吨，则小李家这个月应缴水费多少元（用含的式子表示）？ (3)小李家月份忘记去交水费，当他月去交水费时发现两个月一共用水吨（其中月份用水超过吨），一共交水费元，求小李家月份用水多少吨？ 【答案】(1)； (2)当时，水费为元；当时，水费为元； (3)吨． 【思路点拨】本题考查了有理数运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解； （）分当时，当时，列出代数式即可； （）设月份用水吨，则月份用水吨 ，根据题意得出，分当时，当时，列出方程，解方程并检验即可． 【规范解答】（1）解：小李家年月用水吨，应缴水费： （元）， 故答案为：； （2）解：当时，应缴水费： （元）， 当时，应缴水费： （元）； （3）解：设月份用水吨，则月份用水吨 ， ∵月份用水超过吨， ∴， ∴， 当时，月份水费为元， 月份水费为（元）， ∴总水费为， 解得，与矛盾，舍去； 当时， 月份水费为（元）， 月份水费为（元）， ∴总水费为， 解得， 答：小李家月份用水吨． 【变式训练】（25-26七年级上·四川成都·月考）2024年，成都全市新增注册登记新能源汽车10万辆以上，新增充电桩不低于4万个，某充电桩收费标准如下：充电时长小时（含4小时）每小时收费3元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费2元． (1)若小石在该充电桩充电小时，需支付费用多少元？ (2)若小石在该充电桩充电x（）小时，需支付费用________元（用含有x的代数式表示）． (3)小石每周在该充电桩充电一次，某月，小石第一周和第二周在该充电桩共充电10小时（第一周充电时长超过6小时），共支付充电费用27元，则小石第一周和第二周各充电多少小时？ 【答案】(1)元 (2) (3)小石第一周充电7小时，第二周充电3小时 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，有理数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）用充电时长乘以每小时的费用即可得到答案； （2）求出充电不超过4小时的费用和超过4小时的部分的费用，二者求和即可得到答案； （3）设小石第一周充电x小时，则第二周充电小时，根据第一周充电时长超过6小时，可知第二周充电时长小于4小时，据此建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：元， 答：小石在该充电桩充电小时，需支付费用元； （2）解：由题意得，小石在该充电桩充电x（）小时，需支付费用元； （3）解：设小石第一周充电x小时，则第二周充电小时， 由题意得，， 解得， ∴， 答：小石第一周充电7小时，第二周充电3小时． 考点11：行程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·广东佛山·月考）列方程解应用题：A、B两站间的距离为，一列慢车从A站开往B站，每小时行驶，慢车行驶1小时后，另有一列快车从B站开往A站，每小时行驶，求快车行驶了几小时后与慢车相遇？ 【答案】2 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系列出方程是解决此题的关键． 设快车行驶了小时与慢车相遇，则慢车先行驶小时，再行驶小时，快车行驶小时；路程速度时间，根据路程和为335列方程即可． 【规范解答】解：设快车行驶了小时与慢车相遇， 根据题意得． 解得， 故快车行驶了小时后与慢车相遇． 【变式训练】（25-26七年级上·山东滨州·期中）如图数轴上有、两点，分别表示的数为和，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点以每秒个单位长度向左匀速运动．设运动时间为秒（）． (1)运动开始前，、两点的距离为 ； (2)它们按上述方式运动，秒后点表示的数为 ；点所表示的数为 ；（用含的式子表示） (3)它们按上述方式运动至两点相遇，则相遇点所表示的数是什么？ (4)若点以每秒个单位长度向右匀速运动．当、两点相距个单位长度时，求、两点运动了多长时间？ 【答案】(1)120 (2)， (3)相遇点所表示的数为22 (4)、两点运动的时间为秒或秒 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键． （1）用减去，即可求得、两点的距离； （2）根据运动方向和数轴的方向，路程等于速度乘以时间，即可求得秒后，点表示的数； （3）根据题意，可列方程，解得，进而可求得相遇点所表示的数； （3）设当、两点相距个单位长度时，、两点运动的时间为秒，分两种情况，①点在点的左侧，②点在点的右侧，分别根据题意列出一元一次方程即可解决． 【规范解答】（1）解：由题可知，， 故运动开始前，、两点的距离为， 故答案为：； （2）解：它们按上述方式运动，秒后点表示的数为；点所表示的数为， 故答案为：，； （3）解：由题意得，， 解得，， ∴ ∴相遇点所表示的数为； （4）解：设当、两点相距个单位长度时，、两点运动的时间为秒， ①当点在点的左侧时，根据题意得：， 解得； ②当点在点的右侧时，根据题意得：， 解得， 答：当、两点运动的时间为秒或秒时，、两点相距个单位长度． 考点12：比例分配(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）某农户为消灭棉田中的害虫，需配制一种药水．已知这种药水中药液与水的质量比为．配制这种药水，需要多少千克的这种药液？ 【答案】10千克 【思路点拨】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．根据药液与水的质量比为，可得出药液在药水中的比例，进而计算所需药液质量． 【规范解答】解：药液与水的质量比为，则药液与药水的质量比为， 设需要药液质量为千克，则药水质量为千克， 由题意，， 解得． 答：需要10千克的这种药液． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙、丙三人做的零件个数比为．现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了 个零件． 【答案】24 【思路点拨】本题考查了列方程解应用题，设未知数，利用等量关系列方程是解题的关键. 【规范解答】解：设甲做了个零件，由甲、乙、丙三人做的零件个数比为，则乙做了个零件，丙做了个零件，得： ， 解得：， ， 故答案为： ． 考点13：日历问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，在2025年11月的日历表中用“”框出5个数（如框选部分所示），则这5个数的和有可能是（    ） A．30 B．52 C．75 D．90 【答案】D 【思路点拨】本题考查一元一次方程的实际应用，设正中间的数为，求得五个数的和是并分类讨论是解题的关键．分别列方程求出x的值并进行检验，即可得到符合题意的答案． 【规范解答】解：设正中间的数为， 为整数，这5个数的和为： A、当时，得，左上角没有数字，不符合题意； B、当时，得，不是整数，不符合题意； C、当时，得，右边没有数字，不符合题意； D、当时，得，符合题意； ∴它们的和可能是90， 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·湖北武汉·月考）如图是某年11月的月历，“T”型、“田”型两个阴影图形分别覆盖其中四个方格（可以重叠覆盖），设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，四个数字之和为，“田”型阴影覆盖的最小数字为b，四个数字之和为． (1)的值能否为75？若能，求a的值；若不能，说明理由； (2)值能否为47？若能，求a，b的值；若不能，说明理由； (3)若，求的最大值为 （直接写结果） 【答案】(1)16 (2) (3)7 【思路点拨】本题主要考查日历的规律型题、代数式求值、整式加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据日历中的规律可表示出数字，从而表示出，然后根据列方程求得a的值，然后再判断即可； （2）根据日历中的规律可表示出数字，从而表示出，然后根据，得到关于a、b的二元一次方程，然后列举出a、b的值即可； （3）根据列式计算得到a、b，再计算，最后代入a、b计算即可解答． 【规范解答】（1）解：能， 由题知，“T”型阴影覆盖的最小数字为 a，则其他三个数字分别为：， ∴， 令，即，得． （2）解：能， 由题知，“田”型阴影覆盖的最小数字为 b，则其他三个数字分别为：， ∴， ∴， 令，即，得， ∵a、b均为大于等于1且小于等于31的整数， ∴（不符合“田”型，不符合题意舍去）或或（不符合“T”型，不符合题意舍去）或．符合“T”型，不符合题意舍去）， ∴． （3）解：令，即，得， ∵，a、b均为大于等于1且小于等于31的整数且a能组成“T”型、b能组成“田”型，要使最大， ∴a尽可能取大，b尽可能取小， ∴时，最大，最大值为：． 考点14：古代问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）幻方是非常古老的数学问题，其要求将9个数分别填入图中9个格中，使得处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数字之和都相等．请你将数字，，，，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，那么“♥”所在的格中应填的数字是 ． 1 3 0 ♥ 【答案】4 【思路点拨】本题考查了方程的应用，根据幻方的性质，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数字之和都相等，利用第一行和第二列的和相等，可列方程求解． 【规范解答】解：设第一行第二格的数字为A， 根据题意得，， 解得， 故答案为：4． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆南川·期中）《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5枚钱，则差45枚钱；每人出7枚钱，则差3枚钱．求人数和羊价各是多少？下列选项正确的是（   ） A．20人，羊价120枚钱 B．21人，羊价150枚钱 C．22人，羊价140枚钱 D．24人，羊价160枚钱 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列方程是解题的关键；设人数为x，根据羊价相等列方程即可． 【规范解答】解：设人数为x，   由题意，得， 解得， ∴羊价（枚钱）， 故选：． 考点15：其他问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）为迎接新年的到来，A，B两家公司都打算购买一些彩灯和射灯来装饰新年晚会的会场．已知彩灯的售价为8元/个，射灯的售价为12元/个． (1)若A公司购买了彩灯和射灯共50个，花费540元，则A公司买了彩灯和射灯各多少个？ (2)B公司去购买时正逢商家让利促销，彩灯价格降低了，射灯在原价基础上打八折出售，B公司购买了彩灯50个，射灯30个，共花费608元，请求出m的值． 【答案】(1)A公司买了彩灯15个，射灯35个 (2) 【思路点拨】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意后，找到等量关系列方程是解题关键． （1）设买了个彩灯，则射灯买了个，根据买彩灯的费用加上买射灯的费用等于总费用来列方程，解出x即可； （2）彩灯的费用为，射灯的费用为，加起来等于总费用，列方程解出m即可． 【规范解答】（1）解：设A公司买了彩灯x个，则买了射灯个， 根据题意列方程：， 解得，， 射灯数量：个 答：A公司买了彩灯15个，射灯35个； （2）由题意可列方程： 解得， 答：m的值为20． 【变式训练】（25-26七年级上·河北沧州·期中）对于一个有理数，定义其伙伴为，如：的伙伴为，即的伙伴是；的伙伴为，即的伙伴是；的伙伴为，……，如此继续下去，一个数的伙伴的伙伴……，构成这个数的伙伴群落． (1)已知是的伙伴，则，那么___________；(用含的式子表示) (2)如果一个数的伙伴群落只有一个数，则这个数是___________； (3)若，，是伙伴群落中连续的三个数(即是的伙伴，是的伙伴)，用含的代数式表示； (4)在（3）的条件下，你认为是一个常数吗？如果是，请你求出这个常数，如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)是一个常数，为2 【思路点拨】本题考查了新定义，方程求解以及整式的加减，理解“伙伴”的定义并运用代数运算规则是解答本题的关键． （1）根据求解即可； （2）通过 “伙伴群落只有一个数” 的条件建立方程求解； （3）根据连续伙伴的关系，逐步代入推导关于的代数式； （4）将、用含的式子代入，通过代数运算判断是否为常数． 【规范解答】（1）解：∵ ∴ ∴； （2）解：设这个数为，因为这个数的伙伴群落只有一个数， ∴的伙伴就是它自己， ∴ 解得； （3）解：是的伙伴， ， 又是的伙伴， ∴； （4）解：∵， ∴ ∴是一个常数为2． 1．（2024·重庆·中考真题）某工程甲单独做12天可以完成，乙单独做18天可以完成．现在两人合作，但途中乙因事离开了几天，最后一共花了8天把这项工程做完，则乙中途离开了 天． 【答案】2 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用—工程问题，根据题意找出等量关系式是解题的关键．设乙中途离开了天，则乙做了天，列出等量关系式解出即可得出答案． 【规范解答】解：设乙中途离开了天，则乙做了天， 甲单独做12天可以完成，乙单独做18天可以完成， 甲每天完成，乙每天完成， ， 解得：． 故答案为：2． 2．（2024·江苏镇江·中考真题）以下是两张火车票（“次”表示动车，“次”表示高铁），票上只显示了部分信息，已知该动车和高铁的平均速度分别为，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，若两车相距，则所在的时刻为 ． A地售A地B地   02车12号 2024年1月13日    ￥360元 限乘当日当次车 A地售A地B地   03车13号 2024年1月13日    ￥560元 限乘当日当次车 【答案】或 【思路点拨】本题考查一元一次方程解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程求解是解决问题的关键． 根据两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，列出相应的方程，求出两地之间的距离，设动车出发t小时两车相距，分当高铁未出发时和当高铁未出发后两种情况，分别列出相应的方程，再求解即可． 【规范解答】解：设两地之间的距离为， 由题意可得， 解得， 即两地之间的距离为， 设动车出发t小时两车相距， 当高铁未出发时两车相距， 则， 解得； 当高铁出发后两车相距， 则， 解得， ∴动车动车出发小时或2小时时两车相距， ∴在或时，两车相距． 故答案为：或． 3．（2024·广西崇左·中考真题）甲上午6时步行从A地出发于下午5时到达B地，乙上午10时骑自行车从A地出发于下午3时到达B地，则乙追上甲的时间为（    ） A．12时20分 B．13时20分 C．14时20分 D．11时20分 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用． 根据题意知道：甲每小时走这段路程的，乙每小时走这段路程的，并且甲比乙早出发4小时，可以设乙花费x小时追上甲，那么根据乙x小时走的路程和甲路程相等即可列出方程，解此方程即可． 【规范解答】解：设乙花费x小时追上甲，依题意得： ， 解得， 即乙花费3时20分追上甲， 故乙追上甲的时间为13时20分． 故选：B． 4．（2024·山东日照·中考真题）一艘轮船在甲、乙两地之间航行，已知水流的速度是5千米/小时，顺水航行需要5小时，逆水航行需要6小时，则甲、乙两地间的距离是（    ） A．240千米 B．260千米 C．280千米 D．300千米 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用等知识﹒设甲、乙两地距离为x千米，根据船在静水中的速度不变，顺水速度减水速等于逆水速度加水速，列方程求解即可﹒ 【规范解答】解：设甲、乙两地距离为x千米. 由题意得 解得﹒ ∴甲、乙两地距离为300千米﹒ 故选：D 5．（2024·陕西咸阳·中考真题）如图（1），已知数轴上A，B两点分别表示有理数a，b，其中a，b满足． (1)若点是的中点，数轴上点表示有理数，请直接写出a，b，c所表示的数； (2)若动点C从点A出发，沿着射线方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，当动点运动多少秒时，满足？ (3)如图（2），在（1）的条件下，现有两动点P，Q在数轴上同时开始运动，其中点P从点B出发沿射线匀速运动，到达点A后立即返回沿射线匀速运动，速度为每秒5个单位长度，点Q从点C出发沿射线匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点是线段的中点，当时，直接写出运动时间的值． 【答案】(1)，， (2)秒或15秒 (3)1秒或秒或秒或秒 【思路点拨】本题考查了绝对值和偶次方的非负性、数轴、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）先根据绝对值和偶次方的非负性可得的值，再根据数轴的性质可得的值； （2）设动点运动的时间为秒，则运动秒后，动点表示的数为，再求出的值，代入建立方程，解方程即可得； （3）先求出点表示的数为0或4，点从点运动到点所需时间为4秒，再分两种情况：①当点从点出发沿射线匀速运动到点，即时；②当点从点立即返回沿射线匀速运动，即时，分别求出点表示的数，利用数轴的性质建立方程，解方程即可得． 【规范解答】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∵点是的中点，数轴上点表示有理数， ∴． （2）解：设动点运动的时间为秒， 由题意得：运动秒后，动点表示的数为， ∴，， ∵， ∴，即或， 解得或， ∴当动点运动秒或15秒时，满足． （3）解：由（1）可知，点表示的数为2， ∵， ∴点表示的数为或， 由题意得：点从点运动到点所需时间为（秒）， ①当点从点出发沿射线匀速运动到点，即时， 则点表示的数为，点表示的数为， ∵点是线段的中点， ∴或， 解得或； ②当点从点立即返回沿射线匀速运动，即时， 则点表示的数为，点表示的数为， ∵点是线段的中点， ∴或， 解得或； 综上，运动时间的值为1秒或秒或秒或秒． 基础夯实 1．（25-26七年级上·广东·月考）文化情境·数学文化中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系并列出方程是解题的关键． 本题包含的等量关系为总人数不变，故可设有辆车，根据总人数列方程即可． 【规范解答】解：设有辆车． 每 3 人乘一车，剩余 2 辆车， 总人数为； 每 2 人乘一车，剩余 9 人无车， 总人数为； ． 故选：． 2．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）把一根木料锯成段要分钟，以同样的速度锯成段要分钟，正确的列式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元一次方程，锯成段需要锯次，锯木料的时间与锯的次数成正比可得比例关系． 【规范解答】∵锯成段需锯：（次），用时分钟， ∵锯成段需锯（次），用时分钟， 由于每次锯木料的时间是固定的，根据锯木料的时间与锯的次数成正比，可得比例关系： ， 故选：B． 3．（25-26七年级上·山西大同·月考）平定紫砂壶历史悠久，曾与宜兴紫砂齐名，有“南宜兴北平定”的美誉，某生产商生产的某款平定紫砂茶具，每套茶具中把茶壶配只茶杯，用kg黏土可制作把茶壶或只茶杯，现在要用kg黏土制作茶具．若设用黏土制作茶杯，为使得茶壶与茶杯刚好配套，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，关键是能够根据题意列出方程求解； 根据茶壶与茶杯数量之比是时正好配套来列方程即可． 【规范解答】解：设用黏土制作茶杯， 由题意得：茶壶的数量为：把， 茶杯的数量为：只， 又∵每套茶具中把茶壶配只茶杯， ∴可列方程：， 故答案选：D． 4．（24-25七年级上·河南安阳·期中）某学校七年级（1）班共有学生57人，其中男生人数比女生人数的多3，这个班女生有多少人？设这个班女生x人，可列方程为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了列一元一次方程．设女生人数为人，则男生人数为女生人数的多人，即人，根据总人数人列出方程，即可求解． 【规范解答】解：设女生有人，则男生有人，根据题意， 得：， 故答案为： 5．（25-26七年级上·山西大同·月考）年全国“敬老月”活动于月日至日开展，此次活动的主题为“弘扬孝亲敬老美德共建老年友好社会”．某校学生为敬老院的老人们表演了《花样跳绳》节目，已知甲种跳绳每根元，乙种跳绳每根元，用元购买这两种跳绳共根，求两种跳绳各买了几根．若设甲种跳绳买了根，则可列方程为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次方程与实际问题，关键是弄清题意找到相等关系； 根据用元购买这两种跳绳共根列方程即可． 【规范解答】解：设甲种跳绳买了根，则乙种跳绳买了根， ∵甲种跳绳每根元，乙种跳绳每根元，用元购买这两种跳绳共根， ∴ 故答案为：． 6．（25-26七年级上·广东梅州·月考）小天使幼儿园的老师给某个小组的小朋友分苹果，若每人3个还少3个，每人2个又多2个，则该小组共有 个小朋友． 【答案】5 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，设小朋友人数为，根据题意列出方程并求解即可． 【规范解答】解：设该小组共有个小朋友， 根据题意可得：， 解得， 则该小组共有5个小朋友． 故答案为：5． 7．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走80米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．设速度快的人用x分钟追上速度慢的人，则可列方程 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握追及问题中路程相等的原则是解题的关键． 设速度快的人用x分钟追上速度慢的人，根据速度快的人的路程等于速度慢的人的路程与100米的和列方程即可． 【规范解答】解：设速度快的人用x分钟追上速度慢的人，则速度快的人的路程为米，速度慢的人的路程为先走的100米加上x分钟内走的米，即米， 根据追上时路程相等，可得方程． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·重庆开州·月考）现有一道路改造修复工程，甲工程队单独完成需要18天，乙工程队单独完成需要12天．甲队单独施工3天后接到通知要缩短工期，剩余的部分由甲、乙两工程队合作完成． (1)甲、乙两工程队还需合作多少天才能完成？（用方程解决） (2)若甲队每天的工资为1000元，乙队每天的工资为1500元，问完成这项工程需支付两队工资一共多少钱？ 【答案】(1)6 (2)18000 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设甲，乙两工程队还需要合作x天才能完成，再根据工作总量等于1列出方程，求出解即可； 对于（2），根据甲队需支付工资加上乙队需支付工资可得答案． 【规范解答】（1）解：甲，乙两工程队还需要合作x天才能完成，根据题意，得 ， 解得， 所以甲乙两工程队还需要合作6天才能完成； （2）解：， 所以完成这项工程需要支付两队工资一共18000元． 9．（25-26七年级上·陕西西安·月考）为全面落实“以劳促教，以德育人”的要求，培养学生的实践创新能力，我校成功举办了科技节．在活动中，为方便作品展览并增强现场互动，需要用的智能围栏（可以自由调节长和宽）围成一个长方形活动区域，已知宽比长短，求该区域的面积． 【答案】2475平方米 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用． 根据长方形周长公式建立方程，求解长和宽，再计算面积． 【规范解答】解：设长为x米，则宽为米． 根据题意，周长为200米，得． 化简得， ， ， ． 宽为米， 面积为平方米． 答：该区域的面积为2475平方米． 10．（24-25七年级上·吉林·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”请你用方程求庭前孩童人数和梨的数量． 【答案】孩童人数为6人，梨的数量为36个 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的实际应用（盈亏问题），熟练掌握“根据不变量（梨的数量）列方程”是解题的关键． 设孩童人数为未知数，根据梨的数量不变列方程，求解后再计算梨的数量． 【规范解答】解：设庭前孩童有人，由题意可得 ， ， ， ， 梨的数量：（个）， 答：孩童人数为6人，梨的数量为36个． 培优拔高 11．（25-26七年级上·重庆开州·月考）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出六，盈四；人出五，不足三．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出6钱，多出4钱；每人出5钱，还差3钱．问：人数、物价各是多少？若设人数是x人，根据题意列一元一次方程，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了列一元一次方程. 设人数为x人，根据物价不变列方程即可． 【规范解答】解：∵每人出6钱，多出4钱， ∴物价为， ∵每人出5钱，不足3钱， ∴物价为， ∴， 故选：B． 12．（25-26七年级上·陕西西安·月考）某旅行团出发旅游，为方便拍照记录，决定租无人机拍摄．若每三人租一架，商店剩2架；若每两人租一架，最终剩余9人没有无人机可拍摄，若设有架无人机，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了列一元一次方程． 设商店有架无人机，根据第一种情况，每三人租一架且商店剩2架，可知旅行团人数为；根据第二种情况，每两人租一架且剩余9人，可知旅行团人数为．由于人数相等，列方程． 【规范解答】解：∵每三人租一架，商店剩2架， ∴租出无人机为架， ∴旅行团人数为； ∵每两人租一架，剩余9人， ∴租出无人机为架， ∴旅行团人数为； ∴列方程． 故选：B． 13．（25-26七年级上·江苏南通·期中）数轴上三个点分别表示数，点在原点两侧且到原点的距离相等，设点之间的距离为，点之间的距离为，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是相反数的含义，一元一次方程的应用，绝对值的含义，由点A和点B在原点两侧且到原点距离相等，可知A和B表示的数互为相反数，据此建立方程求出t与s的关系，再代入计算距离d和e，最后求比值． 【规范解答】解：∵点A和点B在原点两侧且到原点距离相等， ∴A表示的数与B表示的数互为相反数， ∴， ∴， ∴，， ∴数轴上三个点分别表示数， ∴点之间的距离为， 点之间的距离为， ∴． 故选：D 14．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）一个梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长8厘米，就成了一个平行四边形，这个梯形的上底是 厘米． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 设梯形的上底为厘米，则下底为厘米，延长上底厘米后，上底变为厘米，根据平行四边形的性质，对边相等，因此厘米等于下底厘米，建立方程求解． 【规范解答】解：设上底为厘米，则下底为厘米． 根据题意，得， 解得： 故上底是厘米， 故答案为：4． 15．（24-25七年级下·云南普洱·期末）洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示，图3是一个不完整的幻方．根据幻方的规则，图3中的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是一元一次方程的应用，由题意可得，再解方程即可． 【规范解答】解：由题意，得：即， ∴； 故答案为：． 16．（25-26七年级上·河北沧州·期中）大于的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：，…，则 ；若“分裂”后，其中有一个奇数是，则的值是 ． 【答案】 45 【思路点拨】本题考查了数字规律探究、不等式估算 第一步通过观察底数与分裂奇数个数、起始奇数的关系，归纳出规律表达式； 第二步利用公式确定分裂的奇数范围，结合平方根估算验证m的值． 【规范解答】解：∵，，, ∴分裂为2个连续奇数，分裂为3个连续奇数，分裂为4个连续奇数， ∴底数为m时，分裂出m个连续奇数． ∵起始奇数： 起始奇数： 起始奇数： ∴分裂的起始奇数为： ∴分裂出5个连续奇数，起始奇数： ∴分裂出5个连续奇数依次为21，23，25，27，29， ∴ ∵分裂的起始奇数为，结束奇数为 ∴， ∵与2025接近，， ∴若，起始奇数：，结束奇数：， ∴，符合条件， 若：结束奇数：，，不符合， 若：起始奇数：，，不符合， 故． 17．（25-26七年级上·天津·月考）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要使在21天中所生产的零件全部配套，那么应该安排 天生产甲种零件． 【答案】6 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，设生产甲种零件的天数为天，则生产乙种零件的天数为天，根据甲、乙零件配套的比例关系列出方程求解． 【规范解答】解：设应该安排天生产甲种零件，则安排天生产乙种零件． 由题意得， 简化得， 即， 解得， ∴应该安排6天生产甲种零件， 故答案为：6． 18．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知在数轴上所表示的数分别为，且． (1)___________，___________； (2)①有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为___________个单位长度； ②如图所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，直接写出此时点所表示的数． (3)在（）的条件下，当火车以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点和点从出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②或 (3)存在，使得的值与它们的运动时间无关，定值为 【思路点拨】（）根据非负数的性质解答即可； （）①由数轴上两点间距离公式的，又由题意可得，进而即可求解；②设点表示的数为，则点表示的数为，由题意可知两点只能在点的右侧， 即只能向右运动，再根据题意列出方程解答即可求解； （）设运动时间为，分所表示的数为和所表示的数为两种情况，利用数轴上两点间距离公式分别表示出和，进而表示出，再根据的值与它们的运动时间无关求出的值即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：①由（）知，，， ∴， 又由题意可得，， ∴， 即玩具火车的长为个单位长度， 故答案为：； ②设点表示的数为，则点表示的数为， ∵点在的右侧，当时，可知， ∴两点只能在点的右侧， ∴只能向右运动，即， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴点所表示的数为或； （3）解：存在，使得的值与它们的运动时间无关，定值为，理由如下： 设运动时间为， 分两种情况：①当所表示的数为时，则点表示的数为，如图， ∴ 运动时，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， ∴，， ∴， 当的值与它们的运动时间无关时，则， 解得，此时定值为； ②当所表示的数为时，则点表示的数为，如图， ∴ 运动时，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， ∴，， ∴， 当的值与它们的运动时间无关时，则， 解得，此时定值为； 综上，存在，使得的值与它们的运动时间无关，定值为． 19．（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上线段，点A在数轴上表示的数是a，点C在数轴上表示的数是c，．若线段AB以6个单位/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时，？ (2)当运动到时，点B在数轴上表示的数是． (3)当，B点运动到线段上时，P是线段上一点，是否存在关系式？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)运动2秒或4秒时， (2)点表示的数是4或16 (3)存在，的长为1或 【思路点拨】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是根据动点运动规律表示出各点坐标，再结合线段长度关系列方程求解． （1）先根据非负性求出，再表示出运动后的坐标，分相遇前、后两种情况列方程求时间； （2）根据（1）中求出的时间，计算点对应的数； （3）先确定运动后的坐标，设的坐标，结合线段关系列方程，求解的长． 【规范解答】（1）解： ， ，， 解得：，， 又 ，点表示的数为， 又 ，点表示的数为， 设运动时间为秒， 线段向右运动，速度为6单位／秒，所以秒后，点表示的数为：； 线段向左运动，速度为2单位／秒，所以秒后，点表示的数为：． 此时，令，则：， 当时，， 当时，， 运动2秒或4秒时，； （2）解：当运动到时，点在数轴上表示的数 当时，点表示的数为：， 当时，点表示的数为：， 点表示的数是4或16． （3）解：存在， ①当时，点和点重合，点在线段上，，且，， 当时，，即； ②当时，点在点和点之间，． （）点在线段上时，，， 当时，，即； （）点在线段上时，，， 当时，，即； 的长为1或． 20．（25-26七年级上·河南周口·期中）如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为，点B表示的数为14，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)当时， ，此时点P表示的数为 ； (2)当时，求t的值； (3)若动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点P、Q同时出发，经过多少秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度？ 【答案】(1)4； (2)4 (3)经过6秒或10秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度 【思路点拨】本题主要考查数轴上两点距离，整式加减的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据数轴上有理数的表示及两点距离可进行求解； （2）由题意易得点P表示的数为，，然后可分当P在A、B之间时，当P在B的右侧时，进而分类进行求解即可； （3）由题意易得点P表示的数为，点Q表示的数为，则有，进而求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：，点所表示的数为； 故答案为4；； （2）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为， ∵，， ∴分两种情况： ①当P在A、B之间时，即，，， 则， 解得； ②当P在B的右侧时，，， 则， 解得（舍去）， 综上，t的值为4． （3）解：设经过t秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度 此时点P表示的数为，点Q表示的数为， 则， 即， 解得或， 即或； 答：经过6秒或10秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $