23.3.3相似三角形的性质 教学设计 -2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形的性质，通过施工队绿化地面积问题情境导入，回顾相似三角形判定方法及对应角相等、对应边成比例的性质，引出高、角平分线等新几何量，搭建“回顾-设问-探究”的学习支架。 以“探索-猜想-证明”为主线，师生动手操作（直角三角形高的探究、学生自制相似三角形度量），类比迁移得出高、角平分线、中线、周长比等于相似比，面积比等于相似比平方。培养数学眼光（从现实问题抽象相似关系）、推理能力（性质推理论证）、应用意识（解决绿化面积问题），助力学生掌握探究方法，教师易实施，提升教学实效。

23.3.3 相似三角形的性质 马利辉 河南省洛阳市嵩县思源实验学校 一、学习目标 1.理解并掌握相似三角形的性质，并能运用相似三角形的性质解决问题。 2.进一步经历“探索---猜想---证明”的过程，发展探究能力，推理论证能力；培养数学应用意识。 3.在定理的证明和应用过程中体会由特殊到一般、类比、转化等数学思想方法。 二、学习重点、难点 重点：相似三角形的性质。 难点：相似三角形的判定和性质应用。 三、学习准备： 教师：两对相似三角形(一对直角三角形、一对普通三角形)。 学生：一对相似三角形。 四、学习过程 (一)创设情境，问题引入 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题：由于马路拓宽，有一个面积是100平方米的三角形的绿化地被削去了一个角，变成了一块梯形绿地，原绿化地的一边AB的长由原来的20米缩短成12米。 为了保证绿化建设，失去的绿地面积必须等面 积补回。这块失去的面积到底有多大？ (二)知识回顾 （1）如何判定两个三角形相似？ ① 平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似； ② 两角分别相等的两个三角形相似； ③ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④ 三边成比例的两个三角形相似。 （2）相似三角形有何性质？ ① 相似三角形的对应角相等 ② 相似三角形的对应边成比例 思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？ 高、角平分线、中线、周长、面积 （三）探究新知 1、动手操作： 教师先以直角三角形为例，来探究一组对应边上的高与相似比之间的关系，再让学生拿出事先做好的一对相似三角形，分别做出一组对应边上的高。 （1）观察对应边上的高之比与对应边之比之间的关系？ （2）度量对应边上的高，并猜想他们与相似三角形相似比之间的关系？ 2、推理论证 已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD，A′D′分别是BC、B′C′边上的高． 求证： 证明：∵ △ABC ∽△A′B′C′， ∴ ∠B = ∠B′． 又∵ ∠ADB =∠A′D′B′ =90°， ∴△ADB ∽△A′ D′ B′ ∴ 结论：相似三角形对应边上的高之比等于相似比. 强调：必须对应 思考：它们的对应角平分线、中线的比是否也等于相似比？ 3、学生自主、类比探究，得出结论 已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'相似比为k. （1）如果AD和A'D'分别是它们的对应角的平分线, 那么 等于多少? 结论：相似三角形对应角平分线之比等于相似比. （2）如果AD和A'D'分别是它们的对应边上的中线, 那么 等于多少? ( AA D ) 结论：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比. 归纳: 相似三角形的对应边上的高之比等于相似比. 相似三角形的对应角的平分线之比等于相似比. 相似三角形的对应边上的中线之比等于相似比. 强调：必须对应 思考：如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么 ∴ AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A' ∴ 归纳：相似三角形周长之比等于相似比. （四）学以致用 已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、 A′D′分别是BC、B′C′上的高， 求： 证明：∵ △ABC ∽ △A' B' C' ∴ ∴ 结论：相似三角形面积之比等于相似比的平方． （五）解决引入问题 由于马路拓宽，有一个面积是100平方米的三角形的绿化地被削去了一个角，变成了一块梯形绿地，原绿化地的一边AB的长由原来的20米缩短成12米。为了保证绿化建设，失去的绿地面积必须等面积补回。这块失去的面积到底有多大？ 解：由题意知四边形DBCE是梯形 ∴ DE∥BC ∴ △ADE∽△ABC， ∵ AD:AB=(20-12):20=2:5 ∴S△ADE : S△ABC =4:25 ∴ S△ADE=S△ABC =16（平方米） 答：这块失去的面积16平方米。 （六）当堂检测 1.两个相似三角形的相似比为1:4, 则对应高的比为 1:4 ,对应角的角平分线的比为 1:4 ，周长的比为 1:4 。 2.两个相似三角形对应边上中线的比为3:5，则这两个三角形的相似比为 3:5 ，对应高的比为 3:5 ，面积的比为 9:25 。 3. △ABC ∽△A1B1C1相似比为2:3，已知△A1B1C1的面积为18㎝2，那么△ABC 的面积为 8cm2 。 （七）畅谈收获 本节课你有哪些收获？ 1、数学知识 相似三角形的对应高、角平分线、中线，的比等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 2、数学思想与方法 由特殊到一般、类比思想、转化思想。 希望同学们在今后的学习生活中，能把这些数学知识和数学思想方法应用到我们的学习和生活中，并会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。 （八）课后作业 1、基础题（必做） 课本72页 1、2、3题 2、能力提升题（选做） 如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M. (1)求证： (2)这个矩形EFGH的周长。 ( - 1 - ) 学科网（北京）股份有限公司 $