第06讲：数学归纳法【六大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

本讲义聚焦数学归纳法这一核心知识点，系统梳理其定义、证明形式及“归纳奠基-归纳递推”两步核心步骤，通过定义理解、恒等式证明、整除问题等六类题型搭建从基础到综合的学习支架。 资料以分层题型设计为特色，例题与变式题选自多地月考期中真题，助力学生在推理证明中培养逻辑思维与数学表达能力。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生通过分层练习查漏补缺，提升解决复杂问题的数学素养。

第06讲：数学归纳法 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：数学归纳法 1．数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 2．数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1) P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 3. 数学归纳法中的两个步骤 在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明． 【题型归纳】 题型一：数学归纳法的定义 【例1】．（24-25高二下·四川绵阳·月考）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数学归纳法的定义可得结论. 【详解】由数学归纳法证明时，结论成立， 即需证明成立， 即必须证得右边为. 故选C. 【变式1】．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出和的结论，对照即可求解. 【详解】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减， 由于，左边； 时，左边， 比较两式，从而等式左边应添加的式子是． 故选：C 【变式2】．（24-25高二上·上海青浦·月考）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【分析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 题型二：数学归纳法证明恒等式 【例2】．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项，前项和为，再利用数学归纳法证明. 【详解】等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 【变式1】．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【答案】证明见解析 【分析】应用数学归纳法证明即可. 【详解】当时，左边右边； 假设时，原等式成立，则时， 等式左边，因此时原等式也成立． 综上，都有． 【变式2】．（24-25高二上·上海·课堂例题）是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 【答案】存在，或证明见解析 【详解】存在．将，分别代入等式，得， 即，所以或. 猜测对一切正整数都成立． 证明：（1）当时，显然成立； （2）假设时，成立； 则当时， 左边 右边，所以时，等式也成立． 综合（1）（2），由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立． 题型三：数学归纳法证明整除问题 【例3】．（25-26高二上·全国·单元测试）（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明整除问题，首先证明时结论成立，再假设时结论成立，利用假设证明时结论也成立即可得出结论成立． 【详解】①当时，能被133整除，所以当时结论成立； ②假设当时，能被133整除， 那么当时， ， 由假设可知能被133整除，即能被133整除， 所以当时结论也成立； 综上，能被133整除． 【变式1】．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法的证明步骤，结合条件，即可求解. 【详解】（1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 【变式2】．（22-23高三·全国·中职高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 【答案】存在，且的最大值为 【分析】 求出、的最大公约数，可得出的值，然后利用数学归纳法证明出都能被整除，即可得出结论. 【详解】解：，， 所以，、的最大公约数为， 猜想：对任意的，能被整除， 当时，猜想显然成立； 假设当，猜想成立，即能别整除， 即存在，使得， 则当时， ， 因为为奇数，则为偶数，则能被整除， 所以，能被整除， 这说明当时，猜想也成立， 故对任意的，对任意正整数都能被整除，且. 故的最大值为. 题型四：数学归纳法证明数列问题 【例4】．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件求出的值，归纳猜想通项； （2）用数学归纳法证明. 【详解】（1）因为，所以，解得． 这时，，所以，解得． 这时，，所以，解得． 由，，，猜想时，， 所以推测数列的通项公式是. （2）用数学归纳法证明： （i）当时结论成立； （ii）假设当时结论成立，即， 这时 ， 所以. 当时，由得， 得，所以，即时结论成立. 由（i），（ii）可知对时结论都成立. 【变式1】．（24-25高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，． (2)，证明见解析 【分析】（1）由条件得到，即可逐个计算； （2）；由数学归纳法求证步骤求证即可； 【详解】（1）由已知条件得， 所以 ，，可得：， ，，可得：， ，，可得：； （2）由（1）的计算可以猜想． 下面用数学归纳法证明： ①当时，由已知可得结论成立； ②假设当且时猜想成立， 即． 则当时， ， ， 因此当时，结论也成立． 由①②知，对一切都有成立． 【变式2】．（24-25高二上·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）先根据和项与通项关系求得，解得； （2）先证明成立，再根据成立推导成立即可. 【详解】（1）当时 所以 当时； （2）①当时，，即时，结论成立； ②假设当时，结论成立，即 当时， 因为 即当时，结论成立； 由①②得， 题型五：数学归纳法证明不等式 【例5】．（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明不等式：． 【答案】证明见解析 【分析】（i）当时，不等式成立；（ii）假设当时不等式成立，验证当时不等式也成立，此处采用“取差法”证明不等关系成立． 【详解】（i）当时，左边，右边，显然，左边右边，原不等式成立； （ii）假设当时不等式成立， 即， 那么当时， ． 又， 所以， 即时，不等式也成立． 由（i）（ii）可知，对任意，不等式都成立． 【变式1】．（2025高三·全国·专题练习）当且时，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】验证当时，不等式成立，假设当时，不等式成立，证明当时，不等式成 立，从而得出结论. 【详解】①当时，左边，不等式成立； ②假设当时，不等式成立， 即， 则当时， 左边 ． 由①②知对任意且不等式成立． 【变式2】．（25-26高二上·江苏盐城·期中）设数列的前n项和为，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且满足. ①证明：是等比数列； ②设数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）先利用等差数列通项公式求出，再利用的关系求解即可； （2）①根据的关系结合题设可得，即可求证； ②先根据裂项相消法求出，结合①可求得，进而根据数学归纳法及分析法求证即可. 【详解】（1）由题意，，则， 当时，， 显然满足上式，则. （2）由， 当时，，即； 当时，， 则，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 由（1）知，， 则， 即， 由①知，，则， 下面利用数学归纳法证明：. 当时，，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 则时，需证明，即证， 由，只需证明， 即证，即证， 即证， 由于，则， 所以. 综上所述，，所以. 题型六：推理证明探究问题 【例6】．（25-26高二上·上海·期中）已知数列的通项公式，数列的通项公式（）.若，则称d为数列与的公共项，将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列. (1)直接写出、、、的值； (2)猜想并证明的通项公式，并求数列各项和； (3)是否存在正整数r、s、t（）使得成立，若存在，求出r、s、t；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，，，； (2)，的各项和为； (3)只存在一组正整数、、. 【分析】（1）由题意，列举的前4项即可； （2）猜想，结合二项式定理证明即可；由等比数列求和公式求的和即可. （3）假设存在，由奇偶一致可得唯一解. 【详解】（1），，，. （2）猜想，证明如下： 设公共项为， 若是中的项，则存在正整数使得， 若为偶数，则，由的二项展开式可得其除以3余数为1，不符合题意； 若为奇数，则为偶数，则, 除以3余数为2，符合题意； 又，故，所以公共项为数列中指数为大于等于3的奇数的项， 即， 所以 . ，， 则. （3）假设存在正整数、、使得成立， 则 即 即 等式右边为奇数，要使等式成立，则左边也要为奇数 又因，所以只能有， 故 可得 即 等式右边为奇数，要使等式成立，则左边也要为奇数 又因，所以只能有 故 可得，所以 所以只存在一组正整数、、，使得成立. 【变式1】．（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题设， 时，等比子列可能为；；， 经验证： 等比子列为时无解； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； （2）由题设，而，则为递增的等差数列，且, ，则，中不包含，不合题意； ，则，中不包含，不合题意； ，则数列公比为2，此时， ，符合题意； 要使公比最小，则，， 此时. （3）由，有，即， 由，，， 所以，即，可得或， 由，则， 要证数列为数列的“等比子列”，即证数列中每一项都是数列中的项， 数学归纳法证明如下： 由上推理及题设知，前3项满足，即时结论成立； 假设时结论成立，即使， 当时，， 所以是的第项，故结论也成立， 综上，，总有的任意一项都是中的某一项， 综上，数列为数列的“等比子列”，得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，化为证明数列中每一项都是数列中的项，并应用数学归纳法求证. 【变式2】．（24-25高二上·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 【答案】(1)20 (2)，理由见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由题设定义得出，，再计算的值； （2）当，时，猜想，利用数学归纳法证明即可； （3）由题设定义得出与的通项公式，进而构造函数证明数列中每一项，都有中的项与之相等，再由反证法假设数列中存在连续三项构成等比数列，由等比中项的性质推出矛盾，从而得出证明. 【详解】（1）由题意，，，，；以； （2）当，时，猜想，数学归纳法证明如下 （ⅰ）当时，，命题成立； （ⅱ）假设当时，命题成立，即， 则当时， （*） ，，即命题也成立 由（ⅰ）（ⅱ）可知，当，时，成立. （3），则，， 设，即，则， 函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，为偶数，等式不成立；所以等式无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列出增加的项，即可得解. 【详解】从到成立时，左边增加的项为，，…，， 因此增加的项数是. 故选：A． 2．（24-25高二上·全国·课堂例题）用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合数学归纳法分析判断. 【详解】当时，，所以左边为. 故选：C. 3．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用归纳法可得个圆最多把平面分成个区域，可得结论. 【详解】1个圆分把平面分成个区域，个圆把平面最多分成个区域，个圆把平面最多分成个区域， 依此类推，可得个圆最多把平面分成个区域， 归纳得， 假设当时，即， 则当时，. 故选：D. 4．（2024高二下·全国·专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【答案】D 【分析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案. 【详解】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立， 即当（为正整数）时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D 5．（22-23高二下·辽宁大连·期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和时，对比左边的表达式，进行计算即可. 【详解】时，可得： 时，可得：， 故增加了项. 故选：A 6．（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】分别计算出和的项数，进而作差即得结论． 【详解】因为， 所以，共项， 则共项， 所以比共增加了项， 故选：D 7．（22-23高二下·河南驻马店·期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据归纳法即可得到答案. 【详解】解：根据数学归纳法可知： 当时， 当时， 相比从到，可知多增加的项为 故选：D 8．（22-23高二下·上海浦东新·月考）下列命题正确的有（ ）个 （1）若数列为等比数列，为其前n项和，则，，也成等比数列； （2）数列的通项公式为，则对任意的，存在，使得； （3）设为不超过实数x的最大整数，例如：，，.设a为正整数，数列满足，，记，则M为有限集． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对（1）：设等比数列的公比为， 若，则，可得， 则，故，，不是等比数列，（1）错误； 对（2）：根据实数性质可得：对，均存在，使得，， 故对，均存在，使得，则，（2）正确； 对（3）：若，则，故，且.下证对，， 当时，，即；假设当时，； 当时，则 ∵，当且仅当，即时，等号成立，则； 故对，.∵，，则，可得， 可得，∵，下证， 当时，则成立；假设当时，则成立；当时，则，即； 故. 可得，且，即的取值可能是有限的， 故为有限集，（3）正确； 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知数列满足，且是公比为的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意写出前7项，观察归纳得到，，再应用数学归纳法证明判断A、B；应用裂项相消法、放缩法证明不等式判断C、D. 【详解】由，且是公比为的等比数列， 所以为，为，为，， 由上观察归纳有，，显然时，满足， 若时，成立， 又是公比为的等比数列， 则，， 所以，有，满足归纳结论， 综上，，，A错，B对； 由，则，C对； 由 ，D对. 故选：BCD 10．（24-25高二·上海·随堂练习）已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（    ） A．对于成立 B．对于每一个自然数k成立 C．对于每一个偶数k成立 D．对于某些偶数可能不成立 【答案】ABC 【分析】由已知中命题，，当时，成立，并且当时它也成立，可得对于内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立，据此判断四个答案的真假即可 【详解】由于命题，这里， 当时，成立，并且当时它也成立， 可得对于内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立， 故对于不一定成立， 对于每一个自然数k不一定成立， 对于每一个偶数k不一定成立， 对于某些偶数可能不成立． 故选：ABC． 11．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知数列满足，则（    ） A．若，则数列为常数列 B．若，则对任意，有 C．若，则对任意，有 D．若，则对任意 【答案】ABD 【分析】对于A：根据递推公式分析求解即可；对于B，根据递推公式结合基本不等式分析判断；对于C，由结合分析判断；对于D，根据递推公式结合函数的单调性得出结果. 【详解】对于A，若，则，， 以此类推可知：，所以数列为常数列，故A正确； 对于B，若，，， 以此类推可知：， ， 则，即，故B正确； 对于C，由结合选项B得出， ，所以，故C错误； 对于D，若，； ， 假设， 构造函数，易知在上单调递增， 所以， 由以上归纳得出，故D正确. 故选：ABD. 12．（23-24高二上·江苏无锡·期末）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契发现，因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列在很多方面都与大自然神奇地契合，小到向日葵、松果、海螺的生长过程，大到海浪、飓风、宇宙系演变，皆有斐波那契数列的身影，充分展示了“数学之美”．斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列满足：，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．是奇数 【答案】ACD 【分析】根据递推公式判断选项A，利用累加判断选项BC，利用数学归纳法证明结论3的倍数项为偶数，其他项为奇数证明选项D. 【详解】对A：由，可得， 即有，故A正确； 对于B：由题意，，，， 以上式子累加得：，故B不正确； 对于C：因为，则， 则 ，故C正确； 对于D：根据通项公式可得斐波那契数列为， 3的倍数项为偶数，其他项为奇数，下面用数学归纳法证明： ①当，2，3时，，，满足规律， ②假设当，，时满足为偶数，，为奇数， ③当，，时， ，因为，为奇数，所以为偶数， ，因为为奇数，为偶数，所以为奇数， ，因为为奇数，为偶数，所以为奇数， 故3的倍数项为偶数，其他项为奇数得证， 2024项是非3的倍数项，故D正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题A选项的判断比较常规，选项BC的关键是要通过适当的变形然后利用累加法判断，选项D根据数列规律猜想3的倍数项为偶数，其他项为奇数，利用数学归纳法证明. 三、填空题 13．（24-25高二·上海·随堂练习）利用数学归纳法证明“，，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 ． 【答案】 【分析】分别写出和左边的式子，两对照可得答案. 【详解】当时，左边式子为， 当时，左边式子为， 故左边增乘的因式是． 故答案为：． 14．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：（n为正整数，且）时，第一步取 验证． 【答案】2 【分析】利用数学归纳法证明的步骤一：取证明的命题对象中的最小自然数，即可得出． 【详解】用数学归纳法证明：（n为正整数，且）时， 第一步取验证． 故答案为：2. 15．（24-25高二上·全国·课后作业）在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 【答案】 【分析】按数学归纳法写出证明过程即可得答案. 【详解】设当时，能被整除， 所以时， ， 因此必须有代数式． 故答案为： 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，用数学归法证明时， . 【答案】 【分析】根据已知写出，从而可求得结果. 【详解】因为 ， ∴. 故答案为： 四、解答题 17．（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明：能被64整除． 【答案】证明见解析 【分析】按照数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】（i）当时，，能被64整除，故时命题成立； （ii）假设当时命题成立，即能被64整除， 则当时，能被64整除， 故当时命题成立． 由（i）（ii）可知对，都能被64整除． 18．（24-25高二下·河南·月考）在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式求，，进而猜想通项公式； （2）根据（1）中结果，利用数学归纳法分析证明. 【详解】（1）因为，， 可得，， 因此可猜想. （2）当时，，等式成立； 假设当时，等式成立，即， 则当时，， 即当时，等式也成立. 综上所述，对任意，. 19．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】猜想：，证明见解析 【分析】先猜想，然后根据数学归纳法的证明方法来证得猜想成立. 【详解】，，，，…， 猜想：． 证明如下： （1）当时，，猜想成立； （2）假设当时，猜想成立， 即， 则当时，， 所以当时，猜想也成立． 综合（1）（2），可知猜想对于任意都成立． 20．（24-25高二上·全国·课后作业）观察下列各式： 总结出一般规律，并用数学归纳法证明你所得到的结论. 【答案】，证明见解析； 【分析】根据规律得到，再应用数学归纳法求证即可. 【详解】观察各式，可得一般规律， 用数学归纳法证明如下： 当时，左边，右边，等式成立； 假设时，等式成立，即， 那么当时， 故时，等式也成立. 综上，等式对于一切正整数n都成立. 21．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)；；． (2)当时，，证明见解析． 【详解】（1）当时，由已知条件可得，即， 解得； 当时，由已知条件可得，将代入得， 解得； 当时，由已知条件可得，同理解得． （2）由（1）可以猜想，时，等式成立； 假设当时，等式也成立，即， 又因为， 将代入上式解得， 所以时命题成立． 综合可得，当时，． 22．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，． 【详解】当时，左边， 右边，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则当时， ， 所以时命题成立， 综上，． 23．（24-25高二上·上海·课后作业）已知在上有定义，且满足x、时，有． (1)证明：在上为奇函数； (2)证明：等式，n为正整数． 【详解】（1）由已知在上有定义， 令，有，故. 令，有，得. 故在上为奇函数. （2）①时，左边右边. ②假设当时，有， 则当时， 左边 . 所以当时等式也成立. 由①②，对一切正整数等式成立. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲：数学归纳法 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：数学归纳法 1．数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 2．数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1) P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 3. 数学归纳法中的两个步骤 在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明． 【题型归纳】 题型一：数学归纳法的定义 【例1】．（24-25高二下·四川绵阳·月考）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二上·上海青浦·月考）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 题型二：数学归纳法证明恒等式 【例2】．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【变式1】．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【变式2】．（24-25高二上·上海·课堂例题）是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 题型三：数学归纳法证明整除问题 【例3】．（25-26高二上·全国·单元测试）（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【变式1】．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【变式2】．（22-23高三·全国·中职高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 题型四：数学归纳法证明数列问题 【例4】．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 【变式1】．（24-25高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 【变式2】．（24-25高二上·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 题型五：数学归纳法证明不等式 【例5】．（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明不等式：． 【变式1】．（2025高三·全国·专题练习）当且时，求证：． 【变式2】．（25-26高二上·江苏盐城·期中）设数列的前n项和为，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且满足. ①证明：是等比数列； ②设数列的前n项和为，证明：. 题型六：推理证明探究问题 【例6】．（25-26高二上·上海·期中）已知数列的通项公式，数列的通项公式（）.若，则称d为数列与的公共项，将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列. (1)直接写出、、、的值； (2)猜想并证明的通项公式，并求数列各项和； (3)是否存在正整数r、s、t（）使得成立，若存在，求出r、s、t；若不存在，说明理由. 【变式1】．（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 【变式2】．（24-25高二上·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课堂例题）用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（    ） A．1 B． C． D． 3．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 4．（2024高二下·全国·专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 5．（22-23高二下·辽宁大连·期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 7．（22-23高二下·河南驻马店·期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二下·上海浦东新·月考）下列命题正确的有（ ）个 （1）若数列为等比数列，为其前n项和，则，，也成等比数列； （2）数列的通项公式为，则对任意的，存在，使得； （3）设为不超过实数x的最大整数，例如：，，.设a为正整数，数列满足，，记，则M为有限集． A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知数列满足，且是公比为的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二·上海·随堂练习）已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（    ） A．对于成立 B．对于每一个自然数k成立 C．对于每一个偶数k成立 D．对于某些偶数可能不成立 11．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知数列满足，则（    ） A．若，则数列为常数列 B．若，则对任意，有 C．若，则对任意，有 D．若，则对任意 12．（23-24高二上·江苏无锡·期末）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契发现，因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列在很多方面都与大自然神奇地契合，小到向日葵、松果、海螺的生长过程，大到海浪、飓风、宇宙系演变，皆有斐波那契数列的身影，充分展示了“数学之美”．斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列满足：，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．是奇数 三、填空题 13．（24-25高二·上海·随堂练习）利用数学归纳法证明“，，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 ． 14．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：（n为正整数，且）时，第一步取 验证． 15．（24-25高二上·全国·课后作业）在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，用数学归法证明时， . 四、解答题 17．（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明：能被64整除． 18．（24-25高二下·河南·月考）在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 19．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 20．（24-25高二上·全国·课后作业）观察下列各式： 总结出一般规律，并用数学归纳法证明你所得到的结论. 21．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 22．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，． 23．（24-25高二上·上海·课后作业）已知在上有定义，且满足x、时，有． (1)证明：在上为奇函数； (2)证明：等式，n为正整数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $