16.圆锥曲线与向量、三角的综合应用（专练）（拓展培优版）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 16.圆锥曲线与向量、三角的综合应用（同步练） （拓展培优版）（解析版） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（2023·山东历城二中高三期中考试题）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则的面积为（） A. B. C. D. 解析：选B。由椭圆方程得，故。设，则。由知，故。联立得，则。 2.（2024·广东深圳中学高二期末考试题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若（为原点），则点的横坐标为（） A. B. C. D. 解析：选C。设，，则，。数量积为，即。令，解得，则横坐标。 3.（2023·河北衡水中学高三模拟题）已知双曲线的一条渐近线为，点在双曲线上，若（为原点）与轴正方向的夹角为，则的最小值为（） A. B. C. D. 解析：选A。渐近线斜率，即。设，由夹角为得，代入双曲线方程得，即在渐近线上。双曲线顶点到渐近线的距离为，结合双曲线性质，最小值为。 4.（2024·湖南雅礼中学高二统考题）已知椭圆，点，过的直线与椭圆交于两点，若，则直线的斜率为（） A. B. C. D. 解析：选C。设，由得，，即，。代入椭圆方程得，两式相减化简得，结合直线过，得斜率。 5.（2023·江苏南京金陵中学高三期中考试题）在抛物线上有一点，以为圆心，为半径的圆交抛物线的准线于两点，若为等边三角形，则的值为（） A. B. C. D. 解析：选D。设，准线方程。圆半径，点到准线的距离。由等边三角形性质得，化简得，则，故。 6.（2024·浙江杭州二中高二期末考试题）已知双曲线，点在双曲线上，若（为原点），则与（为右焦点）的数量积最大值为（） A. B. C. D. 解析：选A。，设（三角代换），得，即（化简略）。数量积，转化为三角函数最值问题，解得最大值为。 7.（2023·福建厦门双十中学高三模拟题）已知椭圆的离心率，点在椭圆上，且（为焦点），则的值为（） A. B. C. D. 解析：选B。得，。由椭圆定义，余弦定理，联立得。面积，故比值为。 8.（2024·湖北武汉华中师大一附中高二统考题）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 解析：选B。设直线的倾斜角为，过作准线的垂线，垂足为。由抛物线定义及得，结合几何关系得，故或。 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.（2023·广东广州华南师大附中高三校联考题）已知椭圆，点，过的直线与椭圆交于两点，若，则下列说法正确的是（） A. 直线的斜率存在且不为 B. 存在直线使得 C. 点到直线的距离最大值为 D. 的面积最大值为 解析：选BCD。设直线，联立椭圆得。由得，代入化简得或不存在，A错误；验证得B正确；点到直线距离，最大值为，C正确；面积，最大值为，D正确。 10.（2024·山东青岛二中高二期末考试题）已知双曲线，为左、右焦点，点在双曲线上，满足，则下列结论正确的是（） A. 的面积为 B. C. 点的轨迹方程为 D. 的内切圆半径为 解析：选ACD。，。由知在圆上，C正确；联立双曲线与圆得，面积，A正确；，结合，得，B错误；内切圆半径，D正确。 11.（2023·江苏苏州中学高三模拟题）已知抛物线，点在抛物线上，为原点，若，则下列说法正确的是（） A. 直线恒过定点 B. 的面积最小值为 C. D. 线段的中点的轨迹为抛物线 解析：选ABCD。设，由得，直线方程为，过定点，A正确；面积，B正确；，C正确；中点满足，，消去参数得，为抛物线，D正确。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（2024·四川成都七中高二统考题）已知椭圆，点在椭圆上，且（为焦点），则点的纵坐标为。 解析：设，，，，数量积为。联立椭圆方程，消去得，即。 13.（2023·河南郑州一中高三期中考试题）已知双曲线，点在双曲线右支上，，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为。 解析：设，则，，得。内切圆半径，代入化简得，故。 14.（2024·安徽合肥一中高二期末考试题）已知抛物线，点，过的直线与抛物线交于两点，若（为原点）的平分线与轴重合，用三角代换法求得直线的斜率为。 解析：设（由角平分线条件知关于轴对称），代入直线过得，即，直线斜率。 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）（2023·全国新高考Ⅰ卷改编题）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，过的直线与椭圆交于两点，且。 （1）求椭圆的方程； （2）若的面积为，求直线的方程。 解析 （1）（5分）设，，，即，。 ，，数量积为。 又，联立得，故。 椭圆方程为。 （2）（8分）设直线，，联立椭圆得。 ，。 。 解得，即。 直线的方程为。 16.（15分）（2024·广东深圳实验学校高三模拟题）已知抛物线，焦点为，点在轴上，过的直线与抛物线交于两点，且（为原点）。 （1）求点的坐标； （2）若，且与抛物线交于两点，证明：为定值。 解析 （1）（5分）设，直线，联立抛物线得。 ，。 ，解得或（舍去）。 故的坐标为。 （2）（10分）由（1）知直线，则。 因为，所以直线的斜率为，方程为，联立抛物线得。 。 ，化简得定值。 17.（15分）（2023·山东济南历城二中高三期中考试题）已知双曲线的离心率，且过点，点在双曲线上，（为原点）与轴正方向的夹角为。 （1）求双曲线的方程； （2）求的取值范围。 解析 （1）（5分）得，，双曲线方程为。 代入点得，即。 双曲线方程为。 （2）（10分）设，则，。 由双曲线方程得，即。 因为，所以，即。 故的取值范围为。 18.（17分）（2024·湖南长郡中学高三模拟题）已知椭圆，左、右焦点分别为，点在椭圆上，且在第一象限，点满足。 （1）求点的轨迹方程； （2）若点的轨迹与轴交于两点，过的直线与轨迹交于两点，与椭圆交于两点，求的最大值。 解析 （1）（7分）设，。 由得，即，。 因为在椭圆上，代入得，化简得。 故点的轨迹方程为。 （2）（10分）由（1）得，设直线。 联立的轨迹方程得，解得，。 联立椭圆方程得，解得，。 ，令，化简得最大值为。 19.（17分）（2023·湖北武汉二中高三校联考题）已知抛物线，点在抛物线上，且（为焦点）。 （1）求抛物线的方程； （2）过的直线与抛物线交于两点，若，用三角代换法求直线的方程； （3）在（2）的条件下，求的面积。 解析 （1）（5分）由抛物线定义得，解得。 抛物线方程为。 （2）（6分），设（三角代换），由得，即，。 结合抛物线性质解得，代入得，，故。 直线的方程为。 （3）（6分）点到直线的距离。 。 。 人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 16.圆锥曲线与向量、三角的综合应用（同步练） （拓展培优版）（原卷版） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（2023·山东历城二中高三期中考试题）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则的面积为（） A. B. C. D. 2.（2024·广东深圳中学高二期末考试题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若（为原点），则点的横坐标为（） A. B. C. D. 3.（2023·河北衡水中学高三模拟题）已知双曲线的一条渐近线为，点在双曲线上，若（为原点）与轴正方向的夹角为，则的最小值为（） A. B. C. D. 4.（2024·湖南雅礼中学高二统考题）已知椭圆，点，过的直线与椭圆交于两点，若，则直线的斜率为（） A. B. C. D. 5.（2023·江苏南京金陵中学高三期中考试题）在抛物线上有一点，以为圆心，为半径的圆交抛物线的准线于两点，若为等边三角形，则的值为（） A. B. C. D. 6.（2024·浙江杭州二中高二期末考试题）已知双曲线，点在双曲线上，若（为原点），则与（为右焦点）的数量积最大值为（） A. B. C. D. 7.（2023·福建厦门双十中学高三模拟题）已知椭圆的离心率，点在椭圆上，且（为焦点），则的值为（） A. B. C. D. 8.（2024·湖北武汉华中师大一附中高二统考题）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.（2023·广东广州华南师大附中高三校联考题）已知椭圆，点，过的直线与椭圆交于两点，若，则下列说法正确的是（） A. 直线的斜率存在且不为 B. 存在直线使得 C. 点到直线的距离最大值为 D. 的面积最大值为 10.（2024·山东青岛二中高二期末考试题）已知双曲线，为左、右焦点，点在双曲线上，满足，则下列结论正确的是（） A. 的面积为 B. C. 点的轨迹方程为 D. 的内切圆半径为 11.（2023·江苏苏州中学高三模拟题）已知抛物线，点在抛物线上，为原点，若，则下列说法正确的是（） A. 直线恒过定点 B. 的面积最小值为 C. D. 线段的中点的轨迹为抛物线 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（2024·四川成都七中高二统考题）已知椭圆，点在椭圆上，且（为焦点），则点的纵坐标为________。 13.（2023·河南郑州一中高三期中考试题）已知双曲线，点在双曲线右支上，，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________。 14.（2024·安徽合肥一中高二期末考试题）已知抛物线，点，过的直线与抛物线交于两点，若（为原点）的平分线与轴重合，用三角代换法求得直线的斜率为________。 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）（2023·全国新高考Ⅰ卷改编题）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，过的直线与椭圆交于两点，且。 （1）求椭圆的方程； （2）若的面积为，求直线的方程。 16.（15分）（2024·广东深圳实验学校高三模拟题）已知抛物线，焦点为，点在轴上，过的直线与抛物线交于两点，且（为原点）。 （1）求点的坐标； （2）若，且与抛物线交于两点，证明：为定值。 17.（15分）（2023·山东济南历城二中高三期中考试题）已知双曲线的离心率，且过点，点在双曲线上，（为原点）与轴正方向的夹角为。 （1）求双曲线的方程； （2）求的取值范围。 18.（17分）（2024·湖南长郡中学高三模拟题）已知椭圆，左、右焦点分别为，点在椭圆上，且在第一象限，点满足。 （1）求点的轨迹方程； （2）若点的轨迹与轴交于两点，过的直线与轨迹交于两点，与椭圆交于两点，求的最大值。 19.（17分）（2023·湖北武汉二中高三校联考题）已知抛物线，点在抛物线上，且（为焦点）。 （1）求抛物线的方程； （2）过的直线与抛物线交于两点，若，用三角代换法求直线的方程； （3）在（2）的条件下，求的面积。 原卷版答案 一、单选题 1. B 2. C 3. A 4. C 5. D 6. A 7. B 8. B 二、多选题 9. BCD 10. ACD 11. ABCD 三、填空题 12. 13. 14. 四、解答题 15.（1） （2） 16.（1） （2）定值 17.（1） （2） 18.（1） （2） 19.（1） （2） （3） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 16.圆锥曲线与向量、三角的综合应用（同步练） （拓展培优版）（解析版） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（2023·山东历城二中高三期中考试题）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则的面积为（） A. B. C. D. 解析：选B。由椭圆方程得，故。设，则。由知，故。联立得，则。 2.（2024·广东深圳中学高二期末考试题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若（为原点），则点的横坐标为（） A. B. C. D. 解析：选C。设，，则，。数量积为，即。令，解得，则横坐标。 3.（2023·河北衡水中学高三模拟题）已知双曲线的一条渐近线为，点在双曲线上，若（为原点）与轴正方向的夹角为，则的最小值为（） A. B. C. D. 解析：选A。渐近线斜率，即。设，由夹角为得，代入双曲线方程得，即在渐近线上。双曲线顶点到渐近线的距离为，结合双曲线性质，最小值为。 4.（2024·湖南雅礼中学高二统考题）已知椭圆，点，过的直线与椭圆交于两点，若，则直线的斜率为（） A. B. C. D. 解析：选C。设，由得，，即，。代入椭圆方程得，两式相减化简得，结合直线过，得斜率。 5.（2023·江苏南京金陵中学高三期中考试题）在抛物线上有一点，以为圆心，为半径的圆交抛物线的准线于两点，若为等边三角形，则的值为（） A. B. C. D. 解析：选D。设，准线方程。圆半径，点到准线的距离。由等边三角形性质得，化简得，则，故。 6.（2024·浙江杭州二中高二期末考试题）已知双曲线，点在双曲线上，若（为原点），则与（为右焦点）的数量积最大值为（） A. B. C. D. 解析：选A。，设（三角代换），得，即（化简略）。数量积，转化为三角函数最值问题，解得最大值为。 7.（2023·福建厦门双十中学高三模拟题）已知椭圆的离心率，点在椭圆上，且（为焦点），则的值为（） A. B. C. D. 解析：选B。得，。由椭圆定义，余弦定理，联立得。面积，故比值为。 8.（2024·湖北武汉华中师大一附中高二统考题）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 解析：选B。设直线的倾斜角为，过作准线的垂线，垂足为。由抛物线定义及得，结合几何关系得，故或。 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.（2023·广东广州华南师大附中高三校联考题）已知椭圆，点，过的直线与椭圆交于两点，若，则下列说法正确的是（） A. 直线的斜率存在且不为 B. 存在直线使得 C. 点到直线的距离最大值为 D. 的面积最大值为 解析：选BCD。设直线，联立椭圆得。由得，代入化简得或不存在，A错误；验证得B正确；点到直线距离，最大值为，C正确；面积，最大值为，D正确。 10.（2024·山东青岛二中高二期末考试题）已知双曲线，为左、右焦点，点在双曲线上，满足，则下列结论正确的是（） A. 的面积为 B. C. 点的轨迹方程为 D. 的内切圆半径为 解析：选ACD。，。由知在圆上，C正确；联立双曲线与圆得，面积，A正确；，结合，得，B错误；内切圆半径，D正确。 11.（2023·江苏苏州中学高三模拟题）已知抛物线，点在抛物线上，为原点，若，则下列说法正确的是（） A. 直线恒过定点 B. 的面积最小值为 C. D. 线段的中点的轨迹为抛物线 解析：选ABCD。设，由得，直线方程为，过定点，A正确；面积，B正确；，C正确；中点满足，，消去参数得，为抛物线，D正确。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（2024·四川成都七中高二统考题）已知椭圆，点在椭圆上，且（为焦点），则点的纵坐标为。 解析：设，，，，数量积为。联立椭圆方程，消去得，即。 13.（2023·河南郑州一中高三期中考试题）已知双曲线，点在双曲线右支上，，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为。 解析：设，则，，得。内切圆半径，代入化简得，故。 14.（2024·安徽合肥一中高二期末考试题）已知抛物线，点，过的直线与抛物线交于两点，若（为原点）的平分线与轴重合，用三角代换法求得直线的斜率为。 解析：设（由角平分线条件知关于轴对称），代入直线过得，即，直线斜率。 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）（2023·全国新高考Ⅰ卷改编题）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，过的直线与椭圆交于两点，且。 （1）求椭圆的方程； （2）若的面积为，求直线的方程。 解析 （1）（5分）设，，，即，。 ，，数量积为。 又，联立得，故。 椭圆方程为。 （2）（8分）设直线，，联立椭圆得。 ，。 。 解得，即。 直线的方程为。 16.（15分）（2024·广东深圳实验学校高三模拟题）已知抛物线，焦点为，点在轴上，过的直线与抛物线交于两点，且（为原点）。 （1）求点的坐标； （2）若，且与抛物线交于两点，证明：为定值。 解析 （1）（5分）设，直线，联立抛物线得。 ，。 ，解得或（舍去）。 故的坐标为。 （2）（10分）由（1）知直线，则。 因为，所以直线的斜率为，方程为，联立抛物线得。 。 ，化简得定值。 17.（15分）（2023·山东济南历城二中高三期中考试题）已知双曲线的离心率，且过点，点在双曲线上，（为原点）与轴正方向的夹角为。 （1）求双曲线的方程； （2）求的取值范围。 解析 （1）（5分）得，，双曲线方程为。 代入点得，即。 双曲线方程为。 （2）（10分）设，则，。 由双曲线方程得，即。 因为，所以，即。 故的取值范围为。 18.（17分）（2024·湖南长郡中学高三模拟题）已知椭圆，左、右焦点分别为，点在椭圆上，且在第一象限，点满足。 （1）求点的轨迹方程； （2）若点的轨迹与轴交于两点，过的直线与轨迹交于两点，与椭圆交于两点，求的最大值。 解析 （1）（7分）设，。 由得，即，。 因为在椭圆上，代入得，化简得。 故点的轨迹方程为。 （2）（10分）由（1）得，设直线。 联立的轨迹方程得，解得，。 联立椭圆方程得，解得，。 ，令，化简得最大值为。 19.（17分）（2023·湖北武汉二中高三校联考题）已知抛物线，点在抛物线上，且（为焦点）。 （1）求抛物线的方程； （2）过的直线与抛物线交于两点，若，用三角代换法求直线的方程； （3）在（2）的条件下，求的面积。 解析 （1）（5分）由抛物线定义得，解得。 抛物线方程为。 （2）（6分），设（三角代换），由得，即，。 结合抛物线性质解得，代入得，，故。 直线的方程为。 （3）（6分）点到直线的距离。 。 。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $