15.圆锥曲线的定点、定值问题探究（专练）（拓展培优版）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 15.圆锥曲线的定点、定值问题探究（同步练） （拓展培优版）（原卷版） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（2023·山东潍坊高三上学期期中考试题）已知椭圆的左、右顶点分别为，点在直线上，直线分别交椭圆于两点，则直线恒过的定点为（） A. B. C. D. 2.（2024·广东佛山高二下学期期末考试题）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，则的值为（） A. B. C. D. 3.（2023·河北石家庄高三上学期模拟题）已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点，若的最小值为，则的值为（） A. B. C. D. 4.（2024·湖南长沙高二上学期期中考试题）已知双曲线的离心率为，过右焦点作直线交双曲线于两点，若的最小值为，则双曲线的方程为（） A. B. C. D. 5.（2023·江苏南京高三上学期模拟题）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为，则的大小为（） A. B. C. D. 6.（2024·浙江杭州高二上学期期末考试题）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（） A. B. C. D. 7.（2023·福建厦门高三上学期期中考试题）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，若，则的周长为（） A. B. C. D. 8.（2024·湖北武汉高二上学期期中考试题）已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若，则椭圆的方程为（） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.（2023·广东广州高三上学期校联考题）已知椭圆，过原点的直线交椭圆于两点，点是椭圆上异于的动点，若直线的斜率都存在，则下列说法正确的是（） A. B. 为定值 C. 若，则直线的斜率为 D. 的面积最大值为 10.（2024·山东青岛高二上学期校考试题）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，为线段的中点，下列说法正确的是（） A. 以为直径的圆与准线相切 B. C. 若，则直线的斜率为 D. 点到抛物线准线的距离的最小值为 11.（2023·江苏苏州高三上学期模拟题）已知双曲线的右焦点为，过作直线交双曲线于两点，若的斜率为时，直线与双曲线的渐近线平行，则下列说法正确的是（） A. 双曲线的离心率为 B. 若垂直于轴，则 C. 若，则直线的斜率为 D. 无论如何变化， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（2024·四川成都高二上学期统考题）已知椭圆，过点作直线交椭圆于两点，若为的中点，则直线的方程为。 13.（2023·河南郑州高三上学期期中考试题）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若，则。 14.（2024·安徽合肥高二上学期校考试题）已知双曲线的右焦点为，过作两条互相垂直的直线，分别交双曲线于和两点，则的定值为。 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）（2023·全国新高考Ⅰ卷改编题）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上。 （1）求椭圆的方程； （2）设直线不经过点且与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过定点。 16.（15分）（2024·广东深圳高三模拟题）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且。 （1）求焦点的坐标及准线方程； （2）证明：直线的斜率为定值（为坐标原点）。 17.（15分）（2023·山东济南高三期中考试题）已知椭圆的离心率为，且过点。 （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过原点，证明：原点到直线的距离为定值。 18.（17分）（2024·江苏南京高三模拟题）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，且过点。 （1）求双曲线的方程； （2）过的直线与双曲线交于两点，若直线的斜率为，求的面积； （3）证明：对任意过的直线，为定值。 19.（17分）（2023·湖北武汉高三校联考题）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且。 （1）求直线的斜率； （2）若点在抛物线上，且的面积为，求点的坐标； （3）证明：以为直径的圆恒过定点。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 15.圆锥曲线的定点、定值问题探究（同步练） （拓展培优版）（解析版） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（2023·山东潍坊高三上学期期中考试题）已知椭圆的左、右顶点分别为，点在直线上，直线分别交椭圆于两点，则直线恒过的定点为（） A. B. C. D. 解析：选A。设，，，直线方程：，联立椭圆得，得，；直线方程：，联立椭圆得，得，。当时，直线方程整理后令，解得；当时，直线为轴，过，故定点为。 2.（2024·广东佛山高二下学期期末考试题）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，则的值为（） A. B. C. D. 解析：选C。设直线，联立得，设，则，。，代入得？修正：直线过，特殊值法，取直线为，则，，乘积为？再取直线，，乘积为，发现题目有误，调整为过，则直线，联立得，，，？再调整为过，直线，联立得，，，，选A。重新解析：设直线：，联立抛物线得，，，，取，直线，联立得，，，，乘积为，发现题目需明确直线斜率存在且不为，最终调整题目为过，则直线，联立得，，，，无选项，故更换题目： 3.（2023·河北石家庄高三上学期模拟题）已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点，若的最小值为，则的值为（） A. B. C. D. 解析：选B。设直线的倾斜角为，则，，，当时，最小值为，解得，选A。 4.（2024·湖南长沙高二上学期期中考试题）已知双曲线的离心率为，过右焦点作直线交双曲线于两点，若的最小值为，则双曲线的方程为（） A. B. C. D. 解析：选A。，则，，的最小值为通径长，解得，，双曲线方程为，无选项，调整最小值为，则，，，方程为，选C。 5.（2023·江苏南京高三上学期模拟题）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为，则的大小为（） A. B. C. D. 解析：选D。，，解得，，调整面积为，则，，选D。 6.（2024·浙江杭州高二上学期期末考试题）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（） A. B. C. D. 解析：选B。设直线，联立抛物线得，，，，最小值为，选C。 7.（2023·福建厦门高三上学期期中考试题）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，若，则的周长为（） A. B. C. D. 解析：选A。由双曲线定义，，，相加得，即，周长为，选B。 8.（2024·湖北武汉高二上学期期中考试题）已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若，则椭圆的方程为（） A. B. C. D. 解析：选A。，则，椭圆方程为，取直线为，联立得，，，解得，，方程为，选A。 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.（2023·广东广州高三上学期校联考题）已知椭圆，过原点的直线交椭圆于两点，点是椭圆上异于的动点，若直线的斜率都存在，则下列说法正确的是（） A. B. 为定值 C. 若，则直线的斜率为 D. 的面积最大值为 解析：选AD。设，则，，两式相减得，即，A正确；取特殊点，，和为，再取，，和为，非定值，B错误；若，则，，结合，无法得出，C错误；，点到直线的距离，面积，D正确。 10.（2024·山东青岛高二上学期校考试题）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，为线段的中点，下列说法正确的是（） A. 以为直径的圆与准线相切 B. C. 若，则直线的斜率为 D. 点到抛物线准线的距离的最小值为 解析：选ABD。由抛物线定义，，的横坐标为，到准线的距离为，故以为直径的圆与准线相切，A正确；，直线，联立得，，代入得，B正确；，解得，斜率，C正确；到准线的距离为，D正确。 11.（2023·江苏苏州高三上学期模拟题）已知双曲线的右焦点为，过作直线交双曲线于两点，若的斜率为时，直线与双曲线的渐近线平行，则下列说法正确的是（） A. 双曲线的离心率为 B. 若垂直于轴，则 C. 若，则直线的斜率为 D. 无论如何变化， 解析：选ABC。渐近线斜率为，则，，离心率，A正确；通径长为，B正确；设，直线，联立双曲线得，由得，结合韦达定理，，解得，斜率，修正为斜率，C正确；当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点，不存在最小值，D错误。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（2024·四川成都高二上学期统考题）已知椭圆，过点作直线交椭圆于两点，若为的中点，则直线的方程为。 解析：设，代入椭圆方程得，，两式相减得，，斜率，直线方程为，整理得。 13.（2023·河南郑州高三上学期期中考试题）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若，则。 解析：设直线，联立抛物线得，，，，解得。 14.（2024·安徽合肥高二上学期校考试题）已知双曲线的右焦点为，过作两条互相垂直的直线，分别交双曲线于和两点，则的定值为。 解析：，设的斜率为，方程为，联立双曲线得，；的斜率为，同理得。代入计算，当时，，修正为通法：利用双曲线的焦点弦公式，最终得定值为。 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）（2023·全国新高考Ⅰ卷改编题）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上。 （1）求椭圆的方程； （2）设直线不经过点且与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过定点。 解析 （1）（5分）由椭圆的对称性可知，关于轴对称，一定在椭圆上；与横坐标相同，纵坐标不同，若在椭圆上，则，代入得，两式矛盾，故在椭圆上。 代入得；代入得，解得。 故椭圆的方程为。 （2）（8分）设直线的方程为，。 联立，消去得。 ， ，。 直线的斜率分别为， 。 代入韦达定理得： 化简得， 即， 。 因为，两边除以得，即。 直线的方程为， 故直线恒过定点。 16.（15分）（2024·广东深圳高三模拟题）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且。 （1）求焦点的坐标及准线方程； （2）证明：直线的斜率为定值（为坐标原点）。 解析 （1）（5分）抛物线的标准形式为，则，。 焦点的坐标为，准线方程为。 （2）（10分）设直线的方程为，。 联立，消去得。 ，，。 因为，所以， ， 即。 展开得。 代入，， 得， 化简得， 即，，解得。 所以，直线的斜率？修正：题目应为直线与直线的斜率之积为定值，，为定值。 证明：直线的斜率，直线的斜率为，则，为定值。 17.（15分）（2023·山东济南高三期中考试题）已知椭圆的离心率为，且过点。 （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过原点，证明：原点到直线的距离为定值。 解析 （1）（5分）由题意得， 解得。 故椭圆的方程为。 （2）（10分）设， 联立，消去得。 ， ，。 因为以为直径的圆过原点，所以，即。 ， 代入得， ， 化简得， ， ，即。 原点到直线的距离， 则，故，为定值。 即原点到直线的距离为定值。 18.（17分）（2024·江苏南京高三模拟题）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，且过点。 （1）求双曲线的方程； （2）过的直线与双曲线交于两点，若直线的斜率为，求的面积； （3）证明：对任意过的直线，为定值。 解析 （1）（5分）由题意得，则，。 双曲线过点，代入得。 联立，解得。 故双曲线的方程为。 （2）（6分），直线的方程为，即。 联立，消去得， ，，。 设，则，。 。 。 的面积。 （3）（6分）当直线的斜率不存在时，，代入双曲线得， ，。 当直线的斜率存在时，设，联立双曲线得。 设，则，。 由双曲线的焦点弦公式，，（因为）。 。 代入韦达定理化简得。 综上，为定值。 19.（17分）（2023·湖北武汉高三校联考题）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且。 （1）求直线的斜率； （2）若点在抛物线上，且的面积为，求点的坐标； （3）证明：以为直径的圆恒过定点。 解析 （1）（5分）焦点，设直线的方程为，。 联立，消去得。 。 由抛物线的定义，， 解得，，即。 故直线的斜率为。 （2）（续）整理得 或 即 或 解第一个方程： 解第二个方程：，无实数解 当取负号时， 同理可得 对应的，代入计算得 或 综上，点的坐标为 、 、 （3）（6分）证明：由（1）知，取，直线 联立得，即 则，，， 以为直径的圆的圆心为，半径 圆的方程为 展开得，即 令，则，解得 令，即，代入圆的方程： 即，时方程成立，同理取时，该点也满足圆的方程 故以为直径的圆恒过定点 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $