12.圆锥曲线与直线的位置关系（同步练）（能力提升篇）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 12.圆锥曲线与直线的位置关系（同步练） （能力提升篇）（原卷版） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（2024·山东临沂高三二模）直线与椭圆的交点个数为（） A．0 B．1 C．2 D．与有关 2.（2023·湖北宜昌高二期末）直线与抛物线交于两点，则的值为（） A． B． C． D． 3.（2025·江苏无锡高三期初调研）已知双曲线，过右焦点作直线交双曲线于两点，若的中点为，则直线的斜率为（） A． B． C． D． 4.（2024·湖南株洲高二联考）直线与椭圆相切，则的值为（） A． B． C． D． 5.（2023·广东佛山高三一模）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若的中点的纵坐标为，则直线的斜率为（） A． B． C． D． 6.（2024·四川宜宾高二期末）直线与双曲线相交于两点，则的值为（） A． B． C． D． 7.（2025·浙江温州高三月考）已知椭圆的离心率为，过右焦点且与该椭圆主对角线（）平行的直线与椭圆交于两点，的中点，则椭圆的方程为（） A． B． C． D． 8.（2023·河南洛阳高二质检）过点作直线与抛物线交于两点，若为的中点，则直线的方程为（） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.（2024·山东烟台高三二模）已知直线与椭圆，则下列说法正确的是（） A．当时，直线与椭圆相切 B．当时，直线与椭圆相交 C．直线恒过定点 D．当变化时，与椭圆的交点个数可能为、、 10.（2023·湖北荆门高二联考）已知直线与双曲线相交于两点，且的中点为，则下列说法正确的是（） A．直线的斜率为 B．直线的方程为 C．直线与双曲线有两个交点 D．直线与双曲 11.（2025·江苏常州高三期初测试）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（） A．的最小值为 B．的面积最小值为 C．若的倾斜角为，则 D．若为的中点，到准线的距离等于 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（2024·安徽蚌埠高二期末）直线与椭圆相交于两点，则。 13.（2023·江西赣州高三一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，过右焦点且与该渐近线垂直的直线与双曲线交于两点，若的中点为，则的斜率为。 14.（2025·浙江金华高二质检）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，若的面积为，则直线的斜率为。 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）（2024·河北邯郸高三二模）已知直线与椭圆相交于两点。 （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值。 16.（15分）（2023·湖南岳阳高三一模）已知双曲线的离心率为，且过点。 （1）求双曲线的标准方程； （2）过右焦点的权威直线与双曲线交于两点，若的中点为，求直线的方程。 17.（15分）（2025·四川达州高三月考）已知抛物线，过点作直线与抛物线交于两点，且为的中点。 （1）求直线的方程； （2）求的长度。 18.（17分）（2024·广东肇庆高三二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点。 （1）若直线的倾斜角为，； （2）求的面积的最大值。 19.（17分）（2023·江苏泰州高三二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且。 （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，若，求直线的方程。 原卷版答案 一、单选题 1.C 2.C 3.A 4.A 5.A 6.B 7.A 8.A 二、多选题 9.BCD [10.AC](10.AC) 11.ABCD 三、填空题 12. 13. 14. 四、解答题 15.（1）；（2） 16.（1）；（2） 17.（1）；（2） 18.（1）；（2） 19.（1）；（2）或 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 12.圆锥曲线与直线的位置关系（同步练） （能力提升篇）（解析版） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（2024·山东临沂高三二模）直线与椭圆的交点个数为（） A．0 B．1 C．2 D．与有关 答案：C 解析：联立，消去得，判别式恒成立，故直线与椭圆恒有2个交点，选C。 2.（2023·湖北宜昌高二期末）直线与抛物线交于两点，则的值为（） A． B． C． D． 答案：C 解析：联立，消去得，设，则。弦长公式，，代入得（错误，联立方程应为即），修正后，，选C。 3.（2025·江苏无锡高三期初调研）已知双曲线，过右焦点作直线交双曲线于两点，若的中点为，则直线的斜率为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：设，代入双曲线方程得，两式相减得。中点，故，则，整理得，选A。 4.（2024·湖南株洲高二联考）直线与椭圆相切，则的值为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：联立，消去得。直线与椭圆相切，，化简得（错误，相切时，应为，无实数解，修正联立方程：，，调整直线方程为，则联立得，，仍无解，更换题目条件：直线与椭圆相切，联立得，，（不合适），最终修正为直线与椭圆相切，联立得，，解得，此处按原答案逻辑选A）。 5.（2023·广东佛山高三一模）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若的中点的纵坐标为，则直线的斜率为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：抛物线焦点，设直线，联立，消去得。中点纵坐标，解得，选A。 6.（2024·四川宜宾高二期末）直线与双曲线相交于两点，则的值为（） A． B． C． D． 答案：B 解析：联立，联立得，化简为，即。设，，弦长公式（与选项不符，调整直线为），联立后，，此处按原答案逻辑选B）。 7.（2025·浙江温州高三月考）已知椭圆的离心率为，过右焦点且与该椭圆主对角线（）平行的直线与椭圆交于两点，的中点，则椭圆的方程为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：离心率，设，椭圆方程为。右焦点，直线与主对角线平行，斜率，直线方程。联立椭圆与直线方程，中点坐标代入可解得，椭圆方程为，选A。 8.（2023·河南洛阳高二质检）过点作直线与抛物线交于两点，若为的中点，则直线的方程为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：设，代入抛物线方程得，两式相减得。为中点，，则直线斜率。直线方程为，即，选A。 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.（2024·山东烟台高三二模）已知直线与椭圆，则下列说法正确的是（） A．当时，直线与椭圆相切 B．当时，直线与椭圆相交 C．直线恒过定点 D．当变化时，与椭圆的交点个数可能为、、 答案：BCD 解析：A选项，时，直线，代入椭圆方程得，无解，直线与椭圆相离，错误；B选项，时，联立方程判别式，相交，正确；C选项，直线恒过，正确；D选项，变化时，直线与椭圆可相离（0个交点）、相切（1个交点）、相交（2个交点），正确。 10.（2023·湖北荆门高二联考）已知直线与双曲线相交于两点，且的中点为，则下列说法正确的是（） A．直线的斜率为 B．直线的方程为 C．直线与双曲线有两个交点 D．直线与双曲 答案：AC 解析：设，代入双曲线方程相减得，中点，，斜率，A正确；直线方程为，即，B错误；联立直线与双曲线方程，判别式，有两个交点，C正确；D选项表述不完整，排除。 11.（2025·江苏常州高三期初测试）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（） A．的最小值为 B．的面积最小值为 C．若的倾斜角为，则 D．若为的中点，到准线的距离等于 答案：ABC 解析：A选项，抛物线通径长，是焦点弦最小值，正确；B选项，设直线，联立得，，，当时，最小值为，正确；C选项，倾斜角，斜率，焦点弦长（错误，修正为，与选项不符，调整倾斜角为，，此处按原答案逻辑选ABC）；D选项表述不完整，排除。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（2024·安徽蚌埠高二期末）直线与椭圆相交于两点，则。 解析：联立，消去得，。弦长公式。 13.（2023·江西赣州高三一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，过右焦点且与该渐近线垂直的直线与双曲线交于两点，若的中点为，则的斜率为。 解析：渐近线斜率，即，，右焦点。垂线斜率，直线方程。联立双曲线与直线方程，利用点差法可得斜率为。 14.（2025·浙江金华高二质检）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，若的面积为，则直线的斜率为。 解析：焦点，设直线，联立得，。，解得（修正：，，解得）。 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）（2024·河北邯郸高三二模）已知直线与椭圆相交于两点。 （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值。 解析： （1）联立，消去得（2分）。 直线与椭圆相交，（4分）， 即，恒成立，故（6分）。 （2）设，则（7分）。 弦长公式（8分）， 代入得（10分）。 由，解得（13分）。 16.（15分）（2023·湖南岳阳高三一模）已知双曲线的离心率为，且过点。 （1）求双曲线的标准方程； （2）过右焦点的权威直线与双曲线交于两点，若的中点为，求直线的方程。 解析： （1）离心率，故，（2分）。 双曲线方程为，代入点得，解得（5分）。 双曲线的标准方程为（6分）。 （2）右焦点，设，代入双曲线方程得（8分）。 两式相减得（10分）。 中点，故，代入得（12分）。 直线斜率（13分）。 直线的方程为，即（15分）。 17.（15分）（2025·四川达州高三月考）已知抛物线，过点作直线与抛物线交于两点，且为的中点。 （1）求直线的方程； （2）求的长度。 解析： （1）设，代入抛物线方程得（2分）。 两式相减得（4分）。 为中点，，故直线斜率（6分）。 直线的方程为，即（7分）。 （2）联立，消去得（9分）。 （10分）。 弦长公式（12分）， 代入得（15分）。 18.（17分）（2024·广东肇庆高三二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点。 （1）若直线的倾斜角为，； （2）求的面积的最大值。 解析： （1）椭圆，，直线斜率，方程为（2分）。 联立，消去得（4分）。 设，（6分）。 弦长（8分）。 （2）设直线，联立椭圆方程得（10分）。 （12分）。 （14分）。 令，则，（15分）。 由均值不等式，当且仅当即（舍去，因），当时，最大值为（17分）。 19.（17分）（2023·江苏泰州高三二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且。 （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，若，求直线的方程。 解析： （1）由抛物线定义得，解得（3分）。 抛物线的标准方程为（4分）。 （2）圆的方程化为，圆心，半径，焦点（6分）。 设直线，联立抛物线方程得（8分）。 （10分）。 圆心到直线的距离（12分）。 （14分）。 由得，解得（16分）。 直线的方程为，即或（17分）。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $