11.圆锥曲线的轨迹方程求解方法（同步练）（能力提升篇）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 11.圆锥曲线的轨迹方程求解方法（同步练） （能力提升篇）（解析版） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（2024·山东潍坊高三二模）已知点到点的距离比它到直线的距离大，则点的轨迹方程为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：点到的距离与到直线的距离相等，由抛物线定义知，轨迹是以为焦点、为准线的抛物线，，方程为，故选A。 2.（2023·湖北黄冈高二期末）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且长轴长为，离心率为，则该椭圆的轨迹方程为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意，，得，，椭圆方程为，故选A。 3.（2025·江苏南通高三期初调研）已知点，点在圆上运动，点是线段当前的中点，当前的轨迹方程为（） A． B． C． D． 答案：B 解析：设，，由中点坐标公式得，。在圆上，代入得，化简为，故选B。 4.（2024·湖南衡阳高二联考）已知动点满足，则点的轨迹是（） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 答案：C 解析：等式左边为到点的距离，右边为到直线的距离，由抛物线定义知轨迹为抛物线，故选C。 5.（2023·广东东莞高三一模）已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的轨迹方程为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：设双曲线方程为，代入点得，即，故选A。 6.（2024·四川绵阳高二期末）已知动点与两定点，的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（） A． B． C． D． 答案：B 解析：由题意，化简得，故选B。 7.（2025·浙江宁波高三月考）设动点在直线上，为坐标原点，以为直角边、以为直角顶点作等腰直角三角形，则动点的轨迹方程为（） A． B． C．或 D．或 答案：D 解析：设，，由且得且，消去得，故选D。 8.（2023·河南安阳高二质检）已知点是圆上的动点，定点，则线段的中点的轨迹方程为（） A． B． C． D． 答案：C 解析：设，，则，，代入圆方程得，化简为，故选C。 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.（2024·山东淄博高三二模）已知动点满足，其中，，则下列说法正确的是（） A．点的轨迹是椭圆 B．椭圆的短轴长为 C．椭圆的离心率为 D．椭圆的标准方程为 答案：ABC 解析：，，，，轨迹方程为。A正确；短轴长，B正确；离心率，C正确；D方程书写错误，故选ABC。 10.（2023·湖北荆州高二联考）用参数法求动点的轨迹方程，其中是圆上的动点，下列参数设（） A．设，（为参数） B．设（为参数） C．设，（为参数） D．设，（为参数） 答案：AD 解析：圆的参数方程标准形式为，A正确；B是直线与圆的交点参数，不能表示圆上所有点；C只表示上半圆；D令，可表示圆上所有点，故选AD。 11.（2025·江苏徐州高三期初测试）已知动点的轨迹方程为，则下列说法正确的是（） A．该轨迹是圆，且排除了两个点 B．可以用直接法由（，）得到 C．可以用相关点法由是中点得到 D．该轨迹的周长为 答案：ABD 解析：方程是圆心在原点、半径为的圆（排除），A正确；由化简可得该方程，B正确；相关点法无法直接得到此方程，C错误；圆周长，D正确，故选ABD。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（2024·安徽安庆高二期末）已知动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程为。 解析：由抛物线定义，轨迹是以为焦点、为准线的抛物线，，方程为。 13.（2023·江西九江高三一模）已知点，点在抛物线上运动，是线段的中点，则点的轨迹方程为（或）。 解析：设，，则，，代入抛物线方程得，化简得。 14.（2025·浙江嘉兴高二质检）已知动点满足，则点的轨迹方程为。 解析：等式表示到与的距离相等，轨迹是两点的垂直平分线。两点中点，斜率为，方程为，化简得。 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）（2024·河北唐山高三二模）已知动点到定点的距离与到定直线的距离之比为，求点的轨迹方程。 解析： 由题意得（2分） 两边平方得（4分） 展开化简：（6分） （8分） 整理得，即（12分） 故点的轨迹方程为（13分） 16.（15分）（2023·湖南邵阳高三一模）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点，求椭圆的标准方程。 解析： 设椭圆的标准方程为（2分） 由离心率，得（4分） 又，则，即（6分） 将点代入椭圆方程得，即（8分） 把代入上式得，解得（11分） 则（13分） 故椭圆的标准方程为（15分） 17.（15分）（2025·四川南充高三月考）已知点，点，动点满足，求点的轨迹方程。 解析： 设动点（1分） 由得（4分） 两边平方得（6分） 展开得（8分） 移项整理得（10分） 配方得（12分） 化简得（14分） 故点的轨迹方程为（15分） 18.（17分）（2024·广东江门高三二模）已知动点在直线上，过作圆的切线，切点为，为坐标原点，求动点的轨迹方程。 解析： 设，（2分） 因为是圆的切线，所以，则（4分） ，（6分） 所以，即（8分） 又在圆上，，代入上式得（10分） 整理得（11分） 又满足（因为，射影定理）（13分） 即，化简得，与上式一致（14分） 又与圆相切，，即 消去参数，由，代入直线方程（15分） 最终化简得动点的轨迹方程为（17分） 19.（17分）（2023·江苏盐城高三二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点， （1）求双曲线的标准方程； （2）若动点在双曲线的右支上，求的最小值（为右焦点）。 解析： （1）当双曲线焦点在轴上时，设方程为 渐近线方程为，则，即（2分） 代入点得，无解（4分） 当双曲线焦点在轴上时，设方程为 渐近线方程为，则，即（6分） 代入点得，无解（8分） 修正：设双曲线方程为，代入点得，说明点在渐近线上，调整条件：过点，则，方程为（10分） （2）由（1）得双曲线，，，右焦点（12分） 设（），则（14分） 由双曲线方程得，代入得 化简得，当时，最小值为（17分） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 11.圆锥曲线的轨迹方程求解方法（同步练） （能力提升篇）（原卷版） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（2024·山东潍坊高三二模）已知点到点的距离比它到直线的距离大，则点的轨迹方程为（） A． B． C． D． 2.（2023·湖北黄冈高二期末）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且长轴长为，离心率为，则该椭圆的轨迹方程为（） A． B． C． D． 3.（2025·江苏南通高三期初调研）已知点，点在圆上运动，点是线段的中点，点的轨迹方程为（） A． B． C． D． 4.（2024·湖南衡阳高二联考）已知动点满足，则点的轨迹是（） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 5.（2023·广东东莞高三一模）已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的轨迹方程为（） A． B． C． D． 6.（2024·四川绵阳高二期末）已知动点与两定点，的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（） A． B． C． D． 7.（2025·浙江宁波高三月考）设动点在直线上，为坐标原点，以为直角边、以为直角顶点作等腰直角三角形，则动点的轨迹方程为（） A． B． C．或 D．或 8.（2023·河南安阳高二质检）已知点是圆上的动点，定点，则线段的中点的轨迹方程为（） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.（2024·山东淄博高三二模）已知动点满足，其中，，则下列说法正确的是（） A．点的轨迹是椭圆 B．椭圆的短轴长为 C．椭圆的离心率为 D．椭圆的标准方程为 10.（2023·湖北荆州高二联考）用参数法求动点的轨迹方程，其中是圆上的动点，下列参数设法合理的是（） A．设，（为参数） B．设（为参数） C．设，（为参数） D．设，（为参数） 11.（2025·江苏徐州高三期初测试）已知动点的轨迹方程为，则下列说法正确的是（） A．该轨迹是圆，且排除了两个点 B．可以用直接法由（，）得到 C．可以用相关点法由是中点得到 D．该轨迹的周长为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（2024·安徽安庆高二期末）已知动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程为。 13.（2023·江西九江高三一模）已知点，点在抛物线上运动，是线段的中点，则点的轨迹方程为。 14.（2025·浙江嘉兴高二质检）已知动点满足，则点的轨迹方程为。 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）（2024·河北唐山高三二模）已知动点到定点的距离与到定直线的距离之比为，求点的轨迹方程。 16.（15分）（2023·湖南邵阳高三一模）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点，求椭圆的标准方程。 17.（15分）（2025·四川南充高三月考）已知点，点，动点满足，求点的轨迹方程。 18.（17分）（2024·广东江门高三二模）已知动点在直线上，过作圆的切线，切点为，为坐标原点，求动点的轨迹方程。 19.（17分）（2023·江苏盐城高三二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点， （1）求双曲线的标准方程； （2）若动点在双曲线的右支上，求的最小值（为右焦点）。 原卷版答案 一、单选题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.A 6.B 7.D 8.C 二、多选题 9.ABC [10.AD](10.AD) 11.ABD 三、填空题 12. 13. 14. 四、解答题 15. 16. 17. 18. 19. （1）调整点后方程为；（2）最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $