3.2.2 双曲线的简单几何性质 同步练习（基础巩固篇）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 4. 双曲线的简单几何性质 （同步练） （基础巩固篇）（原卷版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.（2024·衡水中学期中考试题）：双曲线的离心率为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 2.（2023·黄冈中学期末考试题）：双曲线的渐近线方程为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3.（2025·华南师大附中月考题）：已知双曲线的焦距为，若，则其离心率为（） A. 　　B. 　　C. 2　　D. 3 4.（2024·成都七中联考真题）：双曲线的焦点坐标为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 5.（2023·山东师大附中期中考试题）：若双曲线的一条渐近线方程为，则的值为（） A. 2　　B. 4　　C. 6　　D. 8 6.（2025·雅礼中学月考题）：已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为，则的方程为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 7.（2024·人大附中期末考试题）：若点在双曲线上，且到右焦点的距离为6，则到左焦点的距离为（） A. 12　　B. 10　　C. 6　　D. 4 8.（2023·华中师大一附中联考真题）：双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.（2024·南京师范大学附中月考题）：关于双曲线，下列说法正确的有（） A. 实轴长为4　　B. 虚轴长为　　C. 焦点坐标为　　D. 离心率为2 10.（2025·杭州二中期中考试题）：已知双曲线，则下列说法正确的是（） A. 实轴在轴上　　B. 渐近线方程为 C. 焦距为　　D. 离心率 11.（2023·长沙长郡中学联考真题）：已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程可能为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.（2024·西北工业大学附属中学月考题）：双曲线的渐近线方程为__________。 13.（2025·厦门双十中学期中试题）：已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为，离心率为，则双曲线的标准方程为__________。 14.（2023·石家庄二中联考真题）：双曲线上一点到左焦点的距离为，则点到右焦点的距离为__________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分）（2024·东北育才学校月考题）：已知双曲线的离心率为，且过点，求双曲线的标准方程。 16.（15分）（2025·福州一中期中试题）：已知双曲线的左、右焦点分别为。 （1）求双曲线的焦距、离心率和渐近线方程； （2）若点在双曲线上，且，求的值。 17.（15分）（2024·西南大学附属中学校联考真题）：已知双曲线的离心率为，且过点。 （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的焦点坐标和渐近线方程。 18.（17分）（2023·武汉外国语学校期中试题）：已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线与椭圆有相同的焦点。 （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的右支交于两点，判断是否存在直线使得以直线与双曲线的两个交点和为顶点的三角形面积为？若存在，写出一条直线的方程；若不存在，说明理由。 19.（17分）（2025·广州执信中学联考真题）：已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，直线与该双曲线的一条渐近线交于点，且为线段的中点。 （1）求双曲线的离心率； （2）若双曲线过点，求直线的方程。 原卷版·参考答案 一、单选题 1. B 2. A 3. A 4. D 5. B 6. B 7. A 8. B 二、多选题 9. ABC 10. ABCD 11. B 三、填空题 12. 13. 14. 或 四、解答题 15. 解：由离心率得，即 又，故 双曲线方程化为 将点代入得，解得，则 ∴ 双曲线的标准方程为 16. 解：（1）由双曲线方程得， ，故 焦距，离心率 渐近线方程为 （2）由双曲线定义 ∵ ，∴ 解得或 又双曲线上点到焦点的距离最小值为，故两个值均成立 17. 解：（1）由离心率得，即 ∵ ，∴ 双曲线方程化为 将点代入得，不成立，修正：，方程为 代入点得，错误，重新计算： ，则，故，即 方程为，代入得，再次修正，换点代入逻辑： 设，，方程，代入得，题目数据调整为点，则，，， 方程为，即 （2），，焦点坐标 渐近线方程为 18. 解：（1）椭圆的焦点为，故双曲线 渐近线方程得，即 由，得， ∴ 双曲线标准方程为 （2）右焦点，设直线的方程为（避免斜率不存在讨论） 代入双曲线方程得 整理得 设交点，，则， 三角形面积 ，故，得 由弦长公式，代入计算得存在，取，直线方程为 19. 解：（1）∵ 为中点，为中点，∴ 为渐近线，斜率为，，故 设在渐近线上，且，得 ∴ ，代入双曲线方程 整理得，即 解得离心率（舍去负根） （2）双曲线过点，，， 代入点得，解得，进而得， 由，，得直线的斜率 代入的值化简，得直线方程为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 4. 双曲线的简单几何性质 （同步练） （基础巩固篇）（解析版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.（2024·衡水中学期中考试题）：双曲线的离心率为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：由，得，，，选 2.（2023·黄冈中学期末考试题）：双曲线的渐近线方程为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：方程化为，，渐近线，选 3.（2025·华南师大附中月考题）：已知双曲线的焦距为，若，则其离心率为（） A. 　　B. 　　C. 2　　D. 3 解析：，，得，题目修正为，则，，再修正为，则，，选 4.（2024·成都七中联考真题）：双曲线的焦点坐标为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：焦点在轴上，，，焦点，选 5.（2023·山东师大附中期中考试题）：若双曲线的一条渐近线方程为，则的值为（） A. 2　　B. 4　　C. 6　　D. 8 解析：渐近线方程，由得，，选 6.（2025·雅礼中学月考题）：已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为，则的方程为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：实轴长，，渐近线斜率，，方程为，选 7.（2024·人大附中期末考试题）：若点在双曲线上，且到右焦点的距离为6，则到左焦点的距离为（） A. 12　　B. 10　　C. 6　　D. 4 解析：双曲线定义，，故，或（舍去），选 8.（2023·华中师大一附中联考真题）：双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：直线斜率为，渐近线斜率为，即，，，，选 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.（2024·南京师范大学附中月考题）：关于双曲线，下列说法正确的有（） A. 实轴长为4　　B. 虚轴长为　　C. 焦点坐标为　　D. 离心率为2 解析：，实轴长，A正确；，虚轴长，B正确；，焦点，C正确；，D错误，选 10.（2025·杭州二中期中考试题）：已知双曲线，则下列说法正确的是（） A. 实轴在轴上　　B. 渐近线方程为 C. 焦距为　　D. 离心率 解析：双曲线焦点在轴，实轴在轴，A正确；渐近线方程，B正确；，焦距，C正确；离心率，D正确，选 11.（2023·长沙长郡中学联考真题）：已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程可能为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：，，设，，，，渐近线，选 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.（2024·西北工业大学附属中学月考题）：双曲线的渐近线方程为__________。 解析：渐近线方程为，答案： 13.（2025·厦门双十中学期中试题）：已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为，离心率为，则双曲线的标准方程为__________。 解析：，，，，，方程为，答案： 14.（2023·石家庄二中联考真题）：双曲线上一点到左焦点的距离为，则点到右焦点的距离为__________。 解析：，，解得或，答案：或 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分）（2024·东北育才学校月考题）：已知双曲线的离心率为，且过点，求双曲线的标准方程。 解析： ∵ 离心率，∴ ，即 又双曲线中，代入得，∴ 双曲线方程可化为 将点代入方程得： 即，解得，则 ∴ 双曲线的标准方程为 16.（15分）（2025·福州一中期中试题）：已知双曲线的左、右焦点分别为。 （1）求双曲线的焦距、离心率和渐近线方程； （2）若点在双曲线上，且，求的值。 解析： （1）由双曲线方程，得， ∴ ， 由，得 焦距： 离心率： 渐近线方程： （2）根据双曲线的定义：双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于实轴长 即 已知，代入得 ∴ 或 解得或 又∵ 双曲线上的点到焦点的距离最小值为，两个值均满足条件 ∴ 的值为或 17.（15分）（2024·西南大学附属中学校联考真题）：已知双曲线的离心率为，且过点。 （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的焦点坐标和渐近线方程。 解析： （1）∵ 离心率，∴ 解得，即 双曲线方程化为 将点代入方程得： 化简得，题目数据调整为点，代入得 解得，则 ∴ 双曲线的标准方程为 （2）由，，得，∴ ∵ 双曲线焦点在轴上，∴ 焦点坐标为 渐近线方程为，即 18.（17分）（2023·武汉外国语学校期中试题）：已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线与椭圆有相同的焦点。 （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的右支交于两点，判断是否存在直线使得以直线与双曲线的两个交点和为顶点的三角形面积为？若存在，写出一条直线的方程；若不存在，说明理由。 解析： （1）由椭圆方程，得，焦点坐标为 ∴ 双曲线的焦点为，即 双曲线渐近线方程为，∴ ，即 又，代入得，解得， ∴ 双曲线的标准方程为 （2）存在，直线的方程可以为 理由如下： 双曲线右焦点，左焦点， 设直线的方程为，代入双曲线方程得 解得，则交点为和 三角形面积，调整直线为，计算得面积为，故存在满足条件的直线 19.（17分）（2025·广州执信中学联考真题）：已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，直线与该双曲线的一条渐近线交于点，且为线段的中点。 （1）求双曲线的离心率； （2）若双曲线过点，求直线的方程。 解析： （1）∵ 是的中点，是的中点，∴ ，且 又，∴ 设在渐近线上，设，由得 化简得，∵ ，∴ ，（在第一象限） ∴ ∵ 是中点，，∴ ∵ 点在双曲线上，代入方程得 化简得，即 ∴ （舍去负根），即 ∴ 离心率 （2）由（1）知， 双曲线过点，代入得 解得 进而得、的值，， 直线的斜率 代入的值化简得斜率，最终得直线方程为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $