3.3.2抛物线的简单几何性质 同步练（基础巩固篇）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第三章 圆锥曲线的方程 6. 抛物线的简单几何性质 （同步练） （基础巩固篇）（原卷版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.（2024·衡水中学期中考试题）：抛物线的焦点到准线的距离为（） A. 2　　B. 4　　C. 8　　D. 16 2.（2023·黄冈中学期末考试题）：已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的纵坐标为（） A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 3.（2025·华南师大附中月考题）：抛物线的焦点坐标及准线方程分别是（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4.（2024·成都七中联考真题）：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，若，则线段中点到准线的距离为（） A. 3　　B. 4　　C. 5　　D. 6 5.（2023·山东师大附中期中考试题）：已知抛物线的离心率为，则的值为（） A. 　　B. 1　　C. 　　D. 6.（2025·雅礼中学月考题）：已知抛物线上任意一-点，满足该点到点的距离与到准线的距离之和最小的点的坐标为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 7.（2024·人大附中期末考试题）：直线与抛物线交于两点，则的值为（） A. 6　　B. 8　　C. 10　　D. 12 8.（2023·华中师大一附中联考真题）：已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.（2024·南京师范大学附中月考题）：关于抛物线，下列说法正确的有（） A. 焦点坐标为　　B. 准线方程为 C. 通径长为12　　D. 离心率为 10.（2025·杭州二中期中考试题）：已知抛物线，过其焦点作直线交抛物线于两点，则下列说法正确的是（） A. 抛物线的对称轴为轴　　B. 焦点到准线的距离为 C. 　　D. 抛物线上任意一点的离心率为1 11.（2023·长沙长郡中学联考真题）：已知抛物线的焦点为，直线过且与该抛物线</p> 11.（2023·长沙长郡中学联考真题）：已知抛物线的焦点为，直线过且与该抛物线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（） A. 若，则的中点距离准线为4　　B. 若，则直线的斜率为 C. 过的行线交准线为行线交准线为，则共线　　D. 若行线交准线为，则共线 11.（2023·长沙长郡中学联考真题）：已知抛物线的焦点为，直线过且与该抛物线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（） A. 若，则的中点距离准线为4　　B. 若，则直线过定点 C. 过作准线的垂线交准线于，则共线　　D. 线段的中点</p> 11.（2023·长沙长郡中学联考真题）：已知抛物线的焦点为，直线过且与该抛物线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（） A. 若，则的中点到准线的距离为4 B. 若，则直线的方程为 C. 过作准线的垂线交准线于，则三点共线 D. 线段的中点横坐标的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.（2024·西北工业大学附属中学月考题）：抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的横坐标为__________。 13.（2025·厦门双十中学期中试题）：已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且通径长为8，则该抛物线的标准方程为__________。 14.（2023·石家庄二中联考真题）：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，若，则直线的斜率为__________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分）（2024·东北育才学校月考题）：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且。 （1）求抛物线的标准方程； （2）求点的坐标。 16.（15分）（2025·福州一中期中试题）：已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且，的中点到轴的距离为3。 （1）求的值； （2）求直线的方程。 17.（15分）（2024·西南大学附属中学校联考真题）：已知抛物线的焦点为，直线过点且斜率为，交抛物线于两点。 （1）若，求的长度； （2）若，求的取值范围。 18.（17分）（2023·武汉外国语学校期中试题）：已知抛物线，点在抛物线上，点</p> 18.（17分）（2023·武汉外国语学校期中试题）：已知抛物线，点在抛物线上，点，求的最小值（为抛物线的焦点），并求此时点的坐标。 19.（17分）（2025·广州执信中学联考真题）：已知抛物线，直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点）。 （1）求抛物线的标准方程； （2）求的面积。 原卷版·参考答案 一、单选题 1. B 2. B 3. B 4. C 5. B 6. A 7. B 8. B 二、多选题 9. ABC 10. ABD 11. ACD 三、填空题 12. 13. 或 14. 四、解答题 15. 解：（1）由抛物线定义得，解得，抛物线方程为 （2）将代入得，，点坐标为或 16. 解：（1）设，，中点为，，由抛物线定义，解得 （2）抛物线方程为，焦点，设直线，联立得，，直线方程为（为任意实数） 17. 解：（1）焦点，直线，联立得，， （2）设直线，联立得，，解得，取值范围为 18. 解：抛物线准线为，过作准线垂线，垂足为，则，（为到准线垂足），，此时纵坐标为2，代入得，，最小值为4 19. 解：（1）联立得，，，由得，解得，抛物线方程为 （2），，原点到直线距离，面积 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一第三章 圆锥曲线的方程 6. 抛物线的简单几何性质 （同步练） （基础巩固篇）（解析版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.（2024·衡水中学期中考试题）：抛物线的焦点到准线的距离为（） A. 2　　B. 4　　C. 8　　D. 16 解析：抛物线中，，，焦点到准线的距离为，选 2.（2023·黄冈中学期末考试题）：已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的纵坐标为（） A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 解析：抛物线的准线方程为，由抛物线定义，点到焦点距离等于到准线距离，即，，选 3.（2025·华南师大附中月考题）：抛物线的焦点坐标及准线方程分别是（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：抛物线中，，，焦点，准线，选 4.（2024·成都七中联考真题）：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，若，则线段中点到准线的距离为（） A. 3　　B. 4　　C. 5　　D. 6 解析：设，，中点为，由抛物线定义，，，准线，中点到准线距离为，选 5.（2023·山东师大附中期中考试题）：已知抛物线的离心率为，则的值为（） A. 　　B. 1　　C. 　　D. 解析：抛物线的离心率恒为1，选 6.（2025·雅礼中学月考题）：已知抛物线上任意一点，满足该点到点的距离与到准线的距离之和最小的点的坐标为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：抛物线焦点，点到准线距离等于到焦点距离，故距离和为，当且仅当在与抛物线交点时取等号，方程为，交点为，选 7.（2024·人大附中期末考试题）：直线与抛物线交于两点，则的值为（） A. 6　　B. 8　　C. 10　　D. 12 解析：直线过抛物线焦点，联立得，，由焦点弦长公式，选 8.（2023·华中师大一附中联考真题）：已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：设抛物线方程为，准线，由抛物线定义，又，解得，方程为，选 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.（2024·南京师范大学附中月考题）：关于抛物线，下列说法正确的有（） A. 焦点坐标为　　B. 准线方程为 C. 通径长为12　　D. 离心率为 解析：中，，焦点，准线，通径长，抛物线离心率为1，A、B、C正确，D错误，选 10.（2025·杭州二中期中考试题）：已知抛物线，过其焦点作直线交抛物线于两点，则下列说法正确的是（） A. 抛物线的对称轴为轴　　B. 焦点到准线的距离为 C. 　　D. 抛物线上任意一点的离心率为1 解析：抛物线对称轴为轴，焦点到准线距离为，离心率为1，A、B、D正确；焦点弦长，C错误，选 11.（2023·长沙长郡中学联考真题）：已知抛物线的焦点为，直线过且与该抛物线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（） A. 若，则的中点到准线的距离为4 B. 若，则直线的方程为 C. 过作准线的垂线交准线于，则三点共线 D. 线段的中点横坐标的最小值为1 解析：A选项，由焦点弦长公式，中点横坐标，到准线距离为4，正确；B选项，设直线，联立得，时，解得，直线方程为，正确；C选项，设，，，，三点共线，正确；D选项，中点横坐标，化简得，最小值为1，正确；选 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.（2024·西北工业大学附属中学月考题）：抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的横坐标为__________。 解析：抛物线中，，由抛物线定义，解得，答案： 13.（2025·厦门双十中学期中试题）：已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且通径长为8，则该抛物线的标准方程为__________。 解析：通径长，，对称轴为轴，方程为或，答案：或 14.（2023·石家庄二中联考真题）：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，若，则直线的斜率为__________。 解析：设直线倾斜角为，由抛物线焦点弦性质，结合，解得，，，又，解得，，斜率为，答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分）（2024·东北育才学校月考题）：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且。 （1）求抛物线的标准方程； （2）求点的坐标。 解析： （1）抛物线的焦点，准线方程为 由抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，即 解得 ∴ 抛物线的标准方程为 （2）将点代入，得 解得 ∴ 点的坐标为或 16.（15分）（2025·福州一中期中试题）：已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且，的中点到轴的距离为3。 （1）求的值； （2）求直线的方程。 解析： （1）设，，的中点为 由题意得，根据抛物线的定义，焦点弦长 又，且 ∴ ，解得 （2）由（1）得抛物线的标准方程为，焦点 ∵ 直线过焦点，当直线斜率不存在时，，故斜率存在 设直线的方程为 联立，消去得 恒成立 ∴ 直线的方程为（为任意实数） 17.（15分）（2024·西南大学附属中学校联考真题）：已知抛物线的焦点为，直线过点且斜率为，交抛物线于两点。 （1）若，求的长度； （2）若，求的取值范围。 解析： （1）抛物线的焦点，准线方程为 当时，直线的方程为 联立，消去得 设，，由韦达定理得 由焦点弦长公式，得 ∴ 的长度为 （2）设直线的方程为（，时直线与抛物线只有一个交点） 联立，消去得 恒成立 由韦达定理得 由焦点弦长公式得 ∵ ，∴ ，解得，即 当时，直线与抛物线无两个交点，舍去 ∴ 的取值范围为 18.（17分）（2023·武汉外国语学校期中试题）：已知抛物线，点在抛物线上，点，求的最小值（为抛物线的焦点），并求此时点的坐标。 解析： 抛物线的焦点，准线方程为 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，即（为到准线的垂足） ∴ 根据几何性质，（为到准线的垂足），当且仅当在与抛物线的交点时取等号 点到准线的距离 此时点的纵坐标与的纵坐标相同，即 将代入，得，解得 ∴ 的最小值为，此时点的坐标为 19.（17分）（2025·广州执信中学联考真题）：已知抛物线，直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点）。 （1）求抛物线的标准方程； （2）求的面积。 解析： （1）联立直线与抛物线的方程 消去得，整理得 设，，由韦达定理得， ∵ ，∴ ，即 ∴ ，解得 ∴ 抛物线的标准方程为 （2）由（1）得， 弦长（为直线的斜率） 原点到直线的距离 ∴ 的面积 即的面积为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $