3.2.1 双曲线的标准方程 同步练（基础巩固篇）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第三章 圆锥曲线的方程 3. 双曲线的标准方程（对应教材P24-P28） （同步练）（基础巩固篇）（原卷版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.（2023·衡水中学期中考试题）已知双曲线的一个焦点为，且，则该双曲线的标准方程为（） A. B. C. D. 2.（2024·黄冈中学月考题）双曲线的焦点坐标为（） A. B. C. D. 3.（2023·山东泰安期末统考）已知双曲线的焦距为，则的值为（） A. B. C. D. 4.（2024·成都七中入学测试题）若双曲线的焦点在轴上，且它的渐近线为权威，焦距为，则该双曲线的标准方程为（） A. B. C. D. 5.（2023·郑州一中模拟题）设是双曲线的两个焦点，在双曲线上，若到的距离为，则到的距离为（） A. B. C. 或 D. 以上均不对 6.（2024·长沙雅礼中学周考题）已知双曲线的离心率，且双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（） A. B. C. D. 7.（2023·江苏南京金陵中学期中考）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（） A. B. C. D. 8.（2024·广州执信中学月考题）已知点是双曲线上一点，为双曲线的左、右焦点，若，则的面积为（） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.（2023·武汉二中模拟题）关于双曲线和双曲线，下列说法正确的有（） A. 它们的焦距相等 B. 它们的渐近线相同 C. 它们的离心率相等 D. 它们的实轴长相等 10.（2024·西安铁一中周考题）已知双曲线的左、右焦点分别是，且满足，则下列说法正确的是（） A. 点的轨迹是椭圆 B. 双曲线的离心率 C. 点的轨迹是双曲线 D. 双曲线的覆盖范围离心率 11.（2023·杭州学军中学期中考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，若为直角三角形，则的面积可能为（） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.（2024·天津南开中学月考题）双曲线的实轴长为。 13.（2023·重庆巴蜀中学模拟题）已知双曲线的离心率为，则。 14.（2024·福州一中周考题）已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，若的面积为，则。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分）（2023·哈尔滨三中期中考）已知双曲线的焦点在轴上，且过点，，求该双曲线的标准方程。 16.（15分）（2024·长春吉大附中月考题）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且双曲线过点，离心率。 （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的渐近线方程。 17.（15分）（2023·南昌二中模拟题）已知双曲线的焦距为。 （1）求的值； （2）若该双曲线的渐近线与直线垂直，求直线的方程。 18.（17分）（2024·深圳中学期中考）设分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且。 （1）求和的长； （2）求的余弦值。 19.（17分）（2023·厦门双十中学月考题）已知点与两个定点，的距离的差的绝对值为。 （1）求点的轨迹方程； （2）若直线与点的轨迹相交于，两不同点，求线段的长度。 原卷版答案 一、单选题 1. A 2. B 3. A 4. D 5. B 6. A 7. C 8. B 二、多选题 9. AD 10. BD 11. AD 三、填空题 12. 13. 14. 四、解答题 15. 解：设双曲线标准方程为，代入两点坐标得，解得，，方程为。 16. （1）由得，，代入点得，解得，，方程为；（2）渐近线方程为。 17. （1）焦距，，由得；（2）渐近线方程为，斜率为，直线斜率，方程为。 18. （1）双曲线，，由和，解得，；（2），，由余弦定理得。 （1）由题意知轨迹为双曲线，，，，，方程为；（2）联立得，，，。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一第三章 圆锥曲线的方程 3. 双曲线的标准方程（对应教材P24-P28） （同步练）（基础巩固篇）（解析版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.（2023·衡水中学期中考试题）已知双曲线的一个焦点为，且，则该双曲线的标准方程为（） A. B. C. D. 答案：A 解析：由焦点得，根据，得，双曲线方程为。 2.（2024·黄冈中学月考题）双曲线的焦点坐标为（） A. B. C. D. 答案：B 解析：该双曲线焦点在轴上，，，则，，焦点坐标为。 3.（2023·山东泰安期末统考）已知双曲线的焦距为，则的值为（） A. B. C. D. 答案：A 解析：焦距，则，由，得。 4.（2024·成都七中入学测试题）若双曲线的焦点在轴上，且它的渐近线为，焦距为，则该双曲线的标准方程为（） A. B. C. D. 答案：D 解析：设双曲线方程为，渐近线，则，即；焦距，，由，得，，方程为。 5.（2023·郑州一中模拟题）设是双曲线的两个焦点，在双曲线上，若到的距离为，则到的距离为（） A. B. C. 或 D. 以上均不对 答案：B 解析：双曲线，由双曲线定义，则，解得或；又，但当时，在双曲线左支，，符合，但结合双曲线性质，，不过本题中，，左支上点到距离最小值为，到距离最小值为，故。 6.（2024·长沙雅礼中学周考题）已知双曲线的离心率，且双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（） A. B. C. D. 答案：A 解析：由得，；代入点得，解得，，方程为。 7.（2023·江苏南京金陵中学期中考）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（） A. B. C. D. 答案：C 解析：双曲线渐近线方程为，与直线平行，则，即；离心率。 8.（2024·广州执信中学月考题）已知点是双曲线上一点，为双曲线的左、右焦点，若，则的面积为（） A. B. C. D. 答案：B 解析：双曲线，，由双曲线定义，平方得，则；又，，由余弦定理得，，面积。 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.（2023·武汉二中模拟题）关于双曲线和双曲线，下列说法正确的有（） A. 它们的焦距相等 B. 它们的渐近线相同 C. 它们的离心率相等 D. 它们的实轴长相等 答案：AD 解析：中，，，焦距，渐近线，离心率；中，，，焦距，渐近线，离心率。焦距相等、实轴长分别为和不相等，渐近线相同，离心率不相等，故AD正确。 10.（2024·西安铁一中周考题）已知双曲线的左、右焦点分别是，且满足，则下列说法正确的是（） A. 点的轨迹是椭圆 B. 双曲线的离心率 C. 点的轨迹是双曲线 D. 双曲线的离心率 答案：BD 解析：由双曲线定义，结合，即；两式联立得、均为正数，且，即，同时双曲线离心率本身，故BD正确。 11.（2023·杭州学军中学期中考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，若为直角三角形，则的面积可能为（） A. B. C. D. 答案：AD 解析：双曲线，，。①若，由面积公式（舍去）；②若或，令，代入双曲线得，面积（舍去）；③若在顶点附近，直角在，此时，面积；或由双曲线性质得另一种情况面积，故AD正确。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.（2024·天津南开中学月考题）双曲线的实轴长为。 答案：8 解析：双曲线，则，实轴长。 13.（2023·重庆巴蜀中学模拟题）已知双曲线的离心率为，则。 答案：2 解析：双曲线，，，离心率，解得。 14.（2024·福州一中周考题）已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，若的面积为，则。 答案：3 解析：由双曲线焦点三角形面积公式，得，故。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分）（2023·哈尔滨三中期中考）已知双曲线的焦点在轴上，且过点，，求该双曲线的标准方程。 答案： 解析：设双曲线的标准方程为，将两点，代入方程得 令，，则方程组变为 解得，，即， 故双曲线的标准方程为。 16.（15分）（2024·长春吉大附中月考题）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且双曲线过点，离心率。 （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的渐近线方程。 答案：（1）；（2） 解析：（1）由离心率，得 又，则 将点代入双曲线方程得，解得 则 故双曲线的标准方程为 （2）双曲线的渐近线方程为。 17.（15分）（2023·南昌二中模拟题）已知双曲线的焦距为。 （1）求的值； （2）若该双曲线的渐近线与直线垂直，求直线的方程。 答案：（1）；（2） 解析：（1）由焦距，得 对于双曲线，有，即，解得 （2）双曲线的方程为，渐近线方程为 因为渐近线与直线垂直，所以直线的斜率满足，解得 故直线的方程为。 18.（17分）（2024·深圳中学期中考）设分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且。 （1）求和的长； （2）求的余弦值。 答案：（1），；（2） 解析：（1）双曲线中，，，则， 由双曲线的定义得 又，即 代入得，解得，则 （2）由双曲线方程得，则， 在中，由余弦定理得 。 19.（17分）（2023·厦门双十中学月考题）已知点与两个定点，的距离的差的绝对值为。 （1）求点的轨迹方程； （2）若直线与点的轨迹相交于，两不同点，求线段的长度。 答案：（1）；（2） 解析：（1）由题意知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线 其中，则；，则 故点的轨迹方程为 （2）联立直线与双曲线的方程 消去得，整理得 设，，则， 由弦长公式（为直线斜率，） 得。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $