3.1.1 椭圆及其标准方程-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

参考答案与提示酱超 .A(3x-14,3y-12). 6=。-=2故椭圆C的方程为写+号-1 :点A在圆C上运动， 2.12.提示：由椭圆方程知 .(3x-14-1)+(3y-12-3)2=9, 即(3.x-15)+(3y-15)2=9, a2=9.所以a=3.如图.设 MN的中点为G,点G在椭 即(.x-5)2十(y-5)2=1, 圆C上，因为点M关于C的 .点M的轨迹方程为(x一5)2+(y-5)2=1,它是一 个以(5,5)为圆心、1为半径的圆。 焦点F1,F的对称点分别为 ②假设存在一点T,0,满足品 =入（其中入为 A,B,连接GF.GF,则有1GF=2ANI,GF= 常数). 号BN.所以AN+BN=2(GF,+GF,)= 设P(xy),则 公土 -0+y-示=. 4a=12. 整理化简得x2+y=A(x2-21x++y-21y+ 3√5。提示：如图，取PF的中点M,连接OM,由题意 产). 知OM=OF=2.设椭圆的右焦点为F,连接PF,, ”点P在轨迹Γ上，.(x-5)十(y-5)2=1, 在△PFF中，线段OM为中位线，所以|PFI=4.由 化简得x2+y2=10.z十10y-49. 椭圆的定义知PF|十|PF|=6,所以PF=2.因为 则可得10x+10y-49=2(10x+10y-49-2tx M为线段PF的中点，所以MF1=1.在等腰三角形 21y+2r),整理得x(10-10x+22)+y(10 OMF中，过点O作OH⊥MF于点H,则|OH|= 102+2a2)一49+492-222=0. 1固 ÷/10-10+2a=0 V2-(合）=所以k=n∠H= 49λ2-2x2r=49, 解得1铝 “存在7(8)满足题目条件。 =√15. 第三章圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1,1椭圆及其标准方程 真题演练 学业质量测评 1.B提示：由椭圆C的两个焦点 1.D2.D3.C 为F1(-1,0),F(1.0)知椭圆 4.CD提示：对于A,当1<k<4且k≠2.5时，曲线C是 的焦点在x轴上，且c=1.如图， 椭圆，所以A是假命题：对于B,当k=2.5时，4一k= 设BF|=m,则|AF1=2m, k一1，此时曲线C是圆，所以B是假命题：对于C,若曲 AB=|BF=3m.由椭圆的定 4-k>0. 线C是焦点在y轴上的椭圆，则k一1>0，解得 义及BF1=3m,BF=m,得4m=2a,则m=受， k-1>4一k, |AF|=a,AF=a,由此可得点A在y轴上.设 2.5<<4,所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是 ∠QAF=0为坐标原点)，在△QE中，有mg二 “3<k<4”的必要不充分条件，所以C是真命题：对于 k-1>0, D,若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则4一>0， 在△ABF1中，c0s20 4一k>k-1. 解得1<k<2.5,所以D是真命题 由倍角公式得号=1-2sim0=1一是，解得心=3，则 5.(1)设点E的坐标为(x,y),点P的坐标为(xo),点 31 重滩点手册高中数学选择性必修第一册亿JA [n=r. D的坐标为(，0)，则 即 ∴PF+PR,-(2e)-2×2-16=号>0， 4 2 3%=2. ·∠FPF<受，故B错误： 因为点P)在椭圆2十誉=1上， 由椭圆的定义可得△FPF的周长为2a+2x=42+ 所以c+②=1，即C+y=1. 4,故C正确： 所以点E的轨迹方程是x2十y2=1. 设△F,PE的内切圆半径为，由号·(4巨+)=3 (2)因为点F(-1,0),F(1,0),所以F,F21=2 解得，=32，，故D正确。 因为PFI+|PF2|=2FF=4, 2 所以动点P在以F1,F为焦点的椭圆上，且a=2,c=1, 所以=2-c2=3. 9D提示：设Maw.因为椭调C后+号-1，所 以a=4.b=7,c=3.因为M为C上一点且在第一象 故动点P的轨迹方程是子+芳-1。 限，△MFF,为等腰三角形，所以|MF,|>MFI, 6Λ提示：由题意知，2=0-8=(）=子， MF=FF:|=2c=6.MF:|=2. 在△MF,F中，由余弦定理得cos∠MF,F,= =(2)°= MFE+1FFP-MF:12_62+6-2-17 2MFFF: 2×6X618 d=子g=1,-号61 所以w=MF·s∠MFR-C=6X是-3=号， 7.C提示：如图，延长F:S, F,P,二者相交于点Q,连接 血∠AMF,R:--()=震，所以Sa OS.由题意可得，直线1为 是×MF IXIF,F:IXsin.∠MF,R=号X6X6X 线段F,Q的垂直平分线， S为F:Q的中点， 陋=. 18 且PF:|=|PQL. 10.9:4. 又0为F,F的中点，OS1=号1FQ= 提示：由树圆的方程为5+苦1可得。=8。 =2.由椭圆的定义可知|PF,|+|PF|=2a=6,所以 EP+PQ=号PF,+PE)=a, IPF,IPF:≤(PFPE)=9,当且仅当 2 ∴.S的轨迹为以O为圆心4为半径的圆。 1PF1=|PF|时取等号.由PF|+PF2|=2a=6, ∴S的轨迹所围成的图形的面积为π 可得PF2=6-IPF,I,则IAP-IPF=|AP一 8CD提示：椭圆后+=1，a=2.6=2c (6-PFI)=AP+PFI-6因为AP1+|PFI≥ |AF,(当且仅当P在线段AF,上时取等号)，所以 2,又P为椭圆上一点，不妨设P(,n),m>0,n>0,则 Sam,=号×2Xn=3,解得m=号，故A错误： (AP-PF1)=lAF|-6=V/(0+2)+(46-02 6=4. 背P如，)代人简园方积，相号，园 11.2[22,+∞).提示：因为P.P=0.所以 =1,解得 PF⊥PF.又PFI+|PF|=2a,且PF+PF2 m=,P(,),pR,=( =42,所以|PF|·|PF2|=26,所以S△m= PFPF=F=4,所以6=2.设F(-,0, 2）+号-9+2m.PR=(-2+号 5:(c,0),P(xw).则由P呢，P丽=0得若-2+ 9-2m. =0.所以店-+4号=0.所以后= a 32 参考答案与提示怅超 4.所以专=(-0-4，所以后=心口二 a2-4 r(0,气)，所以△OF的面积S%r=号OE· 又xd∈[0，a2]且a>2,所以a≥8，所以a∈[22.十o). 10F1=2ow 12.(1)由题意可知2a=2√2，即a=2, 因为6+a=a,且x瑞+a≥2abxo地，所 又椭圆过点P(1,号)所以2+办=1，解得6=1 以国为≤学所以5r≥名当组仅当后结= 所以椭圆C的方程为号十y=1 -4b 时，△B0F的面积取得最小值，最小值为名 (2)设M(x,y),N(xg3业)，Q(3m). 3.L.2椭圆的简单几何性质 因为O夜-OM+3O六，所以m=1十3=y+3, 真题演练 因为M,N是椭圆C上的点， 1.A 所以x+2=2,+25=2 提示：愿意得4=百心=豆-又 2 又Q在稀圆易+品=1上，所以云+2=0， 台一5则号=。百，解得a-2(负值合去. 3 所以(.x1+32)+2(1+32)2=20, 2.C提示：设F,F到直线y=x十m的距离分别为 即(x+2)+9(x+25)+(61x十12y1y)=20. d,d,因为F(-√2,0)，F(2,0),所以d= 所以2+9×2+6(xx+2为)=20， 二2+m.d山=l2+m.因为Sag他=2Ss,所 即2y=1g. 视 v2 则直线OM与ON的斜率之积M·w=边业= 2 以号1AB·d山=2X号1AB到·d,即山=2，所以 即直线OM与ON的斜率之积为定值 13.C提示：如图，设M(2m,m),N(2m,一n),则直线 一2+m=22+m,所以m=-号或-3v2.联立 PM的方程为y-m=一之（一2m),直线PN的方 x+3y=3, 消去y得4.2+6mx+3m-3=0,则△= y=x十 程为y十n=(一2m,易得P(2m+2nm-. 36r-16(8r-3>0,解得m<1,所以m=-号 由PM+PN中为定值，且四 3.A提示：设椭圆C的右顶点为B,则直线BP与直线 边形OMPN为平行四边形， AQ关于y轴对称，所以kO=一kg,所以心·kp= 得引PM+|PNP=|OM ON12=5(m+m)为定值 -w烟=一寸=2-1，所以：=复 又P为椭圆上任意一点，则m士m》+m》=1, 418提示：“e-后-子0=6- 即（是+是）m㎡+)+（ě-是）mn=1, 椭圆C的上顶点为A,两个焦点为F,F,连接AF,, △AFF为等边三角形. 从而可得是-是=0.又>b>0,则a=26,即号=2 记直线DE的倾斜角为0，易知0=30° 14.设点Mx),P(x,),Q(22),由题意知x≠ ,过F,且垂直于AF的直线与C交于D,E两点， 0,≠0.直线MP和MQ的方程分别为x1x十边y e=tan30°- ,2x十y= 300s30°-3 2 因为点M在直线MP和MQ上，所以十y%= 由焦点弦长公式可知，|DE|= 2abr a-c cos 0 斤，十3=. 2×2c×3c2 可知P,Q两点的坐标都满足方程xx十hy=仔， ie-ex =6,解得c=3 81 所以直线PQ的方程为xor十y=, :DE为线段AF:的垂直平分线，连接DF,EF,根 则直线PQ与z轴和y轴的交点分别为E(货0)和 据对称性，可得AD=DF2|,AE=EF, 333 第三章 圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1.1椭圆及其标准方程 重点和难点 课标要求 重点：椭圆的定义、几何特征以及标准方程。 1.掌握椭圆的定义. 难，点：椭圆标准方程的推导 2.掌握椭圆的标准方程。 门01必备知识梳理 基础梳理 ☑划重点7 知识点1椭圆的定义 (1)只有当2a>|F1F 椭圆的第一定义：平面内与两个定点F,F2的距离的和等于 时，动，点M的轨迹才是辅国. 而当2a<|FF|时，动，点M 常数2a(2a>|F,F2|)的点M的轨迹叫作椭圆，定点F,F2叫作 的轨迹不存在：当2a=|FF 椭圆的焦点，两焦点间的距离F,F:|叫作椭圆的焦距 时，动点M的轨迹是线 用集合语言叙述为“点集P={MMF|+|MF2|=2a,2a> 段FF, (2)定义的双向运用：一 FF2},其中两点F1,F2叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作 方面，符合定义中条件的动点 椭圆的焦距”， 的轨迹为椭圆；另一方而，捕 圆上的点一定满足定义的条 知识点2椭圆的标准方程 件（即到两焦点的距离之和为 1.椭圆的标准方程 2a). 通记方法 焦点位置 标准方程 焦点 焦距 椭圆的标准方程的结构特征 焦点在x轴上 + =1(a>b>0) F,(-c,0),F(c,0) 2c 及如何判断焦点的位置 (1)结构特征：标准方程 焦点在y轴上 y =1(a>b>0) F(0,-c),Fz(0,c) 2c 右边是，左边是后与芳的 和，并且分母不相等. 2.两种椭圆的比较 (2)判断焦，点位置的方 法：标准方程中含x项的分 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 母较大一焦点在x轴上：标准 相同点 形状，大小相同，a>b>0,6=a-c2,焦距为2c 方程中含y2项的分母较大台 焦点F(-c,0),F(c,0) 焦点F,(0,-c),F(0,c) 焦点在y轴上，因此要根据标 不同点 准方程中分母的大小来判断， 方程 =1(a>b>0) 方程 2人三—1<a6031 简记为“焦点位置看大小，焦 点随着大的跑” 113 更难点手细高中数学选择性必修第-册RUA 重难拓展 重难点1点与椭圆位置关系的判断 (1)根据椭圆的定义判断点P(x,)与椭圆的位置关系 如下： |PF十|PF2<2a台点P在椭圆内： |PF,|+|PF2|=2a台点P在椭圆上； |PF,+|PF2|>2a白点P在椭圆外 (2)对于点P(x0,%)与椭圆的位置关系，有如下结论： ①点P(o)在椭圆外-普+>1： ②点P()在椭圆内=三+<1： ⑧点P)在椭圆上语+答=1. 例D已知椭圆C:亏+ =1,点A(1,1),则点A与椭圆C 的位置关系是( A.点在椭圆上 B.点在椭圆内 C.点在椭圆外 D.无法判断 解析]方法一由椭圆的标准方程知，椭圆的焦点在x轴上， 且a2=9,b=5,则a=3,2a=6,c2=4. 所以椭圆的两个焦点分别为F1(一2,0)，F2(2,0), 且|AF|=√(1+2)+(1-0)2=√/10. |AF2|=√(1-2)+(1-0)7=√2. 因为|AF|+|AF2|=10+√2<6， 所以点A在椭圆C内部。 方法二国为站+号持1，所以点A在描国C内部 答案B 重难点2利用共焦点的椭圆系方程求椭圆的标准方程 与椭圆二+1(@>6>0)有公共焦点的椭圆系方程为 y a2+λ2+ =1o>6>0,6>-.与椭周苦+希=1(a>6> 0)有公共熊点的葡圆系方程为千：十千：=10>6>0，> 22 一λ). 114 第三章 圆锥曲线的方程么出型 例日与椭圆后+号-1有相同焦点，且过点3：5)的椭圆 回拓视野司 椭圆的参数方程 方程为 焦点 标淮 参数 解析由题意，可设椭国的方程为25十入十g十入 x2+y =1(λ>-9). 位置 方程 方程 r-acos o. 又所求椭圆过点(3，√15)， =1 r轴 9+15=1, y=bsin o 所以将(3,5)代入椭圆方程，得25十十9十入 (a>>0) (g为参数) 解得入=11（负值舍去）. x=bcos y轴 a +=1. yasin o 故所求的椭圆方程为56十0子 (a>b>0) (9为参数) 答案 02关键能力提升。 题型方法 右焦点，若 PF·PF P示PE-,则△FPE的面 题型1椭圆定义的应用 积为( ). 1.利用椭圆的定义求轨迹方程 如果平面上的动点P(x,y)满足条件： A.3√3 B.9√3 |PF|+|PF|=2a(定长)，且2a>FF: C.5 D.9 (F,F2为定点)，那么点P的轨迹是以F1,F2 PF·P 为焦点的椭圆.因此，只需选择恰当的坐标系， 解标因为P示PF 就可直接写出椭圆的方程. PFPF2|cos∠FPF 2.利用定义解决与焦点三角形有关的问题 PFPE 设F,F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上 =cos∠FPF,=,所以∠FPF:=牙 的任意一点，当P,F,F2三点不在同一条直线 由题意知a=5,b=3,c=√a2一b=4. 上时，点P,F,F:构成一个三角形，我们把这 记|PF=m,PF2=, 个三角形叫作椭圆的焦点三角形，如图.解题 m2+n2-n=4c2=64,① 时根据椭圆的定义知PF[十|PF2=2a, 多 m+n=2a=10,② |FF2|=2c,再结合三角形的边角关系以及勾 由①②可得mm=12, 股定理、正弦定理、余弦定 y4 1 理、三角形的面积公式等来 所以S△F,PE, 32 2 解决与焦点三角形有关的 33. 问题 答案A 例B(2024·雅礼中学检测)已知P是椭 3利用定义解决最值问题 网后+号1上的点，R,k分别是精圆的左、 利用椭圆定义的变形，即|PF|=2a 115 更难食手册高中数学选择性必修第一册UA PF2或|PF2|=2a一|PF1,可使有关椭圆的 最值问题得到解决。 a22 1成号+若-1a60 例④(2024·襄阳五中单元测试)已知F (3)寻关系：根据已知条件列出关于a,b的 是横圆写十苦-1的左焦点，P是树圆上的动 方程组， (4)得方程：解方程组，得出椭圆方程. 点，A(1,1)为定点，则|PA|+|PFI的最小值 例固求满足下列条件的椭圆的标准方程： 是(). (1)焦点坐标分别为(0，一2)，(0,2)，经过 A.9-√2 B.6-√2 点(4,3√2)： C.3+√2 D.6+√2 解析如图，连接F2A并延长交椭圆于点 (②)经过两点2，-②.(-1，). P,连接PF1,P是椭圆上任意一点，连接 解析(1)因为椭圆的焦点在y轴上， PF.PF2.PA. 所以可设它的标准方程为 +F=1(a> b>0). 方法一由椭圆的定义可知2a W(4-0)2+(32+2)2+(4-0)2+(32-2)2 PF+PA+AF>PF+ =6十√2+6-√2=12，解得a=6. PF2 而从点P到点P位置时，PF十PF2= 又c=2,所以b=√a-c2=4√2. PF+PF=PF+PA+AF. 所以精围的标准方程为需+最一1 .PF+PA+AF>P'F+ P'A|+|AF2. 方法二因为所求椭圆过点(4,3√2)， .PF+PA>P'F+P'A= |PF,|+|PF2一AF2|=6-2(当且仅当 又c2=a2-=4,可解得a2=36.b=32, 点P与点P'重合时取等号). 2 答秦B 所以精圆的标准方程为 3632=1. 题型2求椭圆标准方程的方法 (2)设椭圆的一般方程为Az2十BY=1(A 1.待定系数法 0,B>0,A≠B).分别将两点的坐标(2，一√2)， 待定系数法就是由题设条件确定方程的 类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的 (一1，咨)代入描圆的一般方程。 参数，可归纳为“先定位，后定量”，一般步骤 4A+2B=1, A=8 如下： 得 解得 (1)先定位：根据条件判定焦点在x轴上 A+4B=1. B=1 4 还是在y轴上，还是两个都有可能. (2)设方程：根据上述判断设椭圆方程为 所以所求椭圈的标准方程为。+兰-L 116 第三章圆维曲线的方程么型 2.直接法 4.转代法（又称相关点法或代入法】 例⑥已知△ABC的两个顶点坐标分别是 有些问题中，其动点满足的条件不便用等 B(0,6)和C(0,一6)，边AB,AC所在直线的斜 式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关 率的乘积是一号，求顶点A的轨迹方程。 点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明 解析]设顶点A的坐标为(x,y), 显的或是可分析的，这时我们可以用动点坐标 则ks=y二6，k=y+6 表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即 可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方 依题意得5.=一号化简可得顶 法叫作转代法. 例8如图，已知点B的坐标为(2,0)，P 点A的轨迹方程为81十36一IC2<0) 是以点O为圆心的单位圆上的动点（不与点 3.定义法 C,D重合)，∠POB的平分线交直线PB于点 用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分 Q,求点Q的轨迹方程 析已知条件，看所求动点轨迹中的动点是否符 合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定 系数法求解即可 例7(2024·六安一中单元测试)一动圆 过定点A(2,0),且与定圆B:x2十4x十y 解析由三角形的角平分线性质知 BQ 32=0内切，则动圆圆心M的轨迹方程是 QP OB 解析圆B的方程化为标准形式为(x十 OP =2, 2)2+y2=36, ..BQ=2QP. 其圆心为B(一2,0)，半径R=6. 设点Q(x,y),P(0y)(y%≠0)， 设动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r, 则(x-2,y)=2(x0-x,一y), 由题意可知，|MB|=R-r,又r=|MA, =3x-2 所以|MB|=R-IMA,故MB|+|MA|= x-2=2.xo-2.x, 2 6>AB引=4.由椭圆的定义知，M的轨迹是以 y=2y%-2y, 3%3y B(一2,0)，A(2,0)为焦点的椭圆. 0≠0，，y≠0 设描国的方程为后+若=1a>6>0),则 又点P在圆O上， a=3,c-2,b=√a2一c2=V5,所以动圆圆心M (32+=1, 的轨选方程是写+ 5 =1. 即(x-号》+y-音0≠0)，此即点Q的 轨迹方程. 117 更避包手细高中数学选择性必修第-册RUa 易错警示 一51表示椭围，则实数k的取值范国 ●易错题17（错误率25%）(2024·福 为 州一中检测)已知F1,F2为两定点，FF2 =4,动点M满足|MF1|+MF2=4,则动 ◆易错题19（错误率30%）(2024·中 点M的轨迹是( A.椭圆 B.直线 山纪念中学检测)已知椭圆的标准方程为号 C.圆 D.线段 =1(m>0),并且焦距为6，则实数m的 m2 ◆易错题18（错误率27%）者方程千 值为 03-核心素养聚焦一。 考向分类 b=1, 考向1椭圆定义的应用 解析由题设，2c=23,解得a=2. 例⑨(2021·全国I卷)已知F1,F2是椭 a2=2+c2 圆C:号+苦1的两个焦点，点M在C上，则 所以指圈E的方程为号+y=1。 MFMF2|的最大值为( 命题意图：考查黼圆的标准方程 命题规律 A.13B.12 C.9 D.6 真题探源：根据教材P107例1改编 解析由题意知a”=9,b=4, 选填题、 难度 高考 则|MF+MF2|=2a=6. 常考题型 解答题 0.7 ★★★ 系数 热度 所以IMFIIMF.<(ME生M) 第一问 2 核心素养 数学运算、逻辑推理 素养水平水平二 9(当且仅当|MF=MF2|=3时等号成立). 真题演练 答案C L.(2019·全国I卷，考向2)已知椭圆 命题意图：考查椭圆的定义以及均值不等 C的焦点为F1(一1,0)，F2(1,0),过点F2的直 式的应用 命题规律 线与C交于A,B两点.若|AF2=2|F:B, 真题探源：根据教材P109[练习]第1题 AB=BF,则椭圆C的方程为( 演变 常考题型选填题难度系数0.8高考热度 ★★ A营+= 核心素养 逻辑推理，直观想象 素养水平水平二 c+苦=1 考向2求椭圆的标准方程 2.(经典·辽宁卷，考向1)已知椭圆C: 例10(2022·北京卷节选)已知椭圆E: 看+学-1，点M与C的焦点不重合若M关 京十米1(@>b>0)的一个顶点为A(0,1)力 于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的 焦距为2√3，求椭圆E的方程. 中点在C上，则AN+|BN= 118 第三章圆维曲线的方程么型 3(2019·浙江卷，考向1)已知椭圆号+ 的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆 心，OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率 y =1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴 是 5 04学业质量测评。 A 基础过关练 测试时间：10分钟 PD的中点，求点E的轨迹方程： 1.[题型1]若方程x2十ky=2表示焦点在y轴 (2)已知两点F(一1,0)，F2(1,0),且|PF+ 上的椭圆，则实数k的取值范围是( |PF=2FF2,求动，点P的轨迹方程. A.(0,十∞) B.(0,2) C.(1,+o∞) D.(0,1) 2[随型已知椭圆后+ =1(a>b>0)的右 焦点为F(3,0)点(0，一3)在椭圆上，则椭圆 的方程为( A着+。-1 B+-1 3627 C +号 3.[题型2](2024·孝感高中检测)化简方程 B 综合提能练 测试时间：20分钟 、(.x-4)2十y2+(x十4)2十y=10的结果 6.[题型1](2024·杭州二 B 是(). 中检测)我们把由半椭圆 A号+苦-1 + =1(x≥0)与半椭A c若+苦 圆后+号-1<0)合成 B 4.[题型1门(2024·衡阳八中月考)（多选题）对 的曲线称作“果圆”（其中a2=?十2，a>b> 于曲线C:4之十1，下列命题中是真 >0).如图，设点Fa,F,F2是相应椭圆的 焦点，A1,A和B,B是“果圆”与x轴和y 命题的是( ). 轴的交点，若△FFF2是边长为1的等边三 A.曲线C不可能是椭圆 角形，则a,b的值分别为( B.“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必 要条件 多， B.w3,1 C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3< C.5,3 D.5,4 k<4”的必要不充分条件 7.[题型1、2](2024·福州一中月考)已知椭圆 D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1 k<2.5”的充要条件 三+若-1a>>0)的左，右两个焦点分别 5.[题型1,21已知椭圆r+￥=1上一点 为F,F2,设P为椭圆上一动点，∠FPF 的外角平分线所在直线为1，过点F2作1的 P,过点P作PD⊥x轴于点D,E为线段 垂线，垂足为S,当点P在椭圆上运动时，点 119 更难包手曲高中数学选择性必修第一册？UA S的轨迹所围成的图形的面积为(). 点的距离之和为2√2. A.a2 B.4a2C.xa2D.4πa (1)求椭圆C的方程： 8.[题型1](2024·常州二中检测)（多选题）已 (2)设M,N是椭圆C上两点，且M,N不 知P是椭圆E:苦+Y-1上一点，，R分 4 在坐标销上，Q是稀圆E:易+。1上 别为其左、右焦点，且△FPF2的面积为3， 的点，且O反-OM+3ON,其中O为坐 则下列说法正确的是( 标原点，求证：直线OM与ON的斜率 A.P点纵坐标为3 之积为定值. B∠FPF> C.△FPF2的周长为42+4 D.△FPF:的内切圆半径为32-1D 2 9.[题型1门(2024·石家庄二中月考)（多选题） 设，上为椭圆C后+号=1的左，右焦 7 点，M为C上一点且在第一象限，若 培优突破练 测试时间：20分钟 △MFF2为等腰三角形，则下列结论正确的 13.[题型1、2]（经典·清华大学能力测试题） 是(). A.MF=2 已知椭圆三+ =1(a>b>0),直线l4: B.MF2|=2 y=一之，直线4：y一之，P为椭圆上任 C点M的横坐标为号 意一点，过点P作PM∥l且与直线2交 D.SAe,E=√35 于点M,作PN∥l2且与直线交于点N, 若|PM+|PN为定值，则(). 10.[题型1门已知F,R分别为椭圆C:号+ A.ab=2 B.ab=3 =1的左、右焦点，P是C上的任意一点， 5 C6=2 D.8=3 则|PF,|PF|的最大值为 :若 14.[题型2]（经典·华约联盟自主招生）从椭 A(0,4√6)，则AP|一|PF2I的最小值 后+ =1(a>b>0)上的动点M作圆 为 x2十y2=?的两条切线，切点为P和Q,直 1.[题型1,2已知椭圆C号+若 2 =1(a>b> 线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和 O)的焦点为F1,F2,如果椭圆C上存在一 F,求△EOF面积的最小值. 点P,使得PF·PF=0,且△PF,F的面 积等于4，则实数b的值为 ,实数a 的取值范围为 12[美型1,2已知描圆C若+ =1(a>b> 0)过点P1,号)，且点P到椭圆C的两集 120《易错警示》参考答案超 y轴上截距为b的直线：方程y=√I一x表示单位圆 F,F:为两定点，FF2|=4,动点M满足|MF|+ 在x轴上及其上方的半圆.当直线过B点时，它与半圆 MF,=4,则动点M的轨迹是(). 交于两点，此时b=1,直线记为1：当直线与半圆相切 A.椭圆B直线C.圆 D.线段 时，b=2,直线记为2，直线1要与半圆有两个不同的 正解虽然动点M到两个定点F,F的距离为常数4， 公共点，必须满足1在1与2之间（包括山但不包括 但由于这个常数等于EF,故动点M的轨迹是线段 12),所以1≤<互，即所求b的取值范围是[1，w2). F1F:,故选D 答案D 易错探因本题在正解的画波浪线处容易出错，其原因 是忽略了椭圆定义中“2a>F,F2|”,从而导致错选A 误区18忽略椭圆标准方程的限制条件 易错探因忽略方程y=√一表示的图形是半圆，而 易错题18（错误本27%）若方程后。+产与=1表示 不是圆 椭圆，则实数k的取值范围为 误区16求切线方程时忽略斜率不存在的情况 7一k>0. 正解 由题意可知k一5>0， 易错题16（错误率27%）过点P(6,一8)与圆C:x2+ 解得5<k<7且k≠6， y2一2x一4y-20=0相切的直线方程为 7一k去k-5: 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解圆的标准方程为(.x一1)2+(y一2)2=25. 答案(5,6)U(6,7) ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 易错探因本题在正解的画波浪线处容易出错，其原因是 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6 是其中一条切线· 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 设另一条切线的斜率为k, 误区19忽略对椭圆焦点位置的讨论 则另一条切线的方程为y+8=k(x一6)，即kx 易错题19（错误率30%）(2024·中山纪念中学检测)】 y-6k-8=0. 由圆心到切线的距离等于半径，得k一2一6k一81 已知椭圆的标准方程为会+若-1m>0),并且熊距 +1 为6，则实数m的值为 5解得太=一是。 正解，2c=6,c=3. “切线的方程为一子一y一6×(-子)-8=0： 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知 a2=25,=m,2=+c2,得25=m+9, 即3.x+4y十14=0. ∴.=16.又m>0,故m=4, 综上可知，切线的方程为x=6和3.x十4y十14=0. 当椭圆的焦点在义轴上时，由椭圆的标准方程知 答案x=6和3x十4y十14=0. a2=m2,=25,a2=+c2,得m2=25+9=34, 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 又m>0,故m=、34. 易只考虑斜率存在的情况，忽路斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解 综上，实数m的值为4或√34. 答案4或√34. 误区I7忽略椭圆定义中的限制条件 易错探因本题在正解的画波浪线处容易出错，其原因 易错题17（错误率25%）(2024·福州一中检测)已知 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解.