第05讲：等比数列的前n项和公式【七大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

本讲义聚焦等比数列前n项和公式这一核心知识点，系统梳理公式（首项、公比与项数或末项的两种形式）、性质（片段和、奇偶项和等）及实际应用，搭建从等比数列通项公式到综合问题解决的学习支架。 资料通过七类分层题型（基础运算到综合应用）及实例（如停车场设计、充电桩增长），培养数学思维（推理与运算）和数学语言（建模表达），课中助教师系统授课，课后学生可借高分达标练习查漏补缺。

第05讲：等比数列的前n项和公式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ Sn＝ 知识点二：等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 知识点三：等比数列前n项和的实际应用 1．解应用问题的核心是建立数学模型． 2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型． 3．注意问题是求什么(n，an，Sn)． 注意： (1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答． (2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确． (3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系． (4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求． 【题型归纳】 题型一：等比数列前n项和公式的基本运算 【例1】．（24-25高二上·全国·课堂例题）在等比数列中， (1)若，，且，求； (2)若，，，求和n； (3)若，，求和公比q． 【变式1】．（24-25高二下·江西赣州·期中）在等比数列中， (1)已知，求和； (2)已知，求和. 【变式2】．（24-25高二上·河南周口·期末）设为正项等比数列的前项和，已知，. (1)求数列的公比； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 题型二：等比数列的片段和性质的应用 【例2】．（25-26高二上·福建漳州·月考）已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 【变式1】．（24-25高二下·河北邯郸·期末）已知等比数列的前项和为，若，，则 . 【变式2】．（24-25高二下·四川达州·期中）设等比数列的前项和为，若，则 ． 题型三：等比数列奇偶项和的性质 【例3】．（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 【变式1】．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【变式2】．（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 题型四：等比数列中前Sn和其他的性质 【例4】．（2025·云南·一模）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） . ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 【变式1】．（22-23高二下·江西萍乡·期中）已知等比数列的前项和为，若，则 . 【变式2】．（22-23高二下·陕西榆林·月考）设等比数列的前n项和为，若，则 ． 题型五：前n项和与通项关系 【例5】．（23-24高二下·青海海东·月考）在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 【变式1】．（2023·云南曲靖·模拟预测）已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，那么数列的所有“和谐项”的和为 . 【变式2】．（22-23高二下·湖北·期中）已知数列的前n项和为，前n项积为，若，当取最小值时， . 题型六：等比数列的简单应用 【例6】．（24-25高三上·山西吕梁·月考）某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，靠近商场的第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的停车位的总数是 . 【变式1】．（2025·北京门头沟·一模）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了 万个充电桩；从第1年起，约 年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）. （参考数据：，） 【变式2】．（24-25高三上·江苏·月考）某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是 ． 题型七：等比数列前n项和综合问题 【例7】．（25-26高二上·湖南·月考）已知数列是等差数列，是等比数列，且满足. (1)分别求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【例8】．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和为． 【变式1】．（25-26高二上·湖南·月考）已知数列是等差数列，是等比数列，且满足. (1)分别求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【变式2】．（25-26高二上·甘肃·期末）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（　　） A．264 B．520 C．521 D．265 2．（25-26高二上·江苏泰州·月考）某人从2026年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2036年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元）参考数据：，， A．2.438 B．19.9 C．24.3 D．22.3 3．（25-26高二上·浙江·月考）记正项等比数列的前项和为，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知等比数列的公比为，前项和为．若，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知数列的各项均为正数，且．若的前项之积为，则满足的正整数的最大值为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 7．（25-26高三上·广东惠州·期中）如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形洛边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（   ） A． B． C． D．8 8．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）数列满足，，若成立，则正整数的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、多选题 9．（25-26高二上·重庆·月考）设正项等比数列 的前 项和为 ， 的前 项积为 ．若 ，，则下列结论正确的有（   ） A．数列 为等差数列 B． C． D． 的最大值为 10．（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知数列满足，则（   ） A．是等比数列 B． C． D．恒成立 11．（25-26高三上·山西·月考）已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D．不是等比数列 12．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（　　） A． B． C． D．是等比数列 13．（25-26高三上·辽宁·月考）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是公差为2的等差数列 C． D．数列是等比数列 14．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．为等比数列 B． C．的前项和 D．的前项和 三、填空题 15．（25-26高二上·江苏南通·期中）等比数列的前项和为，若，则的公比 ． 16．（2025·四川成都·二模）在等比数列中，，，则 ． 17．（25-26高三上·江苏·月考）已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为 ． 18．（25-26高二上·上海杨浦·月考）已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为，若，则q的取值范围为 . 19．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前项和为则 ． 四、解答题 20．（24-25高二下·江西上饶·期中）在数列中，，设． (1)求证：为等比数列，并求通项公式； (2)求数列的前项和． 21．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知数列是等差数列，公差，若成等比数列，数列的前n项和为． (1)求及； (2)求数列的前项和． 22．（25-26高二上·天津·月考）已知等差数列的公差，且，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，. (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，其前n项和为，求. 23．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知等比数列的前项和. (1)求的值及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 24．（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，求数列的前n项和． 25．（25-26高二上·重庆·月考）已知数列 的前 项和为 ，且 . (1)求证: ，并求数列 的通项公式: (2)求数列 的前 项和 : (3)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲：等比数列的前n项和公式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ Sn＝ 知识点二：等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 知识点三：等比数列前n项和的实际应用 1．解应用问题的核心是建立数学模型． 2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型． 3．注意问题是求什么(n，an，Sn)． 注意： (1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答． (2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确． (3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系． (4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求． 【题型归纳】 题型一：等比数列前n项和公式的基本运算 【例1】．（24-25高二上·全国·课堂例题）在等比数列中， (1)若，，且，求； (2)若，，，求和n； (3)若，，求和公比q． 【答案】(1)；(2)，；(3)或. 【详解】（1）等比数列中，，， 则，即，而，解得， 所以. （2）在等比数列中，，则，解得， 又，得，即，所以. （3）由，，得，即，又， 于是，解得或. 【变式1】．（24-25高二下·江西赣州·期中）在等比数列中， (1)已知，求和； (2)已知，求和. 【答案】(1)，(2)答案见解析 【详解】（1）设等比数列的公比为， 当时，； 当时，， 满足上式，所以，对任意的， 因此，. （2）设等比数列的公比为， 由，得， 解得或. 当时，； 当时，， 【变式2】．（24-25高二上·河南周口·期末）设为正项等比数列的前项和，已知，. (1)求数列的公比； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为数列是正项等比数列，则， 由题意得，，整理得，即，解得或（舍去）. （2）因为，所以， 故. （3）. 题型二：等比数列的片段和性质的应用 【例2】．（25-26高二上·福建漳州·月考）已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 【答案】9 【分析】根据等比数列的片段和的性质及等比中项求解即可. 【详解】由已知，显然公比， 所以成等比数列， 所以，即，解得或者， 因为，所以舍去， 故答案为：9 【变式1】．（24-25高二下·河北邯郸·期末）已知等比数列的前项和为，若，，则 . 【答案】21 【分析】根据等比数列的性质进行计算求值. 【详解】因为数列是等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，所以， 所以. 故答案为：21 【变式2】．（24-25高二下·四川达州·期中）设等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】/1.75/ 【分析】根据间隔相等的等长片段和序列，仍然成等比数列，即可得到答案. 【详解】因为为等比数列，所以，，，…也为等比数列． 设，则，， 所以，则， 故． 故答案为：. 题型三：等比数列奇偶项和的性质 【例3】．（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 【答案】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 【变式1】．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【答案】2 【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项. 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 【变式2】．（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得解得所以．故答案为：. 题型四：等比数列中前Sn和其他的性质 【例4】．（2025·云南·一模）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） . ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 【答案】①②③ 【分析】根据题意，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为，，， 所以，所以，故①正确. ，故②正确； 又，所以的最大值为，故③正确. 因为，，所以恒有，所以无最大值，故④错误； 故答案为：①②③ 【变式1】．（22-23高二下·江西萍乡·期中）已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列前项和公式特征求解即可. 【详解】设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为， 所以. 故答案为： 【变式2】．（22-23高二下·陕西榆林·月考）设等比数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列前项和的基本量计算，或根据等比数列的性质来求得. 【详解】法一：设等比数列的公比为q，若，则，所以； 由，得，即， 所以，解得， 则． 法二：由等比数列的性质知，，，…成等比数列， 其公比为，设，显然， 则，，所以，所以． 故答案为： 题型五：前n项和与通项关系 【例5】．（23-24高二下·青海海东·月考）在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用与的关系求出的通项，可解出的值，再验证此时数列是等比数列即可. 【详解】，当时，， 依题意，也应满足，所以有，得． 此时，，，满足是等比数列，所以. 故答案为： 【变式1】．（2023·云南曲靖·模拟预测）已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，那么数列的所有“和谐项”的和为 . 【答案】2047 【分析】利用求出，由得出再求和即可. 【详解】由题意得，当时，， 所以， 由，得，所以是公比为2且首项为1的等比数列， 所以， 由得，即，所以和为. 故答案为：2047. 【变式2】．（22-23高二下·湖北·期中）已知数列的前n项和为，前n项积为，若，当取最小值时， . 【答案】1 【详解】 由得：， 两式相减整理得， 又当时，，解得：， 故是首项为，公比为的等比数列， ，， 可知， 则，即当，时，取得最小值，， 因为时，；时，， 时，取最小值时，此时. 故答案为：1. 题型六：等比数列的简单应用 【例6】．（24-25高三上·山西吕梁·月考）某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，靠近商场的第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的停车位的总数是 . 【答案】498 【分析】根据给定条件，每排停车位的个数构成数列，求出递推公式，利用构造法求出通项公式，再结合等比数列前n项和求解. 【详解】依题意，每排停车位的个数排成一列构成数列， 于是，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，即， 所以设计的停车位总数为. 故答案为：498 【变式1】．（2025·北京门头沟·一模）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了 万个充电桩；从第1年起，约 年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）. （参考数据：，） 【答案】 2.88 8 【分析】利用等比数列的定义，求和公式计算即可. 【详解】由题意可知第3年新建设万个充电桩； 假设第年后充电桩总量达到30万个， 则， 即， 取对数得， 即约8年内，可达到要求. 故答案为：2.88，8 【变式2】．（24-25高三上·江苏·月考）某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是 ． 【答案】 64 126 【分析】根据给定条件，按报数次数探讨向前一步的编号特征，再结合等比数列求解. 【详解】依题意，第一次报数后向前一步的原编号为，为第二次报数时的新编号， 第二次报数后向前一步的原编号为，为第三次报数时的新编号， 第三次报数后向前一步的原编号为，为第四次报数时的新编号， 第四次报数后向前一步的原编号为，为第五次报数时的新编号， 第五次报数后向前一步的原编号为，为第六次报数时的新编号， 显然第六次报数时向前一步的编号为， 因此走到最前面的同学各次编号按报数由后向前排列为， 所以走到最前面的同学第一次的序号是64；这位同学的所有序号之和为. 故答案为：64；126 【点睛】关键点点睛：探求报数前后两个编号的关系是求解问题的关键. 题型七：等比数列前n项和综合问题 【例7】．（25-26高二上·湖南·月考）已知数列是等差数列，是等比数列，且满足. (1)分别求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）设等差数列的公差、等比数列的公比，根据已知条件列方程，求解得公差与公比，进而写出两个数列的通项公式； （2）分别求出等差数列、等比数列的前项和，将二者相加得到数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 依题意即， 解得 所以， . （2）设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， 因为， ， 所以数列的前项和. 【例8】．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和为． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）对变形为，进而利用等差数列的定义证明，然后利用等差数列通项公式求解即可； （2）由（1）得，进而利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． 因为，所以数列的通项公式为； （2）由（1）得，， 于是， 则， 故． 【变式1】．（25-26高二上·湖南·月考）已知数列是等差数列，是等比数列，且满足. (1)分别求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为， 依题意， 解得， 所以. （2）设等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为， 因为，            所以数列的前n项和为. 【变式2】．（25-26高二上·甘肃·期末）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式； （2）利用第（1）小问求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论. 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（　　） A．264 B．520 C．521 D．265 【答案】B 【分析】先分别求出等差数列和等比数列的通项公式，再表示出数列的通项，最后通过分组求和计算前9项和. 【详解】因为数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以， 数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以， 所以， 所以. 故选：B 2．（25-26高二上·江苏泰州·月考）某人从2026年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2036年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元）参考数据：，， A．2.438 B．19.9 C．24.3 D．22.3 【答案】D 【分析】根据题意，结合等比数列的求和公式，进行计算，即可求解. 【详解】设每年1月1日到银行存入万元（一年定期），年利率保持不变，且，， 由题意得， 2036年1月1日将所有存款及利息全部取回为：万元. 故选：D 3．（25-26高二上·浙江·月考）记正项等比数列的前项和为，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列前项和的性质，通过建立方程求出公比，再计算. 【详解】由等比数列前项和的性质，，根据题设，，可得：，即， 因为是等比数列，设公比为（，正项数列），则， 代入上式得：， 由于，两边同时除以得：，整理为，即， 因为，所以， 根据等比数列前项和公式得：， 因此. 故选：A. 4．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知等比数列的公比为，前项和为．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比数列求和公式求得，进而逐项判断即可. 【详解】因为，， 所以．由题意，得， 解得，则或． 因为，所以． 当时，，解得， ， 满足，， 所以，； 当时，，解得， ， 满足，， 所以，． 故A，B，D错误，C正确． 故选：C． 5．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件结合等比数列的性质得，，成等比数列，由此能求出． 【详解】设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列. 因为，所以，所以，故. 故选：C 6．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知数列的各项均为正数，且．若的前项之积为，则满足的正整数的最大值为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】C 【分析】首先对两边取对数，求解出的公式，然后求解. 【详解】因为，两边取对数，解得： 所以是以为首项，以2为公比的等比数列， ，， ， 令，即 根据等比数列的求和公式， 整理得； 又因为 所以正整数的最大值为10. 故选：C. 7．（25-26高三上·广东惠州·期中）如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形洛边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据正方形的性质，结合等比数列的定义、性质、前项和公式进行求解即可. 【详解】因为正方形的边长为， 所以正方形的对角线为， 所以第二个正方形的边长为， 所以第二个正方形的对角线为， 所以第三个正方形的边长为， 所以这些正方形的边长为为首项，为公比的等比数列， 所以这些正方形的面积为为首项，为公比的等比数列 因此前6个正方形面积和为， 故选：C 8．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）数列满足，，若成立，则正整数的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】由可得数列为等差数列，则可得通项公式，从而可得，再利用裂项相消法计算可得，最后解出不等式即可得. 【详解】由，则，即， 又，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 故，故； 则， 则， 令，解得，故正整数的最大值为. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·重庆·月考）设正项等比数列 的前 项和为 ， 的前 项积为 ．若 ，，则下列结论正确的有（   ） A．数列 为等差数列 B． C． D． 的最大值为 【答案】AC 【分析】根据等比数列的性质结合已知条件求出的通项公式，进而结合等比数列的前项和公式、对数的运算法则等分析判断各选项． 【详解】 是正项等比数列，设公比为，则公比， 又， ， 令，则，解得或（舍去）， ， ， ， 选项A：， 是首项是9公差是的等差数列，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：， 又对所有恒成立， ，故C正确； 选项D：为的前项积， ， ，，为递减数列， 当时，的最大值为，故D错误． 故选：AC． 10．（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知数列满足，则（   ） A．是等比数列 B． C． D．恒成立 【答案】ABCD 【分析】由，得，根据等比数列的定义及通项公式可判断AB，由分组求和及等比数列的求和公式可判断C，由可判断D. 【详解】因为，所以. 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列，故A正确； 所以，故，故B正确； ，故C正确； 因为，所以，故D正确. 故选：ABCD. 11．（25-26高三上·山西·月考）已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D．不是等比数列 【答案】AC 【分析】设的公比为，根据题意求出基本量，进而逐项验证即可求解. 【详解】设的公比为，则由，单调递增，得， 因为，所以，解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，.故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，， 所以是首项为3，公比为的等比数列，故D错误. 故选：AC. 12．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（　　） A． B． C． D．是等比数列 【答案】ACD 【分析】设出公比，根据函数单调性得到，利用条件求出，进而得到首项，结合等比数列的定义，通项公式，求和公式对选项一一判断，得到答案. 【详解】设的公比为，则由递增，得， 因为，所以， 解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，， 又， 所以是首项为3，公比为的等比数列，故D正确． 故选：ACD. 13．（25-26高三上·辽宁·月考）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是公差为2的等差数列 C． D．数列是等比数列 【答案】ACD 【分析】根据题意计算出，求出通项及前项和，再依次判断选项即可. 【详解】由题意可得：，解得或, 因为等比数列的公比为整数，所以，所以等比数列的通项公式为：.故A正确； 选项B:因为, 所以,且当时，,所以数列是首项为,公差为的等差数列,所以选项B错误； 选项C:因为所以等比数列的其前项和所以所以选项C正确. 选项D:由选项C得,所以且当时，,所以数列是首项为4，公比为2的等比数列.所以选项D正确. 故选：ACD 14．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．为等比数列 B． C．的前项和 D．的前项和 【答案】ACD 【分析】根据递推公式，构造等比数列，进而求出数列通项公式，判断数列单调性，根据分组求和法，裂项求和法，求出数列前项和；逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由得，化简得，即， 所以，因为，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，A正确； 由是以2为首项，以2为公比的等比数列，可得， 求得，， 可知恒正，且随着的增大而增大，所以随着的增大而减小，所以B错误； 由可得，所以C正确； 由， 得， 所以D正确； 故选：ACD. 三、填空题 15．（25-26高二上·江苏南通·期中）等比数列的前项和为，若，则的公比 ． 【答案】或 【分析】根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】当时，显然成立， 当时， ，（舍去）， 故答案为：或 16．（2025·四川成都·二模）在等比数列中，，，则 ． 【答案】20 【分析】根据等比数列性质利用整体的比值求出公比满足，即可计算出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由可得，即得； 因此. 故答案为： 17．（25-26高三上·江苏·月考）已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】先求得，当时，根据，可得，最后由等比数列的定义求解即可. 【详解】当时，则有，解得， 当时， 则有， 所以， 即， 所以， 所以数列是等比数列，其首项为，公比， 所以. 当时也符合，所以. 故答案为： 18．（25-26高二上·上海杨浦·月考）已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为，若，则q的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据等比数列的知识化简已知条件得，从而求得正确答案. 【详解】因为等比数列的首项为1，公比为q， 且， 所以， 所以，故q的取值范围为. 故答案为： 19．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前项和为则 ． 【答案】 【分析】根据题意易得数列的奇数项和偶数项都是以1为首项，2为公比的等比数列，再利用分组求和法即可得出答案. 【详解】由，， 令，则， 令，则， 所以数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列， 即， 又因， 所以数列的偶数项也是以1为首项，2为公比的等比数列， 即， 所以. 故答案为：. 四、解答题 20．（24-25高二下·江西上饶·期中）在数列中，，设． (1)求证：为等比数列，并求通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由题意推得，可得为等比数列，进而求得的通项公式； （2）利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的前项和公式即可求解． 【详解】（1）由，又，所以 因为，所以， 所以，因．则， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 可得； （2）由（1）知，记数列的前项和为， ． 21．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知数列是等差数列，公差，若成等比数列，数列的前n项和为． (1)求及； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）由等比中项可得，根据等差数列概念计算可得，进而可得数列的通项公式，由与的关系计算可得数列的通项公式； （2）根据错位相减法计算即可. 【详解】（1）由题意成等比数列，得， 即，解得，               所以数列的通项公式为；               当时，，                      当时， ，     验证当时，满足上式 ，              所以数列的通项公式为； （2）由（1）知．                             ，                 则，        两式相减得，          所以 22．（25-26高二上·天津·月考）已知等差数列的公差，且，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，. (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，其前n项和为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且.则，解得，所以； 因为数列是各项均为正数的等比数列，设公比为，因为，则， 即，可得，所以. （2）由（1）可得：， 则， 可得， 两式相减得 ， 所以. 23．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知等比数列的前项和. (1)求的值及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意得：.因为是等比数列，所以， 即，解得，故.当时，， 当时，满足上式，故. （2）由（1）得，，所以，则 . 24．（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在数列中，①，又因为②，， 所以，得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，． 因为对于任意，恒成立，所以恒成立． 设，则， 当时，，； 当，时，， 所以， 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． （3）由（1）知， 所以． 所以．③ ．④ ，得 ． 所以． 25．（25-26高二上·重庆·月考）已知数列 的前 项和为 ，且 . (1)求证: ，并求数列 的通项公式: (2)求数列 的前 项和 : (3)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1)证明见解析，(2)(3) 【详解】（1）因为，所以，即，所以数列 为等差数列，故， （2）由（1）可得， 由，可得， 当时，， 当时，， 综上， （3）， 所以①， 则②。 ①②得， ， 2 学科网（北京）股份有限公司 $