专题02平行线新课闯关预习必备讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+分层强化)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题02平行线新课闯关预习必备讲义 1.理解平行线的定义，能准确判断生活中哪些图形属于平行线。 2.掌握平行线的表示方法，会用规范的符号表示两条平行线。 3.理解平行公理及其推论，明确平行线的基本性质。 4初步认识同位角、内错角、同旁内角，为后续学习平行线的判定和性质奠定基础。 重点：平行线的定义、表示方法；平行公理及其推论。 难点：理解平行公理中“过直线外一点”这一限制条件；准确识别同位角、内错角、同旁内角。 预习必备 知识点梳理 1,平行线的定义及公理 2.三线八角 3.平行线的判定方法 4.平行线的性质 5.预习易错点与注意事项 6.预习自测方向 常考题型 精讲精炼 1.平面内两直线的位置关系 2.用直尺和三角板画平行线的步骤 3.平行公理的实际应用 4.平行公理推论的应用方法 5.同位角相等:判定两直线平行的依据 6.内错角相等:两直线平行的判定方法 7.同旁内角互补:两直线平行的判定规则 8.两直线平行同位角相等 9.两直线平行内错角相等 10.两直线平行同旁内角互补 11.利用平行线性质探究角的关系 12.结合平行线的性质求角的度数 13.平行线判定与性质的综合应用 14.平行线判定与性质的综合证明 分层强化 题型通关 强化题(16题) 【知识点01.平行线核心概念】 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 *符号表示：直线a与直线b平行，记作a∥b，读作 “a平行于b”。 *关键前提：同一平面内，此条件不可省略（空间中存在不相交也不平行的直线，即异面直线，初中阶段不涉及）。 *易错点：平行线是直线，不是线段或射线；线段平行是指它们所在的直线平行。 2.平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 *强调 “直线外一点”，若点在直线上，无法作该直线的平行线。 3.平行公理的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 *符号表示：若a∥c，b∥c，则a∥b。 *作用：判断两条直线平行的间接方法。 【知识点02.三线八角】 当一条直线l（截线）与两条直线a、b（被截直线）相交时，形成 8 个角，分为以下 4 类： 角的 类型 位置特征 示例（结合截线l，被截直线a、b） 同位角 在截线同旁，被截直线同侧 如∠1与∠5，∠2与∠6 内错角 在截线两旁，被截直线之间 如∠3与∠5，∠4与∠6 同旁内角 在截线同旁，被截直线之间 如∠3与∠6，∠4与∠5 对顶角 顶点相同，两边互为反向延长线 如∠1与∠3，∠2与∠4（对顶角相等） 识别技巧： 先确定截线（贯穿两条被截直线的那条直线）。 同位角可类比 “F型”，内错角类比 “Z型”，同旁内角类比 “U型”。 【知识点03.平行线的判定方法】 判定核心：由角的数量关系推导出直线的位置关系 1.同位角相等，两直线平行 符号表示：若∠1=∠5，则a∥b。 2.内错角相等，两直线平行 符号表示：若∠3=∠5，则a∥b。 3.同旁内角互补，两直线平行 符号表示：若∠3+∠6=180，则a∥b。 4.平行公理推论（间接判定） 若a∥c，b∥c，则a∥b。 5.补充判定 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示：若a⊥l，b⊥l，则a∥b。 【知识点04.平行线的性质】 性质核心：由直线的位置关系推导出角的数量关系 1.两直线平行，同位角相等 符号表示：若a∥b，则∠1=∠5。 2.两直线平行，内错角相等 符号表示：若a∥b，则∠3=∠5。 3.两直线平行，同旁内角互补 符号表示：若a∥b，则∠3+∠6=180∘。 判定与性质的区别（预习重点区分） 类别 条件 结论 用途 判定 角的关系 线的平行 判断两条直线是否平行 性质 线的平行 角的关系 已知平行，求角的度数或关系 【知识点05.预习易错点与注意事项】 1.平行线的定义、判定、性质都需满足同一平面内的前提。 2.区分 “三线八角” 时，先找截线是关键，避免混淆被截直线和截线。 3.判定和性质易混淆，可记口诀：判定：角定线；性质：线定角。 4.平行公理的 “有且只有一条” 包含两层含义：“有” 表示存在性，“只有一条” 表示唯一性。 【知识点06.预习自测方向】 1.识别图形中的同位角、内错角、同旁内角。 2.利用平行线的判定，根据角的关系判断直线是否平行。 3.利用平行线的性质，已知直线平行求未知角的度数。 【题型1.平面内两直线的位置关系】 【典例】如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 【跟踪专练1】在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是 ． 【跟踪专练2】已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 【题型2.用直尺和三角板画平行线的步骤】 【典例】用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有 ．（请填写序号） 【跟踪专练1】下面是小明想出画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行 【跟踪专练2】如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【题型3.平行公理的实际应用】 【典例】下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【跟踪专练1】被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【跟踪专练2】下列说法：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；相等的两个角是对顶角；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型4.平行公理推论的应用方法】 【典例】如图，张萌的手中有一张正方形纸片（），点，分别在和上，且，此时张萌判断出，则张萌判断出该结论的理由是 ． 【跟踪专练1】下列说法中，正确的有（   ） ①相等的角是内错角； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行； ④同角或等角的余角相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【跟踪专练2】如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 【题型5.同位角相等:判定两直线平行的依据】 【典例】如图，点E在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可） 【跟踪专练2】如图，直线BF，CD相交于点O，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【题型6.内错角相等:两直线平行的判定方法】 【典例】如图，直线被直线所截．请将下面的说理过程补充完整． (1)（已知）， （   ）． (2)_______________（已知）， （内错角相等，两直线平行）． (3)（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． 【跟踪专练1】如图，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为 时，． 【题型7.同旁内角互补:两直线平行的判定规则】 【典例】如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）． 【跟踪专练2】如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【题型8.两直线平行同位角相等】 【典例】如图，已知，，则 度， 度． 【跟踪专练1】如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知直线，若，则的度数是 ． 【题型9.两直线平行内错角相等】 【典例】如图，直线c与直线a，b都相交，．若，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，平分，，，则 °， °． 【跟踪专练2】如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型10.两直线平行同旁内角互补】 【典例】如图，直线，若°，则的度数为 ； 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，则 ． 【题型11.利用平行线的性质探究角的关系】 【典例】如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一个角的两边和另一个角的两边彼此平行且这个角比另一个角的2倍多，则这个角的度数是 ． 【跟踪专练2】如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【题型12.结合平行线的性质求角的度数】 【典例】如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是 ． 【跟踪专练1】小华将筷子倾斜插入清澈的液体中，即，观察液体中部分向上折弯到处，若测得，则弯折角的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在与之间） 【题型13.平行线判定与性质的综合应用】 【典例】如图，，，，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线被直线所截，平分交于点F，平分交于点E，，则的度数为 ． 【跟踪专练2】2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型14.平行线判定与性质的综合证明】 【典例】如图，与互余，的余角与互补，则直线与 （填“平行”或“不平行”）． 【跟踪专练1】如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 【跟踪专练2】如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 1．在长方体（非正方体）中，下列各组棱一定平行的是（） A．相交于同一个顶点的三条棱 B．位于同一个面上的四条棱 C．长度相等的四条棱 D．方向相同的四条棱 2．下列说法中错误的个数是（    ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种．（4）不相交的两条直线叫做平行线．（5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．（6）点到直线的垂线的长度叫做这点到直线的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，直线，OG是的平分线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，下列能判定的条件有（   ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A． B． C． D． 5．如图，，将直角三角板与的顶点放在直线a、b上，若，则 ． 6．如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定直线的有（   ） A．③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②④ 7．光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．如图，若水面和杯底互相平行，，则等于 度． 8．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 9．平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是 ． 10．如图，，分别平分和，若，则的度数是 ． 11．如图，P是外一点． (1)过点P画直线，与相交于点C． (2)过点P画直线，与的反向延长线相交于点D． (3)分别量出，，，的度数，你有什么发现？ 12．如图，如果于点于点为的平分线，为的平分线，那么．请写出说理过程． 13．已知：如图，，AF平分，CE平分，求证： 证明：平分，CE平分， ______，______ 又， ______． ， ______， ______ 14．（1）已知直线a，b，c，d，e，且，，请证明a与c平行． （2）如图，直线相交于点O，且． ①若，求的度数． ②若，求的度数． 15．如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且． (1)求证：． (2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由． 16．如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02平行线新课闯关预习必备讲义 1.理解平行线的定义，能准确判断生活中哪些图形属于平行线。 2.掌握平行线的表示方法，会用规范的符号表示两条平行线。 3.理解平行公理及其推论，明确平行线的基本性质。 4初步认识同位角、内错角、同旁内角，为后续学习平行线的判定和性质奠定基础。 重点：平行线的定义、表示方法；平行公理及其推论。 难点：理解平行公理中“过直线外一点”这一限制条件；准确识别同位角、内错角、同旁内角。 预习必备 知识点梳理 1,平行线的定义及公理 2.三线八角 3.平行线的判定方法 4.平行线的性质 5.预习易错点与注意事项 6.预习自测方向 常考题型 精讲精炼 1.平面内两直线的位置关系 2.用直尺和三角板画平行线的步骤 3.平行公理的实际应用 4.平行公理推论的应用方法 5.同位角相等:判定两直线平行的依据 6.内错角相等:两直线平行的判定方法 7.同旁内角互补:两直线平行的判定规则 8.两直线平行同位角相等 9.两直线平行内错角相等 10.两直线平行同旁内角互补 11.利用平行线性质探究角的关系 12.结合平行线的性质求角的度数 13.平行线判定与性质的综合应用 14.平行线判定与性质的综合证明 分层强化 题型通关 强化题(16题) 【知识点01.平行线核心概念】 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 *符号表示：直线a与直线b平行，记作a∥b，读作 “a平行于b”。 *关键前提：同一平面内，此条件不可省略（空间中存在不相交也不平行的直线，即异面直线，初中阶段不涉及）。 *易错点：平行线是直线，不是线段或射线；线段平行是指它们所在的直线平行。 2.平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 *强调 “直线外一点”，若点在直线上，无法作该直线的平行线。 3.平行公理的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 *符号表示：若a∥c，b∥c，则a∥b。 *作用：判断两条直线平行的间接方法。 【知识点02.三线八角】 当一条直线l（截线）与两条直线a、b（被截直线）相交时，形成 8 个角，分为以下 4 类： 角的 类型 位置特征 示例（结合截线l，被截直线a、b） 同位角 在截线同旁，被截直线同侧 如∠1与∠5，∠2与∠6 内错角 在截线两旁，被截直线之间 如∠3与∠5，∠4与∠6 同旁内角 在截线同旁，被截直线之间 如∠3与∠6，∠4与∠5 对顶角 顶点相同，两边互为反向延长线 如∠1与∠3，∠2与∠4（对顶角相等） 识别技巧： 先确定截线（贯穿两条被截直线的那条直线）。 同位角可类比 “F型”，内错角类比 “Z型”，同旁内角类比 “U型”。 【知识点03.平行线的判定方法】 判定核心：由角的数量关系推导出直线的位置关系 1.同位角相等，两直线平行 符号表示：若∠1=∠5，则a∥b。 2.内错角相等，两直线平行 符号表示：若∠3=∠5，则a∥b。 3.同旁内角互补，两直线平行 符号表示：若∠3+∠6=180，则a∥b。 4.平行公理推论（间接判定） 若a∥c，b∥c，则a∥b。 5.补充判定 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示：若a⊥l，b⊥l，则a∥b。 【知识点04.平行线的性质】 性质核心：由直线的位置关系推导出角的数量关系 1.两直线平行，同位角相等 符号表示：若a∥b，则∠1=∠5。 2.两直线平行，内错角相等 符号表示：若a∥b，则∠3=∠5。 3.两直线平行，同旁内角互补 符号表示：若a∥b，则∠3+∠6=180∘。 判定与性质的区别（预习重点区分） 类别 条件 结论 用途 判定 角的关系 线的平行 判断两条直线是否平行 性质 线的平行 角的关系 已知平行，求角的度数或关系 【知识点05.预习易错点与注意事项】 1.平行线的定义、判定、性质都需满足同一平面内的前提。 2.区分 “三线八角” 时，先找截线是关键，避免混淆被截直线和截线。 3.判定和性质易混淆，可记口诀：判定：角定线；性质：线定角。 4.平行公理的 “有且只有一条” 包含两层含义：“有” 表示存在性，“只有一条” 表示唯一性。 【知识点06.预习自测方向】 1.识别图形中的同位角、内错角、同旁内角。 2.利用平行线的判定，根据角的关系判断直线是否平行。 3.利用平行线的性质，已知直线平行求未知角的度数。 【题型1.平面内两直线的位置关系】 【典例】如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了同一平面内两条直线的位置关系，掌握在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种情形是解题的关键． 根据在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种进行判断即可． 【详解】解：如图中，直线c和直线d的位置关系是相交． 故选：B． 【跟踪专练1】在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行公理及其推论，即若两条平行线中的一条垂直于另一条直线，那么另一条也垂直于这条直线． 根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 同一平面内，已知直线a、b、c，且， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 【答案】B 【分析】本题考查直线与直线的位置关系，利用直线平行或垂直的性质逐项判断即可． 【详解】A：，但反推回去不一定成立（如图1）； B：正确（如图2） C：，但反推回去不一定成立（如图3）； D：分别与相交或平行（如图4，除去均与平行及均与相交的直线恰好相互平行的情形）． 【题型2.用直尺和三角板画平行线的步骤】 【典例】用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有 ．（请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定平行线，掌握判断步骤是解题的关键．将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③ 故答案为：①②③． 【跟踪专练1】下面是小明想出画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定条件，理解并掌握平行线的判定条件是解题关键．平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据题意，结合平行线的判定条件，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 【题型3.平行公理的实际应用】 【典例】下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键． 根据平行线的定义进行逐一判定即可． 【详解】解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意； B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意； 故选A． 【跟踪专练1】被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【跟踪专练2】下列说法：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；相等的两个角是对顶角；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直相关性质，垂线段最短的性质，对顶角相等的性质，平行线的相关性质，根据垂直相关性质，垂线段最短的性质，对顶角相等的性质，平行线的相关性质逐一排除即可，熟记教材中的定义以及性质是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不符合题意； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，原说法正确，符合题意； 相等的两个角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原说法正确，符合题意； ∴正确的有， 故选：． 【题型4.平行公理推论的应用方法】 【典例】如图，张萌的手中有一张正方形纸片（），点，分别在和上，且，此时张萌判断出，则张萌判断出该结论的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据已知的平行关系，利用平行公理的推论来判断直线间的平行关系． 【详解】解：∵ ，， ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【跟踪专练1】下列说法中，正确的有（   ） ①相等的角是内错角； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行； ④同角或等角的余角相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查垂直的性质，平行公理的推论，余角和内错角，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：内错角不一定相等，相等的角也不一定是内错角，故①错误； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故②错误； 平行于同一条直线的两条直线互相平行；故③正确； 同角或等角的余角相等；故④正确； 故选C． 【跟踪专练2】如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【题型5.同位角相等:判定两直线平行的依据】 【典例】如图，点E在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析． 【详解】解：A、∵， ∴，本选项不符合题意； B、∵， ∴，本选项不符合题意； C、∵， ∴，本选项不符合题意； D、∵， ∴，本选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一，正确即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法即可求解． 【详解】解：添加的条件，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得． 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪专练2】如图，直线BF，CD相交于点O，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行判断即可． 【详解】解：选项当时，得，这时，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，得，不是同旁内角，不能得到，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，得，不是同位角也不是内错角，不能得到，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，，，与是同旁内角，是正确的，故选项正确，符合题意． 故选：． 【题型6.内错角相等:两直线平行的判定方法】 【典例】如图，直线被直线所截．请将下面的说理过程补充完整． (1)（已知）， （   ）． (2)_______________（已知）， （内错角相等，两直线平行）． (3)（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2)2；3 (3)2；4 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行，进行判定即可； （2）根据内错角相等，两直线平行，进行判定即可； （3）同旁内角互补，两直线平行，进行判定即可． 【详解】（1）证明：（已知）， （同位角相等，两直线平行）． （2）证明：（已知）， （内错角相等，两直线平行）． （3）证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． 【跟踪专练1】如图，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：A．，不能判定，故该选项不正确，不符合题意 B．，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； C．，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； D．∵， ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为 时，． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线以及三角尺等知识点，掌握平行线的判定定理以及三角尺各角的度数是解题的关键． 本题三角尺绕点旋转过程中，的情况会出现两种，依据平行线的判定定理，结合三角尺的角度特征，即可计算的度数． 【详解】解：有两种情况： 情况一：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，； 情况二：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，， 此时，． 故答案为：或 ． 【题型7.同旁内角互补:两直线平行的判定规则】 【典例】如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴， ∴能判断的条件有①④，共2个 故选：B． 【跟踪专练1】如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理添加条件，即可求解． 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 故答案为：或或或．（答案不唯一） 【跟踪专练2】如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故C选项正确； 而，，均不能判断， 故选：C． 【题型8.两直线平行同位角相等】 【典例】如图，已知，，则 度， 度． 【答案】 120 60 【分析】本题主要考查平行线的性质及邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；因此此题可根据平行线的性质得到的度数，然后根据邻补角可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为120；60． 【跟踪专练1】如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补，结合已知条件证明正确；内错角相等，两直线平行，证明正确；由两直线平行，同位角相等，证明正确；不能证明，可得答案． 【详解】解： ， ． ， ，故正确； ， ，故正确； ， ． ， ，故正确； 不能证明， 故答案为：B 【跟踪专练2】如图，已知直线，若，则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行于同一条直线的两条直线平行，可得，根据两直线平行，同位角相等，可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【题型9.两直线平行内错角相等】 【典例】如图，直线c与直线a，b都相交，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B 【跟踪专练1】如图，平分，，，则 °， °． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．先利用邻补角求出的度数，再由角平分线的定义求出和的度数，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】， ， 平分， ， ， ，， 故答案为：；． 【跟踪专练2】如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【题型10.两直线平行同旁内角互补】 【典例】如图，直线，若°，则的度数为 ； 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质及邻补角的定义，解题的关键是利用对顶角相等转化的位置，再结合平行线的性质求． 由对顶角相等得的对顶角为；根据，该对顶角与互为同旁内角，计算的度数． 【详解】解：的对顶角与相等，故该对顶角为， ∵直线， ∴该对顶角与互为同旁内角， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据两直线平行，同旁内角互补，可以求出，根据角平分线的定义可得，再利用两直线平行，同旁内角互补求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质． 由，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出的度数，由，再利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型11.利用平行线的性质探究角的关系】 【典例】如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 【跟踪专练1】一个角的两边和另一个角的两边彼此平行且这个角比另一个角的2倍多，则这个角的度数是 ． 【答案】/130度 【分析】此题考查平行线的性质，一元一次方程的应用．由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，可设其中一个角为x，由其中一个角比另一个角的2倍多，分别从这两个角相等或互补去分析，即可列方程，解方程可求得这两个角的度数，据此求解即可． 【详解】解：如图1，，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，列方程得， 解得：，不符合题意舍去； 如图2，，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 设，列方程得， 解得：， 则， ∴一个角的两边和另一个角的两边彼此平行且这个角比另一个角的2倍多，则这个角的度数是 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案． 【详解】过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C． 【题型12.结合平行线的性质求角的度数】 【典例】如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是 ． 【答案】30 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵，含角的直角三角尺， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：30 【跟踪专练1】小华将筷子倾斜插入清澈的液体中，即，观察液体中部分向上折弯到处，若测得，则弯折角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，再根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在与之间） 【答案】/30度 【分析】本题考查了平行线的判定（同位角相等，两直线平行），解题的关键是明确平行线所需的角的关系． 先确定时应满足的度数，再计算当前与该度数的差值，得到木条逆时针旋转的度数． 【详解】解：要使木条与平行，需满足同位角（或内错角）相等． 已知，当时，对应的同位角应为． 当前，因此木条逆时针旋转的度数为． 故答案为： 【题型13.平行线判定与性质的综合应用】 【典例】如图，，，，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过作，利用平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：过作， ， ， ，， ， ∵， ， ， ，， ， ． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，直线被直线所截，平分交于点F，平分交于点E，，则的度数为 ． 【答案】90 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．根据角平分线的定义，推出，进而得到，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵平分交于点F，平分交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90 【跟踪专练2】2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 【题型14.平行线判定与性质的综合证明】 【典例】如图，与互余，的余角与互补，则直线与 （填“平行”或“不平行”）． 【答案】平行 【分析】利用互余、互补的定义以及平行线的判定定理来判断是否平行． 【详解】解：∵与互余， ∴，的余角为． 又∵的余角与互补， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角、补角的定义以及平行线的判定，解题关键是根据互余、互补的定义推出同旁内角互补，进而利用平行线的判定定理得出直线平行的结论． 【跟踪专练1】如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质逐一分析即可解答． 【详解】解：A、若，则，结论正确，本选项不符合题意； B、若，则，结论正确，本选项不符合题意； C、若， ∴， ∵， ∴， ∴，原结论错误，本选项符合题意； D、若，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，结论正确，本选项不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∴；故③正确； ∴；故②正确； ∴；故⑥错误； ∵，， ∴， ∴；故⑤正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 故答案为：①②③⑤． 1．在长方体（非正方体）中，下列各组棱一定平行的是（） A．相交于同一个顶点的三条棱 B．位于同一个面上的四条棱 C．长度相等的四条棱 D．方向相同的四条棱 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．根据长方体的性质，同一方向的棱互相平行． 【详解】解：∵在长方体中，方向相同的棱具有相同的空间取向，属于同一组平行棱， ∴方向相同的四条棱一定平行． 对于其他选项：A选项相交于同一顶点的三条棱互相垂直； B选项同一面上的四条棱由两组平行的对边组成，这两组对边不互相平行； C选项长度相等的棱可能来自不同方向（如长和宽相等但不平行），因此不一定平行． 故选：D． 2．下列说法中错误的个数是（    ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种．（4）不相交的两条直线叫做平行线．（5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．（6）点到直线的垂线的长度叫做这点到直线的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线、垂直、邻补角、点到直线的距离等概念，根据平行线、垂直、邻补角、点到直线的距离等概念逐一判断各命题的正确性． 【详解】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线．故错误． （2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；若未限定同一平面，命题不成立．故错误． （3）同一平面内不重合的两条直线只有相交或平行两种位置关系．故正确． （4）平行线需满足“同一平面内不相交”，未限定平面则可能为异面直线，故错误． （5）邻补角需有公共边且另一边互为反向延长线，且和为，仅公共顶点和边不满足，故错误． （6）点到直线的距离是垂线段的长度，而非“垂线”（垂线为无限长直线），故错误 综上，（1）（2）（4）（5）（6）错误，共5个错误， 故选D． 3．如图，直线，OG是的平分线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的同位角相等以及角平分线平分角是解题的关键． 结合条件，根据平行线的性质及平角定义可得的度数，再由角平分线的定义即可算出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故选：C． 4．如图，下列能判定的条件有（   ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 【详解】解：（1）， ，符合题意； （2）， ，不符合题意； （3）， ，符合题意； （4）， ，符合题意； 共有3个条件符合题意． 故选：C． 5．如图，，将直角三角板与的顶点放在直线a、b上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数、三角板中角度的计算，由平行线的性质可得，结合计算即可得解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定直线的有（   ） A．③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：①：既不是同位角，也不是内错角，不能判断，故①错误； ②：同位角相等，两直线平行，能判定直线，故②正确； ③：邻补角互补，不能判定直线，故③错误； ④：内错角相等，两直线平行，能判定直线，故④正确； ⑤：同旁内角互补，两直线平行，能判定直线，故⑤正确． 综上，②④⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理． 7．光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．如图，若水面和杯底互相平行，，则等于 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数． 【详解】解： 水面和杯底互相平行， ， ， ， 水中的两条折射光线平行， ， 故答案为：． 8．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． 9．平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵若，，，，，，…， ∴，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：平行． 10．如图，，分别平分和，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质求角度，角平分线的计算，正确构造平行线是解题的关键． 延长交射线于点，过点分别作，则，那么，由角平分线得到，，则，再由得到内错角相等求解即可． 【详解】解：如图，延长交射线于点，过点分别作， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．如图，P是外一点． (1)过点P画直线，与相交于点C． (2)过点P画直线，与的反向延长线相交于点D． (3)分别量出，，，的度数，你有什么发现？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，，，，发现：如果两个角的两边分别互相平行，则这两个角相等或互补 【分析】本题主要考查了画平行线，平行线的性质，熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）用三角板和直尺画平行线即可； （2）用三角板和直尺画平行线即可； （3）用量角器量出对应的角度可知，如果两个角的两边分别互相平行，则这两个角相等或互补． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）如图所示，直线即为所求； （3）量得，，，，发现：如果两个角的两边分别互相平行，则这两个角相等或互补． 12．如图，如果于点于点为的平分线，为的平分线，那么．请写出说理过程． 【答案】过程见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定、垂线的定义及角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定、垂线的定义及角平分线的定义是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求解． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂线的定义）， ∵为的平分线，为的平分线（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 13．已知：如图，，AF平分，CE平分，求证： 证明：平分，CE平分， ______，______ 又， ______． ， ______， ______ 【答案】；角平分线的定义；； ；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．由角平分线的定义推出得到，即可证明． 【详解】证明：平分，CE平分， ，角平分线的定义 又， ， ， 同位角相等，两直线平行 故答案为：；角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行． 14．（1）已知直线a，b，c，d，e，且，，请证明a与c平行． （2）如图，直线相交于点O，且． ①若，求的度数． ②若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）①；；②的度数为 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． （1）先证明，，再利用平行公理的含义可得结论； （2）①根据垂直定义可得，然后再利用平角定义和对顶角性质进行计算即可解答； ②根据求出，再根据求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 15．如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且． (1)求证：． (2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记同位角相等，两直线平行、两直线平行；同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． （1）由对顶角定义得到，结合题意，等量代换即可得到，最后由同位角相等两直线平行即可得证； （2）由，求得的度数，再由，即可求得的度数． 【详解】（1）证明：和是对顶角， ， ， ， ∴； （2）解：已知，则， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16．如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行公理，平行线的性质，平角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．作，因为，所以，由平行线的性质可知，即，由三角板的度数可求，则的度数可求． 【详解】解∶作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由三角板的度数可知，， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $