重难点专题01投影与视图的计算中常见解题方法（专项训练）数学人教版九年级下册

重难点专题01投影与视图的计算中常见解题方法 重难点一、平行投影的有关计算 与平行投影有关的计算题，常用的方法是转化法，实质上应用了相似三角形的性质，在解题时常要作垂线构造直角三角形，然后利用“影长与物高成比例或相似三角形对应边咸比例”求解. 1．九天楼矗立于塔子山公园内，是成都市地标建筑之一、在一个阳光灿烂的午后，小明来到公园游玩，目睹了气势恢宏的九天楼，其垂直于水平地面，他萌生了测量该建筑高度的想法．他观察到阳光下建筑的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为86米，坡面上的影长为12米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米．（参考数据） (1)求点到水平地面的距离； (2)求小明测得的九天楼高度（结果精确到1米） 2．如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 3．9月30日是中国烈士纪念日，在苍郁静谧的惠山北麓，无锡市革命烈士陵园改造及环境提升工程已顺利完工，以全新面貌重新对外开放．纪念塔是整个陵园的核心和最高点，由塔身和塔座两部分构成，塔身正面镌刻着“为国牺牲人民英雄纪念塔”，此次改造工程包含了对烈士纪念塔塔座的扩建．某校数学研究性学习小组开展测量纪念塔高度的活动．经测量，纪念塔塔座高度为，如图，即，由于塔顶A和塔底中心B均无法到达，经研究，设计并实施了如下测量活动： 太阳光下，塔身的顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处，若此时站在点H处的观测者从点G处看到标杆顶D、塔顶A在同一条直线上，塔身底部点C在观测者的水平视线上．已知在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题． (1)求该时刻下，纪念塔塔高与其影长的数量关系； (2)求纪念塔塔高． 4．数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 5．甲楼、乙楼、斜坡的底部在同一水平面并且在同一直线上，具体数据如下图所示，已知甲、乙两楼间距，乙楼高，宽，斜坡坡度为，乙楼底端与斜坡底端相距，小明从点出发沿斜坡向上走到达点，此时小明垂直于水平地面站立恰好从乙楼楼顶上方看到甲楼楼顶，小明眼睛位置点与站立地点距离． (1)求甲楼高度； (2)某一时刻太阳光线照射甲楼顶端的影子恰好落在乙楼底端点，求此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 6．十一国庆前，数学组老师呼吁同学们利用假期时间，结合课本所学知识，丈量建筑物高度，文文和乐乐想要合作测量某一居民楼的高度：阳光下，文文先站在楼影子的顶端C处，此时测得文文的影长米，文文身高为米；接着，乐乐站在F处望向楼顶B，测出仰角约为，量得米，乐乐的眼睛到地面的距离约为米．已知测量过程中点A、F、C、E依次在同一条水平直线上，、、均与地面垂直，请根据测量得到的数据，计算出居民楼的高度．（结果取整数，参考数据：，，） 7．【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿． 8．如图，人行道旁有两个高度相等的路灯，．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子顶端恰好落在处，他自己影子的顶端恰好落在路灯的底部处；晚自习放学时，小明站在与上午相同的地方，发现在路灯的灯光下自己影子的顶端恰好落在处． (1)在图中画出小明站的位置（用线段表示，保留画图痕迹，不写画法）． (2)已知小明身高为，若上午上学时，高的木棒的影子为，小明距离处恰好，求路灯的高． 9．下图所示的是在同一时刻两根直立木杆在太阳光下的影子，其中木杆，它的影子，木杆PQ落在墙上的影子，落在地上的影子．求木杆PQ的长度． 10．甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高米．当地中午时，物高与影长的比是． (1)如图，当地中午时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为______米． (2)当地下午时，物高与影长的比是．如图，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长． 重难点二、中心投影的有关计算 解决利用相似求与投影有关的线段长度问题的基本步骤 (1)找出或构造出相似三角形，利用等比构建方程： (2)根据已知条件写出恰当的比例线段： (3)解有关未知线段的方程. 11．如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯． (1)请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；（不写作法，请保留作图痕迹，并写出结论） (2)如果灯杆高，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度．（请写出完整的求解过程） 12．三根竖立的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为，已知，点、、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 13．某兴趣小组开展课外活动．如图，两地相距12米，小明从点出发沿方向以米秒的速度匀速前进，2秒后到达点，此时他在某一灯光下的影长为，继续按原速行走2秒到达点，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，从点处再行走2秒到达点，此时他在同一灯光下的影长为（点在一条直线上）． (1)请在图中画出小明位于点时的影子，并填空：_______米；（用含的代数式表示） (2)求小明原来的速度． 14．通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影． 如图，河对岸有一灯杆， 在灯光下，小明在点 D 处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长 ． 已知小明的身高为 ，求灯杆的高度． 15．如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小亮的身高用线段表示，路灯在线段上． (1)请你确定路灯所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子． (2)如果路灯距离地面，小亮的身高为，小亮与灯杆的距离为，请求出小亮影子的长度． 16．如图，小李、婷婷、小高同时站在路灯下，其中小李和小高的影子分别是． (1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点表示）； (2)画出婷婷此时在路灯下的影子（用线段表示）； (3)若小李的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度．（精确到0.1m） 17．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 重难点三、运用投影设计测量物体高度的方案 1.利用太阳光下，物高与影长成比例进行测量求值 2.利用解直角三角形的性质求解， 3.利用皮尺和标杆（长度大于身高)构造相似三角形求高. 4.测量镜子到树及到人的距高，测量者眼晴距地面的高度，并利用镜面对称及相似三角形的性 质列式计算 18．综合与实践 活动主题：测量学校旗杆的高度． 测量工具：标杆，小镜子，皮尺． 【方案设计】 某“综合与实践”小组利用阳光下的影子测量旗杆的高度．如题图，该小组选一名身高为的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分测量该同学的影长为，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长为． 【问题解决】 （1）求旗杆的高度； 【评价反思】 （2）设计其他方案计算旗杆的高度．要求：画出图形，简要说明设计方案，测量数据用等小写字母表示． 19．摩天轮曾一度成为游乐城的热门打卡点．某实践小组欲测量摩天轮的高度，过程见下表． 主题 热门打卡，测量摩天轮的高度 测量方案及示意图 图　　　　　　　　　　　图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，摩天轮最高点和标杆顶端确定的直线交水平线于点，测得米． 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，最高点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米．（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求摩天轮的大致高度． 20．图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，上都有相同单位的刻度，G可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度． 如图（2），小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点F，滑动使O ，G，P在同一条直线上，此时． 他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点E， 滑动， 使在同一条直线上，此时．小明的身高，自动扶梯的高为， 水平宽为． 试根据以上数据计算出建筑物的高度．(结果精确到) 21．数学活动课上，老师让同学们借助太阳光线，分组测量塔高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：选择其中一个小组方案，求出塔高；若认为两个方案均不可行，则说明理由． 小天组：采用在同一时刻棍影和塔影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻木棍与塔影一端重合在点，测得棍影为1米；第二次测量另一时刻棍影与塔影一端重合在点，测得米，木棍移动距离米． 小河组：采用固定木棍分次测量方式．如图2所示，第一次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为1.5米．第二次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为2米，两次塔影顶端的距离为12.4米． （注：图中箭头表示太阳光线，同一时刻太阳光可视为平行光） 22．周末，小英与小淇同学逛公园时注意到一棵树，她们打算利用所学知识测量树高，为此找来了平面镜、直木棍、皮尺等工具．如图，小英先将平面镜（厚度不计）平放在水平地面的点D处，小淇站在点B处，通过平面镜从点A观察到树的顶端点M，随后小英在点D处竖直放置一根木棍，小淇从点A观察到术棍顶端点C与树的底端点N在同一直线上．已知，图中所有点均在同一平面内，求树的高．（光的反射角等于入射角） 23．项目式学习 【问题背景】学校为更高效地组织学生开展综合实践活动，引进了新的测量工具——激光测距仪，具有技术难度低、成本低等特点．实践小组模拟真实测量场景，研究其使用方法． 【实践过程】 测距方法 激光三角法测距通过测量激光照射点在相机中的成像位置获得信息，如图，激光器从点处发射一束激光以一定的角度照射到被测目标表面的点处，在点处发生反射或散射，光线经过凸透镜的光心照射在感光耦合组件上的点处；当被测目标沿激光方向移动至点处时，反射或散射后的光线经过凸透镜的光心照射在上的点处． 测量数据及其他信息 ①已知，； ②过点作于点，测得，，，； ③用计算器求得：，，． 【解决问题】求被测目标移动的距离．（结果精确到） 重难点四、由视图推断几何体中小正方体的个数 先根据主视图和左视图确定层数及列数，再确定每层可能由多少个小正方体组成，由不完整的视图推测小正方体的个数时，先根据已知视图判断能确定的层数和某层中小正方体的个数，对于不能确定的小正方体的个数和层数，进行分类讨论。 24．一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体最多的个数为（   ） A． B． C． D． 25．正方体的个数最多为（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 26．由若干个相同的小正方体堆成的几何体，从正面和上面看该几何体得到的形状图如图所示.若最多需要m个小正方体，最少需要n个小正方体，则 27．一个几何体由若干个棱长为的小立方块搭成，这个几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)请在下面的方格纸中画出该几何体的主视图和左视图； (3)求该几何体的表面积． 28．用小立方块搭一个几何体，使其主视图与俯视图如下图所示，俯视图上的字母表示在该位置上小立方块的个数．试回答下列问题： (1)_______，_______． (2)这个几何体最少由_______个小立方块搭成，最多由_______个小立方块搭成． (3)请在网格图中，画出小立方块最多时的左视图． 29．如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体从上面看到的图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数． (1)请画出这个几何体从正面看和从左面看得到的形状图； (2)若小正方体的棱长为4，求该几何体的体积． 重难点五、根据视图进行几何计算 解此题的关键是根据三视图判断出该几何体的形状，并从物体与视图的对应关系中获取计算所需要的数据，然后根据相关公式进行计算 30．小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图及相关数据（单位：）如图所示，则所需铁皮的面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 31．如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，计算这个几何体的表面积是 33．已知某几何体的三视图如图所示，其俯视图是等边三角形，则该几何体的侧面积为 ． 34．某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为，那么这三者的大小关系是 （请用“<”连接）． 35．从棱长为2的正方体的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到如图所示的几何体． (1)请画出该几何体的三视图； (2)计算该几何体的表面积． 36．如图是某几何体的三视图． (1)这个几何体的名称是___________； (2)若主视图是宽为，长为的矩形，左视图是宽为的矩形，俯视图是斜边为的直角三角形，则这个几何体的表面积是多少？ 37．如图，是某几何体的三视图． (1)直接写出该几何体名称； (2)若中，，，，求左视图的面积． 38．已知一个几何体的三视图和有关的尺寸如图. (1)写出这个几何体的名称； (2)求出这个几何体的表面积． 39．某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了它的三视图．请你根据如图所示的三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积（结果精确到，参考数据：）． 40．下图是一个包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． (1)这个几何体模型的最确切的名称是_______． (2)若网格中的图①是该几何体的主视图，根据的取值在网格中画出该几何体的俯视图和左视图，其中不正确的是_______（填序号）． (3)在（2）的条件下，已知，求该几何体的表面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01投影与视图的计算中常见解题方法 重难点一、平行投影的有关计算 与平行投影有关的计算题，常用的方法是转化法，实质上应用了相似三角形的性质，在解题时常要作垂线构造直角三角形，然后利用“影长与物高成比例或相似三角形对应边咸比例”求解. 1．九天楼矗立于塔子山公园内，是成都市地标建筑之一、在一个阳光灿烂的午后，小明来到公园游玩，目睹了气势恢宏的九天楼，其垂直于水平地面，他萌生了测量该建筑高度的想法．他观察到阳光下建筑的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为86米，坡面上的影长为12米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米．（参考数据） (1)求点到水平地面的距离； (2)求小明测得的九天楼高度（结果精确到1米） 【答案】(1)点到水平地面的距离为6米； (2)小明测得的九天楼高度为米． 【分析】此题考查了平行投影，平行四边形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过C作交延长线于H，根据含角直角三角形的性质求解即可； （2）过H作交于E，证明出四边形为平行四边形，得到米，然后勾股定理求出，然后根据求出的长，进而求解即可． 【详解】（1）解：过C作交延长线于H， 在中，， ∴（米）； 答：点到水平地面的距离为6米； （2）解：过H作交于E， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形 ∴米 在中，， （米） （米） ∵身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米， ∴，即 解得， ∴（米）． 答：小明测得的九天楼高度为米． 2．如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 【答案】电线杆的高度为米 【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作于点Q，于点P，得出四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，由题意得，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可． 【详解】解：如图， 过点G作于点Q，于点P， 根据题意得出，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∵米，米，宽米，米， ∴米，，米， ∵点G是的中点， ∴米， ∴（米）， ∵实际高度和影长成正比例， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∴（米）． 答：电线杆的高度为米． 3．9月30日是中国烈士纪念日，在苍郁静谧的惠山北麓，无锡市革命烈士陵园改造及环境提升工程已顺利完工，以全新面貌重新对外开放．纪念塔是整个陵园的核心和最高点，由塔身和塔座两部分构成，塔身正面镌刻着“为国牺牲人民英雄纪念塔”，此次改造工程包含了对烈士纪念塔塔座的扩建．某校数学研究性学习小组开展测量纪念塔高度的活动．经测量，纪念塔塔座高度为，如图，即，由于塔顶A和塔底中心B均无法到达，经研究，设计并实施了如下测量活动： 太阳光下，塔身的顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处，若此时站在点H处的观测者从点G处看到标杆顶D、塔顶A在同一条直线上，塔身底部点C在观测者的水平视线上．已知在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题． (1)求该时刻下，纪念塔塔高与其影长的数量关系； (2)求纪念塔塔高． 【答案】(1) (2)18米 【分析】本题考查了相似三角形的应用及矩形的性质和判定，解题的关键是通过平行光线构建相似三角形，结合相似三角形性质建立等量关系． （1）根据太阳光下，同一时刻，物体长度和其影长的比值相等得出，结合题干数据即可求解． （2）如图，令与的交点为，则四边形和是矩形，得出，，，设， 则，，表示出，证明，则，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 即， ． （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ∴，， ∴， 设， 则 ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 米， 答：纪念碑的高度为18米． 4．数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 【答案】该古塔的高度为 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：该古塔的高度为． 5．甲楼、乙楼、斜坡的底部在同一水平面并且在同一直线上，具体数据如下图所示，已知甲、乙两楼间距，乙楼高，宽，斜坡坡度为，乙楼底端与斜坡底端相距，小明从点出发沿斜坡向上走到达点，此时小明垂直于水平地面站立恰好从乙楼楼顶上方看到甲楼楼顶，小明眼睛位置点与站立地点距离． (1)求甲楼高度； (2)某一时刻太阳光线照射甲楼顶端的影子恰好落在乙楼底端点，求此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（）过点作于点，交于点，延长交于点，由坡坡度为，可设，，得，即得到，解得，得到，， 进而得到，，，即可得，再根据可得，即可求解； （）设阳光线照射乙楼顶端的影子恰好落在斜坡上的点，过点作于点，于点，由斜坡坡度为， 设，，得，即得，，，再根据即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，相似三角形的应用，平行投影，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点，延长交于点， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 解得， ∴， 答：甲楼高度为； （2）解：设太阳光线照射乙楼顶端的影子恰好落在斜坡上的点，过点作于点，于点，如图， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 6．十一国庆前，数学组老师呼吁同学们利用假期时间，结合课本所学知识，丈量建筑物高度，文文和乐乐想要合作测量某一居民楼的高度：阳光下，文文先站在楼影子的顶端C处，此时测得文文的影长米，文文身高为米；接着，乐乐站在F处望向楼顶B，测出仰角约为，量得米，乐乐的眼睛到地面的距离约为米．已知测量过程中点A、F、C、E依次在同一条水平直线上，、、均与地面垂直，请根据测量得到的数据，计算出居民楼的高度．（结果取整数，参考数据：，，） 【答案】居民楼的高度约为 16 米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，根据题意可得：米，然后设米，则米，在 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据同一时刻物高与影长是成正比例列出比例式，从而进行计算可求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：， 设米， 则米， 在中，（米）， 米， 由题意得：， ， 解分式方程得：， 经检验：是原方程的根， 米， 答：居民楼的高度约为16米． 7．【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿． 【答案】（1）平行投影；（2）见解析；（3）的长为；（4）这棵树高 【分析】本题重点考查平行投影和相似三角形的实际应用，平行投影下，两个物体竖直放在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形的对应边成比例，抽取题目关键信息，作出图形，并利用相似三角形的性质是解决本题的关键． （1）【数学思考】太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影， （2）【数学思考】过点作的平行线，并交直线于，即得到投影， （3）【数学思考】根据平行投影的特征，得到两个相似三角形和，并利用相似三角形对应边成比例，求得立柱的值， （4）【解决问题】此题需要先抽取题目信息，画图构造，作出的平行线，并利用其与相似，计算得到的值，进而求得古树的高度． 【详解】解：（1）太阳光线属于平行光线，形成平行投影． （2）作直线，过点作，交直线于， 如图所示，就是的投影． （3）太阳光线是平行的， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故立柱的长为． 答：立柱的长为． （4）如图，过点作交于点， 则，， ， 即， ， ． 答：这棵树高． 8．如图，人行道旁有两个高度相等的路灯，．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子顶端恰好落在处，他自己影子的顶端恰好落在路灯的底部处；晚自习放学时，小明站在与上午相同的地方，发现在路灯的灯光下自己影子的顶端恰好落在处． (1)在图中画出小明站的位置（用线段表示，保留画图痕迹，不写画法）． (2)已知小明身高为，若上午上学时，高的木棒的影子为，小明距离处恰好，求路灯的高． 【答案】(1)见解析 (2)路灯的高为 【分析】（1）作出太阳光线，过作的平行线，与的交点即为小明的位置； （2）易得小明的影长，利用可得路灯的长度． 【详解】（1）解：如图，作出太阳光线，过作的平行线，与的交于点，过作于点，线段即为所求． （2）解：上午上学时，高的木棒的影子为， ． ， ， ， ， ，即路灯的高为． 【点睛】本题综合考查了中心投影和平行投影的应用，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 9．下图所示的是在同一时刻两根直立木杆在太阳光下的影子，其中木杆，它的影子，木杆PQ落在墙上的影子，落在地上的影子．求木杆PQ的长度． 【答案】木杆PQ的长度为 【分析】本题考查平行投影的性质，掌握同一时刻太阳光下物体高度与影子长度成比例，据此建立方程求解是解题的关键． 利用同一时刻太阳光下物体高度与影子长度的比例关系，设木杆的长度为，建立比例方程求解． 【详解】解：设木杆的长度为． 依题意，得 解得． 故木杆的长度为． 10．甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高米．当地中午时，物高与影长的比是． (1)如图，当地中午时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为______米． (2)当地下午时，物高与影长的比是．如图，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（）根据平行投影的性质解答即可求解； （）作于点，则米，，根据平行投影的性质求出，进而即可求解； 本题考查了平行投影，根据物高与影长的比得出相关比例式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得米， 故答案为：； （2）解：如图，作于点，则米，， 由题意得，， ∴米， ∴米， 答：落在乙楼上的影子的长为米． 重难点二、中心投影的有关计算 解决利用相似求与投影有关的线段长度问题的基本步骤 (1)找出或构造出相似三角形，利用等比构建方程： (2)根据已知条件写出恰当的比例线段： (3)解有关未知线段的方程. 11．如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯． (1)请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；（不写作法，请保留作图痕迹，并写出结论） (2)如果灯杆高，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度．（请写出完整的求解过程） 【答案】(1)见解析 (2)小亮影子的长度为 【分析】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段． （1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端； （2）根据中心投影的特点可知，利用相似比即可求解． 【详解】（1）解：连接并延长交地面于点C，线段就是小亮在照明灯（P）照射下的影子； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， 小亮影子的长度为． 12．三根竖立的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为，已知，点、、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 【答案】图见解析 【分析】本题考查中心投影，连接并延长，交点即为光源的位置，连接，作，交于点，即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求，线段即为所求． 13．某兴趣小组开展课外活动．如图，两地相距12米，小明从点出发沿方向以米秒的速度匀速前进，2秒后到达点，此时他在某一灯光下的影长为，继续按原速行走2秒到达点，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，从点处再行走2秒到达点，此时他在同一灯光下的影长为（点在一条直线上）． (1)请在图中画出小明位于点时的影子，并填空：_______米；（用含的代数式表示） (2)求小明原来的速度． 【答案】(1)图见解析， (2)小明原来的速度为 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的应用：从实际问题中抽象出几何图形，然后利用相似比计算相应线段的长． （1）利用中心投影的定义画图； （2）设小明原来的速度为，则，，，，根据相似三角形的判定方法得到，，则，，推出，即，然后解方程解决． 【详解】（1）解：图形如图所示： 小明原来的速度为， 则， （2）解：根据题意易得四边形均为矩形，， ， 点在一条直线上，， ， ， ， ，即， ， 解得，经检验：是原方程的解， 小明原来的速度为． 14．通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影． 如图，河对岸有一灯杆， 在灯光下，小明在点 D 处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长 ． 已知小明的身高为 ，求灯杆的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据相似三角形的判定与性质分别得出比例式，进而得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：由题意，可知：，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 把代入， 解得：． 15．如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小亮的身高用线段表示，路灯在线段上． (1)请你确定路灯所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子． (2)如果路灯距离地面，小亮的身高为，小亮与灯杆的距离为，请求出小亮影子的长度． 【答案】(1)见解析 (2)小亮影子的长度为 【分析】本题考查作图应用与设计作图，相似三角形的性质，中心投影，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）连接，延长交于点，连接，延长交于点，点，线段即为所求； （2）利用相似三角形的性质构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点，线段即为所求； （2）， △△， ， ， ， 答：小亮影子的长度为． 16．如图，小李、婷婷、小高同时站在路灯下，其中小李和小高的影子分别是． (1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点表示）； (2)画出婷婷此时在路灯下的影子（用线段表示）； (3)若小李的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度．（精确到0.1m） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)路灯的高度约为 【分析】本题主要考查了中心投影，相似三角形的性质与判定： （1）连接点B和小李的头部并延长，连接点D和小高的头部并延长，两条射线交于点P，点P即为所求； （2）连接点P与婷婷的头部与地面交于E，则点E与婷婷脚部的连线线段即为所求； （3）过点P作交延长线于H，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：点即为所求； （2）如图，即为所求； （3）解：过点作，交的延长线于点 由题意得： ， ；即： 答：路灯的高度约为． 17．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 【答案】(1)9.6米 (2)米 (3)①米；② 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，列代数式，一次函数中的实际意义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由证，用相似比求高度； （2）由证，代入求长度； （3）①用相似比表示出、，相加得的表达式； ②计算的表达式，计算1秒内移动的距离即为在地面上移动的速度． 【详解】（1）解：由题意，可知， 米， 米， 米， ，， ， ∴，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为米； （2）解：， 米， ∵米，米， ∴米，米， ， ， ∴，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； （3）解：①由（1）（2）得，， 当运动秒后，米，则米， 设米，米， ， 解得：； ， 解得； 米， 故答案为：米； ②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是， 米， 当秒时， 米， 当秒时， 米， ∴1秒时间内移动的距离为： 米， 影子的顶端在地面上移动的速度是米秒． 故答案为：． 重难点三、运用投影设计测量物体高度的方案 1.利用太阳光下，物高与影长成比例进行测量求值 2.利用解直角三角形的性质求解， 3.利用皮尺和标杆（长度大于身高)构造相似三角形求高. 4.测量镜子到树及到人的距高，测量者眼晴距地面的高度，并利用镜面对称及相似三角形的性 质列式计算 18．综合与实践 活动主题：测量学校旗杆的高度． 测量工具：标杆，小镜子，皮尺． 【方案设计】 某“综合与实践”小组利用阳光下的影子测量旗杆的高度．如题图，该小组选一名身高为的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分测量该同学的影长为，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长为． 【问题解决】 （1）求旗杆的高度； 【评价反思】 （2）设计其他方案计算旗杆的高度．要求：画出图形，简要说明设计方案，测量数据用等小写字母表示． 【答案】（1）旗杆的高度为；（2）方案见解析，旗杆的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，然后利用相似比计算的长即可； （2）在观测者与旗杆之间的地面E平放一面镜子，在镜子E做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子的标记重合，然后利用相似三角形对应边成比例求解． 【详解】解：（1）， ， ． ， ，，， ． 旗杆的高度为； （2）方案：选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面E平放一面镜子，在镜子E做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子的标记重合，如图，测出观测者的眼睛离地面的高度为，标记点与观测者的距离为，标记点与旗杆的距离为． 由反射定律可知，， 又， ． ，即． ． 旗杆的高度为． 19．摩天轮曾一度成为游乐城的热门打卡点．某实践小组欲测量摩天轮的高度，过程见下表． 主题 热门打卡，测量摩天轮的高度 测量方案及示意图 图　　　　　　　　　　　图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，摩天轮最高点和标杆顶端确定的直线交水平线于点，测得米． 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，最高点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米．（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求摩天轮的大致高度． 【答案】米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由得，进而得，同理得，即得，再根据得到，解方程即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， 即， ∴， 同理得，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴米， 答：摩天轮的大致高度为米 ． 20．图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，上都有相同单位的刻度，G可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度． 如图（2），小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点F，滑动使O ，G，P在同一条直线上，此时． 他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点E， 滑动， 使在同一条直线上，此时．小明的身高，自动扶梯的高为， 水平宽为． 试根据以上数据计算出建筑物的高度．(结果精确到) 【答案】建筑物的高度约为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，，列出比例式，代入题中数据，即可求解． 【详解】解：设，则， 根据题意可得， ∴ 即， ∴ 同理可得 ∴ 即 ∴ 解得： ∴ 答：建筑物的高度约为． 21．数学活动课上，老师让同学们借助太阳光线，分组测量塔高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：选择其中一个小组方案，求出塔高；若认为两个方案均不可行，则说明理由． 小天组：采用在同一时刻棍影和塔影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻木棍与塔影一端重合在点，测得棍影为1米；第二次测量另一时刻棍影与塔影一端重合在点，测得米，木棍移动距离米． 小河组：采用固定木棍分次测量方式．如图2所示，第一次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为1.5米．第二次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为2米，两次塔影顶端的距离为12.4米． （注：图中箭头表示太阳光线，同一时刻太阳光可视为平行光） 【答案】两种方案都能得到合理结果，塔高度约为25米 【分析】本题考查利用相似三角形测高，小天组：证，可得，再证，可得，根据即可求解；小河组：小河组：由题意得，证明，，推出，求出，即可解答． 【详解】解：小天组：由题意得， ∴， ∴，， ∴，， ∵米，米，米， ∴米， ∴，， ∴， ∴，即， ∴米； 小河组：由题意得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米， ∵米， ∴， ∴米，与米非常接近，可视作测量或记录误差所致， 综上，两种方案都能得到合理结果，塔高度约为25米． 22．周末，小英与小淇同学逛公园时注意到一棵树，她们打算利用所学知识测量树高，为此找来了平面镜、直木棍、皮尺等工具．如图，小英先将平面镜（厚度不计）平放在水平地面的点D处，小淇站在点B处，通过平面镜从点A观察到树的顶端点M，随后小英在点D处竖直放置一根木棍，小淇从点A观察到术棍顶端点C与树的底端点N在同一直线上．已知，图中所有点均在同一平面内，求树的高．（光的反射角等于入射角） 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．根据，可得，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ， ． 代入数据，得①，②， 解得， ∴树的高为． 23．项目式学习 【问题背景】学校为更高效地组织学生开展综合实践活动，引进了新的测量工具——激光测距仪，具有技术难度低、成本低等特点．实践小组模拟真实测量场景，研究其使用方法． 【实践过程】 测距方法 激光三角法测距通过测量激光照射点在相机中的成像位置获得信息，如图，激光器从点处发射一束激光以一定的角度照射到被测目标表面的点处，在点处发生反射或散射，光线经过凸透镜的光心照射在感光耦合组件上的点处；当被测目标沿激光方向移动至点处时，反射或散射后的光线经过凸透镜的光心照射在上的点处． 测量数据及其他信息 ①已知，； ②过点作于点，测得，，，； ③用计算器求得：，，． 【解决问题】求被测目标移动的距离．（结果精确到） 【答案】被测目标移动的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质等知识，在中，根据正切的定义求出，在中，根据正切的定义求出，则可求出，然后证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：因为，，所以． 在中，，， 所以， 在中，，， 所以， 所以， 因为， 所以， 又， 所以， 所以，即． 解得， 所以． 答：被测目标移动的距离约为． 重难点四、由视图推断几何体中小正方体的个数 先根据主视图和左视图确定层数及列数，再确定每层可能由多少个小正方体组成，由不完整的视图推测小正方体的个数时，先根据已知视图判断能确定的层数和某层中小正方体的个数，对于不能确定的小正方体的个数和层数，进行分类讨论。 24．一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体最多的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了小立方体堆砌而成的几何体的三视图，正确记忆相关知识点是解题关键．结合主视图(从正面看的图形)和俯视图(从上面看的图形)，分析每一列、每一行小立方体的可能层数，从而确定小立方体的最多个数． 【详解】解：第列(主视图最高层) 俯视图中第列有个位置(第行)，每个位置最多叠层， 因此第列最多有个小立方体； 第列(主视图最高层) 俯视图中第列有个位置(第行)每个位置最多叠层， 因此第列最多有个小立方体； 第列(主视图最高层俯视图中第列有个位置(第行)，最多叠层， 因此第列最多有个小立方体； ∴总个数将三列的最多个数相加：． 故选：C． 25．正方体的个数最多为（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】本题考查由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 根据从上面看到的图形确定第一层的个数，然后根据从正面看到的图形确定最多的小正方体的个数即可． 【详解】解：从上面看，第一层有5个小正方体，从正面看第二层最多有5个小正方体， 故最多有个小立方体， 故选：D． 26．由若干个相同的小正方体堆成的几何体，从正面和上面看该几何体得到的形状图如图所示.若最多需要m个小正方体，最少需要n个小正方体，则 【答案】30 【分析】本题考查简单组合体的三视图；先从正面可看出该几何体有三层，再分别在俯视图相应位置小正方体上画出最多和最少时的个数即可. 【详解】解：当摆放的正方体的个数最多时，在俯视图的相应位置所摆放的小正方体的个数如图所示， ∴需要的小正方体的个数为个，即， 当摆放的正方体的个数最少时，在俯视图的相应位置所摆放的小正方体的个数如图所示， ∴需要的小正方体的个数为个，即， ∴. 故答案为：30. 27．一个几何体由若干个棱长为的小立方块搭成，这个几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)请在下面的方格纸中画出该几何体的主视图和左视图； (3)求该几何体的表面积． 【答案】(1)15 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三视图，计算几何体的表面积． （1）将每个位置的小立方块个数相加可得总个数； （2）根据主视图和左视图的定义画图即可； （3）根据从三个方向看到的形状确定该几何体露在外面的面（边长为1的正方形）有多少个即可得到答案． 【详解】（1）解：小立方块的个数为， 故答案为：15； （2）解：如图，即为所求； （3）解： 即该几何体的表面积为． 28．用小立方块搭一个几何体，使其主视图与俯视图如下图所示，俯视图上的字母表示在该位置上小立方块的个数．试回答下列问题： (1)_______，_______． (2)这个几何体最少由_______个小立方块搭成，最多由_______个小立方块搭成． (3)请在网格图中，画出小立方块最多时的左视图． 【答案】(1)1；1 (2)10；15 (3)小立方块最多时的左视图如图所示． 【分析】此题主要考查了画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． （1）根据主视图，俯视图判断即可； （2）利用俯视图，主视图判断即可； （3）根据左视图的定义画出图形． 【详解】（1）解：观察主视图，俯视图可知：，， 故答案为：，． （2）解：要使小立方块个数最少，那么在满足主视图和俯视图的情况下，每列尽量少放小立方块，结合主视图和俯视图， 最少时，，，，，，，，且、、、中至少有一个为，此时最少有个小立方块； 要使小立方块个数最多，那么在满足主视图和俯视图的情况下，每列尽量多放小立方块，结合主视图和俯视图， 最多时，，，，，，，，此时最多有个小立方块； 故答案为：，． （3）解：小立方块最多时的左视图如图所示． 29．如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体从上面看到的图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数． (1)请画出这个几何体从正面看和从左面看得到的形状图； (2)若小正方体的棱长为4，求该几何体的体积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，正方体的体积． （1）由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，2；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2．据此可画出图形． （2）根据题意可得出几何体的小正方体个数，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：该几何体的小正方体个数为个， 故该几何体的体积为. 重难点五、根据视图进行几何计算 解此题的关键是根据三视图判断出该几何体的形状，并从物体与视图的对应关系中获取计算所需要的数据，然后根据相关公式进行计算 30．小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图及相关数据（单位：）如图所示，则所需铁皮的面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的三视图、圆锥侧面积的求法等知识，由该三视图中的数据确定圆锥的底面半径和母线长是解题的关键． 由三视图中数据可知该圆锥的底面半径为，圆锥母线长为，然后根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：由三视图中可知，该圆锥的底面半径为，圆锥母线长为， ∴圆锥侧面积． 故选：B． 31．如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了三视图和一元二次方程的解法，解决此题的关键是根据三视图的面积得到长方体的长和宽用x表示出来，得到关于x的一元二次方程求解即可； 【详解】解：∵，， 又∵长方体的高为， ∴长方体的长为，宽为， ∴， 即， 解得：， ∵为正数， ∴取， 故选：A． 32．如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，计算这个几何体的表面积是 【答案】 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状及有关尺寸．由三视图知，该几何体是底面半径为4、高为6的圆柱被沿高的方向切掉一个圆的几何体，再列式计算其侧面积和底面积的和即可． 【详解】解：由三视图知，该几何体是底面半径为4、高为6的圆柱被沿高的方向切掉一个圆的几何体， 所以其表面积为 ， 故答案为：． 33．已知某几何体的三视图如图所示，其俯视图是等边三角形，则该几何体的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据三视图求侧面积，等边三角形的性质，以及勾股定理等知识． 作，由左视图可知，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据几何体的侧面积个相同的长方形面积相加计算即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为三棱柱，如图，作，由左视图可知，三棱柱的高为2， ∵俯视图是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该几何体的侧面积． 故答案为：． 34．某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为，那么这三者的大小关系是 （请用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的表面积，整式加减的应用，能表示出所求几何体的表面积是解题的关键．；由正方体的表面积得，分别进行整式加减运算后，进行比较大小，即可求解； 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， 故答案为：． 35．从棱长为2的正方体的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到如图所示的几何体． (1)请画出该几何体的三视图； (2)计算该几何体的表面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)24 【分析】本题考查了画几何体的三视图及几何体表面积的计算． （1）根据题中所给出的几何体正确将正视图、左视图及俯视图画出即可； （2）观察整个几何体发现有3个边长为2的正方形，3个六边形及3个边长为1的小正方形，分别计算其表面积后最终相加即可得到． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：该几何体中有3个边长为2的正方形，表面积为， 有3个六边形，其表面积为， 有3个边长为1的小正方形，表面积为， ∴该几何体的表面积为． 36．如图是某几何体的三视图． (1)这个几何体的名称是___________； (2)若主视图是宽为，长为的矩形，左视图是宽为的矩形，俯视图是斜边为的直角三角形，则这个几何体的表面积是多少？ 【答案】(1)三棱柱 (2)120平方厘米 【分析】本题考查由三视图判断几何体、求棱柱的表面积，解题的关键是： （1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个三棱柱； （2）根据直三棱柱的棱长的和以及表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由三视图可知，这个几何体为三棱柱， 故答案为：三棱柱； （2）解：由题知，该几何体的表面积． 37．如图，是某几何体的三视图． (1)直接写出该几何体名称； (2)若中，，，，求左视图的面积． 【答案】(1)三棱柱 (2) 【分析】本题考查根据三视图还原几何体，熟练掌握三视图之间的关系是解题的关键： （1）观察可知，几何体为三棱柱； （2）作，解直角三角形，求出的长，根据左视图和俯视图的宽相等，得到，再根据矩形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体为三棱柱； （2）解：作，由题意，， 在中，，， ∴， ∴左视图的面积为． 38．已知一个几何体的三视图和有关的尺寸如图. (1)写出这个几何体的名称； (2)求出这个几何体的表面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2) 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体以及几何体的表面积，几何体的表面积等于底面积加上侧面积． （1）根据几何体的三视图，可得出几何体是直三棱柱； （2）由图可得底面三角形的三边分别为6，8，10，正三棱柱的高为4，侧面积等于三个矩形的面积，表面积等于侧面积加上两个底面积． 【详解】（1）解：这个几何体是直三棱柱； （2）解：主视图是一个直角三角形，直角三角形斜边是： ， 这个几何体的表面积为： ， 即几何体的表面积为． 39．某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了它的三视图．请你根据如图所示的三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积（结果精确到，参考数据：）． 【答案】． 【分析】本题考查了三视图，解题关键是根据密封罐的三视图得到密封罐的形状． 根据三视图可知，该密封罐是一个正六棱柱，即可求面积． 【详解】解：根据三视图可知，该密封罐是一个正六棱柱， 易得组成其底面六边形的六个正三角形的高为， 该正六棱柱的底面面积为， 该正六棱柱的表面积为． 故制作每个密封罐所需钢板的面积约为． 40．下图是一个包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． (1)这个几何体模型的最确切的名称是_______． (2)若网格中的图①是该几何体的主视图，根据的取值在网格中画出该几何体的俯视图和左视图，其中不正确的是_______（填序号）． (3)在（2）的条件下，已知，求该几何体的表面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2)④⑤ (3) 【分析】本题考查作图-三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解三视图的定义． （1）根据展开图判断几何体即可； （2）根据三视图的定义判断即可； （3）根据表面积的定义求解即可． 【详解】（1）解：展开图由两个等腰直角三角形和三个矩形组成，这是直三棱柱的典型展开图，直三棱柱的两个底面是等腰直角三角形，侧面是矩形，所以这个几何体模型的最确切的名称是直三棱柱， （2）故答案为：直三棱柱； 解：主视图显示的是直三棱柱的侧面，即一个矩形，俯视图应该显示的是直三棱柱的底面，即一个等腰直角三角形，左视图则应该显示的是直三棱柱的另一个侧面，也是一个矩形，但其高度为，宽度为等腰直角三角形的斜边长度，即，根据这些信息，可以判断图④和图⑤不正确， 故答案为：④⑤； （3）解：由题意可知， ， 该几何体的表面积为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $