重难点专题01锐角三角函数8大类型突破（专项训练）数学人教版九年级下册

重难点专题01锐角三角函数8大类型突破 重难点一、利用定义法求锐角三角函数值 设直角三角形中，一个锐角为∠A，对边为a、邻边为b、斜边为c，则：  正弦：sinA == ​余弦：cosA == ​正切：tanA == 1．在中，，，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图中，，试求出的三个三角函数值． 4．如图所示，在中，，，求，的值．    5．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 6．如图，在中，，，．    (1)求的长； (2)求的值． 重难点二、利用参数法求锐角三角函数值 参数法求锐角三角函数值 将已知锐角三角函数值转化为直角三角形中两条边的长度的比，通过设参数表示出两条边的长，再利用勾股定理表示出第三条边的长，最后根据锐角三角函数的定义求未知的锐角三角函数值 7．在中，，为锐角，，求,的值. 8．已知在中，求及的值． 9．如图所示，ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值． 10．在中，，是斜边上的中线，交于点、交于点，． (1)求证：； (2)求的值． 重难点三、利用构造法求锐角三角函值 构造直角三角形求锐角三角函数值 锐角三角函数是在直角三角形中定义的，当要求的锐角不在直角三角形中时，一般先作辅助线构造以该角为内角的直角三角形，再根据锐角三角函数的定义求其锐角三角函数值 11．如图，在中，．若，，则 ． 12．已知：如图，在中，，，，则的长为 ． 13．如图，在中，已知，， (1)求的长； (2)求的面积． 14．已知：如图，在中，D是边的中点，、分别是、的中点，且，，．求：    (1)线段的长； (2)的余弦值． 15．如图所示，在中，为边上的一点，，，，，求： (1)的余弦值； (2)边的长． 16．如图，已知中，是的角平分线，， (1)求的长； (2)求的值． 重难点四、利用转化法求锐角三角函值 求锐角三角函数值的方法有很多，如参数法、构造法等，但当直接利用这些方法都不能求解时，可将角进行转化，把所求角转化为与之相等的角. 17．如图，内接于是的直径，若的半径为3，，则 ． 18．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD的值是（　　） A．2 B． C． D． 19．已知，如图，，垂足为，，求的正弦值、余弦值和正切值． 20．如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B． （1）求证：CF是⊙O的切线． （2）若AC=4，tan∠ACD，求⊙O的半径． 重难点五、利用网格求锐角三角函值 根据网格的特点，在网格中构造出锐角所在的直角三角形，即将所求角转化到构造出的直角三角形中，若直角顶点恰好在格点上，则可先用勾股定理求出三角形的边长，再利用锐角三角函数的定义求解.若直角顶点不在格点上，则可先利用等积法、勾股定理等求出相应边的长度，然后利用锐角三角函数的定义求解 21．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则（   ） A． B． C． D． 22．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 23．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为 ． 24．如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，的顶点，，均在格点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接．点，，，，均为格点． (1)求的长； (2)求． 25．图①、图②、③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． (2)在图②中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． (3)在图③中的的外部找到一个格点，作钝角，使． 重难点六、已知锐角三角函值求边长 已知三角函数求边长，核心是利用直角三角形中三角函数的定义（对边、邻边、斜边的比值关系），结合已知角和一条边长，通过“已知边÷对应三角函数值”或“已知边×对应三角函数值”计算未知边 26．如图，中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为25，，则的长为（   ） A．6 B． C． D．10 27．如图，中，，点是边上一点，已知，，那么 ． 28．如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ． 29．如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 30．如图，在中， (1)求边的长； (2)如果点E在边上，且，求的长． 31．如图，在中，于点，、分别为、的中点，为边上一点，，连接．若，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的长． 重难点七、锐角三角函与圆综合 在圆中求锐角三角函数值的方法 在圆中求锐角三角函数值时，常通过直径或切线构造直角三角形，并利用同弧或等孤所对的圆周角相等或切线的性质等，将所求角转化到直角三角形中，进而求出三角函数值 32．如图，为的直径，直线与相切于点C，，垂足为D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 33．如图，是的直径，点E在上，连接和，平分交于点C．过点C作，交的延长线于点D，连接．    (1)求证：直线与相切； (2)若，，求的半径． 34．如图，△ABD内接于⊙O，AB是直径，E是弧BD上一点，且DE=DA，连接AE交BD于F，在BD延长线上取点C，使得∠CAD=∠EAD． (1)求证：直线AC与⊙O相切； (2)若AE=24，，求⊙O的半径长． 35．如图1，在中，，平分，点E在斜边边上，以为直径的经过点D．    (1)求证：直线为的切线． (2)如图2，连结，若，，求的长． 36．如图所示，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，AD⊥PC，垂足为D，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接AE． （1）求证：∠CAB=∠CAD； （2）求证：PC=PF； （3）若tan∠ABC=，AE=5，求线段PC的长． 37．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G． （1）求证：△ACD∽△CFD； （2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线； （3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值． 38．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，在△ABC外侧作∠CAD＝∠CAB，过点C作CD⊥AD于点D，交AB延长线于点P． (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)连接OD交AC于点G，若OG：GD＝2:3，求∠P的度数； (3)如图2，作弦CF平分∠ACB，交AB于点E，连接BF，若BF＝5，tan∠PCB＝，求线段PB的长． 重难点八、锐角三角函与函数综合 锐角三角函数与函数的综合问题，核心是通过函数表达式确定直线上点的坐标关系，再结合直角三角形构造，利用三角函数定义（对边、邻边、斜边比值）建立方程求解，常涉及求点坐标、函数解析式或线段长度。 39．如图，直线与轴交于点，与直线交于点．求： (1)点的坐标； (2)的值． 40．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线在第一象限分支交于点，过点作轴的平行线，交轴于点，． (1)求点、的坐标； (2)求的值； (3)求的值． 41．如图，在平面直角坐标系中，一条直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与双曲线y＝（x＞0）交于点P，且B为AP的中点，PC⊥x轴于点C．已知AB＝，tan∠BAO＝． (1)求k的值． (2)连接BC，点Q为双曲线y＝（x＞0）上一点，且S△BQP＝S△BCP，求点Q的坐标． 42．如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴上，，反比例函数的图象与边相交于点，与边相交于点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）若点是的中点，． ①求的度数； ②将绕点逆时针旋转，点的对应点为，直接写出的坐标，并判断点是否在此反比例函数的图象上． 43．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线的解析式． （2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当时，求的值． （3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01锐角三角函数8大类型突破 重难点一、利用定义法求锐角三角函数值 设直角三角形中，一个锐角为∠A，对边为a、邻边为b、斜边为c，则：  正弦：sinA == ​余弦：cosA == ​正切：tanA == 1．在中，，，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正弦，根据正弦函数的定义，在直角三角形中， 等于的对边与斜边的比值． 【详解】解：如下图所示， 在中，，斜边为，的对边为， ． 故选：C． 2．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，后根据三角函数的定义解答即可． 本题考查了余角的性质，三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据，得到， A. ，正确，不符合题意；     B. ，本选项错误，符合题意；     C. ，正确，不符合题意；     D. ，正确，不符合题意； 故选：B． 3．如图中，，试求出的三个三角函数值． 【答案】，， 【分析】本题考查了三角函数的定义，结合已知，先利用勾股定理求出的长，再根据，，即可求解的三个三角函数值． 【详解】解：中，， ， ，，． 4．如图所示，在中，，，求，的值．    【答案】， 【分析】根据和的值可以求出斜边的值，再由勾股定理即可求得的值，知道了直角三角形的三边即可求得、的值．本题考查了解直角三角形以及勾股定理，解题的关键是熟记三角函数的定义，能够根据三边，求出各角的三角函数． 【详解】解：， 设．， ， ， ． 5．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义． （1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案； （2）根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴． 6．如图，在中，，，．    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了解直角三角形，根据，即可求出，再根据勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”即可求解； （2）本题考查了解直角三角形，根据，即可解答． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴根据勾股定理可得， （2）解：在中，， ∴． 重难点二、利用参数法求锐角三角函数值 参数法求锐角三角函数值 将已知锐角三角函数值转化为直角三角形中两条边的长度的比，通过设参数表示出两条边的长，再利用勾股定理表示出第三条边的长，最后根据锐角三角函数的定义求未知的锐角三角函数值 7．在中，，为锐角，，求,的值. 【答案】 【分析】利用三角函数的定义及勾股定理求解． 【详解】在中，， ∵， ∴设，(k>0)， 由勾股定理得=. ∴， . 【点睛】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 8．已知在中，求及的值． 【答案】， 【分析】根据题意可画出图形，然后设，由勾股定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图： 由可设， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握求一个角的三角函数是解题的关键． 9．如图所示，ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】，， 【分析】过D作DE∥AC，交BC于点E，由平行线等分线段定理，根据D为AB中点，得到E为CB中点，可得出DE为三角形ABC中位线，利用中位线定理得到AC=2DE，由两直线平行内错角相等及垂直定义得到DE垂直与CD，在直角三角形CDE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到CE=2DE，利用勾股定理表示出DC与AD，利用锐角三角函数定义即可求出∠CDA的正弦值、余弦值和正切值． 【详解】解：过D作DE∥AC，交BC于点E． ∵AD＝BD，∴CE＝EB，∴AC＝2DE． 又∵ DC⊥ AC，DE∥AC， ∴DC⊥DE，即∠CDE＝90°． 又∵∠BCD＝30°，∴EC＝2DE，DC＝DE． 设DE＝k，则CD＝，AC＝2k． 在Rt△ACD中，． ∴，． ． 【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：三角形中位线定理，平行线等分线段定理，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键． 10．在中，，是斜边上的中线，交于点、交于点，． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，正弦值，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合等边对等角得，由直角三角形中角的相互转换得到，根据三角形相似的判定即可求解； （2）根据相似三角形的性质得到，设，则，，由正弦的计算方法即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是斜边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴． 重难点三、利用构造法求锐角三角函值 构造直角三角形求锐角三角函数值 锐角三角函数是在直角三角形中定义的，当要求的锐角不在直角三角形中时，一般先作辅助线构造以该角为内角的直角三角形，再根据锐角三角函数的定义求其锐角三角函数值 11．如图，在中，．若，，则 ． 【答案】 【分析】取的中点D，连接，得到，根据，不妨设，则，根据勾股定理解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握这些定理和性质，三角函数定义是解题的关键． 【详解】解：取的中点D，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 不妨设， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12．已知：如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了三角函数的定义，正弦，正切，构造辅助线是解题的关键．过点作于点，根据正弦，正切的定义及勾股定理求出即可求解． 【详解】解：过点作于点， 在中，，，， ，即， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：22． 13．如图，在中，已知，， (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了锐角三角函的应用，等腰直角三角的性质，勾股定理的应用，特殊角的三角函数值一定要熟记． （1）延长，过点B作，E为垂足，求出，根据三角形内角和得到，根据三角函数求出，根据计算即可； （2）根据勾股定理求出，则，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，延长，过点B作，E为垂足， 在中，已知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：在中根据勾股定理得，， ， 的面积是 14．已知：如图，在中，D是边的中点，、分别是、的中点，且，，．求：    (1)线段的长； (2)的余弦值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）连接，根据，为中点，可证得，然后根据为的中点，可得，即可求出的长度； （2）在中，根据，，求出、的长度，然后根据、分别为、的中点，求出的长度，根据勾股定理求出的长度，继而可求得的余弦值． 【详解】（1）连接．   ，为的中点， ，即得． 又是的中点，， ； （2）在中， ， ， ， 是边的中点， ， 又为的中点， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理的应用． 15．如图所示，在中，为边上的一点，，，，，求： (1)的余弦值； (2)边的长． 【答案】(1)的余弦值为 (2)边的长为 【分析】此题考查勾股定理，三角函数， （1）过点作，由勾股定理得，求出即可求出的余弦值； （2）由勾股定理求出，在中，利用特殊角的正弦值求出边的长． 【详解】（1）解：过点作，垂足为． 在、中， ，， ． ， ． ，即． ． ． 所以，的余弦值为． （2）解：由（1）知，， 在中，． 在中， ，． 答：边的长为． 16．如图，已知中，是的角平分线，， (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握相关知识解决问题是解题的关键； （1）证明，推出构建方程求解即可； （2）过点作于点，解直角三角形求出，可得结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴的长为； （2）解：过点作于点 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 重难点四、利用转化法求锐角三角函值 求锐角三角函数值的方法有很多，如参数法、构造法等，但当直接利用这些方法都不能求解时，可将角进行转化，把所求角转化为与之相等的角. 17．如图，内接于是的直径，若的半径为3，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理及推论、正弦的定义． 连接，根据圆周角定理及推论得到，根据正弦的定义解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， 的半径为3，， ∴, ， ∴ 故答案为：． 18．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接BC可得Rt△ACB，由勾股定理求得BC的长，进而由tanD=tanA=可得答案． 【详解】如图，连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵AB=6，AC=2， ∴BC=， 又∵∠D=∠A， ∴tanD=tanA=． 故选A． 【点睛】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键． 19．已知，如图，，垂足为，，求的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据题意，运用勾股定理可得，由相似三角形的判定和性质可得，，，结合锐角三角函数的计算方法即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， ， ． 20．如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B． （1）求证：CF是⊙O的切线． （2）若AC=4，tan∠ACD，求⊙O的半径． 【答案】(1)证明见解析；（2）． 【分析】（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案； （2）利用垂径定理推论得出，进而得出BC的长，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）连接CO， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA=90°， ∴∠ACO+∠OCB=90°， ∵OB=CO， ∴∠B=∠OCB， ∵∠FCA=∠B， ∴∠BCO=∠ACF， ∴∠OCA+∠ACF=90°， 即∠OCF=90°， ∴CF是⊙O的切线； （2）∵直径AB平分弦CD， ∴AB⊥DC， ∴， ∵AC=4，tan∠ACD=， ∴tan∠B=tan∠ACD=， ∴， ∴BC=8， ∴在Rt△ABC中， AB=， 则⊙O的半径为：． 【点睛】此题主要考查了切线的判定以及垂径定理的推论和勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键． 重难点五、利用网格求锐角三角函值 根据网格的特点，在网格中构造出锐角所在的直角三角形，即将所求角转化到构造出的直角三角形中，若直角顶点恰好在格点上，则可先用勾股定理求出三角形的边长，再利用锐角三角函数的定义求解.若直角顶点不在格点上，则可先利用等积法、勾股定理等求出相应边的长度，然后利用锐角三角函数的定义求解 21．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，将所求角放在直角三角形中是解答的关键． 取格点D，在中，由勾股定理和正弦定义求解即可． 【详解】解：如图，取格点D，连接、，设小正方形的边长为1， 由网格特点，，， ∴， ∴． 故选：B． 22．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接， 由题意得： ， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为 ． 【答案】1 【分析】过点A作于H，根据正切的定义解答即可． 本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：过点A作于H， 在中，， 故答案为： 24．如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，的顶点，，均在格点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接．点，，，，均为格点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过网格得，可得，，利用相似三角形对应边成比例（），结合即可求出的长； （2）由得，在中（网格得，），用勾股定理可得，由余弦的定义可得，即可得出． 【详解】（1）解： 由题意得，，，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键． 25．图①、图②、③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． (2)在图②中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． (3)在图③中的的外部找到一个格点，作钝角，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格中基本作图，涉及锐角三角函数、勾股定理，理解网格特点，正确作图是解答的关键． （1）根据网格特点，找格点D，可得，； （2）根据网格特点，找格点E，可得，，则； （3）根据网格特点，找格点F（如图中、、、），可得是钝角，且． 【详解】（1）解：如图，点D、即为所求作： （2）解：如图，点E、即为所求作： （3）解：如图，点F(如)即为所求作：（答案不唯一，、、也可以） 重难点六、已知锐角三角函值求边长 已知三角函数求边长，核心是利用直角三角形中三角函数的定义（对边、邻边、斜边的比值关系），结合已知角和一条边长，通过“已知边÷对应三角函数值”或“已知边×对应三角函数值”计算未知边 26．如图，中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为25，，则的长为（   ） A．6 B． C． D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，线段垂直平分线的性质以及圆周角定理等知识，连接由线段垂直平分线的性质可得，，由得四点共圆，得，从而得，设，则，由勾股定理得，由列方程求出的值即可得出结论． 【详解】解：：连接， ∵是斜边上的中线，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∵， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴, 故选：B． 27．如图，中，，点是边上一点，已知，，那么 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握锐角三角函数． 根据余弦求出，利用勾股定理求出，利用正切求出，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 28．如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的三角函数，掌握知识点是解题的关键． 先求出，则，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 29．如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据垂直定义可得在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用勾股定理求出，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用同角的余角相等，得，把角转化掉再利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ， 在中，； （2）解：， ， 为的中点， ， ， ， ， ． 30．如图，在中， (1)求边的长； (2)如果点E在边上，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）过点作，根据三角函数的定义可以求得的长，根据勾股定理从而可以求得的长，根据正切函数的定义，可以求得的长；即可解答； （）根据（）由勾股定理求得的长，根据若一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角分别相等，得与这两个三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例及已知信息，即可解答； 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为． ∵，， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴ ∴， 即边的长为． （2）在中，由勾股定理得， ∵，， ∴∽， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义、勾股定理以及相似三角形的性质来求解．通过作垂线构建直角三角形，利用已知条件求出相关边长，再根据相似三角形的对应边成比例求出未知边． 31．如图，在中，于点，、分别为、的中点，为边上一点，，连接．若，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半证明，从而得，结合得，从而可得；根据三角形中位线的性质即可得，从而可证明四边形是平行四边形； （2）利用正切的定义设，，，根据求出x，根据平行四边形的性质和几何关系即可求出的长． 本题考查直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质、正切函数的定义与应用． 【详解】（1）证明：为边的中点，， 为斜边上的中线， ， ， ， ， ． 、分别为和的中点， 为的中位线， ， 四边形为平行四边形； （2）解：，，， ∴设，，， ， ， ， 为的中位线，， ∵四边形为平行四边形， ， ． 重难点七、锐角三角函与圆综合 在圆中求锐角三角函数值的方法 在圆中求锐角三角函数值时，常通过直径或切线构造直角三角形，并利用同弧或等孤所对的圆周角相等或切线的性质等，将所求角转化到直角三角形中，进而求出三角函数值 32．如图，为的直径，直线与相切于点C，，垂足为D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，圆的基本性质，圆内接四边形性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，正弦函数等；掌握切线的性质，圆的基本性质，圆内接四边形性质，等腰三角形的性质，能熟练利用正弦函数进行求解是解题的关键． （1）连接，由等腰三角形性质得，由切线的性质得，由平行线的性质得，即可得证； （2）连接，由圆的基本性质得，由圆的内接四边形的性质得，由三角函数得，可得，即可求解； 【详解】（1）证明：连接， ， ， 直线与相切于点C， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 为的直径， ， ， ， ， 四边形是内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 的半径为． 33．如图，是的直径，点E在上，连接和，平分交于点C．过点C作，交的延长线于点D，连接．    (1)求证：直线与相切； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）设，设交于点J．证明四边形是矩形，推出，，再利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）证明：连接．    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切； （2）设，设交于点J． ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，   ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 34．如图，△ABD内接于⊙O，AB是直径，E是弧BD上一点，且DE=DA，连接AE交BD于F，在BD延长线上取点C，使得∠CAD=∠EAD． (1)求证：直线AC与⊙O相切； (2)若AE=24，，求⊙O的半径长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，求得∠ADC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠E=∠EAD，求得∠BAC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）过D作DH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质得到AH=EH=AE=12，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADC=90°， ∴∠C+∠CAD=90°， ∵AD=DE， ∴∠E=∠EAD， ∵∠E=∠B，∠CAD=∠EAD， ∴∠CAD=∠B， ∴∠B+∠C=90°， ∴∠BAC=90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴直线AC与⊙O相切； （2）解：过D作DH⊥AE于H， ∵DE=DA， ∴AH=EH=AE=12， ∵tanE=tan∠EAD=， ∴DH=9， ∴AD==15， ∵∠B=∠E， ∴tanB=， ∴BD=20， ∴AB==25， ∴⊙O的半径长为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 35．如图1，在中，，平分，点E在斜边边上，以为直径的经过点D．    (1)求证：直线为的切线． (2)如图2，连结，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质． （1）连接，由，得到，由角平分线定义得到，因此，推出，得到半径，即可证明问题； （2）连接，根据三角函数的定义求出，设，根据三角函数的定义求得，得到，由直角三角形斜边中线的性质即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径于点D， ∴是的切线； （2）：连接，    ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 36．如图所示，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，AD⊥PC，垂足为D，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接AE． （1）求证：∠CAB=∠CAD； （2）求证：PC=PF； （3）若tan∠ABC=，AE=5，求线段PC的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12. 【分析】（1）由切线得：OC⊥PC，再得平行，由同圆的半径相等：OA=OC，根据等边对等角可得结论； （2）证明∠PFC=∠PCF，根据等角对等边可得结论； （3）根据三角函数的比设未知数，利用勾股定理列方程可得结论． 【详解】（1）证明：∵PC为⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴AD∥OC， ∴∠DAC=∠ACO， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠ACO， ∴∠DAC=∠OAC， ∴AC平分∠DAB； （2）证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠BCE， ∴， ∴∠ABE=∠ECB， ∵∠BCP+∠OCB=∠BCP+∠OBC=∠BAC+∠OBC=90°， ∴∠BCP=∠BAC， ∵∠BAC=∠BEC， ∴∠BCP=∠BEC， ∵∠PFC=∠BEC+∠ABE， ∠PCF=∠ECB+∠BCP， ∴∠PFC=∠PCF， ∴PC=PF； （3）解：∵， ∴AE=BE=5， 又∵AB是直径， ∴∠AEB=90°， AB=BE=10， ∴OB=OC=5， ∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P， ∴△PCB∽△PAC， ∴， ∵tan∠ABC=， ∴， 设PB=2x，则PC=3x， 在Rt△POC中，（2x+5）2=（3x）2+52， 解得x1=0（舍），x2=4， ∵x＞0， ∴x=4， ∴PC=3x=3×4=12． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过三角函数的比设未知数，表示线段的长，利用垂直构造直角三角形，根据勾股定理列方程解决有关问题． 37．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G． （1）求证：△ACD∽△CFD； （2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线； （3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）由垂径定理得，由圆周角定理得∠CAD＝∠FCD，再由公共角∠ADC＝∠CDF，即可得出△ACD∽△CFD； （2）连接OC，由圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠ABC+∠CAB＝90°，由等腰三角形的性质得∠OBC＝∠OCB，证出∠OCB＝∠GCA，得出∠OCG＝90°，即可得出结论； （3）连接BD，由圆周角定理得∠CAD＝∠CBD，则sin∠CAD＝sin∠CBD＝，设DE＝x，OD＝OB＝r，则OE＝r﹣x，BD＝3x，由勾股定理得BE＝，则BC＝2BE＝，在Rt△OBE中，由勾股定理得(r﹣x)2+()2＝r2，解得r＝，则AB＝2r＝9x，由勾股定理求出AC＝7x，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵OD⊥BC， ∴, ∴∠CAD＝∠FCD， 又∵∠ADC＝∠CDF， ∴△ACD∽△CFD； （2）证明：连接OC，如图1所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠CAB＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠CDA＝∠OBC，∠CDA＝∠GCA， ∴∠OCB＝∠GCA， ∴∠OCG＝∠GCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝90°， ∴CG⊥OC， ∵OC是⊙O的半径， ∴CG是⊙O的切线； （3）解：连接BD，如图2所示： ∵∠CAD＝∠CBD， ∵OD⊥BC， ∴sin∠CAD＝sin∠CBD＝，BE＝CE， 设DE＝x，OD＝OB＝r，则OE＝r﹣x，BD＝3x 在Rt△BDE中，BE＝， ∴BC＝2BE＝, 在Rt△OBE中，OE2+BE2＝OB2， 即(r﹣x)2+()2＝r2，， 解得：r＝， ∴AB＝2r＝9x， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， ∴AC2+()2＝(9x)2， ∴AC＝7x或AC＝﹣7x（舍去）， ∴tan∠CDA＝tan∠CBA＝＝． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定，三角函数等知识．本题综合性比较强，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键． 38．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，在△ABC外侧作∠CAD＝∠CAB，过点C作CD⊥AD于点D，交AB延长线于点P． (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)连接OD交AC于点G，若OG：GD＝2:3，求∠P的度数； (3)如图2，作弦CF平分∠ACB，交AB于点E，连接BF，若BF＝5，tan∠PCB＝，求线段PB的长． 【答案】(1)见解析 (2)∠P=30° (3)PB= 【分析】（1）连接OC，则OA=OC，则∠OAC=∠OCA=α，而∠CAD=∠CAB=α，故∠DAC=∠OCA=α，即可求解； （2）证∆OCG∽∆DAG，得，证∆OPC∽∆APD，得，从而得，再由sinP=，即可求解； （3）连接AF，证∆AFB是等腰直角三角形，从而求出AB=10 ，再证∆PCB∽∆PAC，得出，则，因为∠PCB=∠PAC，tan∠PCB＝，所以tan∠PAC==，设PB=x，PC=2x，因为，所以，解之即可求解． 【详解】（1）证明：连接OC，如图， ∵ OA=OC ∴ ∠CAB=∠ACO ∵∠CAD＝∠CAB ∴∠CAD=∠ACO ∴ OCAD ∵ CD⊥AD ∴ OC⊥CD ∴ PC是⊙O的切线 （2）解：由（1）得OCAD， ∴∆OCG∽∆DAG， ∴， ∵ OCAD， ∴∆OPC∽∆APD， ∴， ∵AP=OA+OP， ∴ ∴ ∵OC=OA， ∴， ∴sinP=， ∴∠P=30°； （3）解：连接AF，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB=90°， ∵CF平分∠ACB， ∴∠ACF=∠FCB， ∴AF=BF， 在Rt∆AFB中，AF=BF=， ∴AB=10 ， ∵ PC是⊙O的切线，由弦切角定理得∠PCB=∠PAC， 又∠P=∠P， ∴∆PCB∽∆PAC， ∴， ∴， ∵∠PCB=∠PAC，tan∠PCB＝， ∴tan∠PAC=tan∠PCB＝， ∴tan∠PAC== ， 设PB=x，PC=2x， ∵， ∴， 解得 x=或x=0(不符合题意，舍去)， ∴PB=， 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，属圆的综合题目，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键． 重难点八、锐角三角函与函数综合 锐角三角函数与函数的综合问题，核心是通过函数表达式确定直线上点的坐标关系，再结合直角三角形构造，利用三角函数定义（对边、邻边、斜边比值）建立方程求解，常涉及求点坐标、函数解析式或线段长度。 39．如图，直线与轴交于点，与直线交于点．求： (1)点的坐标； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线解析式即可求得出点的坐标； （2）过点作轴于点，则，，根据一次函数解析式，令，求得点的坐标，进而勾股定理求得，根据正弦的定义，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，联立 解得 ∴点的坐标为． （2）如图，过点作轴于点，则，． 由，解得． 则． ∴． ∴． ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，求正弦，掌握正弦的定义是解题的关键． 40．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线在第一象限分支交于点，过点作轴的平行线，交轴于点，． (1)求点、的坐标； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用以及解直角三角形等，求得交点坐标是解题的关键． （1）令和时，代入解析式得出坐标即可； （2）先确定D点的纵坐标，进一步求得C点的坐标，然后利用待定系数法求得k； （3）作于E，利用勾股定理求得、，利用三角形面积公式求得，然后解直角三角函数即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 将代入，得到：， ∴， 将代入，得到， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴D的纵坐标为2， 把代入得，， ∴， ∵双曲线过点C， ∴； （3）解：作于E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 41．如图，在平面直角坐标系中，一条直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与双曲线y＝（x＞0）交于点P，且B为AP的中点，PC⊥x轴于点C．已知AB＝，tan∠BAO＝． (1)求k的值． (2)连接BC，点Q为双曲线y＝（x＞0）上一点，且S△BQP＝S△BCP，求点Q的坐标． 【答案】(1)4 (2)点Q坐标为（4，1）或（﹣3+，） 【分析】（1）由AB＝，tan∠BAO＝可求出BO，AO的长度，B为AP的中点，则BO为△PAC中位线，从而求出点P的坐标，进而求解． （2）若S△BQP＝S△BCP，则两三角形底同底等高，即C，Q所在直线与AB所在直线平行，从而求出经过点C解析式然后联立方程求出交点，再由对称性求出另一个交点． 【详解】（1）∵tan∠BAO＝＝， ∴AC＝2PC， ∵点B为AP中点， ∴BO为△PAC中位线，点O为AC中点， ∴AP＝2AB＝2， 在Rt△PAC中，由勾股定理得：AP2＝PC2+AC2， ∴20＝5PC2， ∴PC＝2，AC＝4， ∴OC＝AC＝2， ∴点P坐标为（2，2）， ∴k＝2×2＝4． （2）∵AO＝OC＝2，BO＝PC＝1， ∴点A，B坐标分别为（﹣2，0），（0，1）， 设AB所在直线为y＝kx+b，把（﹣2，0），（0，1）代入解析式得： ， 解得， ∴y＝x+1， 过点C作平行于AB的直线y＝x+n， 把C（2，0）代入y＝x+n得n＝﹣1， ∴y＝x﹣1， 联立方程， 解得或（舍）， ∴点Q坐标为（4，1）， 直线y＝x﹣1由直线y＝x+1向下平移2个单位所得， 当点Q在点P上方时，由对称性可得点Q在直线y＝x+1+2即y＝x+3上， 联立方程， 解得或（舍） ∴点Q坐标为（﹣3+，）， 综上所述，点Q坐标为（4，1）或（﹣3+，）． 【点睛】本题考查反比例函数，一次函数与解直角三角形的综合应用，解题关键是由三角形面积相等并且同底找出点Q所在直线解析式． 42．如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴上，，反比例函数的图象与边相交于点，与边相交于点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）若点是的中点，． ①求的度数； ②将绕点逆时针旋转，点的对应点为，直接写出的坐标，并判断点是否在此反比例函数的图象上． 【答案】（1）；（2）①，②，在图像上 【分析】（1）根据待定系数法，即可得到答案； （2）①先求出C，A的坐标以及点B的横坐标，从而求出点E的横坐标，进而求出点E的纵坐标，然后求出BC的长，根据三角函数的定义，即可求解；②过点B′作B′M⊥x轴于点M，根据旋转的性质，得∠B′AM=60°，B′A 的长，通过解直角三角形，得B′M，AM的值，进而即可得到答案． 【详解】（1）把代入，得：k=×=， ∴这个反比例函数的解析式为：； （2）①∵的直角边在轴上，，，， ∴C(，0)，A(，0)，点B的横坐标为， ∵点是的中点， ∴点E的横坐标为：（+）÷2=， ∴点E的纵坐标为：， ∴点B的纵坐标为：2，即BC=2， ∴在中，tan∠BAC=， ∴∠BAC=60°； ②过点B′作B′M⊥x轴于点M， ∵绕点逆时针旋转，点的对应点为 ∵∠BAC=∠BAB′=60°，B′A=BA=2AC=， ∴∠B′AM=60°，B′M= B′A∙sin60°=×=2，AM= B′A∙cos60°=×=, ∵A(，0)， ∴B′(，2)， ∵， ∴在此反比例函数的图象上． 【点睛】本题主要考查反比例函数与平面几何的综合，涉及解直角三角形，旋转的性质，函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式以及待定系数法，掌握三角函数的定义，是解题的关键． 43．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线的解析式． （2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当时，求的值． （3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的值为或；（3）存在，M的坐标为或或． 【分析】（1）先求出A、C两点坐标，再用待定系数法求解； （2）如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则易得△BFG∽△BEH，设点E的横坐标为t，则，利用相似三角形的性质可求出点F的坐标，再根据EH与FG的关系列出关于t的方程，解方程即可求出t的值，然后在Rt△EBH中即可求出的值； （3）①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：点M在对称轴右侧时，BN为对角线与点M在对称轴左侧时，BM为对角线，利用平移的性质即可求出结果；②当EB为平行四边形的对角线时，利用平行四边形对角线的性质和中点坐标公式求解即可. 【详解】解：（1）在中，当时，当时， ∴、， ∵抛物线的图象经过A、C两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）令，解得，，∴， 设点E的横坐标为t，则， 如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则，∴△BFG∽△BEH， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点F的横坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得，， 当时，， 当时，， ∴，， 当点E的坐标为时，在中，，， ∴， ∴； 同理，当点E的坐标为时，， ∴的值为或； （3）∵点N在对称轴上，∴， ∵点E位于对称轴左侧，∴. ①当EB为平行四边形的边时，分两种情况： （Ⅰ）点M在对称轴右侧时，BN为对角线， ∵，，，， ∴，当时，， ∴； （Ⅱ）点M在对称轴左侧时，BM为对角线， ∵，，，， ∴， 当时，， ∴； ②当EB为平行四边形的对角线时， ∵，，， ∴， ∴， 当时，， ∴； 综上所述，M的坐标为或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $