重难点专题02相似三角形全章11大类型突破（专项训练）数学人教版九年级下册

重难点专题02相似三角形全章11大类型突破 重难点一、比例及其性质 1.四条线段成比例 对于四条线段a,b,,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等， 如=（即ad=bc),那么就说这四条线段成比例. 注意：(1)成比例线段是有顺序的，即若a,b,c,d是成比 例线段，则a:b=c:d,而不能写成a:b=d：c. (2)一般地，四条线段a,b,c,d的长度单位应该一致，有时为了计算方便，只要a,b的长度单位一致 c,d的长度单位一致即可. 2. 比例的基本性质： 若=，则ad=bc 1．（25-26九年级上·河南南阳·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如果，那么的值为（   ） A．4 B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期中），，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 重难点二、相似图形与相似多边形 1. 相似图形 定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形， 提示：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)全等图形可以看成是一种特殊的相似图形，即不仅形状相同，而且大小也相等 2.相似多边形 （1）相似多边形的相关定义 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比， （2）相似多边形的性质 对应角相等，对应边成比例. 4．（25-26九年级上·四川内江·月考）下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个正方形 6．（25-26九年级上·山西运城·期中）已知，如图，四边形四边形，，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（   ） A． B．六边形的周长：六边形的周长 C． D． 8．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)___________； (2)求边的长度． 9．（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为． (1)证明：四边形是正方形； (2)若矩形与原矩形相似，．求的长． 重难点三、平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 2.平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形上的结论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 10．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，直线，交于点O，．若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，已知，，，则 ． 12．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，． (1)填空：的值为___________，的值为___________； (2)若，求和的长． 重难点四、相似三角形的判定 1.利用平行线判定两个三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 由三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似 3. 由两边和夹角判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似， 4. 由两角判定三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似 5.直角三角形相似的判定方法 ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似； ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似： ③斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 13．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·安徽滁州·月考）如图，在与中，，添加下列条件，不能得到与相似的是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，线段相交于点，连接，请添加一个条件，使与相似，且点的对应点为点，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可） 16．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知：如图，平行四边形中，点C在上，点B是延长线上一点，连接和，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 17．（25-26九年级上·上海虹口·月考）如图，在四边形中，点E是边的中点，． (1)求证：； (2)设点F是的中点，连接、，记与、分别交于点P、Q．求证：． 18．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，． (1)求证：． (2)判断与是否相似，并说明理由． 19．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)试说明； (2)若，求证：． 重难点五、相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例， 2.相似三角形对应线段的比等于相似比， 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比， 3. 相以三角形的周长比等于相似比 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方 20．（25-26九年级上·广东佛山·月考）若，且，若的面积为8，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 21．（25-26九年级上·河北张家口·月考）如图，，，其中，的长为（ ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，在中，，是边上一点，且，过点作，交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 23．（25-26九年级上·河北张家口·月考）如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点． (1)若与的周长比为，求的长． (2)点从点出发沿边以每秒个单位长度的速度向点移动，移动时间为秒．请通过计算说明：当为何值时，？ 重难点六、相似三角形的应用 1,相似三角形的实际应用的主要类型 (1) 利用相似三角形的性质计算不能直接测量的河的宽度： (2)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度 2.利用相似三角形计算无法达到顶部的物体高度常用的四种方法 方法1：利用阳光下的影子（如测量旗杆的高度） 方法2：利用镜子的反射（如测量旗杆的高度） 3.运用相似三角形求物体高度或宽度的两个原则 (1)构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体的高度或宽度一般是其中的一边 (2)所构造的三角形除被测量的边以外，其余的对应边均易测 24．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．3米 25．（25-26九年级上·广东佛山·月考）九年级研学小组到顺峰山公园进行研学，为了测量公园水平地面上的一座寺庙的高度．如图，小明在距点10米处竖立了一根高为2米的标杆，然后小明向后调整自己的位置，发现当自己与标杆相距1米时，小明眼睛、标杆顶端、寺庙顶端在同一直线上，已知小明的眼睛距地面1.6米，则寺庙高度为（   ） A．4米 B．4.4米 C．5.6米 D．6米 26．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，圆桌正上方的灯泡（看成一个点）发出的光线照射到桌面后，在地面上形成阴影．若桌面的半径，桌面与地面的距离，灯泡到桌面的距离，则地面上阴影部分的面积为 （结果保留） 27．（25-26九年级上·山东临沂·月考）如图，路灯距地面的高度，身高的铭铭在点A处测量发现，他的影长， (1)求的长度； (2)铭铭由A处沿所在的直线行走到点B时，他的影子的长度为多少米． 28．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，在工厂某处有一堵高的围墙，阳光恰从围墙上点经窗户照进车间地面．当阳光从最高点处照进车间地面点时，测得；当阳光从窗户最低点处照进地面点时，测得．此外，还测得窗户距地面的高度．求窗户的高度． 29．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，阳光明媚的一天，在离建筑物的处有一棵树（即），在某一时刻，高的标杆垂直地面放置，其影长为，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子的高为，已知，，，点、、、在同一条直线上，求这棵树的高度． 重难点七、位似与位似图形 1. 概念 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，像这样的两个图形是位似图形，这点叫做位似中心，这时我们说这两个图形关于这点位似 2. 性质 （1）因为位似图形是特殊的相似图形，因此它具有相似图形的一切性质： （2）位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心： （3）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上： （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 30．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，正三角形与正三角形关于原点位似，且点，都在第一象限．若与面积之比为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 31．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，且的面积是2，则的面积是（   ） A．16 B．18 C．20 D．24 32．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ． 重难点八、位似与相似作图问题 1.利用位似，可以把一个图形放大或缩小，若相似比大于1，则通过位似把原图形放大：若相似比小于1，则通过位似把原图形缩小 2.画位似图形的一般步骤： (1)确定位似中心： (2)分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长： (3)根据相似比，确定能代表所画的位似图形的关键点： (4)按照原图的形状，顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形 33．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图所示，点为方格纸上一个格点三角形，为格点． (1)以为原点建立平面直角坐标系，并写出、、三点坐标． (2)以为位似中心作，且位似比为，并写出点、、的坐标． 34．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的位似图形，使它与的相似比为，且点的对应点分别为； (2)与的面积之比为__________． 35．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知是坐标原点，，的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，且点，的对应点分别为，； (2)与的面积之比为______． 36．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的各顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． (1)在图①中作格点与相似，使与的相似比； (2)在图②中的上找一点，使将的面积分为．（找出一个即可） 重难点九、相似三角形与动点问题 1.相似三角形动点问题的核心是抓住“动点运动过程中，相似三角形的对应关系是否变化”，通过设未知数表示线段长度，结合相似性质列方程求解。 解题核心步骤： （1）确定动点轨迹与变量：明确动点的运动路径（如线段、射线），设运动时间为t ，用t表示出所有相关线段的长度。 （2）分析相似对应关系：根据图形特征（如公共角、直角、对顶角），分情况讨论相似三角形的对应顶点（避免漏解，因动点可能导致对应关系改变） （3）列方程求解：利用相似三角形“对应边成比例”的性质，建立关于t的方程，求解后验证解是否符合动点的运动范围 37．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（    ）． A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5 38．（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 39．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为 ． 40．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动： （1）当时，运动时间为 秒； （2）以点A，D，E为顶点的三角形与相似，且与不平行时的运动时间为 秒． 41．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间t秒． (1)______ ，______ （用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)当______时，是等腰三角形． 42．（25-26九年级上·全国·期末）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 重难点十、相似与圆综合问题 在圆中判定三角形相似的策略 在圆中判定三角形相似时，通常寻找两角分别相等来证明两个三角形相似，利用“同孤或等孤所对的圆周角相等”是圆中常见的寻找等角的方法. 43．（九年级下·浙江杭州·期末）如图，为的直径，、均为的切线． (1)求证：； (2)作于M，写出，与半径r之间的等量关系并进行证明； (3)延长交的延长线于点D．若，半径，求的值． 44．（九年级上·辽宁大连·期末）如图，四边形内接于，是的直径，，于点，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 45．（九年级上·辽宁大连·期末）如图，已知 是的外接圆上一点，于点，交圆于点，于点，与的延长线交于点，． (1)求证：； (2)连接，若是弧的中点，，，求线段， 的长． 46．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． (1)求证：． (2)如图2，若，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长． 重难点十一、相似三角形的性质与判定压轴问题 1. 相似三角形压轴问题的核心是整合“相似判定”与“几何图形综合性质（如函数、面积、最值、动态几何）”，需在复杂图形中锁定相似三角形，结合多知识点建立关系求解，常涉及分类讨论与多步推导 47．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 问题情境： 在数学兴趣小组活动中，小宇将正方形和正方形按如图1所示的方式放置，点是两个正方形的公共点，点在正方形的边上，连接，． 问题解决： （1）如图1，连接，，则和的位置关系是__________；和的数量关系是__________． 操作探究： （2）如图2，将正方形绕点顺时针旋转，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 48．（安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 49．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交于点P，另一边交的延长线于点Q．则______（填“”“”或“”）； （2）将（1）中“正方形”改成“矩形”，且，，其他条件不变． ①如图2，若，求AP长． ②如图3，若BD平分．求DP的长． 50．（20-21九年级下·河南开封·期末）（1）问题发现如图①，在中，以的两边、为腰向外构造、，使，，点M、N、F分别为、、的中点，连接、． 填空：当时，与的数量关系为　　　　；　　　　；（提示：连接、，通过证明即可求解） （2）类比探究如图②，在中，以的两边、为直角边向外构造、，使，，点M、N、F分别为、、的中点，连接、．请判断与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸如图③，在、中，，，，，点F为的中点，将绕点A顺时针旋转，当点A、E、D三点共线时，请直接写出的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题02相似三角形全章11大类型突破 重难点一、比例及其性质 1.四条线段成比例 对于四条线段a,b,,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等， 如=（即ad=bc),那么就说这四条线段成比例. 注意：(1)成比例线段是有顺序的，即若a,b,c,d是成比 例线段，则a:b=c:d,而不能写成a:b=d：c. (2)一般地，四条线段a,b,c,d的长度单位应该一致，有时为了计算方便，只要a,b的长度单位一致 c,d的长度单位一致即可. 2. 比例的基本性质： 若=，则ad=bc 1．（25-26九年级上·河南南阳·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的性质，由已知条件可得的值，再代入所求表达式化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如果，那么的值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据题意，设，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴不妨设，， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期中），，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段的定义，解题的关键是根据“成比例线段的比例关系”列方程求解． 根据成比例线段的定义得，代入已知长度列方程，解出的值． 【详解】解：成比例线段的定义是：若成比例，则（或）． 已知，，，代入比例关系： 故选C 重难点二、相似图形与相似多边形 1. 相似图形 定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形， 提示：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)全等图形可以看成是一种特殊的相似图形，即不仅形状相同，而且大小也相等 2.相似多边形 （1）相似多边形的相关定义 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比， （2）相似多边形的性质 对应角相等，对应边成比例. 4．（25-26九年级上·四川内江·月考）下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义，对应角相等且对应边成比例的多边形相似．逐一判断每组图形是否满足条件． 【详解】解：∵ ①两个矩形对应角相等（均为），但对应边不一定成比例， ∴ 不一定相似； ∵ ②两个正方形对应角相等（均为），且对应边成比例（边长比相同）， ∴ 一定相似； ∵ ③两个等腰三角形对应角不一定相等（如顶角可能不同），对应边不一定成比例， ∴ 不一定相似； ∵ ④两个等边三角形对应角相等（均为），且对应边成比例（边长比相同）， ∴ 一定相似； ∵ ⑤两个菱形有一个角为，则所有对应角相等（均为、、、），且对应边成比例（四边相等，边长比相同）， ∴ 一定相似． ∴ 一定相似的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 5．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个正方形 【答案】D 【分析】本题考查相似图形的判断，根据相似多边形的定义：对应角相等且对应边成比例的两个图形相似，分析各选项，只有两个正方形满足一定相似的条件． 【详解】解：两个正方形的所有角均为，对应角相等，且所有边均相等，对应边成比例， 两个正方形一定相似； 其他选项不一定相似： A、两个菱形对应角不一定相等； B、两个矩形对应边不一定成比例； C、两个等腰梯形对应角和对应边都不一定对应成比例； 故选：D． 6．（25-26九年级上·山西运城·期中）已知，如图，四边形四边形，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质． 根据相似图形的性质得到，根据多边形内角和计算即可． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∴． 故选：C． 7．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（   ） A． B．六边形的周长：六边形的周长 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质，掌握相似图形的性质是关键． 相似图形中，对应角相等，对应边等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵六边形六边形，相似比为， ∴，故A选项错误，不符合题意； 六边形的周长：六边形的周长，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，则，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 8．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)___________； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了相似四边形的性质，四边形的内角和，掌握相似四边形的性质是解题的关键． （1）根据相似四边形的性质得到，再根据四边形的内角和即可求解； （2）根据相似四边形的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：四边形与四边形相似， ， ， ， 解得：． 9．（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为． (1)证明：四边形是正方形； (2)若矩形与原矩形相似，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，即可证得四边形是正方形； （2）先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得：，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形； （2）解：由折叠可得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值舍）， ∴． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，正方形的性质和判定，折叠的性质，相似多边形的性质，熟练掌握折叠的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 重难点三、平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 2.平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形上的结论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 10．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，直线，交于点O，．若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键．根据平行线分线段成比例定理可得，代入数据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 11．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，运用比例对应思想，易错点是比例对应错误或忽略线段的和差关系，思路是由得，代入已知比例和线段长度计算． 【详解】解：∵， ∴ 即 ∵， 设，， 则， 又∵， ∴ 解得 故答案为． 12．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，． (1)填空：的值为___________，的值为___________； (2)若，求和的长． 【答案】(1) (2)的长分别为 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，比例的性质． （1）根据平行线分线段成比例得到进而根据计算即可； （2）先求出，再根据计算即可． 【详解】（1）解：，， ∴ ； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ， ． 故的长分别为． 重难点四、相似三角形的判定 1.利用平行线判定两个三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 由三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似 3. 由两边和夹角判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似， 4. 由两角判定三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似 5.直角三角形相似的判定方法 ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似； ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似： ③斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 13．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵是公共角， ∴添加当或时，根据两角对应相等的两个三角形相似，能判断，故选项正确，不合题意； 当添加时，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，能判断，故选项正确，不合题意； 当添加时，因为不是夹角，不能判断，故选项不正确，符合题意； 故选：． 14．（25-26九年级上·安徽滁州·月考）如图，在与中，，添加下列条件，不能得到与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似证明，故本选项不符合题意； B、添加，结合可得，可用两角对应相等的两个三角形相似证明，故本选项不符合题意； C、添加，则可得，其中、不在同一三角形中，、也不在同一三角形中，此比例式不成立，不能证明，本选项符合题意； D、添加，则可得，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明，故本选项不符合题意． 故选：C． 15．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，线段相交于点，连接，请添加一个条件，使与相似，且点的对应点为点，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可） 【答案】（或或） 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：（或或）． 16．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知：如图，平行四边形中，点C在上，点B是延长线上一点，连接和，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据三角形中两组对应角相等证明即可； （2）根据，得，求解即可． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ， ， ； （2）解：由（1)知， , ，，， ， 解得：． 17．（25-26九年级上·上海虹口·月考）如图，在四边形中，点E是边的中点，． (1)求证：； (2)设点F是的中点，连接、，记与、分别交于点P、Q．求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用两角对应相等的两个三角形相似即可； （2）由（1）中两个三角形相似的性质得出，结合中点的定义得出，代入比例式后得出，再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出，最后根据两角相等的两个三角形相似得出，进而根据相似三角形对应边成比例证得． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， （2）证明：由（1）的结论得，， 点E是边的中点，点F是的中点， ， ，即：， ， ， ， ， ， ． 18．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，． (1)求证：． (2)判断与是否相似，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． （1）先证明，得出，即可得证； （2）根据两边对应成比例且夹角相等，证明两个三角形相似即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 19．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)试说明； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键。 （1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论； （2）由可得，即，进而得到；从而得到，再结合即可证明结论。 【详解】（1）解：∵， ， ， 。 （2）证明：， ， ， ． ， ． 又， ． 重难点五、相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例， 2.相似三角形对应线段的比等于相似比， 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比， 3. 相以三角形的周长比等于相似比 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方 20．（25-26九年级上·广东佛山·月考）若，且，若的面积为8，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的基本性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键； 通过相似三角形的面积比是相似比的平方直接解题即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵的面积为8， ∴的面积为2， 故选：C． 21．（25-26九年级上·河北张家口·月考）如图，，，其中，的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：B． 22．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，在中，，是边上一点，且，过点作，交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边对等角、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等边对等角可得，再结合对顶角相等可得，即；再说明，进而证明结论； （2）由勾股定理可得，即，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：在中，． ∴， ∵， ∴，即，解得：． 23．（25-26九年级上·河北张家口·月考）如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点． (1)若与的周长比为，求的长． (2)点从点出发沿边以每秒个单位长度的速度向点移动，移动时间为秒．请通过计算说明：当为何值时，？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是矩形，，，则，又与的周长比为，则，然后代入即可求解； （）先证明，所以，则，解得即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵与的周长比为， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得， 即当时，． 重难点六、相似三角形的应用 1,相似三角形的实际应用的主要类型 (1) 利用相似三角形的性质计算不能直接测量的河的宽度： (2)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度 2.利用相似三角形计算无法达到顶部的物体高度常用的四种方法 方法1：利用阳光下的影子（如测量旗杆的高度） 方法2：利用镜子的反射（如测量旗杆的高度） 3.运用相似三角形求物体高度或宽度的两个原则 (1)构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体的高度或宽度一般是其中的一边 (2)所构造的三角形除被测量的边以外，其余的对应边均易测 24．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．3米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键． 【详解】解：由题意知：，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解， 故选：B． 25．（25-26九年级上·广东佛山·月考）九年级研学小组到顺峰山公园进行研学，为了测量公园水平地面上的一座寺庙的高度．如图，小明在距点10米处竖立了一根高为2米的标杆，然后小明向后调整自己的位置，发现当自己与标杆相距1米时，小明眼睛、标杆顶端、寺庙顶端在同一直线上，已知小明的眼睛距地面1.6米，则寺庙高度为（   ） A．4米 B．4.4米 C．5.6米 D．6米 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得到是解题的关键． 过点作于H，垂足为点H，交于点G，只需要证明，得到，求出EH的值即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于H，垂足为点H，交于点G， 由题意可知：， ∴， ∴， ∵米，米，米 米，米， ∴， ∴米， ∴米． 故选：D． 26．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，圆桌正上方的灯泡（看成一个点）发出的光线照射到桌面后，在地面上形成阴影．若桌面的半径，桌面与地面的距离，灯泡到桌面的距离，则地面上阴影部分的面积为 （结果保留） 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，即相似三角形的对应边成比例．先根据，可得出∽，由相似三角形的对应边成比例可求出的长，再由圆的面积公式即可得出结论． 【详解】解：，， ∴， ∽， ， 即， 解得， 故答案为： 27．（25-26九年级上·山东临沂·月考）如图，路灯距地面的高度，身高的铭铭在点A处测量发现，他的影长， (1)求的长度； (2)铭铭由A处沿所在的直线行走到点B时，他的影子的长度为多少米． 【答案】(1)的长度； (2)他的影子的长度为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确理解题意，利用相似三角形的性质是解题的关键． （1）设，据题意可知，则，再由相似三角形的性质有，由此求解即可； （2）设，据题意可知，则，再根据相似三角形的性质有，由此求解即可． 【详解】（1）解：如图， 设， 根据题意得：，， ， ， ， 解得：， 即， 答：的长度； （2）设，根据题意可知，， ， 则， ， ， ， 解得：， ， 答：他的影子的长度为． 28．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，在工厂某处有一堵高的围墙，阳光恰从围墙上点经窗户照进车间地面．当阳光从最高点处照进车间地面点时，测得；当阳光从窗户最低点处照进地面点时，测得．此外，还测得窗户距地面的高度．求窗户的高度． 【答案】窗户的高度为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解答的关键，证明，，利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 即窗户的高度为． 29．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，阳光明媚的一天，在离建筑物的处有一棵树（即），在某一时刻，高的标杆垂直地面放置，其影长为，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子的高为，已知，，，点、、、在同一条直线上，求这棵树的高度． 【答案】这棵树的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，构造相似三角形并利用相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 过点作于点，易得，，由阳光平行，得，结合垂直条件，证，根据相似三角形对应边成比例得，代入已知数据求出，再相加即得． 【详解】解：如图，过点作于点，易得，， ∵，， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 答：这棵树的高度为． 重难点七、位似与位似图形 1. 概念 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，像这样的两个图形是位似图形，这点叫做位似中心，这时我们说这两个图形关于这点位似 2. 性质 （1）因为位似图形是特殊的相似图形，因此它具有相似图形的一切性质： （2）位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心： （3）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上： （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 30．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，正三角形与正三角形关于原点位似，且点，都在第一象限．若与面积之比为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，利用正三角形的性质得出点B的坐标，进而利用位似图形的性质求出D点坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵正三角形与正三角形关于原点位似，且与面积之比为， ∴与位似比为， ∴点的坐标为，即， 故选：D． 31．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，且的面积是2，则的面积是（   ） A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形是解题的关键．由题意得位似比，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ， ， 的面积是2， 的面积为18， 故选：B． 32．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 先证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与是位似图形，点O是位似中心， ， ， ， ． 故答案为：． 重难点八、位似与相似作图问题 1.利用位似，可以把一个图形放大或缩小，若相似比大于1，则通过位似把原图形放大：若相似比小于1，则通过位似把原图形缩小 2.画位似图形的一般步骤： (1)确定位似中心： (2)分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长： (3)根据相似比，确定能代表所画的位似图形的关键点： (4)按照原图的形状，顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形 33．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图所示，点为方格纸上一个格点三角形，为格点． (1)以为原点建立平面直角坐标系，并写出、、三点坐标． (2)以为位似中心作，且位似比为，并写出点、、的坐标． 【答案】(1)见详解；，， (2)，，或，， 【分析】本题考查作图——建立平面直角坐标系、位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）以为原点建立平面直角坐标系，再写出、、三点坐标即可； （2）根据位似的性质作图即可，注意在的同侧、异侧各有一个． 【详解】（1）解：如图所示，，，． （2）解：如图所示： ，，或，， 34．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的位似图形，使它与的相似比为，且点的对应点分别为； (2)与的面积之比为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作位似图形，位似图形的性质掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似图形的性质作图即可； （2）根据与的相似比为，可得面积之比． 【详解】（1）解：如图，即为所求 （2）解：与的相似比为， ． 故答案为：． 35．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知是坐标原点，，的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，且点，的对应点分别为，； (2)与的面积之比为______． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查位似图形的作图与相似三角形的性质，掌握好位似作图的方法是关键． （1）将点，的坐标在第一象限内放大3倍后得到点，，依次连接点，，即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示， （2）由相似三角形的性质可知，与的面积比为相似比的平方， ∴． 36．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的各顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． (1)在图①中作格点与相似，使与的相似比； (2)在图②中的上找一点，使将的面积分为．（找出一个即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质． （1）分别找到和的中点，再根据三角形中位线得到，则与的相似比； （2）构造平行线将线段三等分即可． 【详解】（1）解：如图，M、N分别为、的中点，则， ∴， ∴，与的相似比， ∴即为所求； （2）解：如图，构造平行线三等分线段，交线段于点、，连接、，则，， ∴、即为所求； 重难点九、相似三角形与动点问题 1.相似三角形动点问题的核心是抓住“动点运动过程中，相似三角形的对应关系是否变化”，通过设未知数表示线段长度，结合相似性质列方程求解。 解题核心步骤： （1）确定动点轨迹与变量：明确动点的运动路径（如线段、射线），设运动时间为t ，用t表示出所有相关线段的长度。 （2）分析相似对应关系：根据图形特征（如公共角、直角、对顶角），分情况讨论相似三角形的对应顶点（避免漏解，因动点可能导致对应关系改变） （3）列方程求解：利用相似三角形“对应边成比例”的性质，建立关于t的方程，求解后验证解是否符合动点的运动范围 37．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（    ）． A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据对应点进行分类讨论是解题关键． 设，则，以P，C，D为顶点的三角形与相似，有两种可能性，分别为和，可得或，分别代入求出x即可． 【详解】解：设，则， 当时， 则， 代入得，， 解得，； 当时， 则， 代入得，， 解得，或， 故选：C． 38．（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设点移动的时间为，由题意得，，，然后求出，再分当时，当时两种情况分析即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设点移动的时间为，由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴，解得：，此时符合题意； 当时， ∴， ∴，解得：，此时不符合题意； 综上可得：， 故选：． 39．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键． 根据题意，设运动时间为，则，，结合图形，分类讨论：当时；当时；由此列式求解即可． 【详解】解：，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动， ∴点的时间为，点的时间为， 设运动时间为， ∴，则， 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为或， 故答案为：或． 40．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动： （1）当时，运动时间为 秒； （2）以点A，D，E为顶点的三角形与相似，且与不平行时的运动时间为 秒． 【答案】 3 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）当时，即当时，又因为，则，代入数值到进行计算，即可作答． （2）因为与不平行，则当时，结合，证明，再代入数值到，进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∵， ， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）设经过后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似，且与不平行，且 ，， 即 ， ， ， 解得：； 故答案为：； 41．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间t秒． (1)______ ，______ （用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)当______时，是等腰三角形． 【答案】(1)5， (2)当t为秒或秒时，与相似，理由见详解 (3)当秒或秒或秒，是等腰三角形． 【分析】（1）运用勾股定理得出，再结合动点运动速度以及运动方向，得出，即可作答． （2）根据与相似，进行分类讨论，再代入数值到比例式中进行计算，即可作答． （3）根据是等腰三角形，进行分类讨论，且每个情况进行作图，再结合等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵在直角三角形中，直角边，． ∴， ∵ 在点P自点A沿方向向B作匀速移动，移动的速度为每秒， ∴； （2）解：当t为或时，与相似，理由如下： ∵点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，移动的速度为每秒， ∴， 由（1）得，， ∵， 故当时，则， ∵ ∴， ∴； ∵， 故当时，则， ∵ ∴， ∴； 综上：当t为或时，与相似． （3）解：由（2）得， 由（1）得，， 依题意，当时，如图所示： 则， 解得； 依题意，当时，如图所示： 过点P作， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 解得， 依题意，当时，如图所示： 过点Q作， 则， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上：当秒或秒或秒，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 42．（25-26九年级上·全国·期末）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 【答案】(1)点出发秒后，的面积为面积的 (2)或 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式、平行线的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论思想是解题的关键． （1）设经过秒后的面积为面积的，其中，则，，根据三角形面积公式得出一元二次方程，解方程即可得到答案． （2）设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中，需要分两种情况讨论，和，分别利用相似三角形的性质求解即可． （3）过点作，连接，得到是等腰三角形，进而得到，设，则，，根据勾股定理求得，然后根据垂直定理得出，求出即可解答． 【详解】（1）解：设经过秒后的面积为面积的，其中， 由题意知，，， ∴， ∴． 答：点出发秒后，的面积为面积的． （2）解：设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中， 当时， 则有， ∴， ∴． 当时， 则有， ∴， ∴． 答：经过秒或秒后，以为顶点的三角形与相似． （3）解：如图，过点作，连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 答：当运动时间为时，． 重难点十、相似与圆综合问题 在圆中判定三角形相似的策略 在圆中判定三角形相似时，通常寻找两角分别相等来证明两个三角形相似，利用“同孤或等孤所对的圆周角相等”是圆中常见的寻找等角的方法. 43．（14-15九年级下·浙江杭州·期末）如图，为的直径，、均为的切线． (1)求证：； (2)作于M，写出，与半径r之间的等量关系并进行证明； (3)延长交的延长线于点D．若，半径，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）首先得到，，证明出，得到，然后推出，即可得到； （2）作于M，证明出，得到，然后由三线合一得到，代入求解即可； （3）设，，由得到，代入得到，然后证明出 ，得到，代入得到，然后求出，，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵、均为的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：作于M，，理由如下， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：设，， ∵， ∴， ∴，即 又∵，， ∴， ∴， ， ∴，即， ∴将代入得， ∴解得， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三线合一等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 44．（19-20九年级上·辽宁大连·期末）如图，四边形内接于，是的直径，，于点，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，弧与圆心角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接、，根据得出，根据圆周角定理可得，进而证明，根据已知可得，即可得证； （2）勾股定理求得，根据，证明，根据相似三角形的性质求得，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）证明：连接、 ， ∴， ， ， ， ， 于点， ， ， 是的切线． （2）解：设的半径为 ，， ， ， ∴，                   ∴， 即， 解得：， ， ． 45．（18-19九年级上·辽宁大连·期末）如图，已知 是的外接圆上一点，于点，交圆于点，于点，与的延长线交于点，． (1)求证：； (2)连接，若是弧的中点，，，求线段， 的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）由可得，根据可得，由四边形是圆的内接四边形和平角的定义推出，进而推出是圆的直径，得到，即可得证； （2）由点是弧的中点，得到，由题意可得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，证明，得到，推出，得到，进而求出，根据圆周角定理得，设，则，，，在中，根据勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】（1）证明：于点， ， ， ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ， 是圆的直径， ， ， ， ； （2）连接， 点是弧的中点， ， ，， 是等边三角形， ，， 由（1）可知，在中，根据勾股定理得， ， ， ，， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 在中，根据勾股定理得，即， 解得，（不合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 46．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． (1)求证：． (2)如图2，若，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）连接，由为的直径，弦，得，再根据角的关系即可的结论；； （2）根据题意证得，再证得即可得到结论； （3）连结，由及角的关系得，设根据列方程，再根据即可求出的长． 【详解】（1）解：连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ （2）， ， （3）连接， ， ， ， ∴，设， 解得：      重难点十一、相似三角形的性质与判定压轴问题 1. 相似三角形压轴问题的核心是整合“相似判定”与“几何图形综合性质（如函数、面积、最值、动态几何）”，需在复杂图形中锁定相似三角形，结合多知识点建立关系求解，常涉及分类讨论与多步推导 2. 47．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 问题情境： 在数学兴趣小组活动中，小宇将正方形和正方形按如图1所示的方式放置，点是两个正方形的公共点，点在正方形的边上，连接，． 问题解决： （1）如图1，连接，，则和的位置关系是__________；和的数量关系是__________． 操作探究： （2）如图2，将正方形绕点顺时针旋转，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1），；（2）仍然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，证明是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，则可得到；由勾股定理可推出，，则可证明，得到，即； （2）根据正方形的性质可得，则可得到；由勾股定理可推出，，则可证明，得到，即． 【详解】解：（1）∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∵点在正方形的边上， ∴， ∴； 在中，， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （2）仍然成立，理由如下： 如图所示，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 在中，， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． 48．（安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）6；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证，，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得； （2）证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长BM、ED交于点G．易证，可得；设，，，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得．证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值． 【详解】（1）证明：， ； ， ，， ， ，， ，， ，， 四边形AFCD是平行四边形 在与中． ， （2）， ， 在中，， ， ， 又，， ， 在与中． ， ； ； ， ； ， ； ， ， 或（舍）； （3）延长BM、ED交于点G． 与均为等腰三角形，， ， ， 设，，， 则，， ， ， ； 在与中， ， ； ． ； ， ， ， ， ， ， ， ， （舍），， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键． 49．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交于点P，另一边交的延长线于点Q．则______（填“”“”或“”）； （2）将（1）中“正方形”改成“矩形”，且，，其他条件不变． ①如图2，若，求AP长． ②如图3，若BD平分．求DP的长． 【答案】（1）=；（2）①；② 【分析】（1）由四边形是正方形知，，结合得，证可得答案； （2）①证得，设，则，，，在中，由勾股定理得到关于的方程，解之即可； ②延长到，使，连接，设，则，由得，，，，再证得，，结合知，从而得，据此求出的值，最后利用勾股定理求解即可得出答案． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）①四边形是矩形， ． ， ． 又． ， ， 设，则， ，． 由勾股定理得，在中，， 代入得， 解得（负值舍掉）， 即． 的长为2； ②如图所示，延长到，使，连接， 设，则， ， ，， ， 则， 平分， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 即， 解得，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形和正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 50．（20-21九年级下·河南开封·期末）（1）问题发现如图①，在中，以的两边、为腰向外构造、，使，，点M、N、F分别为、、的中点，连接、． 填空：当时，与的数量关系为　　　　；　　　　；（提示：连接、，通过证明即可求解） （2）类比探究如图②，在中，以的两边、为直角边向外构造、，使，，点M、N、F分别为、、的中点，连接、．请判断与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸如图③，在、中，，，，，点F为的中点，将绕点A顺时针旋转，当点A、E、D三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）相等，；（2），；（3） 【分析】（1）先根据证明，从而可根据全等三角形性质得到，再根据中位线定理得到，，，，从而可得，，，进而得出，再说明绕点逆时针旋转得到，与是对应边，从而可得，再利用补角的意义求得； （2）先证明，从而可得可由顺时针旋转得到，于是就有，再根据中位线定理得到，，，，然后利用解直角三角形求得，，再证明，列出比例式，从而可得，也就是，列出比例式，可得，从而可说明，； （3）先证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，再利用等边对等角说明，然后利用三角形内角和定理求得，再根据点A、E、D三点共线，可得出，进而求得，再分别证明，，从而可说明，再利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：连接、交于点，连结，为其延长线上一点， ∵， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∵点M、N、F分别为、、的中点， ∴与分别是、的中位线， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵在中，以的两边、为腰向外构造、，使，，， ∴绕点逆时针旋转得到，与是对应边， ∴与的夹角为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：相等，； （2），，理由如下： 如图，在上截取，在上截取， ∵， ∴， 即， ∴， ，可由顺时针旋转得到， ， ∵点M、N、F分别为、、的中点， ∴与分别是、的中位线， ∴，，，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 即，， ∴； （3）连结， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点A、E、D三点共线时，， ∴， 即， ∵点F为的中点， ∴， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，中位线定理，含有度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $