重难点专题01相似三角形的5种基本解题模型（专项训练）数学人教版九年级下册

重难点专题01相似三角形的5种基本解题模型 重难点一、 “A”字型 模型阐释 “A”字型相似三角形是相似三角形基础的模型之一，是共边共角的两个三角形. 在“A”字型中，平行线是比较关键的，有时候题目中不会给出平行线，需要自己作辅助线， 模型类型 “A”字型相似三角形的基本图形有以下两种： 1.如图①，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC: 2.如图②，若∠AED=∠ABC,则△AED∽△ABC: 1．如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 【答案】B 【分析】过P作平行于，由与平行，得到平行于，可得出四边形与都为平行四边形，进而确定出与面积相等，与面积相等，再由为的中位线，利用中位线定理得到为的一半，且平行于，得出与相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出的面积，而面积＝面积+面积，即为面积+面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积． 【详解】解：过P作交BC于点Q，由，得到，    ∴四边形与四边形都为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵为的中位线， ∴，， ∴，且相似比为1：2， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 2．如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于 m． 【答案】3 【分析】作PF⊥CD于点F ，利用AB∥CD，推导△PAB∽△PCD，再利用相似三角形对应高之比是相似比求解即可． 【详解】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E， ∵AB∥CD， ∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB， ∵△PAB∽△PCD， ∴，（相似三角形对应高之比是相似比） 即：， 解得PF＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应高之比是相似比是解题的关键． 3．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 【答案】2 【分析】过作垂直于点，过作交于点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用，求出的长，最后得出答案．本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确作出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案． 【详解】解：如图：过作垂直于点，过作交于点， 在中，， ， 又， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， ， ， 即， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， 故答案为：2． 4．如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理的内容即可求解； （1）证推出，设，则，根据即可求解 ； （2）证，推出，求得，即可求解 ； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即正方形的边长为； （2）解：由（1）得：， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 5．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D，已知小华的身高是米，两个路灯的高度都是米，且； (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少? 【答案】(1)两路灯的距离为 (2)当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是 【分析】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． （1）如图1，先证明，利用相似比可得，再证明，利用相似比可得，则，解得； （2）如图2，他在路灯A下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】（1）解：， ， ，即， ， ， ， ，即， ，而， ∴， ∴． 答：两路灯的距离为； （2）解：如图2，他在路灯A下的影子为， ， ， ∴，即， 解得． 答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是． 6．如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②7 【分析】（1）证明，即可由相似三角形的性质得出结论； （2）①先证明，得，从面可得，则，根据ABP，则，然后根据，则，即可求解； ②过点作交于点，连接，证明，得，则，再证明，则，然后证明，得，则，从而得，则，求得，则，由求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由(1)知， ∴，， ∴， ∴，即 ∵ ∴， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点作交于点，连接 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形，平行线间的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 【答案】（1），；（2）t＝3或 【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案； （2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值． 【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， ∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2， ∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm ∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36， ∵△AMN的面积是△ABD面积的， ∴6t﹣t2＝， ∴t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝4，t2＝2， 答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， 若△AMN∽△ABD， 则有，即， 解得t＝3， 若△AMN∽△ADB， 则有，即， 解得t＝， 答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】解：（1）∵DEBC， ∴， ∵， ∴， ∴DFBE； （2）∵AF＝2，EF＝4， ∴由（1）可知，，AE=6， ∵AB＝6， ∴， ∴， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△AEB． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 9．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N． （1）当CF＝2时，求线段BN的长； （2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值． 【答案】（1）BN＝10；（2），0＜x＜3；，3＜x＜4.5；（3）x＝2或或 【分析】（1）由得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得； （2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN； （3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得． 【详解】解：（1）如图1， 在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，， ∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM， ∴, ∴AM＝2CF＝4， ∴BM＝AB﹣AM＝5， ∴， ∴BN＝10； （2）当CF＝BM时，，此时△BEN不存在， ∴CF＝9﹣2CF， ∴CF＝3， 当点M和B点重合时， AB＝2CF， ∴CF＝4.5， ∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5， 如图2， 当0＜x＜3时， 作EG⊥BC于G， 由（1）知， EG＝3，AM＝2CF＝2x， ∴BM＝9﹣2x， 由得，， ∴， ∴y＝ ＝ ＝； 如图3， 当3＜x＜4.5时， 由得， ∴CN＝， ∴y＝ ＝； （3）如图4， ∵， ∴， ∴CG＝CB＝2， ∴GB＝CB﹣CG＝4， ∴BE＝5， 当BM＝BE＝5时， 9﹣2x＝5， ∴x＝2， 如图5， 当EM＝EB＝5时， 作EH⊥AB于H， ∴BM＝2BH＝2EG＝6， ∴9﹣2x＝6， ∴x=， 如图6， 当EM＝BM时， 作MH⊥BE于H， 在Rt△BMH中，BH＝，cos∠MBH＝cos∠BEG＝， ∴BM＝， ∴9﹣2x＝， ∴x＝， 综上所述：x＝2或或． 【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，矩形的性质，正确引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键． 重难点二、“X”字型模型 模型阐释 “X”字型是相似三角形的基础模型之一，是含有对顶角的两个三角形.对顶角所对的边有的平行，有的不平行.“X”字型相似三角形，有的也称为“8”字型相似三角形. 模型类型 “X”字型相似三角形的基本图形有以下两种： 1.如图①，若AB∥CD(或∠B=∠C),则△ABO∽△DCO; 2.如图②，若∠C=∠D,则△ABC∽△AED. 10．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先利用平行四边形的性质得，AD=BC，由可判断△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得，然后根据三角形面积公式得，则． 【详解】∵平行四边形ABCD ∴，AD=BC ∵E为边AD的中点 ∴BC=2AE ∵ ∴∠EAC=∠BCA 又∵∠EFA=∠BFC ∴△AEF∽△CBF 如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G， 则， ∴， ∵△AEF的面积为2 ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题． 11．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形． 先根据平行四边形的性质得到，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴． 故选：A． 12．如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，过点作，证明出，找出与的关系即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 点D是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 13．如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 【答案】1.5 【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，，即可求出CD的长． 【详解】解：∵AD与BC交于O点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式． 14．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】由ABCD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由ADBC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而得出． 【详解】证明：∵ABCD， ∴△AOB∽△COE． ∴OE：OB=OC：OA； ∵ADBC， ∴△AOF∽△COB． ∴OB：OF=OC：OA． ∴OB：OF=OE：OB，即． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型． 15．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC•CD=MD•CN， 而CD=AB， ∴CM•AB=DM•CN． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质． 16．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点． （1）求证：∠BDE=∠ACD； （2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG； （3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：AB·BE=AD·BC； ②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②． 【分析】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题． （2）如图1，证明△DCA≌△EDG（AAS），得AD=EG，根据等腰三角形的判定得：DG=AB，由平行线分线段成比例定理得：，由此可得结论； （3）①如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DCA≌△EDG（AAS），得DA=EG，再证明△ACB∽△GEB，列比例式可得结论； ②如图3，作辅助线，构建△ABC和△DCE的高线，先得，设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，根据AH∥PD，得，设PD=3h，AH=4h，根据EG∥AC，同理得，设BE=y，BC=4y，利用三角形面积公式代入可得结论． 【详解】（1）证明：∵AC=AB， ∴∠ACB=∠B， ∵DC=DE， ∴∠DCE=∠DEC， ∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE， ∴∠BDE=∠ACD； （2）证明：如图1， ∵EG∥AC， ∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB， 由（1）知：∠DCA=∠BDE， ∵DC=DE， ∴△DCA≌△EDG（AAS）， ∴AD=EG， ∵∠B=∠ACB=∠BEG， ∴EG=BG=AD， ∴DG=AB， ∵DE=2DF，AF∥EG， ∴， ∴DG=2AD=2AG， ∴AB=DG=2AG； （3）解：①如图2，过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G， 则有∠A=∠G， ∵AB=AC，CD=DE， ∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC， ∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC， ∴∠ACD=∠EDG， 在△DCA和△EDG中， ∵， ∴△DCA≌△EDG（AAS）． ∴DA=EG， ∵AC∥EG， ∴△ACB∽△GEB， ∴， ∵EG=AD，AC=AB， ∴AB•BE=AD•BC； ②如图3，过A作AH⊥BC于H，过D作DP⊥BC于P，则AH∥PD， ∵AF∥EG， ∴， ∵DE=4DF， ∴， 设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a， ∵∠ACB=∠ABC， ∴∠GBE=∠BEG， ∴BG=EG=4a， ∴BD=12a， ∵AH∥PD， ∴， 设PD=3h，AH=4h， ∵EG∥AC， ∴， 设BE=y，BC=4y， ∴S△ABC=BC•AH===8yh， S△DCE=CE•PD==yh， ∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质和判定等知识，第三问有难度，利用参数表示各线段的长是本题的关键，综合性较强． 重难点三、“母子”型 模型阐释 由于小三角形在大三角形内部，恰似子依母怀，故被称为“母子”型. 常见的“母子”型有： (1) 一般三角形中的“母子”型； (2) 直角三角形中的“母子”型； (3) 四边形中的“母子”型； (4)圆中的“母子”型 模型类型 “母子”型相似三角形的基本图形有以下两种： 1.如图①，如果∠ACD=∠ABC,那么△ACD∽△ABC. 2.如图②，在Rt△ABC中，如果∠ACB=90°，且CD⊥AB,那么△ACD∽△ABC∽△CBD. 17．如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（  ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形． 【详解】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB ∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD 所以有三对相似三角形， 故选：C． 【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 18．如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图所示，延长到，使，连接， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键． 19．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝ ． 【答案】 【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴, ∵ ∴BC＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键． 20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 ； （2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长； （2）证明△ADG≌△FGC，得出点G为CD边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值． 【详解】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAG＝∠F， 又∵AG平分∠DAE， ∴∠DAG＝∠EAG， ∴∠EAG＝∠F， ∴EA＝EF， ∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点， ∴BE＝EC＝1， ∴AE＝＝， ∴EF＝， ∴CF＝EF﹣EC＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF， ∴AG＝FG， 在△ADG和△FCG中 ， ∴△ADG≌△FCG（AAS）， ∴DG＝CG， 设CD＝2a，则CG＝a， CF＝DA＝2a， ∵EG⊥AF，∠GCF＝90°， ∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°， ∴∠EGC＝∠F， ∴△EGC∽△GFC， ∴， ∵GC＝a，FC＝2a， ∴， ∴， ∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a， ∴λ＝； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答． 21．如图，在中，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从B开始沿边运动，速度为，如果P，Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 【答案】经过或秒时，与相似， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，设经过秒时，与相似，则，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当时，,即，当时，，即,然后解方程即可求出答案，准确分析题意列出方程求解是解答本题的关键. 【详解】解：设经过秒时，与相似， ， , 当时，, , 解得：, 当时，， , 解得：, 综上所述：经过或秒时，与相似， 22．如图，在中，，请你利用尺规作图，在求作一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】详见解析 【分析】本题考查作图﹣相似变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作线段的垂直平分线交于点D，连接，点D即为所求． 【详解】解：如图，点D即为所求． 理由：由作图可知， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析 (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 24．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD． （1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明； （2）求证：； （3）若，⊙O的半径为3，求OA的长． 【答案】（1）相切，见解析；（2）见解析；（3）5． 【分析】（1）连接OC，由等腰三角形“三线合一”性质证明OC⊥AB，据此解题； （2）连接OC，90°圆周角所对的弦是直径，证明DE为⊙O的直径，再证明△BCD∽△BEC，最后根据相似三角形的对应边成比例解题； （3）根据正切定义得到，解得OC=OE=3，再由△BCD∽△BEC，设BC=x，根据相似三角形对应边成比例，及勾股定理得到9+x2=（2x-3）2，解此一元二次方程，验根即可解题． 【详解】解：（1）AB与⊙O相切，连接OC， ∵OA=OB，CA=CB， ∴OC⊥AB， ∵点C在⊙O上， ∴AB与⊙O相切； （2）连接OC， ∵OC⊥AB， ∴∠OCB=90°即∠1+∠3=90°， 又∵DE为⊙O的直径， ∴∠ECD=90°即∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠2， ∵OE=OC， ∴∠E=∠2， ∴∠1=∠E， ∵∠B=∠B， ∴△BCD∽△BEC， ∴， ∴BC2=BD•BE； （3）∵，∠ECD=90°， ∴， ∵⊙O的半径为3， ∴OC=OE=3， ∵△BCD∽△BEC， ∴，设BC=x， ∴， ∴OB=2x-3， ∵∠OCB=90°， ∴OC2+BC2=OB2， ∴9+x2=（2x-3）2， ∴x1=0（舍去），x2=4， ∴OA=OB=5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质等知识，切线的证明方法有两种：1、有点连接此点与圆心，证明夹角为直角；2、无点作垂线，证明垂线段等于圆的半径，利用方程思想解题是关键． 重难点四、一线三等角型 模型阐释 “一线三等角”型是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上的相似图形，这个等角可以是直角，也可以是锐角或钝角.“一线三等角”型也叫“K”字型或“M”字型， 一般情况下，已知一条直线上有两个等角或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似三角形. 模型类型 “一线三等角”型相似三角形的基本图形有以下几种： 1.如图①，若∠1=∠2=∠3，则△ABC∽△CDE(△ACP∽△BPD). 2.如图②，若∠1=∠2=∠3=90°，则△ABC∽△CDE(△ACP∽△BPD). 3.如图③，若∠1=∠2=∠3，则△ABCC∽△CDE(△ACPC∽△BPD). 4.如图④，若∠1=∠2=∠3，D是BC的中点，则△BDE∽△DFE∽△CFD, 25．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 【答案】2.4 【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴∠EDF=60°， ∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°， ∵∠B=60°， ∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°， ∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED， ∴∠CDF=∠BED， ∴△BDE∽△CFD， ∴ ，即， ∵等边△ABC的边长为6 ， ∴ ，解得： ． 故答案为：2.4 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 26．如图，已知D是等边边AB上的一点，现将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果，则的值为 ．    【答案】7：8 【分析】设AD=2x，DB=3x，连接DE、DF，由折叠的性质及等边三角形的性质可得△ADE∽△BFD，由相似三角形的性质即可求得CE:CF的值． 【详解】设AD=2x，DB=3x，则AB=5x 连接DE、DF，如图所示    ∵△ABC是等边三角形 ∴BC=AC=AB=5x，∠A=∠B=∠ACB=60° 由折叠的性质得：DE=CE，DF=CF，∠EDF=∠ACB=60° ∴∠ADE+∠BDF=180°−∠EDF=120° ∵∠BDF+∠DFB=180°−∠B=120° ∴∠ADE=∠DFB ∴△ADE∽△BFD ∴ 即CE：CF=7：8 故答案为：7：8 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明三角形相似是本题的关键． 27．如图，等边的边长为6，点在上且，点在上，连接交于点，且，若点是射线上一点，当以、、为顶点的三角形与相似时，则的长为 ． 【答案】4或7． 【分析】由是等边三角形，得出，利用等式性质可得，，以、、为顶点的三角形与相似有一组角相等，再添一组角即可，由M在射线BC上，有两种可能，一种当点在上，一种点在的延长线上，过D作，则有DM∥AB易证是等边三角形，，当点在的延长线上时，作，可证△△和△∽△求出，进而有，综合即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 如图，当点在上时，作， ， ， ∴∥， ， 是等边三角形， ， ， 当点在的延长线上时，作， ，， ， △， ，， △， ， ， ， ， 综上所述：或7， 故答案为：4或7． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，会利用相似三角形的性质列出比例解决问题是关键． 28．已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到∠BDE=∠FDE，∠BED=∠FED，根据全等三角形的性质得到∠DBE=∠DFE，BD=DF，BE=EF，由等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠C=60°，求得∠DFE=60°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，同时平分和， ，， 在与中，， ， ，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键． 29．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 30．如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． 【详解】（1）∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 31．在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解； （3）由题意可分①当点F在的延长线上，②当点F在线段上，然后进行分类求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∵，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （3）解：①当点F在的延长线上，作于，于，于，则，    ∴四边形为矩形， ，， ∵，，， ， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； ②当点F在线段上，如图所示：    同理①可得：， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； 综上所述：当时，． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 32．（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）4或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，把握“一线三等角”模型是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，再由，即可证明相似； （2）证明，得到，代入数据即可求解； （3）同理可证明，然后分三种情况讨论，利用全等三角形和相似三角形的的判定与性质即可求解． 【详解】（1）证明： ∴， ∴ ∴ ∴；            （2）解：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得： ； （3）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴不成立； 当时，， 则， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：是等腰三角形时，的长为4或． 33．如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； (2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3)若，，请直接写出的长． 【答案】(1)1； (2)①；②； (3)或 【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （3）由（2）的结论得出，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【详解】（1）解：当时，即：， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， （2）， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， 成立如图3， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ． （3）由（2）有，， 又∵，， ， ∴，， ， ， 如图4图5图6，连接． 如图4，当E在线段上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ，或舍 如图5，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或舍， ③如图6，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或（舍）， 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 重难点五、手拉手模型 模型阐释 如图，在△OAB中，CD∥AB,将△OCD绕点O旋转一定的角度得到△OCD′,连接AC′,BD′,易知△OAC∽ △OBD′.此模型称为“旋转”型(“手拉手”型) 模型类型 “旋转”型相似三角形的基本图形如图所示.若∠1=∠2，∠D=∠B,则△ADE∽△ABC. 34．在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形． (1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时． 求证：①； ②点一定在射线上； (2)如图2，若，，连接，求的最小值． 【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，结合相似三角形的判定即可求解；②连接，可知和都是等腰直角三角形，利用手拉手的相似模型，证得，求得，最后根据，得到三点共线即可求解． （2）先将一条边设元，通过相似和全等找到线段之间的关系，用含有未知数的式子将其余线段长度表示出来，通过勾股定理将表示出来，利用函数求出最值即可求解． 【详解】（1）解：①证明：四边形是矩形，， 四边形是正方形， 是对角线， ， 同理， 又， ． ②如图，连接， 四边形是正方形，是对角线， ， 同理， ， 又， ， ， ， ， 点一定在射线上． （2）如图，过点E作直线，再过点F分别作，则， 设的长度为，则， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 结合图形可知四边形和四边形都是矩形， ， ， 由勾股定理可知， 当时，有最小值，最小值为32， 最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数的最值等知识点，掌握“手拉手”的相似模型、“一线三等角”的全等模型，以及设元通过函数求最值的思路是解题的关键． 35．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；45°；（2）①见解析；② 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、以及旋转变换的性质，． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，； （2）同理（1）可得可求，，由此求出； （3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解. 【详解】（1）；； 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①如图②，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 36．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，②． 【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可； ②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）①∵，， ∴设，则， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②设，交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 37．如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接．请探究： (1)线段与是否相等？请说明理由． (2)若，请给出证明；若设，，则当取何值时，最大？ (3)连接，当点运动到的何位置时，？请直接写出结论． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析；当时，有最大值 (3)点运动到的中点 【分析】本题考查了考查正方形的性质、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质等，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）先证明，即可用证明即可得出结论； （2）先利用两角对应相等的两个三角形相似证明，进而可得，即可求出函数解析式，继而求出最值； （3）要使，需，又因为，所以，即，所以当E点是的中点时，． 【详解】（1）解：， 理由： ∵四边形，都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即 ， ∴ ， ∴ 当时，有最大值为； （3）解：当E点是的中点时，． 理由如下： ∵ E是中点， ∴ ， ∴ ． 又∵， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 又∵， ∴． 38．已知，，直线与直线相交于点． (1)如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：； (2)如图2，点在内部． ①当时，探究线段，，之间的数量关系； ②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系； (3)当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)或或 【分析】（1）由等边三角形的性质及相似三角形的性质得是等边三角形，由判定，由全等三角形的性质，即可得证； （2）①(ⅰ)如图，当点D，N重合时，由直角三角形的特征得，由相似三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解；(ⅱ)当点D，N不重合时，同理可求； ②在上取一点H，使得，连接，由①中的(ⅱ)同理可求； （3）取的中点，连接，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由等边三角形的性质可求，①当时，此时与重合，（ⅰ）点在线段上， 由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得 ，即可求解；（ⅱ）点在线段延长线上，同理可求； ②当时，（ⅰ）当点在的内部时，连接，在上取一点H，使得，连接，过作交的延长线于，过作交于，设，由相似三角形的性质及直角三角形的特征、勾股定理得，，由勾股定理得，可得，，，从而求出，由三角形面积可求，再由勾股定理求出，，求出，，即可求解；（ⅱ）当点在的外部时，同理可求：，，即可求解． 【详解】（1）证明：， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， 在和中， ， ()， ． （2）解：①(ⅰ)如图，当点D，N重合时， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 在中，， ， ， ， ， 当点D，N重合时，； (ⅱ) 如图，当点D，N不重合时， 在上取一点H，使得，连接； 由(ⅰ)同理可证：，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ； 在中， 同理可求：， 当点D，N不重合时， ． 综上，． ②如图：在上取一点H，使得，连接， 由①中的(ⅱ)同理可证，， ∴，， ， 如图，过作交于， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故； （3）解：如图，取的中点，连接， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ①如图，当时，此时与重合， （ⅰ）点在线段上，如图， ， ， ， ； （ⅱ）点在线段延长线上，如图， 由（ⅰ）同理可证：； ②当时， （ⅰ）如图，当点在的内部时， 如图，连接，在上取一点H，使得，连接，过作交的延长线于，过作于， 设， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ，， ， ， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； （ⅱ）如图，当点在的外部时， 连接，在上取一点H，使得，连接，过作交于，过作交于， 设， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，矩形的判定及性质等；相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定就性质，等边三角形的判定及性质，能根据题意构建相似三角形及根据点的不同位置进行分类讨论，并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 39．【问题发现】 （1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________； 【答案】（1），；（2），；（3）或 【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解； （2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数； （3）分点在直线的左侧和右侧两种情况讨论，利用相似三角形对应边的比设未知数，在中利用勾股定理构造方程即可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，设与交于点F， ∵， ∴， ∵， ， ∴； （2）解：如下图，在和中，设与交于点， ∵∠，， ∴； ∵， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）①如下图所示，点C在线段上时， 在中，，， ， 在中，， 由（2）知，，且， 设，则， 在中，， ， 解得，，舍去， ， ②如下图，当点C在线段延长线上时， 在中，，， ， 在中，， 由（2）知，，且， 设，则， 在中，， ， 解得，，舍去， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征． 40．如图，回答下列题： 【操作发现】 如图（1），在和中，，，，连接，交于点M． ①与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】 如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 【答案】（1）①；②40°；（2），；（3）或 【分析】（1）①由推出，利用边角边即可证与全等，即可求出结果；②先证出与相等，分别加，，结果仍相等，即可得到； （2）证明与相似即可求出的值，再通过相似三角形对应角相等及三角形内角和定理即可证出的度数为； （3）分点点E在线段和线段延长线两种情况讨论，作于H，连接，由角直角三角形得，由勾股定理得，在中，，则，另一种情况同理可求解． 【详解】解：（1）①， ， ， 又，， ， ， ②设与交于点， 由①知，， ， ，， ， 故答案为：①；②； （2）中，，． ∴ 同理得： ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，， 在中，． （3）如图3-1中，作于H，连接， 在中，∵，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 在中，， ∴， 同（2）可证明：， ∴， ∴， 如图3-2中，连接，作于H， 同法可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，点A、D之间的距离为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征． 41．如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接． (1)观察、猜想 观察图1，猜想 ， (2)探究、说理 把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 (3)拓展、思考 在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围 【答案】(1)，90 (2)（1）中的结论还成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平行得，则，由平行得到，则，由三角形中位线定理得到，故，，再根据平行导角即可； （2）由角正切得到，证明，则，由三角形中位线得到，，再根据平行和相似三角形的性质导角即可； （3）由题意可知，，则，由于是的中位线，则，继而可求取值范围． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵点F、G、H分别是的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴, 故答案为：，90； （2）解：（1）中的结论还成立，理由如下： 证明：如图2， 在中，， ∴， 在中，∴， ∴ 又， ∴ ∴ ∴ ∵是的中位线， ∴． 同理可得， ∴ ∵是的中位线， ∴， ∴ ∵， 由于，有， 由得： ∴； （3）解：由题意可知，， ∴，即 ∴绕点C旋转时，当D点落在边上时，AD最小值为6；当点D落在延长线上时，最大值为14， ∵是的中位线，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，难度较大，综合性强，熟练掌握知识点和基本图形是解题的关键． 42．在等边中，为边上一点，于． (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，线段的垂直平分线交于，点为的中点，连接，，，求证：； (3)如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为边上点右边一动点，连接、，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据等边三角形性质，可得，在中，求出，，进而在中求出． （2）延长至H，使，连接，，易得，再证明，可得是等边三角形，从而可得，即可得出结论； （3）延长到，使，连接、，，由旋转相似模型可以证明，从而可得，即点M直线上运动，根据将军饮马模型可得当、M、C三点共线，点N与C点重合时，此时最小，最小值为，根据最小值的图形解三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ， ∴， 在中，， 则； （2）证明：延长至H，使，连接，，如图， ∵点G为的中点， ∴．， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴， ，， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ， ∴，， ∴； （3）如图3-1，延长到，使，连接、，， ∴， 又∵在等边中，， ∴， 由旋转可知：，， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴ ∴， ∴， ∴点M直线上运动， 作点B关于MG的对称点，连接、、、， 由对称性质可知：，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴当、M、C三点共线，点N与C点重合时， 如图3-2，此时最小，最小值为， 设边长为，作，垂足为K，作，垂足为H， ∴， ， ∵，， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了解三角形、相似三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形性质和判定等，解题（2）关键倍长中线构造全等三角形证明是等边三角形，解题（3）关键利用旋转相似模型构造，证明，即点M直线上运动，由将军饮马模型得出最小值时M、N的位置上． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01相似三角形的5种基本解题模型 重难点一、 “A”字型 模型阐释 “A”字型相似三角形是相似三角形基础的模型之一，是共边共角的两个三角形. 在“A”字型中，平行线是比较关键的，有时候题目中不会给出平行线，需要自己作辅助线， 模型类型 “A”字型相似三角形的基本图形有以下两种： 1.如图①，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC: 2.如图②，若∠AED=∠ABC,则△AED∽△ABC: 1．如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　） A．24 B．12 C．6 D．10 2． 如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于 m． 3． 如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，， 则 ． 4．如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 5．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D，已知小华的身高是米，两个路灯的高度都是米，且； (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少? 6．如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 7．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 8．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 9．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N． （1）当CF＝2时，求线段BN的长； （2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值． 重难点二、“X”字型模型 模型阐释 “X”字型是相似三角形的基础模型之一，是含有对顶角的两个三角形.对顶角所对的边有的平行，有的不平行.“X”字型相似三角形，有的也称为“8”字型相似三角形. 模型类型 “X”字型相似三角形的基本图形有以下两种： 1.如图①，若AB∥CD(或∠B=∠C),则△ABO∽△DCO; 2.如图②，若∠C=∠D,则△ABC∽△AED. 10．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 11．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 12．如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 14．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 15．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 16．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点． （1）求证：∠BDE=∠ACD； （2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG； （3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：AB·BE=AD·BC； ②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值． 重难点三、“母子”型 模型阐释 由于小三角形在大三角形内部，恰似子依母怀，故被称为“母子”型. 常见的“母子”型有： (1) 一般三角形中的“母子”型； (2) 直角三角形中的“母子”型； (3) 四边形中的“母子”型； (4)圆中的“母子”型 模型类型 “母子”型相似三角形的基本图形有以下两种： 1.如图①，如果∠ACD=∠ABC,那么△ACD∽△ABC. 2.如图②，在Rt△ABC中，如果∠ACB=90°，且CD⊥AB,那么△ACD∽△ABC∽△CBD. 17．如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（  ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 18．如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 19．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， 已知AD＝，那么BC＝ ． 20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 ； （2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 ． 21．如图，在中，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从B开始沿边运动，速度为，如果P，Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 22．如图，在中，，请你利用尺规作图，在求作一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 23．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 24．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD． （1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明； （2）求证：； （3）若，⊙O的半径为3，求OA的长． 重难点四、一线三等角型 模型阐释 “一线三等角”型是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上的相似图形，这个等角可以是直角，也可以是锐角或钝角.“一线三等角”型也叫“K”字型或“M”字型， 一般情况下，已知一条直线上有两个等角或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似三角形. 模型类型 “一线三等角”型相似三角形的基本图形有以下几种： 1.如图①，若∠1=∠2=∠3，则△ABC∽△CDE(△ACP∽△BPD). 2.如图②，若∠1=∠2=∠3=90°，则△ABC∽△CDE(△ACP∽△BPD). 3.如图③，若∠1=∠2=∠3，则△ABCC∽△CDE(△ACPC∽△BPD). 4.如图④，若∠1=∠2=∠3，D是BC的中点，则△BDE∽△DFE∽△CFD, 25．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 26．如图，已知D是等边边AB上的一点，现将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果，则的值为 ．    27．如图，等边的边长为6，点在上且，点在上，连接交于点，且，若点是射线上一点，当以、、为顶点的三角形与相似时，则的长为 ． 28．已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为 ． 29．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 30．如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 31．在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 32．（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 33．如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； (2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (4) 若，，请直接写出的长． 重难点五、手拉手模型 模型阐释 如图，在△OAB中，CD∥AB,将△OCD绕点O旋转一定的角度得到△OCD′,连接AC′,BD′,易知△OAC∽ △OBD′.此模型称为“旋转”型(“手拉手”型) 模型类型 “旋转”型相似三角形的基本图形如图所示.若∠1=∠2，∠D=∠B,则△ADE∽△ABC. 34．在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形． (1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时． 求证：①； ②点一定在射线上； (2)如图2，若，，连接，求的最小值． 35．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 36．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 37．如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接．请探究： (1)线段与是否相等？请说明理由． (2)若，请给出证明；若设，，则当取何值时，最大？ (3)连接，当点运动到的何位置时，？请直接写出结论． 38．已知，，直线与直线相交于点． (1)如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：； (2)如图2，点在内部． ①当时，探究线段，，之间的数量关系； ②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系； (3)当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值． 39．【问题发现】 （1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________； 40．如图，回答下列题： 【操作发现】 如图（1），在和中，，，，连接，交于点M． ①与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】 如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 41．如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接． (1)观察、猜想 观察图1，猜想 ， (2)探究、说理 把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 (3)拓展、思考 在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围 42．在等边中，为边上一点，于． (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，线段的垂直平分线交于，点为的中点，连接，，，求证：； (3)如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为边上点右边一动点，连接、，当取得最小值时，直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $