寒假作业09 直线、射线、线段、角7大必刷题型（巩固培优）七年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 直线、射线、线段、角 一、直线 1. 直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成，两点确定一条直线． 2. 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点． 3. 直线没有端点，没有长度，不可度量． 二、射线 射线只有一个端点，没有长度，不可度量．如下图，“延长射线AB”的说法是错误的，但可以说“反向延长射线AB”． 三、线段 1. 线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示．下图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a． 2. 线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短． 3. 线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示 线段EF或线段FE 或线段l 射线CD 直线AB或直线BA或直线l 区别 端点 有两个端点 有一个端点 无端点 延伸 不可以延伸 一端可以无限延伸 可以无限延伸 度量 可以度量 不可以度量 不可以度量 联系 都属于“线”，都是直的；线段和射线是直线的一部分 基本事实 两点之间，线段最短 两点确定一条直线 4. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 5. 线段的比较：比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较． 6. 线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点．如图，若点O是线段AB的中点，则有AO＝BO＝AB．反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO＝BO＝AB，那么点O为线段AB的中点． 7. 线段的双中点模型：C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 8. 线段的n等分点：若线段上（n－1）个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这（n－1）个点为这条线段的n等分点． 四、用尺规作图 1. 作一条线段等于已知线段 作法：第一步，作射线AC．第二步，以点A圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AC于点B．则线段AB就是所求作的线段． 2. 作线段的和、差 在直线上作线段AB＝a，再在线段AB的延长线上作线段BC＝b，线段AC就是a与b的和，记作AC＝a+b； 设线段ab，如果在线段AB上作线段BD＝b，那么线段AD就是α与b的差，记作AD＝a－b． 五、角的概念 1. 角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 2. 角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当射线的终止位置和起始位置成一条直线时，形成平角，继续旋转，当射线的终止位置和起始位置重合时，形成周角． 六、角的表示方法 角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 七、角的度量单位 1. 角度制的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制． 2. 角的换算：，；，． 1直角，1平角，1周角． 3. 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5° 八、方位角 方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方 位角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°． 九、角的平分线 1. 角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．如 图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 2. 角的n等分线：类似角的平分线，若从角的顶点引出的（n1）条射线，将这个角分成相等的n个角，则这（n1）条射线叫作这个角的n等分线． 十、余角和补角 1. 余角和补角：一般地，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称两个角互补，其中一个角是另一个角的补角． 2. 余角和补角的性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 直线、射线、线段和角的概念 1．如图，点A、B、C是直线l上的三个点，则图中共有线段、射线条数分别是（　　） A．2，3 B．3，3 C．3，6 D．2，6 【解答】解：线段AB，线段AC，线段BC，射线AB，射线BA，射线AC，射线CA，射线BC，射线BC， 所以图中共有线段3条，射线6条， 故选：C． 2．如图，直线l上有A、B、C三点，下列说法正确的有（　　） ①直线AB与直线BC是同一条直线；②射线AB与射线BC是同一条射线；③直线AB经过点C；④射线AB与射线AC是同一条射线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：根据直线，射线，线段的定义进行判断可得： ①直线AB与直线BC是同一条直线，正确，符合题意； ②射线AB与射线BC是同一条射线，端点不同，故错误，不符合题意； ③直线AB经过点C，正确，符合题意； ④射线AB与射线AC是同一条射线，端点相同，方向相同，故正确，符合题意． 故选：C． 3．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、图中的∠1，可以用∠AOB表示，不能用∠O表示，故不符合题意； B、图中的∠1，可以用∠AOB表示，也能用∠O表示，故符合题意； C、图中的∠1，可以用∠AOB表示，不能用∠O表示，故不符合题意； D、图中的∠1，可以用∠AOB表示，不能用∠O表示，故不符合题意； 故选：B． 4．如图，在锐角∠AOB的内部依次作射线OC、OD和OE，则图中共有　10　 个锐角． 【解答】解：根据锐角的定义可知图中的锐角有10个分别是： ∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB， 故答案为：10． 题型二 直线、射线、线段的性质 5．在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（　　） A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚 【解答】解：∵两点确定一条直线， ∴至少需要2枚钉子． 故选：B． 6．如图，从学校A到书店B最近的是①号路线，得出这个结论的根据是（　　） A．两点确定一条线段 B．两点确定一条直线 C．两点之间，直线最短 D．两点之间，线段最短 【解答】解：最近的是①号路线，根据是两点之间，线段最短， 故选：D． 7．如图，从小明家到学校有4条路，其中沿路线③走最近，其数学依据是　两点之间，线段最短　 ． 【解答】解：依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 8．墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．木工师傅这样做的道理是：　两点确定一条直线　 ． 【解答】解：墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．木工师傅这样做的道理是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 题型三 两点间的距离 9．线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，点N为线段BC的三等分点，求线段MN的长为　8或13或1或7　 cm． 【解答】解：∵线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，点N为线段BC的三等分点， AM＝MC＝6÷2＝3，CM＝5或10， 当点B在点A右侧时，点N靠近C时， MN＝3+5＝8， 当点B在点A右侧时，点N靠近B时， MN＝3+10＝13， 当点B在点A左侧时，点N靠近C时， MN＝6﹣5＝1， 当点B在点A左侧时，点N靠近B时， MN＝15﹣5﹣3＝7， 故答案为：8或13或1或7． 10．如图，点C在线段AB上，D、E分别为AC、AB的中点，若CB＝5cm，则DE的长为　2.5　 cm． 【解答】解：设AC＝xcm， ∵CB＝5cm， ∴AB＝AC+CB＝（x+5）cm， ∵D、E分别为AC、AB的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：2.5． 11．延长线段AB到点C，使得BC：AB＝1：2，则AC：AB的值是　　 ． 【解答】解：延长线段AB到点C，使得BC：AB＝1：2， 设AB＝2k（k＞0），则BC＝k， ∴AC＝AB+BC＝2k+k＝3k， ∴， 故答案为：． 12．如图，线段AB上有M，D，C，N四点，点M是线段AC的中点，点N是线段DB的中点，有下列结论：①MN（AB﹣MD）；②MN，③DM（DA﹣DC）；④AN（MN+AB），其中正确的结论是　②③　 ． 【解答】解：∵点M是线段AC的中点，点N是线段DB的中点， ∴AM＝MCAC，DN＝NBDB， ∴MN＝AB﹣AM﹣NB＝AB（AC+DB）＝AB（AB+CD）（AB﹣CD）， 故结论①错误，结论②正确； DM＝MC﹣DCAC﹣DC（AD+DC）﹣DC（AD﹣DC）， 故结论③正确； AN＝AB﹣BN＝ABBD＝AB（AB﹣DA）（AB+DA）， 故结论④错误． 故答案为：②③． 13．如图，已知A，B，C，D四点在同一线段上，线段AB＝10． （1）若点C是线段AB的中点，，求线段AD的长度； （2）若点C满足AC：BC＝2：3，BD＝4，求线段CD的长度． 【解答】解：（1）∵点C是线段AB的中点，AB＝10， ∴， 又∵CD+BD＝BC＝5，， 所以CD＝1， 所以AD＝AC+CD＝6； （2）∵AB＝10，BD＝4，AC：BC＝2：3， ∴，， ∴CD＝BC﹣BD＝6﹣4＝2． 14．已知线段AB＝14，在线段AB上有点C，D，M，N四个点，且满足AC：CD：DB＝1：2：4，AMAC，且DNBD，求MN的长． 【解答】解：∵AB＝14，AC：CD：BD＝1：2：4， ∴AC＝2，CD＝4，BD＝8， ∵AMAC，DNDB， ∴CM＝1，DN＝2， ∴MN＝CM+CD+DN＝1+4+2＝7或MN＝CM+CD﹣ND＝1+4﹣2＝3． 则MN的长是7或3． 15．如图，点C是线段AE的中点，点D在线段CE上，点B是线段AD的中点． （1）若AC＝3，DE＝2，求CD的长； （2）若BC＝3，CD：AD＝1：4，求AC的长． 【解答】解：（1）∵点C是线段AE的中点，AC＝3， ∴AC＝CEAE＝3， ∴AE＝6， ∵DE＝2， ∴CD＝CE﹣DE＝1； （2）由于CD：AD＝1：4，设CD＝x，则AD＝4x， ∵点B是线段AD的中点， ∴AB＝BD＝2x， ∵BD﹣CD＝BC，即2x﹣x＝3， 解得x＝3， 即CD＝3＝BC， ∴AB＝BD＝6， ∴AC＝AB+BC＝9． 16．如图，已知点C在线段AB上，AB＝12，AC＝2BC． （1）求AC和BC的长； （2）线段DE在线段AB上移动（点D在点E左侧），且DE＝6． ①若点E为BC的中点，试通过计算说明AD＝CD； ②若点F在线段AB上，CF＝3，AF＝3AD，求EF的长．（先借助备用图画出图形，再写计算过程） 【解答】解：（1）∵AB＝12，AC＝2BC，AC+BC＝AB， ∴，； （2）①如图所示． 由条件可知， ∵DE＝6， ∴CD＝DE﹣CE＝6﹣2＝4， ∵AC＝8， ∴AD＝AC﹣CD＝8﹣4＝4， ∴AD＝CD； ②分两种情况： （i）如图1所示，当点F在点C右侧时， 由条件可知AF＝AC+CF＝8+3＝11， ∵AF＝3AD， ∴， ∵DE＝6， ∴； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时， 由条件可知AF＝AC﹣CF＝8﹣3＝5， ∵AF＝3AD， ∴， ∵DE＝6， ∴； 综上所述，EF的长为或． 题型四 钟面角与角的换算 17．如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，则时针与分针所成的角（小于平角）是　115°　 ． 【解答】解：如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，则时针与分针所成的角（小于平角）是：4×30°﹣10×0.5°＝120°﹣5°＝115°． 故答案为：115°． 18．如图所示，钟表上的时间下午3：30时，时针与分针之间所成的角的度数是 　75　 °． 【解答】解：由题意得：2.5×30°＝75°， ∴钟表上的时间下午3：30时，时针与分针之间所成的角是75°， 故答案为：75． 19．角的换算：108°20′42″＝　108.345　 度． 【解答】解：108°20′42″＝108°+20′+（42÷60）′＝108°+（20.7÷60）°＝108.345°． 故答案为：108.345． 20．计算：35°27′+105°43′＝　141°10′　 ． 【解答】解：根据60进制进行整理；将度数、分、秒分别相加，分、秒部分满60进1可得： 35°27′+105°43′＝（35°+105°）+（27′+43′）＝140°+70′， ∵70′＝1°10′， ∴140°+1°10′＝141°10′， 故答案为：141°10′． 题型五 角平分线的定义 21．如图所示，已知O是直线AB上的一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2＝　70°　 ． 【解答】解：∵∠1＝40°， ∴∠COB＝180°﹣40°＝140°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠2∠BOC140°＝70°． 故答案为70°． 22．如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∠MON等于 　135　 度． 【解答】解：∵∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°， ∴∠COD＝90°（互为补角） ∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线， ∴∠MOC+∠NOD（30°+60°）＝45°（角平分线定义） ∴∠MON＝90°+45°＝135°． 故答案为135． 23．如图，OB是∠AOD的角平分线，OD是∠BOE的角平分线，OC是∠BOD的角平分线，∠AOE＝60°，求∠BOC． 【解答】解：∵OB是∠AOD的角平分线， ∴∠AOB＝∠BOD， ∵OD是∠BOE的角平分线， ∴∠BOD＝∠DOE， ∴∠AOB＝∠BOD＝∠DOE， ∴∠AOE＝∠AOB+∠BOD+∠DOE＝3∠BOD， ∵∠AOE＝60°， ∴∠BOD＝60°÷3＝20°， ∵OC是∠BOD的角平分线， ∴． 24．如图，OB平分AOC，OD平分COE． （1）若∠AOB＝40°，∠DOE＝25°，求∠BOD的度数； （2）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠AOB的度数． 【解答】解：（1）∵OB平分∠AOC，OD平分∠COE， ∴∠COD＝∠DOE＝25°，∠BOC＝∠AOB＝40°， ∴∠DOB＝∠COD+∠COB＝65°； （2）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线， ∴∠COB+∠DOC∠AOE140°＝70° 又∵∠COD＝30° ∴∠AOB＝∠BOC＝40°． 题型六 余角和补角 25．若∠α＝90°﹣m°，∠β＝90°+m°，则∠α与∠β（　　） A．互余 B．互补 C．相等 D．和为周角 【解答】解：∵∠β＝90°+m°，∠α＝90°﹣m°， ∴∠α+∠β＝90°+m°+90°﹣m°＝180°， ∴∠α＝90°﹣m°，∠β＝90°+m°，则∠α与∠β互补， 故选：B． 26．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝143°，则∠BOC等于（　　） A．27° B．37° C．43° D．53° 【解答】解：由题意得∠AOB＝∠COD＝90°， ∵∠AOD＝143°， ∴∠BOD＝∠AOD﹣∠COD＝143°﹣90°＝53°， ∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣53°＝37°． 故选：B． 27．如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，则下列表示∠α的余角的式子正确的有　3　 个． ①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③；④ 【解答】解：①∵∠α+（90°﹣∠α）＝90°， ∴90°﹣∠α是∠α的余角，选项说法正确，符合题意； ②∵∠α和∠β互补， ∴∠α＝180°﹣∠β，∠α+∠β＝180°， ∴∠α+（∠β﹣90°）＝（180°﹣∠β）+（∠β﹣90°）＝90°，选项说法正确，符合题意； ③∵∠α+∠β＝180°， ∴，选项说法错误，不符合题意； ④∵∠α+∠β＝180°， ∴，选项说法正确，符合题意． 综上所述，正确的有3个． 故答案为：3． 28．一个角的余角是它的补角的三分之一，则这个角是 　45　 度． 【解答】解：设这个角的度数为x，依题意得： 90°﹣x（180°﹣x）， 解得：x＝45°． 故答案为：45． 题型七 角的计算 29．如图，∠AOB＝118°，∠COD＝28°，∠COD＝2∠DOB，则∠AOC的度数为 　76°　 ． 【解答】解：∵∠COD＝28°，∠COD＝2∠DOB， ∴， ∴∠COD+∠DOB＝∠BOC＝28°+14°＝42°， ∵∠AOB＝118°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC ＝118°﹣42° ＝76°． 故答案为：76°． 30．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，FO⊥CD．若∠AOF＝50°，则∠BOE的度数为　70°　 ． 【解答】解：∵FO⊥CD，∠AOF＝50°， ∴∠AOC＝90°﹣∠AOF＝40°， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE70°． 故答案为：70°． 31．如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD． （1）当∠AOC＝60°时，求∠DOE的度数； （2）请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠BOC＝90°﹣60°＝30°， ∵OB平分∠COD， ∴∠BOC＝∠BOD＝30°， ∴∠DOE＝180°﹣30°﹣30°＝120°； （2）∠DOE＝2∠AOC， 理由如下：∵∠AOB＝90°， ∴∠BOC＝90°﹣∠AOC， ∵OB平分∠COD， ∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠AOC， ∴∠DOE＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2（90°﹣∠AOC）＝2∠AOC． 32．定义：有三条射线OA、OB、OC，若，我们称OC是[OA、OB]的半倍分线，，我们称OC是[OB、OA]的半倍分线． （1）若∠AOB＝20°，OA是[OB、OC]的半倍分线，则∠BOC＝ 　60°　 ． （2）如图，∠AOB＝60°，OC在∠AOB内部，OC是[OB、OA]的半倍分线，OD平分∠AOB，求∠COD的度数； （3）若∠AOB＝80°，以OB为边作∠BOD（∠BOD为锐角），OD平分∠BOC，OC是[OD、OA]的半倍分线，则∠BOD＝ 　20°　 °． 【解答】解：（1）∵OA是[OB，OC 的半倍分线， ∴根据定义，此时， ∵∠AOB＝20°， ∴∠AOC＝2∠AOB＝2×20°＝40°， ∴∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝40°+20°＝60°， 故答案为：60°； （2）∵OC是[OB、OA]的半倍分线， ∴根据定义，此时， ∴∠COA＝2∠COB， 又∵∠AOB＝∠COA+∠COB＝60°， ∴2∠COB+∠COB＝60°， ∴∠COB＝20°， ∵OD平分∠AOB， ∴， ∴∠COD＝∠BOD﹣∠COB＝30°﹣20°＝10°， （3）设∠BOD＝x， ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠BOD＝2x，∠DOC＝∠BOD＝x， ∵∠AOB＝80°，则∠COA＝∠AOB﹣∠BOC＝80°﹣2x， OC是[OD、OA]的半倍分线， ∴根据定义，此时， ∴∠COA＝2∠COD＝2x， ∴80°﹣2x＝2x， 解得x＝20°， 故∠BOD＝20°． 故答案为：20°． 33．已知△ABC和△DEF，∠A＝45°，∠E+∠F＝105°，将△DEF按一定方式摆放，使∠D的两条边分别经过点B和点C． （1）若将△DEF按如图1所示方式摆放，求∠ABD+∠ACD的度数； （2）若将△DEF按如图2所示方式摆放，求∠ABD+∠ACD的度数． 【解答】解：（1）∵∠A＝45°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣45°＝135°， ∵∠E+∠F＝105°，∠E+∠F+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣105°＝75°， ∵∠DBC+∠BCD+∠D＝180°， ∴∠DBC+∠BCD＝180°﹣75°＝105°， ∴∠ABD+∠ACD＝∠ABC+∠DBC+∠ACB+∠BCD＝135°+105°＝240°； （2）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝45°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣45°＝135°， ∵∠E+∠F＝105°，∠E+∠F+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣105°＝75°， ∵∠D+∠DBC+∠BCD＝180°， ∴∠DBC+∠BCD＝180°﹣75°＝105°， ∴∠ABD+∠ACD＝∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠BCD）＝135°﹣105°＝30°． 1．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；…连续这样操作10次，则M10N10＝　　 ． 【解答】解：∵线段MN＝20，线段AM和AN的中点M1，N1， ∴M1N1＝AM1﹣AN1 AMAN （AM﹣AN） MN 20 ＝10． ∵线段AM1和AN1的中点M2，N2； ∴M2N2＝AM2﹣AN2 AM1AN1 （AM1﹣AN1） M1 N1 20 20 ＝5． 发现规律： MnNn20， ∴M10N10； 故答案为：． 2．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD，BE为折痕，若∠CBD＝55°，则∠ABE为　35°　 ． 【解答】解：由折叠的性质可得：，， 由条件可知∠CBC′＝110°， ∴∠ABA′＝180°﹣∠C′BC＝70°， ∴， 故答案为：35°． 3．在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”，例如：图中∠AOB和∠BOC都有公共顶点O和一条公共边OB，所以这两个角是“共边角”． 【问题解决】： （1）如图②，∠AOB和∠BOC　是　 “共边角”（填”是”或”不是”）； （2）当两个“共边角”为60°和30°时，它们非公共边的两边的夹角是　30°或90°　 ； （3）若OD、OE分别平分“共边角”∠AOC和∠BOC，请以图①为例来说明∠DOE与∠AOB的数量关系； 【知识迁移】： （4）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”，例如：AB和BC都有公共端点B，所以这两条线段是“共端点线段”；若两条“共端点线段”的长度分别为m和n，则这两条线段的中点之间的距离为　或　 ． 【解答】解：（1）由题意得：∠AOB和∠BOC是“共边角”， 故答案为：是； （2）如图，∠AOB＝60°，∠BOC＝30°， 当OC在∠AOB内部时，∠AOC＝60°﹣30°＝30°； 当OC在∠AOB外部时，∠AOC＝60°+30°＝90°． 故答案为：30°或90°； （3）∵OD、OE分别平分∠AOC 和∠BOC， ∴，， ∴∠DOE＝∠DOC﹣∠EOC； （4）当点B位于点A、C间时，如图， AB＝m，BC＝n， ∴AC＝m+n， ∴MN＝BM+BN（AB+BC）AC； 当点B位于点A、C间外，如图， AB＝m，BC＝n， ∴AC＝|m﹣n|， ∴MN＝BM﹣BN（AB﹣BC）AC； 故答案为：或； 4．如图，∠AOB＝75°，射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝4∠BOC，射线OD在∠AOC内部绕点O旋转，OE平分∠DOC． （1）①求∠BOC的度数； ②若∠EOC与∠DOB互余，求∠EOC的度数． （2）若∠AOD＝n°（n大于0且小于60），求∠BOE的度数（用含n的式子表示）． 【解答】解：（1）①∵∠AOB＝75°，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＝4∠BOC， ∴5∠BOC＝∠AOB， ∴∠BOC∠AOB75°＝15°； ②∵OE平分∠DOC，∠EOC＝∠DOE， ∴∠DOB＝2∠EOC+∠COB， ∵∠EOC与∠DOB互余， ∴∠DOB+∠EOC＝90°， ∴2∠EOC+∠COB+∠EOC＝90°， ∴3∠EOC+∠COB＝90°， ∵由①得∠COB＝15°， ∴3∠EOC+15°＝90°， ∴∠EOC＝25°； （2）当射线OD在∠AOC的内部， ∵∠AOB＝75°，∠AOD＝n°（0＜n＜60）， 由（1）得∠BOC＝15°， ∴∠DOC＝∠AOB﹣∠AOD﹣∠BOC＝75°﹣n°﹣15°＝（60﹣n）°， ∵OE平分∠DOC， ∴∠EOC∠DOC（60﹣n）°＝（30n）°， ∴∠BOE＝∠EOC+∠COB＝30°n°+15°＝（45n）°； 当射线OD在∠AOC的外部， ∵∠AOB＝75°，∠AOD＝n°（0＜n＜60）， 由（1）得∠BOC＝15°， ∴∠DOC＝∠AOB+∠AOD﹣∠BOC＝75°+n°﹣15°＝（60+n）°， ∵OE平分∠DOC， ∴∠EOC∠DOC（60+n）°＝（30n）°， ∴∠BOE＝∠EOC+∠COB＝（30n）°+15°＝（45n）°； 综上所述，∠BOE的度数为（45n）°或（45n）°． 1．【新知理解】 如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点　是　 这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝　4或6或8　 cm； 【解决问题】 （3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由 【解答】解：（1）如图，当C是线段AB的中点，则AB＝2AC， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”． 故答案为：是； （2）∵AB＝12cm，点C是线段AB的巧点， ∴AC＝124cm或AC＝126cm或AC＝128cm； 故答案为：4或6或8； （3）t秒后，AP＝2t，AQ＝12﹣t（0≤t≤6） ①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除． ②当P为A、Q的巧点时， Ⅰ．APAQ，即，解得s； Ⅱ．APAQ，即，解得s； Ⅲ．APAQ，即，解得t＝3s； ③当Q为A、P的巧点时， Ⅰ．AQAP，即，解得s（舍去）； Ⅱ．AQAP，即，解得t＝6s； Ⅲ．AQAP，即，解得s． 2．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　20°　 ． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角， ∴∠COD∠AOB＝35°， ∵∠AOC＝15°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°； 故答案为：20°． （2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α， ∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOD＝63°+α， ∵∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即63°﹣α， 解得α＝21°， 当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角； （3）能，理由如下， 由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3t°；根据题意可分以下三种情况： ①当射线OC在∠AOB内，如图4， 此时，∠BOC＝30°﹣3t°，∠AOD＝30°+3t°， 则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即30°﹣3t°（30°+3t°）， 解得t（秒）； ②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，∠BOC＝3t°﹣30°，∠AOD＝30°+3t°， 则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即3t°﹣30°（30°+3t°）， 解得t＝30（秒）； 如图6，此时，∠BOC＝360°﹣3t°+30°，∠AOD＝360°﹣3t°﹣30°， 则∠AOD是∠BOC的内半角， ∴∠AOD∠BOC，即360°﹣3t°﹣30°（360°﹣3t°+30°）， 解得t＝90（秒）； 综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 直线、射线、线段、角 一、直线 1. 直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成，两点确定一条直线． 2. 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点． 3. 直线没有端点，没有长度，不可度量． 二、射线 射线只有一个端点，没有长度，不可度量．如下图，“延长射线AB”的说法是错误的，但可以说“反向延长射线AB”． 三、线段 1. 线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示．下图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a． 2. 线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短． 3. 线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示 线段EF或线段FE 或线段l 射线CD 直线AB或直线BA或直线l 区别 端点 有两个端点 有一个端点 无端点 延伸 不可以延伸 一端可以无限延伸 可以无限延伸 度量 可以度量 不可以度量 不可以度量 联系 都属于“线”，都是直的；线段和射线是直线的一部分 基本事实 两点之间，线段最短 两点确定一条直线 4. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 5. 线段的比较：比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较． 6. 线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点．如图，若点O是线段AB的中点，则有AO＝BO＝AB．反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO＝BO＝AB，那么点O为线段AB的中点． 7. 线段的双中点模型：C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 8. 线段的n等分点：若线段上（n－1）个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这（n－1）个点为这条线段的n等分点． 四、用尺规作图 1. 作一条线段等于已知线段 作法：第一步，作射线AC．第二步，以点A圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AC于点B．则线段AB就是所求作的线段． 2. 作线段的和、差 在直线上作线段AB＝a，再在线段AB的延长线上作线段BC＝b，线段AC就是a与b的和，记作AC＝a+b； 设线段ab，如果在线段AB上作线段BD＝b，那么线段AD就是α与b的差，记作AD＝a－b． 五、角的概念 1. 角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 2. 角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当射线的终止位置和起始位置成一条直线时，形成平角，继续旋转，当射线的终止位置和起始位置重合时，形成周角． 六、角的表示方法 角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 七、角的度量单位 1. 角度制的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制． 2. 角的换算：，；，． 1直角，1平角，1周角． 3. 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5° 八、方位角 方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方 位角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°． 九、角的平分线 1. 角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．如 图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 2. 角的n等分线：类似角的平分线，若从角的顶点引出的（n1）条射线，将这个角分成相等的n个角，则这（n1）条射线叫作这个角的n等分线． 十、余角和补角 1. 余角和补角：一般地，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称两个角互补，其中一个角是另一个角的补角． 2. 余角和补角的性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 直线、射线、线段和角的概念 1．如图，点A、B、C是直线l上的三个点，则图中共有线段、射线条数分别是（　　） A．2，3 B．3，3 C．3，6 D．2，6 2．如图，直线l上有A、B、C三点，下列说法正确的有（　　） ①直线AB与直线BC是同一条直线；②射线AB与射线BC是同一条射线；③直线AB经过点C；④射线AB与射线AC是同一条射线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在锐角∠AOB的内部依次作射线OC、OD和OE，则图中共有　　 个锐角． 题型二 直线、射线、线段的性质 5．在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（　　） A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚 6．如图，从学校A到书店B最近的是①号路线，得出这个结论的根据是（　　） A．两点确定一条线段 B．两点确定一条直线 C．两点之间，直线最短 D．两点之间，线段最短 7．如图，从小明家到学校有4条路，其中沿路线③走最近，其数学依据是　 　 ． 8．墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．木工师傅这样做的道理是：　 　 ． 题型三 两点间的距离 9．线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，点N为线段BC的三等分点，求线段MN的长为　 　 cm． 10．如图，点C在线段AB上，D、E分别为AC、AB的中点，若CB＝5cm，则DE的长为　 　 cm． 11．延长线段AB到点C，使得BC：AB＝1：2，则AC：AB的值是　 　 ． 12．如图，线段AB上有M，D，C，N四点，点M是线段AC的中点，点N是线段DB的中点，有下列结论：①MN（AB﹣MD）；②MN，③DM（DA﹣DC）；④AN（MN+AB），其中正确的结论是　 　 ． 13．如图，已知A，B，C，D四点在同一线段上，线段AB＝10． （1）若点C是线段AB的中点，，求线段AD的长度； （2）若点C满足AC：BC＝2：3，BD＝4，求线段CD的长度． 14．已知线段AB＝14，在线段AB上有点C，D，M，N四个点，且满足AC：CD：DB＝1：2：4，AMAC，且DNBD，求MN的长． 15．如图，点C是线段AE的中点，点D在线段CE上，点B是线段AD的中点． （1）若AC＝3，DE＝2，求CD的长； （2）若BC＝3，CD：AD＝1：4，求AC的长． 16．如图，已知点C在线段AB上，AB＝12，AC＝2BC． （1）求AC和BC的长； （2）线段DE在线段AB上移动（点D在点E左侧），且DE＝6． ①若点E为BC的中点，试通过计算说明AD＝CD； ②若点F在线段AB上，CF＝3，AF＝3AD，求EF的长．（先借助备用图画出图形，再写计算过程） 题型四 钟面角与角的换算 17．如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，则时针与分针所成的角（小于平角）是　 　 ． 18．如图所示，钟表上的时间下午3：30时，时针与分针之间所成的角的度数是 　 　 °． 19．角的换算：108°20′42″＝　 　 度． 20．计算：35°27′+105°43′＝　 　 ． 题型五 角平分线的定义 21．如图所示，已知O是直线AB上的一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2＝　 　 ． 22．如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∠MON等于 　 　 度． 23．如图，OB是∠AOD的角平分线，OD是∠BOE的角平分线，OC是∠BOD的角平分线，∠AOE＝60°，求∠BOC． 24．如图，OB平分AOC，OD平分COE． （1）若∠AOB＝40°，∠DOE＝25°，求∠BOD的度数； （2）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠AOB的度数． 题型六 余角和补角 25．若∠α＝90°﹣m°，∠β＝90°+m°，则∠α与∠β（　　） A．互余 B．互补 C．相等 D．和为周角 26．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝143°，则∠BOC等于（　　） A．27° B．37° C．43° D．53° 27．如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，则下列表示∠α的余角的式子正确的有　 　 个． ①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③；④ 28．一个角的余角是它的补角的三分之一，则这个角是 　 　 度． 题型七 角的计算 29．如图，∠AOB＝118°，∠COD＝28°，∠COD＝2∠DOB，则∠AOC的度数为 　 　 ． 30．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，FO⊥CD．若∠AOF＝50°，则∠BOE的度数为　 　 ． 31．如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD． （1）当∠AOC＝60°时，求∠DOE的度数； （2）请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由． 32．定义：有三条射线OA、OB、OC，若，我们称OC是[OA、OB]的半倍分线，，我们称OC是[OB、OA]的半倍分线． （1）若∠AOB＝20°，OA是[OB、OC]的半倍分线，则∠BOC＝ 　 ． （2）如图，∠AOB＝60°，OC在∠AOB内部，OC是[OB、OA]的半倍分线，OD平分∠AOB，求∠COD的度数； （3）若∠AOB＝80°，以OB为边作∠BOD（∠BOD为锐角），OD平分∠BOC，OC是[OD、OA]的半倍分线，则∠BOD＝ 　 　 °． 33．已知△ABC和△DEF，∠A＝45°，∠E+∠F＝105°，将△DEF按一定方式摆放，使∠D的两条边分别经过点B和点C． （1）若将△DEF按如图1所示方式摆放，求∠ABD+∠ACD的度数； （2）若将△DEF按如图2所示方式摆放，求∠ABD+∠ACD的度数． 1．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；…连续这样操作10次，则M10N10＝　 　 ． 2．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD，BE为折痕，若∠CBD＝55°，则∠ABE为　 　 ． 3．在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”，例如：图中∠AOB和∠BOC都有公共顶点O和一条公共边OB，所以这两个角是“共边角”． 【问题解决】： （1）如图②，∠AOB和∠BOC　 　 “共边角”（填”是”或”不是”）； （2）当两个“共边角”为60°和30°时，它们非公共边的两边的夹角是　 　 ； （3）若OD、OE分别平分“共边角”∠AOC和∠BOC，请以图①为例来说明∠DOE与∠AOB的数量关系； 【知识迁移】： （4）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”，例如：AB和BC都有公共端点B，所以这两条线段是“共端点线段”；若两条“共端点线段”的长度分别为m和n，则这两条线段的中点之间的距离为 ． 4．如图，∠AOB＝75°，射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝4∠BOC，射线OD在∠AOC内部绕点O旋转，OE平分∠DOC． （1）①求∠BOC的度数； ②若∠EOC与∠DOB互余，求∠EOC的度数． （2）若∠AOD＝n°（n大于0且小于60），求∠BOE的度数（用含n的式子表示）． 1．【新知理解】 如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点　 　 这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝　 　 cm； 【解决问题】 （3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由 2．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　 　 ． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $