学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（江苏扬州专用，测试范围：苏科版九上+九下全册）

( ) ( ) 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 9. ___________ 1 0 ． _________ 11 ． __________ 12 ． ____________ 13 ． __________ 1 4 ． _________ 1 5 ． __ ______ 1 6 ． __________ 1 7 ． _____________ 1 8 ． __________ 三 、解答题：本题共 10 小题，共 9 6 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19． （本题 8 分） (1)计算： ； (2)解方程： ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 8 分） （1） 、 ； （ 2） （3） 21 ． （ 8 分） （1） ； （2） 22 ．（ 10 分） (1) ； (2) ； ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（ 8 分） （1） （2） 2 4 ． （ 10 分） （1） （2） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 5 ．（ 10 分） （1） （2） （3） 26.（10分） （1） （2） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 7 ．（ 12 分） （1 ） （2） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 28.（12分） （1） （2） （3） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册+下册全册。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一元二次方程的根为（   ） A．0 B．9 C．0或 D．0或9 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，. 故选：C. 2．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 故选：C． 3．如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，的面积为1，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】解：与是位似图形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 4．某鞋厂为了了解初中学生穿鞋的尺码情况，对某中学八年级（1）班的20名男生进行了调查，结果如图所示． 据此判断下列说法错误的是（  ） A．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的平均数为39.1码； B．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的众数为40码； C．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的中位数为39码； D．在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是平均数． 【答案】D 【详解】解：A项：八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的平均数为码，故说法正确； B项：观察图表可知：有7人的鞋号为40码，人数最多，即众数是40码，故说法正确； C项：中位数是第10、11人的平均数，即39，∴中位数为39码，故说法正确； D项：在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是众数而不是平均数，故说法错误； 故选：D． 5．为促进消费，国家财政部门对家电类商品消费提供了财政补贴，某电器超级体验店的销售额逐步增加：7月的销售额为144万元，8月、9月的月增长率相同，9月的销售额为225万元．设8月、9月的月增长率为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设月增长率为x， ∵ 8月销售额为， 9月销售额为， 又∵ 9月销售额为万元， ∴ ， 故选：C． 6．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点…求证：这个二次函数的图象关于直线对称．根据现有信息，题中的二次函数不一定具有的性质是（   ） A．顶点是 B．过点 C．在x轴上截得的线段的长度是2 D． 【答案】A 【详解】解：由题可知抛物线与x轴的一交点坐标为，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为， ∴B正确，不符合题意； ∴在x轴上截得的线段长是， ∴C正确，不符合题意； ∵该二次函数图象对称轴为直线， ∴顶点横坐标应为2， A选项给出的顶点是 ，其横坐标为， ∴A不正确，符合题意； ∵该二次函数图象对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ∴， ∴， ∴D正确，不符合题意； 故选：A． 7．由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，取格点E，连接，． 设菱形的边长为a， ∵由6个形状相同、大小相等的菱形组成的网格，， ∴，，， ， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴，，， 同理可得：所在的小三角形为等边三角形且与全等， ∴，， ∴， ∴、、三点在同一条直线上， ∵是菱形的对角线， ∴(菱形的对角线平分每一组对角)， ∴， ∴、都是直角三角形， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，在正方形中，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．若，，则的长为（    ） A．4.5 B．4.8 C．4.9 D．5.2 【答案】C 【详解】∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：C 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．已知关于的方程有两个实数根，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 10．抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【详解】二次函数 展开为一般形式： ， 其中 ，，， 顶点横坐标公式为 ， 代入得 ， 将 代入函数求纵坐标： ， 通分后 ． 故顶点坐标为 ． 11．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为 ． 【答案】 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示： 则圆心是， 则圆的半径为. 故答案为：． 12．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则 ．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：点D是线段的黄金分割点， ， 整理得， 解得（负值舍去）， ， ， 故答案为：． 13．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时， (结果保留) 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵是弦的中点，在上，， ∴延长可得在上，， ∴， ∴， 又， ∴． 故答案为：． 14．如图，在中，，，点，分别在，上，且，若，，则的长度是 ． 【答案】 【详解】解：过作交的延长线于，如图： ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ． 【答案】2 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 16．如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点，有以下结论：；；时，随的增大而减小；对于任意实数，总有，其中结论正确的是 ． 【答案】 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的顶点为， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 故错误； 抛物线经过点， ， 故正确； 抛物线的顶点为， 抛物线的对称轴是， 当时，随的增大而减小， 故正确； 抛物线的顶点为， 当时，函数有最大值， 当时，函数值为， ， ， 故正确； 综上所述，结论正确的是． 故答案为：②③④． 17．有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 ． 【答案】6 【详解】如图：当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时， ∴ ∴，且，， ∴ ∴ ∵小长方形的宽为 ∴能分割四层小长方形 设最底层的上一层的靠近点A的边为x 根据三角形相似可得： 解得，正好能分割两个小长方形 再上一层靠近点A的边就会小于，因此只能分割一个小长方形，且最上层分割了一个小长方形 ∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个 故答案为6 18．已知正六边形的一条对称轴与抛物线的对称轴重合，且该正六边形至少有三个顶点落在抛物线的图象上，则该正六边形的边长可以为 ．（写出符合要求的一个答案即可） 【答案】或或2 【详解】解：如下图所示： 假设正六边形的边长为，正六边形的中心在轴上，抛物线过A，B，C，D四点， 连接，， ∴， ∵， ∴，，都为等边三角形， 由于抛物线的对称轴为直线， ∴，， 设对称轴交BC于点M， ∴， ∴， ∴，， 又∵A，B都在抛物线上， ∴------①， ------②， ①-②，， ， ∴， ∴， ∴可得（舍去），或， 故该正六边形的边长可以为． 另两种情况类似上述解法， 如下图所示： 假设正六边形的边长为，正六边形的中心在轴上，抛物线过A，B，C三点， 连接，， 同上理可得，， 又∵A，B都在抛物线上， ∴------①， ------②， ①-②， 整理可得：， ∴可得（舍去），或． 如下图所示： 假设正六边形的边长为，正六边形的中心在轴上，抛物线过A，F，D三点， 连接，， 同上理可得，， 又∵B，F都在抛物线上， ∴------①， ------②， ②-①， 整理可得：， ∴可得（舍去），或． 故答案为：或或2． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分） (1)计算：；(2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∴， ∴或， 解得：． 20．（本题8分）某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查，分别从两个年级随机抽取了50名学生，统计每人在本学期投稿的篇数，并制作了下列统计图．请根据统计图解答下列问题： (1)七、八年级抽取的学生每人投稿篇数的中位数分别为___________，___________； (2)求两个年级抽取的学生每人投稿篇数的平均数； (3)用中位数、平均数两个统计量，对七、八年级学生投稿情况进行比较，并做出评价． 【答案】(1)3，3 (2)七年级：3；八年级：3.28 (3)七、八年级中位数相等，而八年级平均数大，所以八年级投稿情况好 【详解】（1）解：∵，，故七年级中位数是3； ∵将数据排序后第25，26个数据分别为3，故八年级中位数是3； 故答案为：3，3； （2）七年级：；     八年级：． ∴七年级平均数为：3；八年级平均数为：3.28 （3）七八年级中位数相等，而八年级平均数大，所以八年级投稿情况好． 21．（本题8分）为全面落实“五育并举”教育方针，某校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A．红色故事分享会”“B．校园绿植养护”“C．篮球友谊赛”“D．绘画展览”四项活动，小云和小南分别从中随机选择一项活动参加（小云和小南选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）． (1)小云选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为_____； (2)请用列表法或画树状图法，求小云和小南选择的活动不同的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：共四种等可能情况，B．校园绿植养护占一种， 小云选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为． 故答案为：； （2）解：列表如下：    小南小云 A B C D A B C D 由上表可知，共有16种等可能的结果，其中小云和小南选择的活动不同的结果有12种， （小云和小南选择的活动不同）． 22．（本题10分）如图，在坐标系中，、、． (1)在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 【答案】(1) (2) (3)外 【详解】（1）解：、， 的垂直平分线所在直线为， 圆心M在直线为， 设， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 圆的半径长为， 故答案为：； （3）解：，， ， ， 点在外， 故答案为：外． 23．（本题8分）如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴∽． （2）解：∵，，， ∴． ∵∽， ∴，即， ∴． 24．（本题10分）如图，在四边形中，，的外接圆⊙交于点． (1)若，求证：是⊙的切线； (2)若是的中点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接，，连接并延长交于， ， 直线是的垂直平分线， 直线． ， ． 是⊙的半径， 是⊙的切线； （2）解：连接，交于点，连接，， 是的中点， ， ． 在中，，， ， 在中，设，则， 由勾股定理得，， 即，解得，即半径为10． ， ， ， ， ， ． 25．（本题10分）如图，在中，，，．若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为． (1)求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求出的面积与之间的函数关系式； (3)当x为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)， (2) (3)当时，有最大值，且最大值为6 【详解】（1）解：由题意得：，则， ， ．     ，即． ． 自变量的取值范围为． （2）． （3）， 当时，有最大值，且最大值为6． 26．（本题10分）已知二次函数 (1)若，，当时，求y的取值范围； (2)当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，时， ， 抛物线的开口向下，顶点坐标为 ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 中含有顶点， 当时，y有最大值7， 当时，y有最小值为6， 当时， （2）解：时，y的最大值为2；时，y的最大值为3， 抛物线的对称轴在y轴的右侧， ， 抛物线开口向下，时，y的最大值为2， ， 又时，y的最大值为3， ， ， ， 二次函数的表达式为 27．（本题12分）小明携带无人机勘测某山体．如图，光轴线与水平线之间的夹角，最佳拍摄范围是光轴线为中心范围（，最佳拍摄范围是的边和内部区域），方向是水平方向．小明在点处竖直向上放飞无人机，无人机稳定后悬停在点，，相距．（参考数据：，，） (1)求．（结果保留根号） (2)该山体隧道长，小明到达隧道出口点后，控制无人机在光轴线与水平线夹角保持不变的情况下，从点竖直向上飞行至点，此时点恰好进入无人机最佳拍摄范围，若此时无人机与小明的距离为的4倍．求无人机距离地面的高度．（结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， ，，， ，解得， ，解得， ； （2）解：设，则无人机与小明的距离， 由题意可知， ，解得， ， 在中，， 即， 整理得：， 即， 解得或（舍去）， ， 无人机距离地面的高度为． 28．（本题12分）拋物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且与y轴交于点C． (1)如图①，求点A，B，C的坐标； (2)点D是抛物线上x轴下方一点，点E位于第一象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8，求点E的横坐标； (3)如图②，直线与抛物线交于M，N两点，点P坐标为，连接，分别与抛物线交于E，F两点，连接，求证：直线过定点． 【答案】(1)，， (2)或2 (3)见解析 【详解】（1）解：由得， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴； （2）解： 设的表达式为， 则，解得， ∴的表达式为， 过D点作轴，交于F点， 设， 则， ∴， ∵由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时， 解得（舍去），， 当时， 解得， ①当时，D点在第三象限，如图： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得； ②当时，D点在第四象限，如图： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得， 综上，点E的横坐标为或2； （3）证明：设， 设直线的表达式为 ∴， 解得， ∴直线的表达式为， 同理可求直线的表达式为， 直线的表达式为， 直线的表达式为， ∵直线， ∴直线经过定点， 将点代入直线：， 则， ∴， ∵直线过点， ∴， ， ∴ 同理：， ∴， 将，代入，则， 化简得：， 把代入直线， 整理得：， ∴当时，，此时， ∴直线经过定点． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 。。。。。一。。。。▣。。=。。一=。。。。。。。▣ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂■ 4 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1[/] 一、 选择题（每小题3分，共24分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][CI[D] 2[A][B][C]D] 6[A[B][C][D] 3[AJ[B][C][D] 7[A[B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共30分） 10. 11. 12. 13 14 15. 16. 17. 18. 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步棸。 19.(本题8分) (1)计算：4tan60°+W5-2+(π-2024)°-V27: (2)解方程：x2+4x+3=0. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) (1) (2) (3) 21.(8分) (1) (2) 22.(10分) (1) (2)」 请在各题目的答题区域内作数学第2裹色堪饭返桩限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) (1) B (2) 24.(10分) (1) D (2) 请在各愿目的答题区域内作答效望攀墨负短强碧赁膠定区域的答案无效！ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) (1) A E B (2) (3) 26.(10分) (1) (2) 请在各题目的答题区域数带第圆共边框限定区域的答案无效！ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(12分) B 光轴我 (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答数塑锦瓢侧道圆限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.(12分) M B B 图① 图2 (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，邀谱笔颜彩框顶区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册+下册全册。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一元二次方程的根为（   ） A．0 B．9 C．0或 D．0或9 2．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 第2题 第3题 3．如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，的面积为1，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．某鞋厂为了了解初中学生穿鞋的尺码情况，对某中学八年级（1）班的20名男生进行了调查，结果如图所示．据此判断下列说法错误的是（  ） A．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的平均数为39.1码 B．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的众数为40码 C．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的中位数为39码 D．在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是平均数 5．为促进消费，国家财政部门对家电类商品消费提供了财政补贴，某电器超级体验店的销售额逐步增加：7月的销售额为144万元，8月、9月的月增长率相同，9月的销售额为225万元．设8月、9月的月增长率为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 6．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点…求证：这个二次函数的图象关于直线对称．根据现有信息，题中的二次函数不一定具有的性质是（   ） A．顶点是 B．过点 C．在x轴上截得的线段的长度是2 D． 7．由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，，则（    ） A． B． C． D． 第7题 第8题 8．如图，在正方形中，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．若，，则的长为（    ） A．4.5 B．4.8 C．4.9 D．5.2 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．已知关于的方程有两个实数根，那么实数的取值范围是 ． 10．抛物线的顶点坐标为 ． 11．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为 ． 第11题 第12题 12．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则 ．（结果保留根号） 13．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时， (结果保留) 第13题 第14题 14．如图，在中，，，点，分别在，上，且，若，，则的长度是 ． 15．如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ． 第15题 第16题 16．如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点，有以下结论：；；时，随的增大而减小；对于任意实数，总有，其中结论正确的是 ． 17．有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 ． 18．已知正六边形的一条对称轴与抛物线的对称轴重合，且该正六边形至少有三个顶点落在抛物线的图象上，则该正六边形的边长可以为 ．（写出符合要求的一个答案即可） 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分） (1)计算：； (2)解方程：． 20．（本题8分）某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查，分别从两个年级随机抽取了50名学生，统计每人在本学期投稿的篇数，并制作了下列统计图．请根据统计图解答下列问题： (1)七、八年级抽取的学生每人投稿篇数的中位数分别为___________，___________； (2)求两个年级抽取的学生每人投稿篇数的平均数； (3)用中位数、平均数两个统计量，对七、八年级学生投稿情况进行比较，并做出评价． 21．（本题8分）为全面落实“五育并举”教育方针，某校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A．红色故事分享会”“B．校园绿植养护”“C．篮球友谊赛”“D．绘画展览”四项活动，小云和小南分别从中随机选择一项活动参加（小云和小南选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）． (1)小云选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为_____； (2)请用列表法或画树状图法，求小云和小南选择的活动不同的概率． 22．（本题10分）如图，在坐标系中，、、． (1)在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 23．（本题8分）如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且． (1)求证：； (2)当时，求的长． 24．（本题10分）如图，在四边形中，，的外接圆⊙交于点． (1)若，求证：是⊙的切线； (2)若是的中点，且，，求的长． 25．（本题10分）如图，在中，，，．若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为． (1)求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求出的面积与之间的函数关系式； (3)当x为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 26．（本题10分）已知二次函数 (1)若，，当时，求y的取值范围； (2)当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 27．（本题12分）小明携带无人机勘测某山体．如图，光轴线与水平线之间的夹角，最佳拍摄范围是光轴线为中心范围（，最佳拍摄范围是的边和内部区域），方向是水平方向．小明在点处竖直向上放飞无人机，无人机稳定后悬停在点，，相距．（参考数据：，，） (1)求．（结果保留根号） (2)该山体隧道长，小明到达隧道出口点后，控制无人机在光轴线与水平线夹角保持不变的情况下，从点竖直向上飞行至点，此时点恰好进入无人机最佳拍摄范围，若此时无人机与小明的距离为的4倍．求无人机距离地面的高度．（结果保留整数） 28．（本题12分）拋物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且与y轴交于点C． (1)如图①，求点A，B，C的坐标； (2)点D是抛物线上x轴下方一点，点E位于第一象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8，求点E的横坐标； (3)如图②，直线与抛物线交于M，N两点，点P坐标为，连接，分别与抛物线交于E，F两点，连接，求证：直线过定点． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册+下册全册。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一元二次方程的根为（   ） A．0 B．9 C．0或 D．0或9 2．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 第2题 第3题 3．如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，的面积为1，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．某鞋厂为了了解初中学生穿鞋的尺码情况，对某中学八年级（1）班的20名男生进行了调查，结果如图所示．据此判断下列说法错误的是（  ） A．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的平均数为39.1码 B．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的众数为40码 C．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的中位数为39码 D．在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是平均数 5．为促进消费，国家财政部门对家电类商品消费提供了财政补贴，某电器超级体验店的销售额逐步增加：7月的销售额为144万元，8月、9月的月增长率相同，9月的销售额为225万元．设8月、9月的月增长率为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 6．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点…求证：这个二次函数的图象关于直线对称．根据现有信息，题中的二次函数不一定具有的性质是（   ） A．顶点是 B．过点 C．在x轴上截得的线段的长度是2 D． 7．由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，，则（    ） A． B． C． D． 第7题 第8题 8．如图，在正方形中，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．若，，则的长为（    ） A．4.5 B．4.8 C．4.9 D．5.2 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．已知关于的方程有两个实数根，那么实数的取值范围是 ． 10．抛物线的顶点坐标为 ． 11．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为 ． 第11题 第12题 12．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则 ．（结果保留根号） 13．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时， (结果保留) 第13题 第14题 14．如图，在中，，，点，分别在，上，且，若，，则的长度是 ． 15．如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ． 第15题 第16题 16．如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点，有以下结论：；；时，随的增大而减小；对于任意实数，总有，其中结论正确的是 ． 17．有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 ． 18．已知正六边形的一条对称轴与抛物线的对称轴重合，且该正六边形至少有三个顶点落在抛物线的图象上，则该正六边形的边长可以为 ．（写出符合要求的一个答案即可） 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分） (1)计算：； (2)解方程：． 20．（本题8分）某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查，分别从两个年级随机抽取了50名学生，统计每人在本学期投稿的篇数，并制作了下列统计图．请根据统计图解答下列问题： (1)七、八年级抽取的学生每人投稿篇数的中位数分别为___________，___________； (2)求两个年级抽取的学生每人投稿篇数的平均数； (3)用中位数、平均数两个统计量，对七、八年级学生投稿情况进行比较，并做出评价． 21．（本题8分）为全面落实“五育并举”教育方针，某校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A．红色故事分享会”“B．校园绿植养护”“C．篮球友谊赛”“D．绘画展览”四项活动，小云和小南分别从中随机选择一项活动参加（小云和小南选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）． (1)小云选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为_____； (2)请用列表法或画树状图法，求小云和小南选择的活动不同的概率． 22．（本题10分）如图，在坐标系中，、、． (1)在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 23．（本题8分）如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且． (1)求证：； (2)当时，求的长． 24．（本题10分）如图，在四边形中，，的外接圆⊙交于点． (1)若，求证：是⊙的切线； (2)若是的中点，且，，求的长． 25．（本题10分）如图，在中，，，．若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为． (1)求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求出的面积与之间的函数关系式； (3)当x为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 26．（本题10分）已知二次函数 (1)若，，当时，求y的取值范围； (2)当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 27．（本题12分）小明携带无人机勘测某山体．如图，光轴线与水平线之间的夹角，最佳拍摄范围是光轴线为中心范围（，最佳拍摄范围是的边和内部区域），方向是水平方向．小明在点处竖直向上放飞无人机，无人机稳定后悬停在点，，相距．（参考数据：，，） (1)求．（结果保留根号） (2)该山体隧道长，小明到达隧道出口点后，控制无人机在光轴线与水平线夹角保持不变的情况下，从点竖直向上飞行至点，此时点恰好进入无人机最佳拍摄范围，若此时无人机与小明的距离为的4倍．求无人机距离地面的高度．（结果保留整数） 28．（本题12分）拋物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且与y轴交于点C． (1)如图①，求点A，B，C的坐标； (2)点D是抛物线上x轴下方一点，点E位于第一象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8，求点E的横坐标； (3)如图②，直线与抛物线交于M，N两点，点P坐标为，连接，分别与抛物线交于E，F两点，连接，求证：直线过定点． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 7 8 C C C D C A 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 79 10. 2-4 11.25 12.(5V5-5)cm 13.π-3 14.23 15.2 16.②③④ 17.6 18.25或2或2 3 3 3 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.(本题8分) 【详解】(1)解：4tan60°+5-2+（π-2024）°-V27 =45+2-V5+1-35 =3;.... ..4分 (2)解：x2+4x+3=0, .x+3)(x+1=0, .x+3=0或x+1=0, 解得：X1=-3,x2=-1..8分 20.(本题8分) 【详解】(1)解：14%+20%<50%，14%+20%+50%>50%，故七年级中位数是3； ,将数据排序后第25,26个数据分别为3，故八年级中位数是3； 故答案为：3,3；………4分 (2)七年级：x=1x14%+2×20%+3×30%+4×24%+5×12%=3; 八年级：x=(1×2+2×10+3×14+4×20+5×4=3.28. 50 .七年级平均数为：3；八年级平均数为：3.28…….…6分 (3)七八年级中位数相等，而八年级平均数大，所以八年级投稿情况好。8分 21.(本题8分) 1/10 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(1)解：共四种等可能情况，B.校园绿植养护占一种， 小云选择的活动为B。校园绿植养护的概率为牙 故答案为：4 .2分 (2)解：列表如下： 小南小云 A ⊙ C D (4,4) (4,B) (A,C】 (A,D) B (B,A (B,B (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,c) (C,D) D (D,A) (D,B (D,C) (D,D 由上表可知，共有16种等可能的结果，其中小云和小南选择的活动不同的结果有12种， :P(小云和小南选择的活动不同)=2-3 8分 164 22.(本题10分) 【详解】(1)解：：A1,6)、B(5,6), ·AB的垂直平分线所在直线为x=3, B M ·圆心M在直线为x=3, 设M(3,m, .MA=MC, .4+(m-6)2=16+(m-4)2, 解得m=2, 2/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 M(3,2), 故答案为：(3,2)；……3分 (2)解：M(3,2),A1,6), MA=V1-3)2+(6-22=25, ·圆的半径长为25， 故答案为：2W5;6分 (3)解：M(3,2),D(5,-3, MD=V5-3)2+(-3-2)2=√29， :√29>√20=2√5， :点D(5,-3)在⊙M外， 故答案为：外. 10分 23.(本题8分) 【详解】(1)证明：，AB=AC, .∠B=LC. ,∠APD=∠B, ∴.∠CPD+∠APB=180°-∠APD=180°-∠B, .∠BAP+∠APB=180°-∠B, ∴.∠BAP+LAPB=∠CPD+∠APB, .∠BAP=LCPD. 在△ABP与△PCD中， 「∠B=∠C ∠BAP=∠CPD' △ABP△PCD.5分 (2)解：，AB=6,BC=10,BP=3, .PC=BC-BP=10-3=7. △ABP∽△PCD, 7 CD 3/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :.CD=2 …8分 24.(本题10分) 【详解】(1)证明：如图，连接OB,OC,连接A0并延长交BC于H, E H .OB=OC,AB=AC, ·直线OA是BC的垂直平分线， :直线OA⊥BC. AD BC, OA⊥AD. :0A是⊙0的半径， AD是⊙O的切线： .4分 (2)解：连接OE,交AC于点F,连接OB,OC, 】 B :E是AC的中点， OE⊥AC,EA=EC=4V5, :.AF=CF-AC=8. 2 在RtAAEF中，AE=4V5,AF=8, :.EF=AE2-AF2=4, 4/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在Rt△AOF中，设OA=x,则OF=x-4, 由勾股定理得，AF2+OF2=OA2, 即82+(x-4)2=x2,解得x=10,即半径为10. ∠OAF=∠CAH,∠OFA=∠CHA=90°， :△AOF∽△ACH, OA OF AC CH 106 16CH' CH=48 ÷BC=2CH=96 5 ….10分 25.(本题10分) 【详解】(1)解：由题意得：BD=2x,则AD=8-2x, :DE∥BC, △ABC∽△ADE. 品-名 3 y=2+6. 自变量x的取值范围为0≤x≤4.4分 (2)SAmD.26 2 (3)SABDE=- 6ar--6 :当x=2时，S有最大值，且最大值为6. ….10分 26.(本题10分) 【详解】(1)解：：b=4,c=3时， .y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7, :抛物线的开口向下，顶点坐标为2,7) .抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， :1≤x≤3中含有顶点2,7)， ·当x=2时，y有最大值7， 5/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :当x=1时，y有最小值为6， ·当1≤x≤3时，6≤y≤7. .5分 (2)解：：x≤0时，y的最大值为2：x>0时，y的最大值为3， 抛物线的对称轴x号在y轴的右侧 b>0, :抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2， c=2, 又x>0时，y的最大值为3， .4×(-1)×c-b2 =3, 4×(-1) .b=±2， b>0, b=2. 二次函数的表达式为y=-x2+2.x+2.…………10分 27.(本题12分) 【详解】(1)解：：∠0BM=45°，∠CBM=∠DBM=15°， ∠ABM=45°，∠ABC=∠ABM-∠CBM=30°，∠ABD=∠ABM+∠DBM=60°， :.tan ZABC tan309=4C=AC_3 ,解得AC=1003(m, AB3003 an∠ABD=tan60°=4D=D=5,解得AD=3005(m, AB300 cD=AD-AC=200(m)...5 (2)解：设BG=100x,则无人机与小明的距离GF=400x, G Bk---- \光轴线 C M 由题意可知∠AGE=60°，AG=300+100x, an∠4GE=tan60°=4二=，E=V5,解得AE=300N5+105x, AG 300+x 6/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AF=300V5+100√5x+1200, 在Rt△AFG中，AG2+AF2=GF2, 即(300+100.x)2+(100W3.x+300W5+1200=(400x)2, 整理得：x2-2+25)x-15+6⑤)=0， 即x-(5+25x+3)=0, 解得x,=5+2V5或x2=-3(舍去)， AG=AB+BG=300+1005+2W3)=800+200V3≈800+200×1.73=1146， 无人机距离地面的高度AG为1146m..…..12分 28.(本题12分) 【许解1解：由y- 2-2得， 当0时2-0， 2 解得x1=-1,x2=4, .A-1,0),B4,0, 当x=0时，y=-2, .C(0,-2); …3分 (2)解：设BC的表达式为y=x+b, 4k+b=0 1 b=-2 k22 ,解得 b=-2 1 小BC的表达式为y=2-2, 过D点作DF∥y轴，交BC于F点， 7/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设Dm,2m2-。m-2-1<m<4, 2 1 则Fm2m-2 由B,C,D,E四点组成的平行四边形面积为8， ∴.S△BcD=4, 1 又：S,cn=DF(xB-xc), 11 六2*2m2-2m×4=4, 1 -m2-2m=2, m2-2m=+2, 2 当2m2-2m=2时 解得m,=2+2V2>4（舍去)，m,=2-2V2, 当)m2-2m-2时 解得m=2, ①当m=2-2√2时，D点在第三象限，如图： ,平行四边形， .DC∥EB,DC=EB, ∴.xc-xD=XB-XE, ∴.0-2-2W2)=4-xE, 解得xe=6-2√2； ②当m=2时，D点在第四象限，如图： 8/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ,平行四边形， ∴.DC∥EB,DC=EB, ..XD-XC =XB-XE' ∴.2-0=4-xE, 解得xE=2, 综上，点E的横坐标为6-2√2或2；……… ..7分 8)证明设w----小e宁--小-- 设直线MN的表达式为y=kx+b, km+6=m2_3m 1 1m-2 2 2 n-2 2 113 k=m+一n 2 2 解得 2 1 b=- mn-2 2 直线M的表达式为引-n-2, 1 同理可求直线P的表达式为y;+)「- x-2ef-2, 2 113)1 直线EM的表达式为y= 2e+)m- x- em-2, 222 131 直线FN的表达式为y= 2f+)n- x-5fm-2, 22 2 ,直线MN:y=x-k=k(x-1), .直线MN经过定点(1,0)， 将点(1,0)代入直线MN:y= 1,1.31 2m+2-2x- mn-2, 2 1.31 则m+2-2 -mn-2=0, 9/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.m+n=mn+7, 直线EM过点P(2,-5), 1,13)。 1 2e+2m-2)×2-2m-2=-5, e+m- em=0, 2 2e ∴.m= e-2 1 同理：f+n-2加=0， 2f .n= f-2’ 将m=2e e-2,n 代入m+n=mn+7,则 2e+2f-2e.2y+7, e-2f-2e-2f-2 化简得：e+f=7gf+28 10 起+1可2代入直线=+引-2 10 209f+20 整理得：y=7x-10 10 当7r-10=0时，x=,此时y三 ∴直线EF经过定点 1015 7-7 ….12分 10/10