专题01 集合与常用逻辑用语10大考点（高效培优期末专项训练）高一数学上学期北师大版

专题01 集合与常用逻辑用语 考点01 集合的概念与表示 1 考点02 集合的基本关系 5 考点03 由集合的基本关系求参数 7 考点04 交集并集补集的运算 9 考点05 由交集并集补集求参数 12 考点06 充分条件与必要条件的判断 17 考点07 由充分条件与必要条件求参数 20 考点08 全称量词与存在量词的否定 21 考点09 由全称量词与特称量词的真假求参数 25 考点10 集合的新定义题型 27 考点01 集合的概念与表示 1．（25-26高二上·湖南·期中）集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．18 【答案】B 【分析】根据题意先求出，进而求出即可. 【详解】由题意有：，又，所以， 所以或或， 所以，所以中的元素个数为3个， 故选：B. 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知集合，则0与集合A的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再判断元素与集合的关系. 【详解】， 因为元素与集合的关系是属于和不属于，所以. 故选：A. 3．（23-24高一上·广东江门·月考）已知集合，，则（   ） A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出的值，验证集合元素互异性即得. 【详解】由可得或. ① 当时，解得或， 若，则，与集合元素互异性矛盾， 若，则，此时，符合题意，故； ②当时，，由上分析可知不合题意. 故. 故选：D. 4．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系判断各个选项； 【详解】已知，集合，则与是元素和集合的关系， 所以. 故选：B. 5．（24-25高一下·湖南长沙·期末）若集合中只有一个元素，则 . 【答案】0或1 【分析】分和时分别讨论计算求解即可. 【详解】因集合中只有一个元素， 则当时，方程为，解得，即集合，则， 当时，由，解得，集合，则， 所以或. 故答案为：0或1 考点02 集合的基本关系 6．（25-26高一上·广东·期末）设集合，则的子集个数有（    ） A．16 B．64 C．128 D．212 【答案】C 【分析】根据题意，求得集合，结合子集的个数的计算方法，即可求解. 【详解】由集合， 所以集合的子集个数有． 故选：C． 7．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知集合，，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．4 【答案】B 【分析】根据包含关系可知，分或两种情况讨论，结合元素互异性可得. 【详解】因为，，， 所以，所以或，即或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去； 当时，，满足. 综上，. 故选：B 8．（24-25高一上·湖北荆州·月考）已知集合，，，则集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合C分析，当n为偶数时，它与集合A相等，所以集合A是集合C的真子集；又集合B和集合C相等，从而得出集合A、B、C的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C． 9．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设集合，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据包含关系分，，三种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，所以．当，即时，有相同元素，不符合； 当，即时，，，符合； 当，即时，有相同元素，不符合． 综上所述：. 故答案为：. 10．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出集合A，再根据真子集的个数公式计算求解. 【详解】集合，则集合A的真子集的个数是. 故选：C. 考点03 由集合的基本关系求参数 11．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 12．（25-26高一上·云南昆明·月考）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)实数a的取值范围为 (2)实数a的取值范围为 【分析】（1）由题意可得有两个不等正根，由根与系数的关系求解即可； （2）由题意可得或或或；分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合B中有两个大于0的元素，所以有两个不等正根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）由，可得，解得或， 因为，所以或或或； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 综上所述：实数a的取值范围为. 13．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若⫋，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由为非空数集，得，即，结合子集的概念，得到不等式，算出实数的取值范围； （2）由为非空数集，得，即，结合真子集的概念，得到不等式，算出实数的取值范围； 【详解】（1）因为为非空数集，得，解得， 若，则，解得，即实数的取值范围是； （2）因为为非空数集，得，解得， 若⫋，则或， 解得，即实数的取值范围是． 14．（24-25高一上·山西大同·月考）已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【答案】(1)、、、 (2) 【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集； （2）对集合中的元素个数进行分类讨论，结合可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 所以，集合的所有子集有：、、、. （2）解：因为，分以下几种情况讨论： ①当时，对于方程，，解得； ②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得， 此时，，此时，； ③当集合有两个元素时，因为，则，即， 即关于的方程的两根分别为、， 所以，，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 15．（22-23高二下·江西新余·期末）已知全集为实数集，集合，.    (1)若，求图中阴影部分的集合； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题图知，再根据已知及集合的交补运算求集合M即可. （2）讨论、，根据集合的包含关系列不等式组求参数范围. 【详解】（1）解：时，，由图知，， 因为，所以， 所以. （2）当时，，解得，此时成立； 当时，，解得， 因为，所以，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围是. 考点04 交集并集补集的运算 16．（25-26高一上·广东·期末）已知集合或，，则（    ） A．, B．,1, C．,0, D．,0,1, 【答案】C 【分析】直接利用交集的运算法则求解即可. 【详解】集合或，， 则. 故选:C 17．（25-26高一上·山东·期末）集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合交集的定义与运算，可得. 故选：B. 18．（25-26高一上·云南·月考）A，B，C是U的三个子集，下图中的阴影部分能表示集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦恩图结合集合的交并补运算求解． 【详解】在韦恩图中，表示长方形内圆外的所有阴影， 表示圆内除去外的阴影部分，韦恩图如下图所示， 观察各选项，排除C、D； 表示圆和圆相交的阴影部分，韦恩图表示如下： 表示上述两部分阴影的并集，韦恩图表示为： 选项B中的阴影部分能表示集合． 故选：B． 19．（24-25高二下·江西赣州·期末）已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先判断集合与集合的基本关系，再逐项验证即可. 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 20．（2023·湖北黄冈·模拟预测）已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合间的基本关系及集合的基本运算，借助Venn图即可求解. 【详解】由得当时，，故选项A不正确； ，当时，，故选项B不正确； 当时，，故选项C不正确； 因为，所以，故选项D正确. 故选：D. 考点05 由交集并集补集求参数 21．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 22．（24-25高一上·上海·月考）已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需要分为空集和非空集两种情况，根据子集的定义来确定实数的取值范围； （2）先求解集合，再根据来确定实数的取值范围. 【详解】（1） 若 若 综上： （2） 若则 若则 若，不符 综上： 23．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）先计算，再计算； （2）由得，再分类讨论. 【详解】（1）当时，，则或， 则或. （2）若，则, 当时，，即； 当时，，得， 则实数m的取值范围为. 24．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到，再利用集合的并集运算求解； （2）由，得到，再分和求解. 【详解】（1）不等式解得，集合， 当时，集合， 所以； （2）由，得， 当时，，即，符合题意； 当时， ，解得， 综上：实数m的取值范围. 25．（24-25高一上·四川广元·期末）已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 【答案】(1) ， 或； (2) 【分析】（1）利用交集和并集概念求出答案； （2）先得到，，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，，又或， 故 或 ， 或 或； （2），故， ， 当时，，解得，与矛盾，舍去， 当时，，解得， 综上，实数a的取值范围为. 考点06 充分条件与必要条件的判断 26．（25-26高一上·云南楚雄·月考）已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据已知条件，得出方程只有一个根或两个相等的实根，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】若，则方程变为，即，解得， 方程有两个相等的实数根1，即仅有一个真子集， “”能推出“仅有1个真子集”，故充分性成立； 若“仅有1个真子集”，则“中仅有1个元素”， 当时，，解得，则仅有一个真子集， 当时，，解得，即也仅有一个真子集， “仅有1个真子集”不能推出“”，故必要性不成立． 故选：A． 27．（25-26高一上·湖南永州·月考）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于两个集合来说，根据充分条件是找子集，必要条件是找集合，即可得到答案. 【详解】若集合是集合的必要条件，则， 所以在选项中使得成立的一个必要条件只有， 故选：A 28．（25-26高一上·山西大同·月考）已知：，那么的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】要求命题的一个充分不必要条件， 只需要的真子集即可， 分析选项，只有C符合题意. 故选：C 29．（25-26高一上·云南玉溪·月考）已知集合，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据，得到，解不等式，再根据集合的关系判断逻辑条件即可． 【详解】，若， 则， 解得， 故“”是“” 的必要不充分条件． 故选：B． 30．（24-25高二下·天津·期末）“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】首先求解绝对值不等式与分式不等式，然后再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得：；由，解得：. 由于“”推不出“” 但“”可以推出“” 因此可得：“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B 考点07 由充分条件与必要条件求参数 31．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； 或 (2) 【分析】（1）根据集合的交集，补集运算即可求解； （2）将充分不必要条件转化为真子集关系，即可列不等式组求解. 【详解】（1）当时，， 或， 所以， 或， （2）由“”是“”的充分不必要条件， 可得：是的真子集， 因为，即不是空集， 所以，且等号不同时成立， 解得， 所以实数的取值范围. 32．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】(1). (2)不存在 【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【详解】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 33．（25-26高一上·云南普洱·月考）已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由集合的并集运算，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为是的真子集，然后分A是否为空集讨论，列出不等式求解，即可得到结果． 【详解】（1）当时，，又， 所以． （2）因“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围是． 34．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知全集，集合，，. (1)求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）根据集合的运算法则计算； （2）转化为集合的包含关系求解． 【详解】（1）， 或， 所以或． （2）若“”是“”的必要不充分条件，则且， 所以且两个等号不能同时取得，解得． 所以的取值范围是． 35．（24-25高一上·陕西西安·期中）设p：；q：.若p是q的充分不必要条件，a取值范围是 【答案】 【分析】由充分不必要条件列出关于的不等式组即可得解. 【详解】，若p是q的充分不必要条件， 则当且仅当，解得. 故答案为：. 考点08 全称量词与存在量词的否定 36．（24-25高一上·广东佛山·月考）命题，则是 ． 【答案】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称命题，即可得. 【详解】由全称量词命题的否定形式知： 命题的否定为. 故答案为： 37．（24-25高二下·安徽六安·期末）若命题 ，，则该命题的否定是 ． 【答案】 【分析】根据存在量词命题的否定得解. 【详解】由存在量词的否定可知， ， 故答案为： 38．（25-26高一上·辽宁·期末）已知命题“，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据存在命题的否定是全称命题进行判断即可. 【详解】因为命题为“， 所以命题为“” 故选：C. 39．（24-25高二下·重庆·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解. 【详解】命题“，”的否定是，； 故选：D 40．（20-21高一上·福建福州·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解. 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：D 考点09 由全称量词与特称量词的真假求参数 41．（22-23高一上·安徽淮北·期末）若“”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把命题进行否定，根据题意命题的否定为真命题，再分两种情况讨论即可. 【详解】是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立； 当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：. 42．（25-26高一上·云南昭通·月考）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据存在量词命题为假命题，可得：方程无实数根，进而利用判别式进行求解即可. 【详解】命题“”为假命题，则方程无实数根， 当时，，符合题意， 当时，即，解得：； 综上：. 故选：A． 43．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用存在量词命题为真求出的范围，进而求出该命题为假时的范围，再利用充分不必要条件求得答案. 【详解】命题“，”为真命题时，或， 解得或，因此，由命题“，”为假命题， 得，则给定选项中是的真子集的是. 故选：A 44．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知命题 ：“，”，则命题是假命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】命题的否定“，”为真命题，即在上恒成立，则，然后求解即可. 【详解】因为命题是假命题，所以其否定“，”为真命题， 即在上恒成立，令，则， ，因为，所以令，得 ，令，得 ，所以在单调递减，在上单调递增， 又，所以，所以. 故选：A 45．（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“，使得”是真命题，即可求解最值得解. 【详解】由于“，使得”是假命题，则“，使得”是真命题， 故，则， 故选：A 考点10 集合的新定义题型 46．【多选题】（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知.若对于非空数集，存在个两两交集为空的集合，，使得，且任意两个集合的所有元素之和均相等，则称集合为“可分集”.设，则（   ） A．是“4可分集” B．若是“4可分集”，则为偶数 C．对于任意的偶数不为“可分集” D．对于任意的奇数均为“可分集” 【答案】BCD 【分析】利用定义易判断A，利用定义计算可判断BC；设奇数，利用构造法证明即可判断D. 【详解】对于A，因为均只有一个元素，即元素之和为1，2，3，4， 互不相等，故A错误； 对于B，若为奇数，那么2k能被4整除，因为能被4整除， 所以2k必须能被4整除，因此为偶数，故B正确； 对于C，若为偶数，那么能被整除，于是必然是整数， 这与为偶数矛盾，所以不为“可分集”，故C正确； 对于D，不妨设奇数，下面给出一种构造： 由于，则前组为 ， ， 后组为 ，因此对于任意的奇数均为“可分集”，故D正确. 故选：BCD. 47．（25-26高一上·山西大同·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义．已知，且，若的所有可能取值构成集合，则 ． 【答案】1 【分析】解方程得到，由定义知道的值，再分类讨论得出结果. 【详解】解得或，即， ∵，∴或， 当时，方程，只有实数根， 所以且，得； 当时，方程， 时，方程有个不等的实数根，分别为和， 0不是方程的实数根， 若是方程的实数根，则， 若，则方程整理为， 方程的实数根，分别为，，此时，不满足条件， 若，则方程整理为， 方程的实数根，分别为，，此时，不满足条件， 若不是方程的实数根， 所以方程有个相等的实数根，即，得， 由上可知不符合题意， 综上：符合题意，. 故答案为：1 48．（25-26高一上·山西大同·月考）已知集合为非空数集，定义集合，，记为集合中元素的个数. (1)若集合，求、和； (2)若集合，，且，求和的值； (3)若集合，且，求的最大值. 【答案】(1)； (2)， (3)1350 【分析】（1）直接根据新定义一一计算即可； （2）由题意利用集合与中的元素间的关系即可； （3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求集合元素个数的范围，即可求出最大值． 【详解】（1）解方程可得，由定义可知； （2）因为，，， 所以中最大的元素为，则， 即， 中余下的元素对应， 又，所以， 则 （3）设满足题意，其中， ∵， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 而中最小的元素为0，最大的元素为， ∴， ∴， ∴， 实际当时满足题意，证明如下： 设， 则，， 由题意得， 即，故的最小值为675． 即时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为个． 49．（25-26高一上·湖南长沙·月考）定 义 运算 ：对 任 意 ，有   .  设集 合，且， 且集合B是集合U的子集. (1)求集合U; (2)求实数m的取值范围. 【答案】(1). (2) 【分析】(1)由题中的新定义先求得，再求出集合U. (2)由题意判断集合B是集合U的子集，对集合B中的元素进行分类讨论可得出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为对 任 意，有 . 且， 当时， ，所以； 当时， ，所以； 当时， ，所以； 所以集合. （2）由（1）知集合. 对于方程，. 当即时，，满足题意； 当即时，.集合B不是集合U中的子集，不合题意； 当即时，方程有两个不相等的实根，记为，且则.由题知. 当或或时，均不符合.所以当时，无m的值符合题意. 综上所述：实数的取值范围是：. 50．（24-25高一上·江西赣州·期中）对非空数集及实数，定义，，已知． (1)当时，若集合为单元素集，求； (2)当时，若集合，求的所有取值构成的集合； (3)若中有3个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）代入，根据列出方程求解出的值，则结果可知； （2）代入，根据列出方程组，化简方程组结合韦达定理求解出结果； （3）根据进行分类讨论，结合方程组解的情况进行分类讨论，由此求解出结果. 【详解】（1）时，设，由，得， 所以，即， 得或1，故或. （2）时，，由，得， 得或，即或， 当时，是方程的两根，故， 当时，两式相减得， 由集合中元素的互异性得，所以， 故，即，同理， 故是方程的两根，所以， 故ab的所有取值构成的集合为. （3）设，由，得， ①若，故是方程的三个不等的实数根， 而此方程最多有两个实数根，不可能有三个实数根，故不成立； ②若，当时，，令，得， 对，，两式相减得，因为，所以， 代入，得，同理， 故为方程的两个不相等的实根，令，得， 当时，与均有两个不相等的实根，且这两个方程的根不完全相同，故符合题意； ③若，则， 由得， 则，， ， 得，因为， 所以，令, 则由上式得, ， ， 所以，即此种情况下， 综上，实数k的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题属于集合中的新定义问题，解答问题的关键在于对定义的理解；前两问通过将新定义的集合中元素关系转化为方程问题进行直接求解；第三问需要对可能成立的方程组进行是否有解的分析与判断，注意元素的不同对应关系. 51．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B． 设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记． (1)若，，写出Y，并求； (2)若，，求所有的总和； (3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解； （2）对1，，5是否属于B进行分类讨论，求出对应所有Y中的总个数，进而求解； （3）由题意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以． （2）对1，，5是否属于B进行讨论： ①含1的B的个数为，此时在映射f下，； 不含1的B的个数为，此时在映射f下，； 所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10； ②含5的B的个数为，此时在映射f下，； 不含5的B的个数为，此时在映射f下，； 所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10； ②含的B的个数为，此时在映射f下，，； 不含的B的个数为，此时在映射f下，，； 所以所有y中的总个数和的总个数均为20． 综上，所有的总和为． （3）对于给定的，考虑在映射f下的变化． 由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共个， 所以在映射f下变为； 不含的子集B共个，在映射f下变为； 所以在映射f下得到的所有的和为． 同理，在映射f下得到的所有（）的和． 所以所有的总和为． 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点. 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 考点01 集合的概念与表示 1 考点02 集合的基本关系 5 考点03 由集合的基本关系求参数 7 考点04 交集并集补集的运算 9 考点05 由交集并集补集求参数 12 考点06 充分条件与必要条件的判断 17 考点07 由充分条件与必要条件求参数 20 考点08 全称量词与存在量词的否定 21 考点09 由全称量词与特称量词的真假求参数 25 考点10 集合的新定义题型 27 考点01 集合的概念与表示 1．（25-26高二上·湖南·期中）集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．18 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知集合，则0与集合A的关系为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东江门·月考）已知集合，，则（   ） A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3 4．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖南长沙·期末）若集合中只有一个元素，则 . 考点02 集合的基本关系 6．（25-26高一上·广东·期末）设集合，则的子集个数有（    ） A．16 B．64 C．128 D．212 7．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知集合，，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．4 8．（24-25高一上·湖北荆州·月考）已知集合，，，则集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设集合，若，则 ． 10．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 考点03 由集合的基本关系求参数 11．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 12．（25-26高一上·云南昆明·月考）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 13．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若⫋，求实数的取值范围． 14．（24-25高一上·山西大同·月考）已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 15．（22-23高二下·江西新余·期末）已知全集为实数集，集合，.    (1)若，求图中阴影部分的集合； (2)若，求实数的取值范围. 考点04 交集并集补集的运算 16．（25-26高一上·广东·期末）已知集合或，，则（    ） A．, B．,1, C．,0, D．,0,1, 17．（25-26高一上·山东·期末）集合，则（ ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·云南·月考）A，B，C是U的三个子集，下图中的阴影部分能表示集合的是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二下·江西赣州·期末）已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 20．（2023·湖北黄冈·模拟预测）已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）. A． B． C． D． 考点05 由交集并集补集求参数 21．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 22．（24-25高一上·上海·月考）已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 23．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 24．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 25．（24-25高一上·四川广元·期末）已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 考点06 充分条件与必要条件的判断 26．（25-26高一上·云南楚雄·月考）已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．（25-26高一上·湖南永州·月考）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·山西大同·月考）已知：，那么的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26高一上·云南玉溪·月考）已知集合，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 30．（24-25高二下·天津·期末）“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 考点07 由充分条件与必要条件求参数 31．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 32．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 33．（25-26高一上·云南普洱·月考）已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 34．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知全集，集合，，. (1)求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 35．（24-25高一上·陕西西安·期中）设p：；q：.若p是q的充分不必要条件，a取值范围是 考点08 全称量词与存在量词的否定 36．（24-25高一上·广东佛山·月考）命题，则是 ． 37．（24-25高二下·安徽六安·期末）若命题 ，，则该命题的否定是 ． 38．（25-26高一上·辽宁·期末）已知命题“，则为（ ） A． B． C． D． 39．（24-25高二下·重庆·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 40．（20-21高一上·福建福州·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 考点09 由全称量词与特称量词的真假求参数 41．（22-23高一上·安徽淮北·期末）若“”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·云南昭通·月考）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 43．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知命题 ：“，”，则命题是假命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 45．（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点10 集合的新定义题型 46．【多选题】（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知.若对于非空数集，存在个两两交集为空的集合，，使得，且任意两个集合的所有元素之和均相等，则称集合为“可分集”.设，则（   ） A．是“4可分集” B．若是“4可分集”，则为偶数 C．对于任意的偶数不为“可分集” D．对于任意的奇数均为“可分集” 47．（25-26高一上·山西大同·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义．已知，且，若的所有可能取值构成集合，则 ． 48．（25-26高一上·山西大同·月考）已知集合为非空数集，定义集合，，记为集合中元素的个数. (1)若集合，求、和； (2)若集合，，且，求和的值； (3)若集合，且，求的最大值. 49．（25-26高一上·湖南长沙·月考）定 义 运算 ：对 任 意 ，有   .  设集 合，且， 且集合B是集合U的子集. (1)求集合U; (2)求实数m的取值范围. 50．（24-25高一上·江西赣州·期中）对非空数集及实数，定义，，已知． (1)当时，若集合为单元素集，求； (2)当时，若集合，求的所有取值构成的集合； (3)若中有3个元素，求实数的取值范围． 51．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B． 设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记． (1)若，，写出Y，并求； (2)若，，求所有的总和； (3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）． 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $