第四章 数列（知识清单）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学数列单元知识清单系统梳理了数列的核心内容，涵盖数列基本概念、等差数列与等比数列的定义公式性质及数列与函数的关系，搭建了从概念理解到公式应用再到性质拓展的递进式学习支架。 清单以“概念-公式-性质-易错点”分级呈现知识体系，突出重点如等差等比数列性质对比，标注易错点如前n项和求通项忽略n=1的情况，例题结合推理意识培养。设计分层练习题，辅助学生自主掌握抽象能力，教师可据此优化教学，提升课堂实效。

第四章 数列 1.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an 2.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n). 3.已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 4.等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*). (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 5.等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 6.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. 7.等比数列有关的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 8.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1. (2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m. (3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝. 9.等比数列性质 (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*). (3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外) 易错点1 利用前n项和求通项公式时，忽略n=1的情况 错误：忽略n=1的特殊情况 注意：求通项公式的时候需要分类讨论 例题1 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 例题2 已知数列的前项和，求的通项公式 . 例题3 已知是数列的前项和，且，则数列的通项公式为 . 易错点2 等比数列中忽略公比等于1的情况 错误：等比数列中忽略公比等于1的情况 注意：等比数列前n项和的问题需要分类讨论 例题4 等比数列的前项和为，若，则的公比 ． 例题5 已知等比数列的前项和为，且满足，则 ． 易错点3 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数 错误：注意正负抵消，对称剩余的应用 注意：注意哪些项需要正负抵消，哪些需要对称剩余后求和 例题6 在数列中，令为其前项和，若，. (1)证明：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)求数列的前项和. 1、数列中，，其前项和满足，则的通项公式为 . 2、已知数列的前项和. 则数列的通项公式为 . 3、已知数列的前项和为，，，则 . 4、已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为 . 5、等比数列的前项和为，若，则公比 ． 6、已知数列 为公比为 的无穷项等比数列， 为其前 项和，满足 ，则 的取值范围是 . 7、记为等比数列的前项和.若，则的公比为 . 8、已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：. 9、数列满足，则 . 10、已知正项数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 11、已知函数的导函数为，函数与的图象关于直线对称. (1)若数列的前项和，求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 1.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an 2.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n). 3.通项公式与前n项和的关系 已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 4.等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*). (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 5.等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 6.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. 7.等比数列有关的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 8.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1. (2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m. (3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝. 9.等比数列性质 (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*). (3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外) 易错点1 利用前n项和求通项公式时，忽略n=1的情况 错误：忽略n=1的特殊情况 注意：求通项公式的时候需要分类讨论 例题1 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】当时， ；当时， ，故数列的通项公式为 例题2 已知数列的前项和，求的通项公式 . 【答案】 【分析】求出首项，当时，根据求得，验证首项后，即可确定答案. 【详解】当时，， 当时，， 而不适合上式， 故的通项公式为. 故答案为：. 例题3 已知是数列的前项和，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】先根据对数的运算性质可得，通过求通项公式； 【详解】解：， ， 当时，，解得 当时，， 当时， 故， 故答案为： 易错点2 等比数列中忽略公比等于1的情况 错误：等比数列中忽略公比等于1的情况 注意：等比数列前n项和的问题需要分类讨论 例题4 等比数列的前项和为，若，则的公比 ． 【答案】或 【分析】根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】当时，显然成立， 当时， ，（舍去）， 故答案为：或 例题5 已知等比数列的前项和为，且满足，则 ． 【答案】或 【分析】根据题意，结合等比数列的求和公式，得出方程，即可求解. 【详解】当时，由，所以， 当时，由，即， 即，解得或. 故答案为：或． 易错点3 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数 错误：注意正负抵消，对称剩余的应用 注意：注意哪些项需要正负抵消，哪些需要对称剩余后求和 例题6 在数列中，令为其前项和，若，. (1)证明：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据题设，化简得到，，可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，进而得到，再根据与的关系求出，再根据等差数列的定义求证即可； （2）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由， 两边同时除以得，，， 因为，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 则，即， 当时，， 显然满足上式，则， 而， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列. （2）由， 则数列的前项和为 . 1、数列中，，其前项和满足，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】由，得出数列是首项为1，公比为3的等比数列，求得，再利用和的关系式，即可求解. 【详解】由题意，数列中，前项和满足， 因为，可得，则， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以， 当时，， 当时，，不适合上式， 故， 故答案为：. 2、已知数列的前项和. 则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据公式求解即可. 【详解】解：当时， 当时， 因为也适合此等式，所以. 故答案为： 3、已知数列的前项和为，，，则 . 【答案】 【解析】由可得，结合等比数列的通项公式可求. 【详解】因为，故，故即. 又，故当时，， 故. 故答案为：. 4、已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为 . 【答案】an＝ 【分析】根据an与Sn的关系：即可求得结果. 【详解】由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1， 当n＝1时，a1＝S1＝3； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n， 显然a1不符合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝. 所以本题答案为an＝. 【点睛】本题考查根据an与Sn的关系求数列通项的方法，注意检验a1是否符合表达式，属基础题. 5、等比数列的前项和为，若，则公比 ． 【答案】或1 【分析】将题设化为，解此方程即可. 【详解】因为，所以， 即，即，又因为， 所以，，解得或. 故答案为：或1 6、已知数列 为公比为 的无穷项等比数列， 为其前 项和，满足 ，则 的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据等比数列的前n项和公式及已知得到 的取值范围. 【详解】数列 为公比为 的无穷项等比数列， 又，易知， 若，， 故， 当，则，此时，显然无解； 当，则，此时，可得； 当，则，此时，可得； 当，则，此时，显然无解； 若，则，显然不成立； 综上，. 故答案为：. 7、记为等比数列的前项和.若，则的公比为 . 【答案】2 【分析】根据等比数列的前项和公式求解． 【详解】若， 则由得，则，不合题意. 所以. 当时，因为，所以， 即，即，即， 解得. 故答案为：2. 8、已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用与的关系求解，即当时，，将式子中的换成，计算出的值；当时，，将式子中的换成，计算得到，从而得到是等差数列，利用等差数列的通项公式求出，继而得到，将代入求出； （2）求出，设，求出，利用裂项相消法求和，放缩法得到证明. 【详解】（1）， 当时，，，，，， 当时，， ，， 是等差数列，公差，首项为， ， ，，， 验证时也成立，； （2），，， 设，，，， . 9、数列满足，则 . 【答案】 【分析】利用裂项相消法求解即可. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 10、已知正项数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用和，结合等差数列定义即可求解； （2）先由（1）得，利用裂项相消求和法即可计算得证. 【详解】（1）因为，， 所以当时，，解得， 当时，， 则，又，则， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故； （2）证明：由（1）得，则， ， 故成立. 11、已知函数的导函数为，函数与的图象关于直线对称. (1)若数列的前项和，求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据数列的前项和与的关系，利用相减法求解的通项公式即可； （2）根据函数与的图象关于直线对称，可得，根据导数的运算即可得，利用裂项相消法求和，结合对数运算即可证明结论. 【详解】（1）由题意知， 当时，， 所以， 当时，不符合上式，    故 （2），即点在的图象上， 因为与的图象关于直线对称，所以点在的图象上， 即，可得 又，所以， 所以，     于是 ，     易知，所以. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $