专题07 线段的动态问题（4大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

该初中数学复习讲义聚焦线段动态问题，通过梳理4大基本题型构建知识体系，每个题型以核心思路引领、解题步骤分解的框架呈现，清晰展现中点与和差倍分、定值等模型的内在逻辑，突出数形结合、分类讨论等思想方法的重难点分布。 讲义亮点在于分层设计的典例与练习，如存在性模型通过分阶段讨论动点位置培养推理意识，新定义模型引导将“强关联点”等概念转化为数学等式发展模型意识。基础题夯实步骤规范，综合题提升探究能力，助力教师实施精准分层教学，支持学生自主构建解题思维。

2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题07线段的动态问题（4大基本题型) 专题概览 题型1：线段中点与和差倍分关系中的动态模型 题型2：线段上的定值模型 题型3：线段上动点的存在性（探究性）模型 题型4：线段中的阅读理解型（新定义）模型 题型归纳 【题型1】线段中点与和差倍分关系中的动态模型 核心思路：利用中点定义（将线段分为相等两部分）、线段和差关系，结合动点运动的速度与时间， 建立方程求解。 解题步骤： 1.设变量：设动点运动时间为t(或其他未知量)，表示出动点运动的距离（如速度×时间）； 2. 表线段：用含t的式子表示相关线段长度（如中点分线段为两半，或线段和差）； 3.列方程：根据“中点”“和差倍分”等条件，建立一元一次方程； 4. 解方程：求出t的值，并验证是否符合运动范围（如未超过终点）。 【题型2】线段上的定值模型 核心思路：通过代数运算证明，无论动点如何运动，某线段长度或表达式恒为定值（与时间t无关）。 解题步骤： 1.设变量：设动点运动时间为t,表示出相关线段长度： 2.表表达式：用含t的式子表示待验证的线段： 3.化简验证：化简表达式，若t的系数为0，则该线段为定值。 【题型3】线段上动点的存在性（探究性）模型 核心思路：针对“是否存在某时刻满足特定条件”的问题，分情况讨论（如点在段上、延长线上）， 通过方程求解验证。 解题步骤： 1.列条件：将“存在性条件”转化为数学等式（如中点、相等、和差关系）； 2.分情况：根据动点运动的不同阶段（如未到终点、过终点、返回），确定线段表达式： 3.解方程：对每种情况建立方程，求解t 4.验范围：检查t是否在对应情况的运动范围内（如0≤t≤，（为到终点的时间）。 【题型4】线段中的阅读理解型（新定义)模型 核心思路：先理解新定义的概念（如“巧点”“折中点”)，再将其转化为数学条件，结合线段中 点、和差关系求解。 解题步骤： 1.解定义：仔细阅读新定义，明确其数学含义（如“巧点”指线段上一点，使某线段为其2倍）； 2.转条件：将“某点是新定义点”转化为数学等式（如AB=2AC); 3. 列方程：根据等式建立方程，求解未知量（如时间）。 【线段动态问题的核心思想】 1.数形结合：用数轴表示线段和动点，将几何问题转化为代数问题。 2. 分类讨论：根据动点运动的不同阶段（如未到终点、过终点、返回），分情况讨论。 3. 方程思想：将几何条件转化为代数方程，求解未知量。 4. 定值思想：通过代数化简证明线段表达式与时间无关，即t的系数为0。 配套练习 【题型1】线段中点与和差倍分关系中的动态模型 【典例1】如图，点A、B、C、D为直线1上从左到右的四个点，且AB:BC:CD=3:1:2,动点P、Q 在直线1上，点P从点A出发向右运动，同时点Q从点D出发向左运动，点P的速度是点Q的速度的 2倍.在运动过程中，若要知道PQ的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是() A B C D A.AP B.BP C.CP D.DP 【练习1】已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB=12cm,C、D两点分别从M、B同时出发 以lcm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上). AC M D B (I)若AM=4cm,当点C、D运动了2s,此时AC=_,DM=_;(直接填空) (2)当点C、D运动了2s,求AC+MD的值； (3)若点C、D运动时，总有MD=2AC,则AM=_(填空)· 【练习2】如图，己知数轴上A,B两点对应的数分别为-13和-5，B,C两点对应的数互为相反数. A BC→ A B C -13 -50 -13-50 (备用图) (1)求AC的长； (2)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动.同时点Q从点C出发，以每秒2个单 位长度的速度向点A运动，当点Q到达点A后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点C停 止，设运动时间为t(秒)· ①问t为何值时，B为PQ的中点？ ②当PQ-4C时，求的值。 【练习3】已知有理数a,b满足：a-2b+(2-b)2=0,如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数 是a,线段BC在直线OA上运动（点B在点C的左侧），BC=b. 下列结论： ①a=4,b=2; ②当点B与点O重合时，AC=3; ③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则P0+PA=2PB; ④在线段BC运动过程中，若M为线段OB的中点，N为线段AC的中点，则线段MN的长度不变.其中 正确的是() 01 A.①③ B.①④ C.①②③④ D.①③④ 【题型2】线段上的定值模型 【典例1】如图，己知线段AB=24cm,点C是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），点D和点E 分别是线段AC、BC的中点. A B (I)线段DB-CE是图中哪条线段的长度； (2)若AC=18cm,求线段DE的长度； (3)若点C为线段AB的中点，则线段AD与线段AB的数量关系是； (4)试说明，无论点C如何移动，线段DE的长度为定值，并求出这个定值 【练习1】如图，已知数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,满足a-16+b+12=0.动点P从 点A出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒， B 0 A (1)数轴上点A表示的数是 ,点B表示的数是 (②若点P从A点出发向左运动，点Q为AP的中点，在点P到达点B之前，求证：BA+BP 为定值 BO 【练习2】【知识准备】若数轴上点A对应的数为x,点B对应的数为y,M为AB的中点，则我们有 中点公式：点M对应的数为+y, 2 (1)在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为c,点D对应的数为d,且有c-3+d+(d+2)2=0, 则CD的中点N所对应的数为。 【问题探究】(2)在(1)的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时 点？从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为ts,t为何值时，PQ的中点所对 应的数为10？ 【拓展延伸】(3)若数轴上点A对应的数为x,点B对应的数为y,M为AB靠近点A的三等分点， 则我们有三等分点公式：点M对应的数为2'：若数挂上点A的对应数为x点B的对应数为，M 为AB最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式；点M对应的数为3x+少 4 ①填空：若数轴上点A的对应数为x;点B的对应数为y,M为AB最靠近点B的五等分点.则点M对 应的数为 ②在(2)的条件下，若E是PQ最靠近Q的五等分点，F为PC的中点，则是否存在t,使得 20F为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的值，若不存在，说 【练习3】阅读材料并解答问题：若数轴上点M和点N表示的数分别为m、n,则我们可以用绝对值表 示点M和点N之间的距离，记为d(M,N),即d(M,N)=m-n. 若数轴上一点P满足d(M,P)=d(N,P),则称点P为MN的中点. 己知数轴上点A、B、C、D表示的数分别为-2,4，x,y.解答下列问题： (1)d(A,B)= (2)若Q为AB的中点，求点Q表示的数； (3)当点C在AB之间运动时，若点E表示AC的中点，点F表示CB的中点.试探究d(E,F)的值是否为 定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由 (4)若x,y为整数，且(（x+2+x-×(y-4+y-6列=48.直接写出d(C,D)的最大值. 【题型3】线段上动点的存在性（探究性)模型 【典例1】如图，点C是线段AB延长线上一点，点M为线段AC的中点，在线段BC上存在一点N(N 的右侧且N不与B、C重合)，使得4MV-B=21B则的 A MB NC 【练习1】如图，点A,B,C,D在同一条直线上，且AB:BC:CD=2:3:5,线段BC=6,若在直线上 存在一点M使得AM=2,求线段DM的长. A B C D 【练习2】已知A,B两点在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点. A B 6-5-4-3-2-10123456 (1)当P,B两点之间的距离为2时，求点P表示的数； (2)当点P将A,B两点之间的距离分成长为1：2的两部分，求点P表示的数； (3)是否存在点P,使点P到A,B两点之间的距离之和最小？若存在，请写出所有符合条件的整数点P 的坐标，并求出点P到A,B两点之间的距离之和的最小值；若不存在，请说明理由. 【练习3】如图，已知数轴上原点为0，点A表示的数为a,点B表示的数为b,且a、b满足 (a-10)+b+4=0.动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间 为(t>0)秒. B Q (1)写出数轴上点A表示的数是 ,点B表示的数是 ,点P表示的数是 (用含t的式子表示)： (②)设点M是AP的中点，点N是PB的中点.点P在直线AB上运动的过程中，线段MN的长度是否会发 生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段MN的长度. (3)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点O出发，以每秒3个 单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P,Q,R同时出发；若点P,R间的距离记为P,点P,Q间的 距离记为Q,是否存在一个数n,使得nPR-PQ的值与t无关？若存在，请求出的值；若不存在，请 说明理由. 【题型4】线段中的阅读理解型（新定义）模型 【典例1】对于数轴上的点P和线段MN,给出如下定义：若点P与线段MN上一点的距离等于线段MN 的长，则称点P是线段MN的强关联点”. (1)点M,N表示的数分别是-1,2. ①在-3,0,4中，线段MN的“强关联点”所表示的数有 ②线段MN的“强关联点”所表示的数最大为，最小为 (2)线段MN的长为a. ①线段MN的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为： ②线段EF的长为b,若存在点P,使得点P既是线段MW的“强关联点”，也是线段EF的“强关联点”.将 线段MN的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段EF的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为 d,则d的最大值为 (用含a,b的式子表示)· 【练习1】已知M,N两点在数轴上表示的数分别为m,n,用符号“MN”表示M,N两点间的距离. 如图1，MN=4-(-2=6 如图2，在数轴上，把原点记作点0，表示数2的点记作点A.对于数轴上任意一点P(不与点0，点 A重合)，将2P0与PA的长度之比称为点P的两倍特征值，记仟P1,即IP】=2P .例如： PA 2P0=PA时，点P的两倍特征值P】=1. 4方当01含义方之81方；一含方44导一 图1 图2 图3 (1)①若点P表示的数为1，则P】的值为 ②若点P表示的数的倒数为 ,则【P】的值为 (②)如图3，点R,B,B为数轴上从左往右依次排列的三个点，点R的绝对值为；，点B与点P表示的 数互为相反数，点P表示的数是3. ①求【】的值： ②请通过计算比较【P】,【P】,【P】的大小.（用“>”连接） 3)若点P满足P0=5OA,求IPI的值。 h 【练习2】数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与 点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础， A -10 图1 ① ② M M 图2 0 M 备用图 (1)【知识呈现】 数轴上的点A,点C所表示的数如图1所示：若点B与点A表示的数互为相反数，则点B表示的数是， 点A与点C之间的距离AC=_,点B与点C的中点D表示的数是_，且在图1的数轴上标出点D. (2)【定义】 一个点M(不是原点)在数轴上运动，第一次跳到M,的位置（点M,与点M表示的数互为相反数）， 点M称为点M的一次跳跃点，紧接着从M到M2的位置（点M2与点M位于点P的两侧，且 PM,=PM,≠0)则点M2称为点M关于点P的二次跳跃点，如图2所示. 【初步理解】 ①若点M表示的数是多P表示的数是4，点M的一次跳跃点M,点M,表示的数是，M关于点P的 二次跳跃点M2表示的数是，线段MM,的长度为， 【深入探究】 ②若点M为数轴正半轴的一个点，点P是数轴负半轴上一个点，点M2为点M关于点P的二次跳跃点.若 点M,点P表示的数分别是m,-5,当m变化时，探究MM,的值是否发生变化？若不变，请求出其值； 若变化，请说明理由， 【归纳总结】 ③若在数轴上点M,P分别表示有理数m,p(其中m≠0，p≠0)，点M2为点M关于点P的二次跳 跃点，直接写出线段MM2的长度 【练习3】对于数轴上的点A,B,C,D,点M,N分别是线段AB,CD的中点，若 MN=AB+CD,则将e的值称为线段AB,CD的相对离散度，特别地，当点M,N重合时，规定 e=0.设数轴上的点O表示的数是0，点T表示的数是2. A M B (1)若数轴上点A,B,C,D表示的数分别是-4，-1,3,6，则线段AB的中点表示的数是 线段AB,CD的相对离散度是 数轴上点0右侧的点S表示的数是5，若线段OS,07的相对离散度e=,求) (3)数轴上点P,Q都在O点的右侧（其中P,Q不重合），点R是线段PQ的中点，设线段OP,OT的 相对离散度为e1,线段OQ,OT的相对离散度为e2,当e=e2时，直接写出R所表示的数r的取值范围. (参考材料：1.若ab=4,则a+b>4.其中a>0,b>0且a≠b;2.如图：点M把线段AB分成相 等的两条线段AM与BM,点M叫作线段AB的中点) 2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题07 线段的动态问题（4大基本题型） 题型1：线段中点与和差倍分关系中的动态模型 题型2：线段上的定值模型 题型3：线段上动点的存在性（探究性）模型 题型4：线段中的阅读理解型（新定义）模型 【题型1】线段中点与和差倍分关系中的动态模型 核心思路：利用中点定义（将线段分为相等两部分）、线段和差关系，结合动点运动的速度与时间，建立方程求解。 解题步骤： 1. 设变量：设动点运动时间为t（或其他未知量），表示出动点运动的距离（如速度×时间）； 2. 表线段：用含t的式子表示相关线段长度（如中点分线段为两半，或线段和差）； 3. 列方程：根据“中点”“和差倍分”等条件，建立一元一次方程； 4. 解方程：求出t的值，并验证是否符合运动范围（如未超过终点）。 【题型2】线段上的定值模型 核心思路：通过代数运算证明，无论动点如何运动，某线段长度或表达式恒为定值（与时间t无关）。 解题步骤： 1. 设变量：设动点运动时间为t，表示出相关线段长度； 2. 表表达式：用含t的式子表示待验证的线段； 3. 化简验证：化简表达式，若t的系数为0，则该线段为定值。 【题型3】线段上动点的存在性（探究性）模型 核心思路：针对“是否存在某时刻满足特定条件”的问题，分情况讨论（如点在段上、延长线上），通过方程求解验证。 解题步骤： 1. 列条件：将“存在性条件”转化为数学等式（如中点、相等、和差关系）； 2. 分情况：根据动点运动的不同阶段（如未到终点、过终点、返回），确定线段表达式； 3. 解方程：对每种情况建立方程，求解t； 4. 验范围：检查t是否在对应情况的运动范围内（如0≤t≤t1，t1为到终点的时间）。 【题型4】线段中的阅读理解型（新定义）模型 核心思路：先理解新定义的概念（如“巧点”“折中点”），再将其转化为数学条件，结合线段中点、和差关系求解。 解题步骤： 1. 解定义：仔细阅读新定义，明确其数学含义（如“巧点”指线段上一点，使某线段为其2倍）； 2. 转条件：将“某点是新定义点”转化为数学等式（如AB＝2AC）； 3. 列方程：根据等式建立方程，求解未知量（如时间t）。 【线段动态问题的核心思想】 1. 数形结合：用数轴表示线段和动点，将几何问题转化为代数问题。 2. 分类讨论：根据动点运动的不同阶段（如未到终点、过终点、返回），分情况讨论。 3. 方程思想：将几何条件转化为代数方程，求解未知量。 4. 定值思想：通过代数化简证明线段表达式与时间无关，即t的系数为0。 【题型1】线段中点与和差倍分关系中的动态模型 【典例1】如图，点A、B、C、D为直线l上从左到右的四个点，且，动点P、Q在直线l上，点P从点A出发向右运动，同时点Q从点D出发向左运动，点P的速度是点Q的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的和差关系，数轴上的动点问题，根据题意，设，，表示出，，即可求出． 【详解】解：∵ ∴设 ∵点P的速度是点Q的速度的2倍 ∴设 ∴ ∴若要知道的长，则只要知道的长， 故选：C． 【练习1】已知：如图1，点是线段上一定点，，、两点分别从、同时出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上）． (1)若，当点、运动了，此时_，_；（直接填空） (2)当点、运动了，求的值； (3)若点、运动时，总有，则_（填空）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题的关键． （1）根据运动速度和时间分别求得、的长，根据线段的和差计算即可； （2）由题意得、，根据即可得出； （3）根据、的运动速度知，再由已知条件求得，可得，即可得出． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，； 故答案为：，； （2）当点、运动了时，，， ∵，，， ∴； （3）根据、的运动速度可知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【练习2】如图，已知数轴上两点对应的数分别为和，两点对应的数互为相反数．    (1)求的长； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动．同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为（秒）． ①问为何值时，为的中点？ ②当时，求的值． 【答案】(1)18 (2)①2或②4或8或12 【分析】此题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据点的运动表示出点的位置以及列出方程是解题的关键． （1）根据相反数的定义求出点C对应的数，再根据两点间的距离求出和； （2）①求出P，Q表示的数，根据为的中点列出方程，解之即可；②分和两种情况，根据P，Q表示的数列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵，两点对应的数分别为和，，两点对应的数互为相反数， ∴点对应的数为， ∴； （2）解：设点对应的数为，点对应的数为， 则：，， ①当时，，即：，解得：， 当时，，即：，解得：， 综上所述，的值为2或； ②当时， ∵， ∴， 解得：或， 当时， ∵， ∴， 解得：或（舍）， 综上所述，的值为4或8或12． 【练习3】已知有理数a，b满足：，如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论： ①； ②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，完全平方非负性，数轴上两点间距离等，根据以上知识解答即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：，即①正确， ∵点O是原点，点A所对应的数是a， ∴点A所对应的数是4， ∵， ∴， ∵当点B与点O重合时， ∴点表示的数为， ∵线段在直线上运动（点B在点C的左侧）， ∴表示的数为，即，即②不正确， ∵当点C与点A重合时， ∴点表示的数为4， ∵点B在点C的左侧，， ∴点B表示的数为2， ∵点P是线段延长线上的点， ∴，， ∴，即③正确； ∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴， 分为四种情况： 第一种情况：当在左侧时，如图： ，； 第二种情况：当、在两侧时，如图： ，； 第三种情况：当、在线段上时，如图： ，； 第四种情况：当和都在右边时，如图： ，， ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变，即④正确， 故选：D． 【题型2】线段上的定值模型 【典例1】如图，已知线段，点是线段上任意一点（不与点、重合），点和点分别是线段、的中点． (1)线段是图中哪条线段的长度； (2)若，求线段的长度； (3)若点为线段的中点，则线段与线段的数量关系是______； (4)试说明，无论点如何移动，线段的长度为定值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，数形结合是解答本题的关键． （1）由线段中点定义得，，然后根据可得答案； （2）由线段中点定义得，然后根据即可求解； （3）由（2）得，结合点为线段的中点即可求解； （4）利用（2）的过程即可解答． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点和点分别是线段、的中点， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∵点为线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：； （4）解：由（2）得，． 【练习1】如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 【答案】(1)16， (2)证明见解析 【分析】本题考查了绝对值的非负性、数轴、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据绝对值的非负性可得，由此即可得； （2）先根据数轴的性质可得，点表示的数是，再求出，然后根据线段中点的定义可得，则可得，代入计算即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴数轴上点表示的数是16，点表示的数是， 故答案为：16，． （2）证明：由（1）已得：数轴上点表示的数是16，点表示的数是， ∴， ∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ∴点表示的数是， ∴在点到达点之前，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 【练习2】【知识准备】若数轴上点对应的数为，点B对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为_______． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】（3） 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式；点对应的数为；若数轴上点的对应数为；点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式；点对应的数为． ①填空：若数轴上点的对应数为；点 的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①②存在，当时， 为定值，是． 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）先由非负数的性质求出，进而可得CD的中点所对应的数； （2）求出点P表示的数为，点Q表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （3）①依题意可得出M对应的数； ②由（2）可知∶点P所表示的数为，点Q表示的数为，再求出点E所表示的数为，进而求出， ，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）， ，． ，． 的中点所对应的数为． （2）由题意得，点所表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得， 解得．， 当时，的中点所对应的数为． （3）①根据题意∶点M对应的数为 故答案为∶ ． ②由题意得，点E表示的数为，点F所表示的数为． ，． 当时， ； 当时， ； 当时， ． 当时， 为定值，是． 【练习3】阅读材料并解答问题：若数轴上点M和点N表示的数分别为m、n，则我们可以用绝对值表示点M和点N之间的距离，记为，即． 若数轴上一点P满足，则称点P为的中点． 已知数轴上点A、B、C、D表示的数分别为，4，x，y．解答下列问题： (1)___________； (2)若Q为的中点，求点Q表示的数； (3)当点C在之间运动时，若点E表示的中点，点F表示的中点．试探究的值是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． (4)若x，y为整数，且．直接写出的最大值． 【答案】(1)6 (2)1 (3)是定值，3 (4) 【分析】本题考查绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据题目中的材料，； （2）由Q为的中点，可得，即，解绝对值方程即可； （3）先根据点E为的中点，得到点E表示的数为，再根据点F表示的中点，得到点F表示的数为，所以，得到的值是定值； （4）由x，y为整数，，通过列举法找到符合条件的x的最小值及y的最大值，即可得到的最大值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）设点Q表示的数为， Q为的中点， ，即， 当时，方程无解； 当时，， 解得； 点Q表示的数为1； （3）点E为的中点，点A表示的数为，点C表示的数为x， 点E表示的数为； 点F表示的中点，点C表示的数为x，点B表示的数为4， 点F表示的数为； ， 的值是定值，为3； （4）表示数轴上点x到和1的距离之和， 的最小值为3，此时， 表示数轴上点y到和的距离之和， 的最小值为2，此时， 求的最大值，即求x和y之间的距离最大值， 应满足x尽可能取最小值，y尽可能取最大值， x，y为整数，， 当时，，得，即； 当时，，得不是整数，不符合题意； 当时，，得不是整数，不符合题意； 当时，，得不是整数，不符合题意； 当时，，得不是整数，不符合题意； …… ，，此时， 则的最大值为． 【题型3】线段上动点的存在性（探究性）模型 【典例1】如图，点C是线段延长线上一点，点M为线段的中点，在线段上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得则的值为___． 【答案】 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键． 根据，M为线段的中点，找准线段之间的数量关系，化简即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故． 故答案为：2． 【练习1】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且，线段，若在直线上存在一点M使得，求线段的长． 【答案】22或18 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差倍分，正确的理解题意是解题的关键，注意分类讨论． 本题分两种情况：点M在点A左侧，点M在点A右侧，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵，且； ∴，， ∵， 若点在点左侧，则；解得：， 若点在点右侧，则 ；解得：， 综上所述，线段的长为22或18． 【练习2】已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点． (1)当P，B两点之间的距离为2时，求点P表示的数； (2)当点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，求点P表示的数； (3)是否存在点P，使点P到A，B两点之间的距离之和最小？若存在，请写出所有符合条件的整数点P的坐标，并求出点P到A，B两点之间的距离之和的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2或6 (2)0或2 (3)存在的值最小，点P所表示的整数为，最小值为6 【分析】本题主要考查数轴上两点距离、绝对值的几何意义及线段的和差关系，熟练掌握数轴上两点距离、绝对值的几何意义及线段的和差关系是解题的关键； （1）根据，分两种情况：①点在点的左边；②点在点的右边；分别求出点表示的数即可； （2）根据点是线段的三等分点，分两种情况：①；②；分别求出点表示的数即可； （3）根据图示，可得当点在、两点之间时，的值最小，据此判断即可． 【详解】（1）解：由题意知点、表示的数分别为，4，分两种情况进行解答： ①点在点的左边时， ，， ∴点表示数的是2， ②点在点的右边时， ，， ∴点表示的是6， 综上，可得点表示的数是2或6； （2）解：点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，可知：点是线段的三等分点， ， ∴线段的长度是6，分两种情况进行解答： ①时，点表示的数是， ②时，点表示的数是， 综上，可得点表示的是0或2； （3）解：存在，理由如下： 根据绝对值的几何意义，可得： 当点在、两点之间时，的值最小，此时点P所表示的整数为， 此时，最小值为， 所以的最小值是6． 【练习3】如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为，且满足．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数是____________，点表示的数是___________，点表示的数是___________（用含的式子表示）； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)线段的长度没有变化，长度为 (3)存在，或 【分析】本题考查了数轴和绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离和绝对值及其应用是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性求出和的值，根据动点则可求出表示的数； （2）利用数轴上的中点公式和两点间的距离即可求解； （3）利用数轴上两点间的距离和整式化简不含则有系数为即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， 即，， ∴数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：； （2）解：不发生变化，线段的长度为． 理由如下： ∵点是中点，点是中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：点表示的数是：，点表示的数是：， ∴，， ①当时，，， ∴， ∵上式与无关， ∴，解得； ②当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； ③当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； 综上所述，当或时，的值与无关． 【题型4】线段中的阅读理解型（新定义）模型 【典例1】对于数轴上的点和线段，给出如下定义：若点与线段上一点的距离等于线段的长，则称点是线段的“强关联点”． （1）点表示的数分别是，2． ①在，0，4中，线段的“强关联点”所表示的数有______； ②线段的“强关联点”所表示的数最大为______，最小为______； （2）线段的长为． ①线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为______； ②线段的长为，若存在点，使得点既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”．将线段的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为，则的最大值为______（用含的式子表示）． 【答案】 ，4 5 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，两点之间的距离，有理数的加减运算，解题的关键是理解题意，并掌握数学结合的思想． （1）①假设线段上的点为，则，根据定义逐项进行判断即可； ②根据题意，列出算式求最值即可； （2）①根据定义，两个最值点的距离为线段长度的3倍； ②根据题意画出图形，借助数轴求出最值即可． 【详解】解：（1）①， 假设线段上的点为，则， 若， 解得，符合题意； 若， 解得或，均不符合题意； 若， 解得，符合题意； ∴线段的“强关联点”所表示的数有，4， 故答案为：，4； ②根据题意得， 线段的“强关联点”所表示的数最大为； 线段的“强关联点”所表示的数最小为； 故答案为：5，； （2）①根据题意得， 线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为， 故答案为：； ②如图所示，当点为时，既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”， ∴的最大值为， 故答案为：． 【练习1】已知，两点在数轴上表示的数分别为，，用符号“”表示，两点间的距离． 如图1，． 如图2，在数轴上，把原点记作点，表示数2的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的两倍特征值，记作，即．例如：时，点的两倍特征值． (1)①若点表示的数为1，则的值为__________； ②若点表示的数的倒数为，则的值为__________． (2)如图3，点，，为数轴上从左往右依次排列的三个点，点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数，点表示的数是3． ①求的值； ②请通过计算比较，，的大小．（用“”连接） (3)若点满足，求的值． 【答案】(1)①2；② (2)①；② (3)或10 【分析】本题考查了新定义、数轴上的点、相反数以及有理数的计算，解题的关键在于理解题意． （1）①根据新定义计算即可； ②根据倒数的性质和新定义计算即可； （2）①根据绝对值和相反数的性质和新定义计算即可； ②根据新定义求出，，的值，再比较大小即可； （3）分两种情况，点P在点O的右侧，点P在点O的左侧进行求解即可； 【详解】（1）解：①若点表示的数为1，则， ∴， 故答案为：2； ②∵点表示的数的倒数为， ∴表示的数， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点在原点O的左侧，且点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴； ②∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数是3， ∴， ， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： ①当点P在点O的左侧， ∵， ∴， ∴； ②当点P在O点右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴的值为或10． 【练习2】数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_，点与点之间的距离_，点与点的中点表示的数是_，且在图的数轴上标出点． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点，与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且）则点称为点关于点的二次跳跃点，如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是，点的一次跳跃点，点表示的数是_，关于点的二次跳跃点表示的数是_，线段的长度为_． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)，，，表示点D见解析； (2)①，，；②的值不变，为；③． 【分析】本题主要考查了数轴的相关知识，包括相反数、两点间距离、中点公式以及新定义问题的应用，熟练掌握数轴上数的表示、距离与中点的计算方法是解题的关键． （1）根据相反数的定义确定点B表示的数，利用数轴上两点间距离公式计算距离，再根据中点公式求中点表示的数，进而表示点D． （2）①根据一次跳跃点的定义（互为相反数）求，再根据二次跳跃点的定义（是的中点），利用中点公式求，最后用距离公式求． ②先根据定义表示出，再根据中点关系求出，进而计算并判断是否为定值． ③结合前面的推导，总结出的长度． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点与点互为相反数， ∴点表示的数是． 点表示的数是，则． 点表示，点表示， ∴中点表示的数是， 表示点D如下： （2）解：①∵点表示的数是，与互为相反数， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则， 解得． 线段的长度为， 故答案为：，，． ②∵点表示的数是， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则，解得． ∴，即的值不变，为． ③∵点表示的数是， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则， 解得． ∴． ∴线段的长度为． 【练习3】对于数轴上的点，，，，点，分别是线段，的中点，若，则将的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点，重合时，规定．设数轴上的点表示的数是，点表示的数是． (1)若数轴上点，，，表示的数分别是，，，，则线段的中点表示的数是__________，线段，的相对离散度是__________； (2)设数轴上点右侧的点表示的数是，若线段，的相对离散度，求的值； (3)数轴上点，都在点的右侧（其中，不重合），点是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出所表示的数的取值范围．（参考材料：．若，则．其中，且；．如图：点把线段分成相等的两条线段与，点叫作线段的中点） 【答案】(1)，； (2)的值为或； (3)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，等式的性质，绝对值方程等知识点，准确理解题目中的定义与公式并能熟练应用是解题的关键． （）设线段，的中点为，，由题意可得：，所以线段的中点表示的数是，线段的中点表示的数是，通过，得，求得； （）设，中点记为，，由题意可得，，所以点，在数轴上表示的数分别为，，则，根据线段，的相对离散度， 且，故有，然后求出的值即可； （）设数轴上点对应的数分别为，可得点所表示的数，设线段，的中点为，，则对应的数为，对应的数为，所以，又线段，的相对离散度为，且，所以，得，同理，从而可得，然后分当，时，当，时，当，时，当，时即可求解． 【详解】（1）解：设线段，的中点为，， 由题意可得：， ∴线段的中点表示的数是，线段的中点表示的数是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：设，中点记为，， 由题意可得：，， ∴点，在数轴上表示的数分别为，， ∴， ∵线段，的相对离散度， 且， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴的值为或； （3）解：，理由如下： 设数轴上点对应的数分别为， ∵数轴上点都在点的右侧 (其中不重合)， ∴，且， ∴，，， ∵点是线段的中点， ∴点所表示的数， 设线段，的中点为，，则对应的数为，对应的数为， ∴， ∵线段，的相对离散度为，且， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， 当，时， 解得：， ∵不重合, ∴ 此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：， 同样，此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：； 当，时， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴ 即：， ∴， 即． / 学科网（北京）股份有限公司 $