第四单元《多边形面积》（讲义）-2025-2026学年五年级上册数学北师大版

该小学数学讲义以转化思想为主线构建平面图形面积知识体系，通过“公式推导-重要提醒-典型例题”框架梳理平行四边形、三角形、梯形等图形的面积计算方法，用图文结合的方式呈现剪拼转化过程，突出底与高的对应关系等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计与转化思想渗透，如通过“平行四边形拉成长方形”例题引导学生推理周长与面积变化，培养推理意识，用“组合图形分割法”“添补法”等题型发展几何直观。练习题涵盖基础计算、实际应用及拓展探究，附详细解题思路，助力学生自主复习，也为教师实施分层教学提供精准支持。

25五上数学高频考点精练《多边形面积》-北师 考点一：平行四边形面积 知识点解析 平行四边形面积公式：S = 底 × 高 · 平行四边形可以通过剪拼转化为长方形 · 转化后的长方形：长 = 平行四边形的底，宽 = 平行四边形的高 · 平行四边形的面积 = 底 × 高，用字母表示为 S = ah 重要提醒： · 底和高必须相对应（垂直） · 平行四边形有无数条高，但对应同一条底的高只有一条 典型例题 例题1： 一个平行四边形的底是12厘米，高是8厘米，它的面积是多少平方厘米？ 解析： 知识点： 平行四边形面积公式的直接应用 思考过程： 已知底和高，直接代入公式计算 解答： S = 底 × 高 = 12 × 8 = 96（平方厘米） 例题2： 计算右面图形的面积。 解析： 知识点： 平行四边形面积公式的直接应用 思考过程： 从图中可以看出底是28厘米，高是30厘米 解答： S = 28 × 30 = 840（平方厘米） 例题3： 把一个平行四边形框架拉成一个长方形，长方形和平行四边形相比较，周长和面积有什么变化？ 解析： 知识点： 平行四边形与长方形的关系 思考过程： 拉动框架时，四条边长度不变，但高发生变化 解答： 周长不变，面积变大。因为平行四边形的高小于长方形的宽，而底相等。 考点二：三角形面积 知识点解析 三角形面积公式：S = 底 × 高 ÷ 2 · 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形 · 三角形面积 = 平行四边形面积 ÷ 2 = 底 × 高 ÷ 2 · 用字母表示为 S = ah ÷ 2 重要提醒： · 等底等高的三角形面积相等，但形状不一定相同 · 三角形有三条高，任意一条边都可以作为底 典型例题 例题1： 一个三角形的底是15厘米，高是8厘米，它的面积是多少平方厘米？ 解析： 知识点： 三角形面积公式的直接应用 思考过程： 已知底和高，直接代入公式计算 解答： S = 底 × 高 ÷ 2 = 15 × 8 ÷ 2 = 60（平方厘米） 例题2： 李大伯家有一块梯形菜地，分别种了黄瓜和辣椒（如图）。 解析： 知识点： 三角形面积在实际问题中的应用 思考过程： 黄瓜地是三角形，底20米，高30米；辣椒地也是三角形，底20米，高45米 解答： 黄瓜地面积：20 × 30 ÷ 2 = 300（平方米） 辣椒地面积：20 × 45 ÷ 2 = 450（平方米） 例题3： 一个平行四边形和一个三角形等底等高。如果平行四边形的面积是24平方分米，那么三角形的面积是多少？ 解析： 知识点： 等底等高的平行四边形和三角形面积关系 思考过程： 等底等高时，三角形面积是平行四边形面积的一半 解答： 三角形面积 = 24 ÷ 2 = 12（平方分米） 考点三：梯形面积 知识点解析 梯形面积公式：S = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 · 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形 · 梯形面积 = 平行四边形面积 ÷ 2 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 · 用字母表示为 S = (a + b)h ÷ 2 重要提醒： · 梯形只有一条高 · 上底增加多少，下底减少多少，面积不变（因为上底+下底的和不变） 典型例题 例题1： 一个梯形的上底是6厘米，下底是10厘米，高是4厘米，它的面积是多少平方厘米？ 解析： 知识点： 梯形面积公式的直接应用 思考过程： 已知上底、下底和高，直接代入公式计算 解答： S = (6 + 10) × 4 ÷ 2 = 16 × 4 ÷ 2 = 32（平方厘米） 例题2： 某农业学校有块形状为梯形的试验田（如图）。今年在这块试验田种植某品牌水稻，成熟后先试收割了100m²，共收割水稻160kg。照这样计算，这块试验田今年一共可以收割多少千克水稻？ 解析： 知识点： 梯形面积在实际问题中的应用 思考过程： 先算出梯形面积，再根据单位面积产量计算总产量 解答： 梯形面积：(60 + 70) × 45 ÷ 2 = 2925（平方米） 每平方米产量：160 ÷ 100 = 1.6（千克） 总产量：(160 ÷ 100) × (60 + 70) × 45 ÷ 2 = 4680（千克） 例题3： 根据下面的梯形的变化写出对应的面积计算公式。如果下底不变，把上底缩短，当上底b=0时，梯形就变成了一个什么图形？ 解析： 知识点： 梯形面积公式的变化规律 思考过程： 当上底为0时，梯形变成三角形 解答： 变成三角形，面积公式：(a + 0) × h ÷ 2 = a × h ÷ 2 考点四：组合图形面积 知识点解析 组合图形面积计算方法： 1. 分割法： 将组合图形分割成几个基本图形，分别计算面积后相加 2. 添补法： 将组合图形添补成规则图形，用大图形面积减去添补部分面积 解题策略： · 仔细观察图形特点，选择合适的方法 · 标注已知条件，找出所需的底和高 · 按步骤计算，注意单位统一 典型例题 例题1： 计算下列图形的面积。（单位：米） 解析： 知识点： 组合图形的分割法 思考过程： 第1个图形可以分成平行四边形和三角形；第2个图形用大长方形减去小长方形 解答： 第1个：15 × 6 + 15 × 4 ÷ 2 = 90 + 30 = 120（平方米） 第2个：10 × 5 - (10-3) × (5-3) = 50 - 14 = 36（平方米） 例题2： 先回答问题，再计算图形的面积。组合图形的面积 = ( )的面积 + ( )的面积。 解析： 知识点： 组合图形的分割法 思考过程： 图形可以分成长方形和三角形两部分 解答： 组合图形的面积 = 长方形的面积 + 三角形的面积 36 × 24 + 24 × 21 ÷ 2 = 864 + 252 = 1116（平方厘米） 例题3： 参考如图分割线的不同画法，请你用三种不同的思路计算图形的面积。 解析： 知识点： 组合图形的多种计算方法 思考过程： 可以用不同的分割方法计算同一个图形的面积 解答： 方法一：6 × (8-3) + 3 × 3 = 30 + 9 = 39（平方米） 方法二：(6-3) + 6 × (8-3) ÷ 2 + (3+8) × 3 ÷ 2 = 22.5 + 16.5 = 39（平方米） 方法三：(8-3) × (6-3) + 8 × 3 = 15 + 24 = 39（平方米） 考点五：面积单位换算 知识点解析 常用面积单位及换算关系： · 1平方千米 = 100公顷 = 1000000平方米 · 1公顷 = 10000平方米 · 1平方米 = 100平方分米 · 1平方分米 = 100平方厘米 换算方法： · 高级单位→低级单位：乘进率 · 低级单位→高级单位：除以进率 典型例题 例题1： 在括号里填上合适的数 · 20平方千米 = ( )平方米 · 36000000平方米 = ( )公顷 · 600公顷 = ( )平方千米 解析： 知识点： 面积单位换算 思考过程： 根据换算关系进行计算 解答： 20平方千米 = 20000000平方米 36000000平方米 = 3600公顷 600公顷 = 6平方千米 考点六：面积变化规律 知识点解析 图形面积变化规律： · 底扩大几倍，高不变，面积扩大几倍 · 高扩大几倍，底不变，面积扩大几倍 · 底扩大a倍，高扩大b倍，面积扩大a×b倍 典型例题 例题1： 一个三角形，底扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，则面积增加30平方厘米，原来三角形的面积是多少？ 解析： 知识点： 面积变化规律 思考过程： 底扩大2倍，高扩大3倍，面积扩大2×3=6倍，增加了5倍 解答： 原面积 = 30 ÷ 5 = 6（平方厘米） 巩固练习题 考点一：平行四边形面积练习题 1. 画一个底和高都是4厘米，并且其中一组相对的角都是45°的平行四边形。 2 一块平行四边形草地的面积是90平方米，底是6米，对应的高是多少米？ 3 一个平行四边形的面积是6.4平方厘米，高是2厘米，底是多少厘米？ 4 用剪拼的方法可以把一个平行四边形转化成一个长方形，长方形的长等于平行四边形的( )，长方形的宽等于平行四边形的( )。 5 一个平行四边形的面积是5平方厘米，如果把它的底和高都扩大到原来的2倍，得到的平行四边形的面积是多少？ 6 画一个高是4厘米，面积是12平方厘米的平行四边形。 7 一个平行四边形的底是15分米，高是8分米。如果底不变，高增加2分米，面积增加多少平方分米？ 8 把一个底是12厘米，高是8厘米的平行四边形，沿着高剪开，拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少厘米？ 考点二：三角形面积练习题 1. 一个三角形的底是12厘米，高是8厘米，它的面积是多少平方厘米？ 2. 一个三角形的面积是36平方分米，如果这个三角形的底是8分米，那么高是多少分米？ 3. 一个等腰直角三角形的一条腰长5分米，它的面积是多少平方分米？ 4. 两个( )的三角形一定可以拼成一个平行四边形。 5. 一个直角三角形的两条直角边分别是6厘米和8厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？ 6. 画一个高是3厘米，面积是9平方厘米的三角形。 7. 先设法计算出下面每个图形的面积，再比较它们的面积。你发现了什么？ 8. 等底等高的三角形，形状不一定相等，但面积一定相等。这个说法对吗？ 考点三：梯形面积练习题 1. 一个梯形的上底是5厘米，下底是9厘米，高是6厘米，它的面积是多少平方厘米？ 2. 如图，梯形的面积是多少平方厘米？ 3. 两个完全一样的直角梯形拼成的长方形面积是300平方厘米，其中一个直角梯形的面积是多少平方厘米？ 4. 一个梯形的上底增加2厘米，下底减少2厘米，高不变，面积会怎样变化？ 5. 一个梯形的上底是4分米，下底比上底多5分米，高是8分米，面积是多少平方分米？如果从中剪去一个最大的三角形，它的面积是多少平方分米？ 6. 在下面的方格图中画一个直角梯形和一个等腰梯形，并分别画出它们的一条高。 7. 有一个梯形，下底是上底的3倍，高为10厘米，如果下底减去12厘米，上底增加18厘米，就变成一个长方形，求原来梯形的面积。 8. 如图，吴奶奶和王爷爷分别用40米长的篱笆靠着一面墙围成一块梯形菜地。谁围的菜地面积大？大多少平方米？ 考点四：组合图形面积练习题 1. 计算下面图形的面积。 2. 计算下面组合图形的面积。（单位：cm） 3 如图，一个纸制包装盒的前、后、左、右四个面都是等腰梯形，每个等腰梯形的大小、形状完全相同。这个包装盒前、后、左、右每个面的面积都是多少平方厘米？ 4 斗拱是中国古典建筑上的重要构件。如图是一种斗形构件"三才升"的正面图，请你计算出图形的面积。（单位：dm） 5 榕榕对我国的各种宝塔的造型很感兴趣，于是自己结合已学的图形绘制了一座宝塔，榕榕绘制的这座宝塔的面积是多少平方厘米？ 6.陈叔叔在卧室的墙角处安装了一个小书桌，为了保护桌面，他想给小书桌做一个桌垫（如图，单位：dm）。桌垫的面积是多少平方分米？ 7 一块地近似梯形（如图），上底42m，下底65m，高30.5m，这块地的面积约是多少平方米？（得数保留整数） 8 一张边长6cm的正方形纸，从相邻两边的中点连一条线段，沿着这条线段剪去一个角（如图），剩下部分的面积是多少平方厘米？ 考点五：面积单位换算练习题 1. 在括号里填上合适的数。 · 3平方千米 = ( )平方米 · 50000平方米 = ( )公顷 · 800公顷 = ( )平方千米 · 6公顷400平方米 = ( )平方米 2. 一条公路的路基长100千米，宽50米，这条公路占地多少平方千米？ 3.一个长方形的长去掉4厘米后，面积就减少了20平方厘米，剩下的部分正好是一个正方形，原来的长方形的面积是多少平方厘米？ 4 比较大小： · 5平方千米 ○ 500公顷 · 60000平方米 ○ 6公顷 · 3公顷 ○ 30000平方米 考点六：面积变化规律练习题 1. 一个平行四边形的底扩大3倍，高扩大2倍，面积扩大几倍？ 2. 三角形的底扩大3倍，高扩大2倍，这个三角形的面积扩大几倍？ 3. 一个梯形的上底和下底都扩大2倍，高扩大3倍，面积扩大几倍？ 4. 一个三角形，底扩大到原来的4倍，高缩小到原来的一半，面积会怎样变化？ 5. 如图，图形A和图形B相比，谁的面积大？你是怎么比较的？ 拓展篇方格图形面积练习题 1. 下面图形是由面积为1平方厘米的小正方形拼接成的。明明在图形中沿着虚线剪掉了3个这样的小正方形，剩下图形的面积是多少？ 2. 右面这个图形是由1平方厘米的正方形拼成的。你知道它的面积是多少吗？ 3. 如下图，②号正方形的面积大小是①号正方形面积的3倍，那么甲、乙两个图形相比，谁的面积更大？请你算一算。 4. 如图，兔子图的面积约是多少dm²？（每个小方格的边长表示1dm） 详细答案 平行四边形面积练习题答案 1.答案： 画图题（答案不唯一） 知识点： 平行四边形的画法 思考过程： 底和高都是4厘米，且有一组对角是45° 总结： 按要求画出符合条件的平行四边形 2.答案： 15米 知识点： 平行四边形面积公式的逆向应用 思考过程： 高 = 面积 ÷ 底 = 90 ÷ 6 = 15（米） 总结： 已知面积和底求高，用除法 3.答案： 3.2厘米 知识点： 平行四边形面积公式的逆向应用 思考过程： 底 = 面积 ÷ 高 = 6.4 ÷ 2 = 3.2（厘米） 总结： 已知面积和高求底，用除法 4.答案： 底；高 知识点： 平行四边形与长方形的转化关系 思考过程： 平行四边形剪拼成长方形后，长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高 总结： 理解图形转化的本质 5.答案： 20平方厘米 知识点： 面积变化规律 思考过程： 底和高都扩大2倍，面积扩大2×2=4倍，5×4=20（平方厘米） 总结： 底和高同时变化时，面积变化是倍数的乘积 6.答案： 画图题（答案不唯一） 知识点： 平行四边形的画法 思考过程： 面积12平方厘米，高4厘米，所以底=12÷4=3厘米 总结： 先计算出底的长度，再画图 7.答案： 30平方分米 知识点： 平行四边形面积变化 思考过程： 面积增加 = 底 × 增加的高 = 15 × 2 = 30（平方分米） 总结： 底不变，高增加时，面积增加量等于底乘以高的增加量 8.答案： 40厘米 知识点： 平行四边形与长方形的关系 思考过程： 拼成的长方形长12厘米，宽8厘米，周长=(12+8)×2=40厘米 总结： 平行四边形剪拼后周长不变 考点二：三角形面积练习题答案 1.答案： 48平方厘米 知识点： 三角形面积公式 思考过程： S = 底 × 高 ÷ 2 = 12 × 8 ÷ 2 = 48（平方厘米） 总结： 直接应用三角形面积公式 2 答案： 9分米 知识点： 三角形面积公式的逆向应用 思考过程： 高 = 面积 × 2 ÷ 底 = 36 × 2 ÷ 8 = 9（分米） 总结： 已知面积和底求高，先乘2再除以底 3.答案： 12.5平方分米 知识点： 等腰直角三角形面积 思考过程： 两条腰互为底和高，S = 5 × 5 ÷ 2 = 12.5（平方分米） 总结： 等腰直角三角形的两条腰可以作为底和高 4.答案： 完全一样 知识点： 三角形拼接规律 思考过程： 只有完全一样的三角形才能拼成平行四边形 总结： 理解图形拼接的条件 5.答案： 24平方厘米 知识点： 直角三角形面积 思考过程： 两条直角边互为底和高，S = 6 × 8 ÷ 2 = 24（平方厘米） 总结： 直角三角形中，两条直角边互为底和高 6.答案： 画图题（答案不唯一） 知识点： 三角形的画法 思考过程： 面积9平方厘米，高3厘米，所以底=9×2÷3=6厘米 总结： 先计算出底的长度，再画图 7.答案： 这4个图形的面积均相等 知识点： 等底等高图形面积关系 思考过程： 在同一组平行线间的图形，高相等，通过计算发现面积都相等 总结： 等底等高的图形面积相等 8.答案： 对 知识点： 等底等高三角形的性质 思考过程： 等底等高的三角形面积一定相等，但形状可以不同 总结： 面积相等不代表形状相同 考点三：梯形面积练习题答案 1.答案： 42平方厘米 知识点： 梯形面积公式 思考过程： S = (上底+下底) × 高 ÷ 2 = (5+9) × 6 ÷ 2 = 42（平方厘米） 总结： 直接应用梯形面积公式 答案： 30平方厘米 知识点： 梯形面积公式的应用 思考过程： 从图中读出上底、下底和高的数据，代入公式计算 总结： 仔细观察图形，准确读取数据 3.答案： 150平方厘米 知识点： 梯形拼接规律 思考过程： 两个完全一样的梯形拼成长方形，一个梯形面积=长方形面积÷2=300÷2=150（平方厘米） 总结： 理解梯形与长方形的拼接关系 4.答案： 面积不变 知识点： 梯形面积变化规律 思考过程： 上底+下底的和不变，高不变，所以面积不变 总结： 梯形面积只与上下底的和有关 5.答案： 52平方分米；36平方分米 知识点： 梯形面积及最大三角形面积 思考过程： 下底=4+5=9分米，梯形面积=(4+9)×8÷2=52平方分米 最大三角形底=下底=9分米，面积=9×8÷2=36平方分米 总结： 梯形中最大三角形的底是梯形的下底 6.答案： 画图题（答案不唯一） 知识点： 直角梯形的画法 思考过程： 按要求画出上底2厘米，下底5厘米，高3厘米的直角梯形 总结： 直角梯形有一个直角 7.答案： 300平方厘米 知识点： 梯形面积的综合应用 思考过程： 设上底为x，则下底为3x 变化后：(x+18)=(3x-12)，解得x=15 原梯形面积=(15+45)×10÷2=300平方厘米 总结： 利用变化条件建立方程求解 8.答案： 王爷爷围的菜地面积大，大30平方米 知识点： 梯形面积的实际应用 思考过程： 吴奶奶：(40-10)×8÷2=120平方米 王爷爷：(40-10)×10÷2=150平方米 150-120=30平方米 总结： 实际问题中要理解题意，找出隐含条件 考点四：组合图形面积练习题答案 1.答案： 4740平方米 1. 知识点： 组合图形的分割法 思考过程： 分成三角形和梯形：60×(78-48)÷2+(60+100)×48÷2=900+3840=4740平方米 1. 总结： 根据图形特点选择合适的分割方法 2. 答案： 236平方厘米 知识点： 组合图形的分割法 思考过程： 梯形面积+三角形面积=(10+16)×12÷2+16×10÷2=156+80=236平方厘米 总结： 分割成基本图形分别计算 3.答案： 216平方厘米 知识点： 等腰梯形面积 思考过程： S=(16+20)×12÷2=216平方厘米 总结： 等腰梯形面积计算与普通梯形相同 4.答案： 23.75平方分米 知识点： 组合图形面积计算 思考过程： · 上底总长：1.5+5+1.5=8dm · 面积：8×3-2×5+(5+8)×1.5÷2=24-10+9.75=23.75平方分米 · 总结： 复杂组合图形需要仔细分析结构 5.答案： 226.25平方厘米 知识点： 复杂组合图形面积 思考过程： · 塔尖：6×5÷2=15平方厘米 · 塔座：10×5=50平方厘米 · 一层塔身：6×2+(6+7.5)×(5-2)÷2=32.25平方厘米 · 总面积：15+50+32.25×5=226.25平方厘米 · 总结： 分层计算，注意相同部分的数量 6.答案： 56平方分米 知识点： 组合图形的多种计算方法 思考过程： 可以用添补法：8×8-4×4÷2=64-8=56平方分米 总结： 组合图形可以用多种方法计算 7.答案： 1632平方米 知识点： 梯形面积的实际应用 思考过程： (42+65)×30.5÷2≈1632平方米 总结： 实际问题中注意保留整数 8.答案： 31.5平方厘米 知识点： 组合图形的计算 思考过程： 正方形面积-三角形面积=6×6-3×3÷2=36-4.5=31.5平方厘米 总结： 添补法是常用的计算方法 考点五：面积单位换算练习题答案 1.答案： 3000000；5；8；60400 知识点： 面积单位换算 思考过程： 根据换算关系进行计算 总结： 熟记面积单位间的换算关系 答案： 5平方千米 知识点： 面积单位换算的实际应用 思考过程： 50米=0.05千米，面积=100×0.05=5平方千米 总结： 注意单位统一 3.答案： 45平方厘米 知识点： 长方形面积的逆向思维 思考过程： 宽=20÷4=5厘米 原长=5+4=9厘米 原面积=9×5=45平方厘米 总结： 利用面积变化找出原来的长和宽 3. 答案： =；=；= 知识点： 面积单位大小比较 思考过程： 统一单位后比较大小 总结： 比较时要先统一单位 考点四：面积变化规律练习题答案 1.答案： 6倍 知识点： 面积变化规律 思考过程： 底扩大3倍，高扩大2倍，面积扩大3×2=6倍 总结： 面积变化倍数等于长度变化倍数的乘积 2 答案： 6倍 知识点： 三角形面积变化规律 思考过程： 底扩大3倍，高扩大2倍，面积扩大3×2=6倍 总结： 三角形面积变化规律与平行四边形相同 3.答案： 6倍 知识点： 梯形面积变化规律 思考过程： 上底和下底都扩大2倍，高扩大3倍，面积扩大2×3=6倍 总结： 梯形面积变化与上下底的和及高的变化有关 4.答案： 扩大2倍 知识点： 面积变化的综合应用 思考过程： 底扩大4倍，高缩小到1/2，面积变化=4×1/2=2倍 总结： 一个量扩大，另一个量缩小时，要相乘计算 5.答案： 图形A的面积大 知识点： 方格图形面积比较 思考过程： 通过数方格，图形A有48个小格，图形B有43个小格 总结： 方格图形可以通过数格子比较面积 拓展篇：方格图形面积练习题答案 1.答案： 7平方厘米 知识点： 方格图形面积计算 思考过程： 原图形10个小正方形，剪掉3个，剩余10-3=7平方厘米 总结： 先数出总格数，再减去剪掉的格数 2 答案： 16平方厘米 知识点： 方格图形面积计算 1. 思考过程： 1+3+5+7=16平方厘米 总结： 按层数计算更方便 3.答案： 乙图形的面积更大 知识点： 不同大小方格的面积比较 思考过程： 甲图形19个小方格，乙图形7×3=21个小方格，21>19 总结： 要考虑方格大小的倍数关系 4.答案： 45平方分米 知识点： 不规则图形面积估算 思考过程： 把兔子图看成长9dm、宽5dm的长方形，面积约45平方分米 总结： 不规则图形可以用规则图形估算面积 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $