第二单元《轴对称和平移》（讲义）-2025-2026学年五年级上册数学北师大版

该小学数学讲义以“轴对称与平移”为核心，通过“知识点解析+典型例题+巩固练习”的递进结构构建知识体系，用列表梳理定义、特点及常见图形，以表格对比平移与旋转现象，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于生活化素材运用与分层练习设计，如甲骨文、诗句中的轴对称识别培养几何直观，逆向平移计算（求平移前位置）发展推理意识，支持不同学生从基础识别到综合作图提升，助力教师实施精准复习教学。

考点一：轴对称图形的识别与性质 知识点解析 轴对称图形的定义 如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴。 轴对称图形的特点： 1. 对称轴两边的图形形状、大小完全相同 2. 对称轴两边对应点到对称轴的距离相等 3. 对称轴两边对应点的连线垂直于对称轴 常见轴对称图形 25五上数学高频考点精练《轴对称和平移》-北师 · 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 · 长方形（2条对称轴） · 正方形（4条对称轴） · 等边三角形（3条对称轴） · 等腰三角形（1条对称轴） · 等腰梯形（1条对称轴） · 圆（无数条对称轴） 典型例题 1. 例题1： 选项中的甲骨文不是轴对称图形的是（）。 A: B： C: 答B 知识点： 轴对称图形的识别 思考过程： 观察每个甲骨文字，想象沿着某条直线对折 判断对折后两边是否能完全重合 A选项可以沿竖直方向对折重合，是轴对称图形 B选项无论怎样对折都不能重合，不是轴对称图形 C选项可以沿竖直方向对折重合，是轴对称图形 总结： 判断轴对称图形的关键是找到对称轴，看图形对折后是否完全重合。 2. 例题2： 在诗句"白日依山尽，黄河入海流"中有（ ）个字是轴对称图形。 解析： 知识点： 汉字中的轴对称图形识别 思考过程： 逐个分析每个汉字的结构 "白"字左右对称，是轴对称图形 "日"字上下、左右都对称，是轴对称图形 "依"字不对称，不是轴对称图形 "山"字左右对称，是轴对称图形 "尽"、"黄"、"河"、"入"、"海"、"流"都不是轴对称图形 总结： 汉字的轴对称性主要看其结构是否左右对称或上下对称。 考点二：对称轴的数量判断 知识点解析 常见图形的对称轴数量： · 长方形：2条对称轴（两条通过对边中点的直线） · 正方形：4条对称轴（两条对角线和两条通过对边中点的直线） · 等边三角形：3条对称轴（每个顶点到对边中点的连线） · 等腰三角形：1条对称轴（顶点到底边中点的连线） · 等腰梯形：1条对称轴（连接两底边中点的直线） · 圆：无数条对称轴（任意一条直径所在的直线） · 平行四边形：0条对称轴 判断方法： 1. 找出所有可能的对称轴 2. 验证图形沿每条轴对折后是否完全重合 3. 数出符合条件的对称轴数量 典型例题 1. 下列图形中，对称轴最多的是（）。 A: 等边三角形 B: 正方形 C: 等腰梯形 D: 长方形 答：B 知识点： 各种图形对称轴数量的比较 思考过程： 1. 等边三角形：有3条对称轴，分别是每个顶点到对边中点的连线 2. 正方形：有4条对称轴，分别是两条对角线和两条通过对边中点的直线 3. 等腰梯形：只有1条对称轴，是连接两底边中点的直线 4. 长方形：有2条对称轴，是通过对边中点的两条直线 比较得出：4 > 3 > 2 > 1 总结： 正方形是最对称的四边形，具有最多的对称轴。 2. 如图这个标志有（）条对称轴。 A: 1 B: 2 C: 3 D: 4 答C 知识点： 复杂图形对称轴的判断 思考过程： 观察图形的整体结构，这是一个三角形标志 检查是否有竖直方向的对称轴：有，图形左右对称 检查是否有其他方向的对称轴：由于是等边三角形结构，还有两条通过顶点的对称轴 总共有3条对称轴 总结： 对于复杂图形，要仔细观察其结构特点，系统地检查各个可能的对称轴。 考点三：平移现象的识别 知识点解析 平移的定义： 在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离移动的图形运动叫做平移。 平移的特点： 1. 平移后图形的形状、大小不变 2. 平移后图形的位置发生改变 3. 平移后图形的方向不变 4. 对应点之间的距离等于平移的距离 生活中的平移现象： 1. 电梯的升降 2. 火车在笔直轨道上行驶 3. 推拉门的开关 4. 升国旗 5. 传送带上物品的移动 不是平移的现象： 1. 钟表指针的转动（旋转） 2. 车轮的转动（旋转） 3. 钟摆的摆动（旋转） 4. 风扇叶片的转动（旋转） 典型例题 1 下列现象中，不属于平移的是（）。 A: 乘直升电梯从一楼上到二楼 B: 钟表的指针滴答滴答地走 C: 火车在笔直的轨道上行驶 D: 推拉门的移动 答：B 知识点： 平移现象的识别 思考过程： A选项：电梯整体沿直线向上移动，是平移现象 B选项：钟表指针围绕中心点转动，是旋转现象，不是平移 C选项：火车沿直线轨道移动，是平移现象 D选项：推拉门沿直线移动，是平移现象 总结： 平移是直线运动，旋转是围绕某点的圆周运动，要注意区分。 2 下列现象中，属于平移的在括号里画"√"。 1. 火车在笔直的铁轨上行驶。（ ） 2. 冷水受热过程中小气泡上升变成大气泡。（ ） 3. 人随电梯上升。（ ） 4. 钟摆的摆动。（ ） 5. 飞机起飞前在直线跑道上滑动。（ ） 答：√ 2. （ ） 3. √ 4. （ ） 5. √ 知识点： 平移现象的综合判断 思考过程： 火车在笔直铁轨上行驶：沿直线移动，是平移 ✓ 气泡上升变大：不仅位置改变，大小也改变，不是平移 人随电梯上升：整体沿直线向上移动，是平移 ✓ 钟摆摆动：围绕固定点做圆弧运动，是旋转，不是平移 飞机在跑道滑动：沿直线移动，是平移 ✓ 总结： 判断平移的关键是看物体是否沿直线移动，且形状大小不变。 考点四：平移作图与计算 知识点解析 平移作图的方法： 1. 确定平移的方向和距离 2. 找出原图形的关键点（顶点） 3. 将每个关键点按照平移方向和距离移动 4. 连接移动后的对应点，得到平移后的图形 平移距离的计算： 1. 平移距离 = 对应点之间的格数 2. 要选择同一组对应点来计算 3. 平移方向通过观察对应点的位置关系确定 多次平移： · 可以分步进行：先向某方向平移，再向另一方向平移 · 最终结果等于各次平移的合成 典型例题 1： 右图中 向（ ）平移了（ ）格。 答：右，6 知识点： 平移方向和距离的判断 思考过程： 观察两个图形的位置关系 选择对应的关键点（如左上角顶点） 数出对应点之间的水平距离：6格 确定平移方向：从左到右，即向右 验证：其他对应点的平移距离和方向是否一致 总结： 判断平移要选择明显的对应点，准确数出格数，确定正确方向。 2 将三角形先向右平移3格，再向下平移2格，就可以得到 如图中的三角形，则平移前点A的位置是（（ ），（ ））。 答：5 知识点： 逆向思维求平移前的位置 思考过程： 观察图中平移后点A的位置：(5, 3) 平移过程：先向右平移3格，再向下平移2格 逆向思考：要求原位置，需要反向平移 从(5, 3)向左平移3格：横坐标 5-3=2 再向上平移2格：纵坐标 3+2=5 所以平移前点A的位置是(2, 5) 总结： 逆向求平移前位置时，要进行反向平移操作。 考点五：轴对称作图 知识点解析 轴对称作图的方法： 1. 确定对称轴的位置 2. 找出原图形的关键点 3. 过每个关键点作对称轴的垂线 4. 在垂线的另一侧，距离对称轴相等的位置标出对称点 5. 按照原图形的连接方式连接各对称点 轴对称作图的要点： 1. 对称点到对称轴的距离相等 2. 对称点的连线垂直于对称轴 3. 对称图形的形状、大小与原图形完全相同 补全轴对称图形： 1. 根据已知部分确定对称轴 2. 找出关键点的对称点 3. 连接对称点完成图形 典型例题 1. 按要求画图。 (1) 以粗虚线为对称轴，画出图形的轴对称图形。 (2) 画出图形向右平移格后的图形。 (3) 把图形先向下平移（　　　　　　　　）格，再向右平移（　　　　　　　　）格，可到达图形的位置。 答 （1）（2）如图： （3）3，8 2. 画一画：以粗虚线为对称轴，画出左图中图形的轴对称图形；将右图中图形先向上平移格，再向右平移格。 答 巩固练习 考点一：轴对称图形的识别与性质（练习题） 1. 下面图形中，不是轴对称图形的是()。 A. B. C. D. 2. 交通标志。观察下面的交通标志图，一组图形全部都是轴对称图形的是（）。 A. B. C. D. 3. 中轴对称图形有（　　　　　　　　）。 4. 以下是某手机地图中的四个工具标识图，其中( )不是轴对称图形。 A. B. C. D. 5. 年在法国巴黎成功举办了第届奥运会。如图，体育运动中有许多轴对称动作，属于轴对称动作的有（　　　　　　　　）。 6. 妈妈给姐姐和弟弟买了一本刘慈欣的小说《流浪地球》，姐弟俩都想先看。于是姐姐对弟弟说：“我们利用下面中心涂黑的九宫格图案（如图所示）玩一个游戏，规则如下 我从第一行，你从第三行，同时各自任意选取一个方格涂黑，如果得到的新图案是轴对称图形，那么我先看，否则你先看 ”姐姐设计的游戏对弟弟是否公平？请说明理由。（第一行的小方格从左到右分别用、、表示，第三行的小方格从左到右分别用、、表示） 考点二：对称轴的数量判断（练习题） 1. 正方形有（　　　　　　　　）条对称轴，等边三角形有（　　　　　　　　）条对称轴。 2. 等边三角形的对称轴有（）条。 A. B. C. 3. 下列图形中，对称轴最多的是( )。 A. 正方形 B. 长方形 C. 等边三角形 4. 下面各图形中，对称轴条数最多的是( )。 A. B. C. D. 5. 年月，我国申报的中国剪纸项目入选联合国教科文组织的“人类非物质文化遗产代表作名录”。下列是李坤在庙会非遗文化展示区看到的几幅剪纸，其中对称轴条数最少的是（）。 A. B. C. D. 6. 右面的图形有（）条对称轴。 A. B. C. D. 7. 如图共有（　　　　　　　　）条对称轴。再添一个相同的圆，使图形只有条对称轴，可以画成（　　　　　　　　）。 8. 正六边形可以分成个同样的等边三角形（如图）。下面说法中，正确的有（）个。 1 三角形平移后可得到三角形。 2 平行四边形平移后能得到平行四边形。 3 以线段所在直线为对称轴，三角形是三角形的轴对称图形。 4 以线段所在直线为对称轴，梯形是梯形的轴对称图形。 A. B. C. D. 考点三：平移现象的识别（练习题） 1. 图形平移后，( )。 A. 图形的大小、形状和位置都改变了 B. 图形的大小、形状不变，位置改变了 C. 图形的大小、形状和位置都不变 D. 图形的大小不变，形状和位置都改变了 2. 升国旗时，国旗的升降运动是（ ）现象，妈妈用拖布拖地是（ ）现象，自行车车轮转了一圈又一圈是（ ）运动。 3. 火车沿直线前进，车轮的运动是（ ），车厢的运动是（ ）。（填"平移"或"旋转"） 4. 钟表上分针的运动属于平移。（ ）（填"√"或"×"） 考点四：平移作图与计算（练习题） 1. 向（　　　　　　　　）平移了（　　　　　　　　）格。 向（　　　　　　　　）平移了（　　　　　　　　）格。 向（　　　　　　　　）平移了（　　　　　　　　）格。 向（　　　　　　　　）平移了（　　　　　　　　）格。 2. 如图，甲、乙、丙、丁怎样平移能拼成右边的笑脸呢？ 把甲向右平移格，乙向右平移（　　　　　　　　）格，丙先向右平移（　　　　　　　　）格，再向（　　　　　　　　）平移格，丁先向右平移（　　　　　　　　）格，再向（　　　　　　　　）平移（　　　　　　　　）格。 3. 如图，把涂色的三角形向（　　　　　　　　）平移（　　　　　　　　）cm，就变成一个长是（　　　　　　　　）cm，宽是（　　　　　　　　）cm的长方形，长方形的面积是（　　　　　　　　）cm。（每个小方格的边长表示cm）   4. 图中的字母“”，向右平移（　　　　　　　　）格，即和原来的字母组成字母“”。 5. 把图①向右平移格；图②先向上平移格，再向左平移格。画出平移后的图形。 6. 画一画。 (1) 先把方格纸上右边的三角形向左平移格，再向上平移格。 (2) 以虚线为对称轴，画出方格纸左边图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。 7. 如图，有一个长方形花园，长米，现需改造花园，花园中间留条宽米的路，其他地方全种植月季，月季种植面积为平方米。这个花园的周长是多少米？ 8. 如图所示，一块边长为米的正方形土地，上面修了横竖两条道路，宽都是米，要在空白的部分种上花草，请利用平移的知识求出种花草的面积。 考点五：轴对称作图（练习题） 1. 在下面的方格里设计一个轴对称图形。   2. 如图所示是由小正方形组成的形组合图形，请你在如图中添上一个小正方形，使它成为轴对称图形。 3. 右面是用小正方形组成的“上”字图形，请你在图中添画一个小正方形，使它成为一个轴对称图形，并画出对称轴。 4. 以直线为对称轴，分别画出下面图形的轴对称图形。 5. 画出下面图形的对称轴。 6. 按要求画图。 (1) 以虚线为对称轴，画出图①的轴对称图形。 (2) 将图②先向左移动格，再向下移动格，画出平移后的图③。 (3) 画出图③的对称轴。 7. 文具店内有一个展示台，下面是展示台的一个截面。 (1) 以虚线为对称轴，画出下面轴对称图形的另一半。 (2) 整个展示台是由原来的位置先向下平移格，再向左平移格得到的，画出展示台原来的位置。 8. 如图，一个等边三角形被分成了若干个同样的小等边三角形，有些小三角形已被涂灰，那么最少再涂灰几个小三角形就可以构成轴对称图形？画一画。 详细答案解析 考点一练习题答案 第1题答案：D 知识点： 轴对称图形的识别 思考过程： 观察四个选项，A、B、C都可以找到对称轴使图形对折后完全重合，而D选项无论怎样对折都不能完全重合。 总结： 判断轴对称图形要找到合适的对称轴。 第2题答案：C 知识点： 交通标志中的轴对称图形 思考过程： 逐一检查每组标志，C组中的所有标志都具有轴对称性。 总结： 大多数交通标志都设计成轴对称图形，便于识别。 第3题答案：D、U、X、M、Y 一个图形沿一条直线对折，如果直线两边能够完全重合，那这个图形就是轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。 知识点： 字母中的轴对称图形 思考过程： 检查每个字母是否有对称轴，D、U、X、M、Y都可以找到对称轴。 总结： 许多字母都是轴对称图形。 第4题答案：B 知识点： 手机应用图标的轴对称性 思考过程： 观察四个图标，B选项不具有轴对称性。 总结： 现代设计中轴对称图形很常见。 第5题答案：①②⑤ 知识点： 体育动作中的轴对称 思考过程： 观察运动员的姿态，①②⑤的动作具有左右对称性。 总结： 许多体育动作追求对称美。 第6题答案：不公平 知识点： 轴对称图形的概率问题 思考过程： 分析所有可能的组合，计算得到轴对称图形的概率，发现不是1/2。 详解：因为共有种等可能出现的情况，其中得到轴对称图案的情况有种，分别为、、、、，两人先看的可能性不相等。 根据题意，画图如下： 根据轴对称的定义，从图中可以看出，得到轴对称图案的情况有种，得不到轴对称图案的情况有种，两人先看的可能性不相等，因此不公平。 考点二练习题答案 第1题答案：4，3 知识点： 基本图形的对称轴数量 思考过程： 正方形有4条对称轴（2条对角线+2条中线），等边三角形有3条对称轴。 总结： 要熟记常见图形的对称轴数量。 第2题答案：C 知识点： 等边三角形的对称轴 思考过程： 等边三角形的每个顶点到对边中点的连线都是对称轴，共3条。 总结： 等边三角形具有完美的三重对称性。 第3题答案：A 知识点： 不同图形对称轴数量的比较 思考过程： 正方形4条 > 等边三角形3条 > 长方形2条 > 等腰梯形1条。 总结： 正方形是对称性最好的四边形。 第4题答案：B 知识点： 复杂图形的对称轴判断 思考过程： 仔细观察图形结构，找出所有可能的对称轴。 总结： 复杂图形需要系统地检查对称性。 第5题答案：C 知识点： 剪纸艺术中的对称轴 思考过程： 比较各个剪纸图案的对称轴数量，找出最少的。 总结： 传统剪纸艺术大量运用轴对称。 第6题答案：D 知识点： 特殊图形的对称轴数量 思考过程： 观察图形结构，系统地找出所有对称轴。 总结： 要全面考虑各个方向的对称轴。 第7题答案：3，见图 （答案不唯一） 知识点： 组合图形的对称轴 思考过程： 分析三个圆的排列，找出对称轴，然后考虑如何添加第四个圆。 总结： 改变图形可以改变对称轴的数量。 第8题答案：D 知识点： 正六边形的平移和轴对称性质 思考过程： 分析正六边形的各种变换，验证每个说法的正确性。 总结： 正多边形具有丰富的对称性质。 考点三练习题答案 第1题答案：B 知识点： 平移的性质 思考过程： 平移后图形的形状、大小不变，只有位置改变。 总结： 平移是刚体运动，保持图形不变形。 第2题答案：平移，平移，旋转 知识点： 生活中平移和旋转现象的识别 思考过程： 1. 升国旗：国旗沿着旗杆直线上升，是平移现象 2. 拖地：拖布在地面上直线移动，是平移现象 3. 车轮转动：围绕车轴做圆周运动，是旋转运动 总结： 直线运动是平移，圆周运动是旋转。 第3题答案：旋转，平移 知识点： 复合运动中平移和旋转的识别 思考过程： 1. 车轮：围绕轮轴转动，同时整体向前移动，但轮子本身的运动是旋转 2. 车厢：整体沿直线向前移动，是平移运动 3. 要区分物体本身的运动形式 第4题答案：× 思考过程： 1. 分针围绕钟表中心点转动 2. 分针上的每一点都在做圆周运动 3. 这是典型的旋转运动，不是平移 4. 平移要求所有点都沿同一方向移动相同距离 总结： 围绕固定点的运动都是旋转，不是平移。 考点四练习题答案 第1题答案：右6，下5，上4，左4 知识点： 平移方向和距离的判断 思考过程： 选择对应点，数出平移的格数和方向。 总结： 要选择明显的对应点来判断平移。 第2题答案：见解析 知识点： 复杂平移路径的分析 思考过程： 分析各个图形部分的平移路径，找出规律。 总结： 复杂图形的平移可以分部分分析。 第3题答案：左4，4，3，12 知识点： 平移在面积计算中的应用 思考过程： 通过平移将不规则图形转化为规则图形计算面积。 总结： 平移是解决面积问题的重要方法。 第4题答案：2 知识点： 字母的平移 思考过程： 观察V和W的关系，确定平移距离。 总结： 字母之间的关系可以用平移来描述。 第5题答案：见图 知识点： 平移作图 思考过程： 按照平移要求，将图形的每个关键点移动相应距离。 总结： 平移作图要保持图形的形状和大小不变。 第6题答案：见图 知识点： 平移和轴对称的综合应用 思考过程： 先进行平移，再进行轴对称作图。 总结： 图形变换可以组合使用。 第7题答案： （米） （米） （米） （米） 第8题答案：36平方米 可以将小路平移，把种植月季的四块地合成一个长方形空地，根据“宽长方形的面积长”求得长方形空地的宽，从而求出长方形花园的周长。 （平方米） 将横竖两条道路平移至正方形土地的边上，所求正方形的边长变成米。 考点五练习题答案 第1题答案：见图 知识点： 轴对称图形的设计 思考过程： 在方格纸上设计具有轴对称性的图形。 总结： 设计轴对称图形要保证对称轴两边完全对称。 第2题答案：见图 知识点： 补全轴对称图形 思考过程： 找出关键点的对称点，连接成完整图形。 总结： 补全轴对称图形的关键是找准对称点。 第3题答案：见图 知识点： 在已有图形基础上添加对称性 思考过程： 分析现有图形，确定如何添加使其具有轴对称性。 总结： 改造图形使其具有对称性需要巧妙设计。 第4题答案：见图 知识点： 轴对称作图的基本方法 思考过程： 找出关键点，作对称点，连接成图。 总结： 轴对称作图要严格按照对称的要求进行。 第5题答案：见图 知识点： 识别和画出对称轴 思考过程： 观察图形特点，找出所有对称轴并画出。 总结： 画对称轴要准确，通常用虚线表示。 第6题答案：见图 知识点： 轴对称和平移的综合应用 思考过程： 先完成轴对称作图，再进行平移操作。 总结： 图形变换的组合应用要按步骤进行。 第7题答案：见图 知识点： 实际应用中的轴对称作图 思考过程： 根据实际情况完成轴对称图形，再进行平移。 总结： 轴对称在实际应用中很常见。 第8题答案：3个 知识点： 轴对称图形的最优化问题 思考过程： 分析现有图形，找出最少添加数量使其成为轴对称图形。 总结： 轴对称问题可以与最优化结合。 学习建议 1. 多观察生活中的轴对称和平移现象 ，培养几何直觉 2. 熟练掌握基本图形的对称轴数量 ，这是基础知识 3. 练习轴对称和平移作图 ，提高动手能力 4. 学会用平移思想解决实际问题 ，如面积计算 5. 注意区分平移和旋转 ，避免概念混淆 通过系统的复习和练习，相信同学们能够熟练掌握轴对称和平移的相关知识！ $